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【 】??????????
线性代数.概率论与数理统计证明题500例解析
高等教育出版社图书发行部
出版日期：
读者对象：
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所属分类：
深入浅出数据分析
怎样解题-数学思维的..
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统计场论第1卷
普林斯顿微积分读本-(..
本书依据本科数学基础课程教学基本要求，参考研究生入学数学考试大纲，由多本线性代数和概率统计习题集、考研试题、数学竞赛题中选择约500道证明题进行归类、分析。有效地