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不等式恒成立与有解问题解法综述
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不等式恒成立与有解问题解法综述
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已知不等式x2-（a+1）x+a＜0，（1）若不等式在（1，3）上有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式在（1，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
陈建T00026
解法一：（1）原不等式可化为（x-1）（x-a）＜0，当a=1时，解集为?；当a＞1时，解集为（1，a）；当a＜1时，解集为（a，1）．若不等式在（1，3）上有解，则a＞1；（2）若不等式在（1，3）上恒成立，则由（1）得，（1，3）?（1，a），∴a≥3．解法二：（1）不等式x2-（a+1）x+a＜0，即x2-x-a（x-1）＜0，∵1＜x＜3，∴a＞2-xx-1即a＞x，若原不等式在（1，3）上有解，则a＞1，即实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）由（1）知在1＜x＜3上原不等式可化为a＞x，若不等式在（1，3）上恒成立，则a≥3，即实数a的取值范围是[3，+∞）．
为您推荐：
方法一：对a讨论，分a=1，a＞1，a＜1，求出不等式的解集，根据不等式有解和恒成立，确定两集合的包含关系，从而求出a的取值范围；方法二：采取分离参数的办法，将a分离出来，根据有解和恒成立，确定a的取值范围．
本题考点：
一元二次不等式的应用．
考点点评：
本题主要考查一元二次不等式的解法和运用，考查分类讨论的思想方法，以及不等式有解和恒成立的区别，是一道易错题，采取参数分离是一种有效的方法，应掌握．
扫描下载二维码与时俱进的不等式恒成立与有解问题--《数学爱好者》2006年03期
与时俱进的不等式恒成立与有解问题
【摘要】：正不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容．它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,随着中学数学引进导数,它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具．在近几年的高考试题中,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目,比如2006年高考江西卷以及湖北卷．
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容.它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试
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京公网安备75号【数学】巧解含参不等式恒成立问题的7种方法
& 本文节选自2013《试题调研》数学第3辑的“热点关注”，敬请品读.10月中旬上市（版权所有，转载请注明出处）
河南& 龙艳青
含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式，其破解方法主要有：分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数性质法、导数分析法、最值定位法、、构造函数法等.
一、分离参数法
分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题．
二、主参换位法
有些含参不等式的恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦，或者即使能分离出参数或变量，但参数的最值却难以求出，这时可变换思维角度，即把变元与参数换个位置，再结合其他知识，往往能取得意想不到的效果.&
三、数形结合法
数形结合是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”以达到解决问题的目的，数形结合是破解含参不等式恒成立问题的又一主要方法．&
四、函数性质法
五、导数分析法
六、最值定位法
七、构造函数法
“数列、不等式、推理与证明”中更多精彩内容，如数学名师为你精选的最新高考靓题、模拟新题，原创最具代表高考最新方向的“高仿题”，还有“2012高考试题点拨之推理与证明”“点击函数思想在解答数列高考题中的‘结点’”“借力函数的构造&
巧证数列不等式”“三大不等式交汇性试题之高考热点探究”等.请详见《试题调研》数学第3辑，它360度全方位地对这部分知识进行解读，对高考考查的最热点进行多角度、全方位的剖析，为你的备考精准定位，让你在年年变化的高考中立于不败之地.
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。本科毕业论文（设计）；题目：不等式恒成立问题与有解问题的探讨；学生：学号：；学院：数科院专业：数学与应用数学；入学时间：日；指导教师：职称：；完成日期：日；诚信承诺；我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《不等式恒成立问；承诺人（签名）：；日；不等式恒成立问题与有解问题的探讨；摘要：不等式恒成立问题与有解问题不
本科毕业论文（设计）
不等式恒成立问题与有解问题的探讨
专业： 数学与应用数学
入学时间：
指导教师：
完成日期：
诚 信 承 诺
我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《不等式恒成立问题与有解问题的探讨》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：
不等式恒成立问题与有解问题的探讨
要：不等式恒成立问题与有解问题不仅考查了函数、方程、数列、不等式等相关的传统的知识和方法，还考查了导数、极限等工具的掌握和灵活使用,具有思维性强、形式多样、综合性强等特点。这两类问题在高中数学中都占有很重的份量，解这两类问题掌握它们的解题思路和方法具有重要的意义。对于不等式恒成立问题，本文运用六种方法从构造函数、最值、分离参数、数形结合、变更主元、洛比达法则等不同的角度对一些题型进行归纳和总结；对于有解问题，针对它与最值、绝对值不等式和二次不等式的联系进行了探讨。
关键词：不等式；恒成立；有解；函数；最值
Inequality was constant and have the solution question discussion
Abstract: Inequality constant problem and solution of the problem not only examined the knowledge and methods of traditional function, equation, inequality, series of related, also examined the derivative, limit the tools such as master and flexibly use thinking, and has the characteristics of strong, diverse forms, integrated and strong. These two types of problems are very important in the high school mathematics, solving the two problems,is of great significance to master problem-solving ideas and methods . For inequality constant problem, this paper uses six kinds of methods from the constructor, the values of parameters, separation, combination of number and shape, alter main element, the derivation rule of different perspectives on some ques for the solution of the problem, this paper discusses it with the most value, absolute value inequality and two inequality relation.
Key words: I C A F The most value
1 引言（绪论）.....................................................1
2 不等式恒成立问题.................................................1
2.1 构造函数法.....................................................1
2.2 最值法.........................................................1
2.3 分离参数法.....................................................2
2.4 数形结合法.....................................................3
2.5 变更主元法.....................................................3
2.6 洛必达法则法...................................................4
2.6.1 洛必达法则...................................................4
2.6.2 使用洛必达法则解题...........................................5
3 不等式有解问题...................................................6
3.1 不等式有解问题与二次不等式的联系...............................6
3.2 不等式有解问题与绝对值不等式的联系.............................6
3.3 不等式有解问题与最值的联系.....................................6
4 不等式恒成立问题与有解问题的注意点...............................7
4.1 注意分清是恒成立问题还是有解问题...............................7
4.2 注意分清谁是变量谁是参数.......................................8
4.3 注意分清是同一变量还是不同变量.................................8
4.4 通过两个实例来具体体会上面注意点的运用.........................9
5 结束语...........................................................11
参考文献...........................................................12
致谢 ..............................................................13
不等式恒成立问题与有解问题在高中数学中不仅是重点也是难点，经常出现在近年来的高考以及各种考试中。它们涉及的内容广泛，综合性强，并且数学语言抽象。下面将分三个章节对这两类问题进行探究和归纳。
不等式恒成立问题
不等式恒成立问题中经常使用任意，所有，全，都，总，恒，均等这些量词，用符号?来表示。
构造函数法
构造函数法是解决不等式恒成立问题的一种很重要的思想方法。构造函数法，即构造适当的函数，然后根据相关的函数图像和性质来解决问题。同时应注意，在含有多个变量的数学问题中，必须要确定合适的变量和参数，从而可以使问题更加简单明了。一般来说，把已知存在范围的量看作变量，而待求范围的量看作参数。
例1 已知函数f?x??x2?2ax?2，在x??1时，恒有f?x??a，求实数a的取值范围。
解 令F?x??f?x??a?x2?2ax?2?a，则F?x??0对所有的x??1恒成立，而F?x?的图像是开口向上的抛物线，因此,
?当图像与x轴有交点时，且在x???1,???时F?x??0，只需
????0?a??2或a?1??F(?1)?0???3?a??2。 ??a??3
??2a?a??1????1?
?当图像与x轴无交点时，满足??0，即??4a2?4?2?a??0。
解得?2?a?1。
由??知，?3?a?1 。
故实数a的取值范围是??3,1?。
注记 在x???1,???上，要使f?x??a恒成立，构造一个新的函数F?x??f?x??a是解题的关键，然后再利用二次函数的图像性质进行分类讨论，这样就可以使问题得到顺利解决。
在求解不等式恒成立问题时，如果不等式一边的函数（或代数式）的最值比较容易求出来，可以直接求出这个最值，然后建立关于参数的不等式求解。
例2 已知f?x??x2?ax?3?a，若x???2,2?，f?x??2恒成立，求a的取值范
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　4、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和...则 a 的取值范围是 三、有解问题 不等式 f(x)&a, x∈D 有解(解集非空... 　1 其实在习题中,我们也给出了一种解恒成立问题的方法,即求出不等式 的解集...以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实,对于恒成立问题,有时 关键是能否看... 　不等式恒成立与有解问题 2页 免费 方程有解+不等式恒成立、... 2页 2下载...道题入手,结合其它一些实例,谈谈“恒成立”问题的几种解题思路,与大家共同探讨... 　本文根据高考题及高考模拟题总结了四种 常见的解决不等式恒成立问题的方法。 ...1 1 不等式 (2b) 有解。 有解。 解不等式② 解不等式②得 ? 1 2 ≤... 　恒成立问题与有解问题的区别_初二数学_数学_初中教育_教育专区。恒成立与有解 ...a+cos2x&5恒成立, 的取值范围。 例3、 已知当 x ∈ R 时, 不等式 a+... 　即只在 M 中有使不等式成立的元素即 可,即解集与 M 有公共元素即可; 问题 3 不等式在给定集合 M 上恒成立。即只要 M 内的元素都能满足不等式 即可,但... 　? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 ?ππ? ? ? 6 方程、不等式有解问题(存在性问题)(一)关于方程的实数解的问题 方程 f ( x) ? 0 有解... 　本文根据高考题及高考模拟题总结了四种 常见的解决不等式恒成立问题的方法。 法...2 2 2 1 在解综合性较强的恒成立问题时,有时一题多法。所以以题为本,... 　如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 不等式的恒成立问题与有解问题 隐藏&& 不等式的恒成立问题与有解问题 ...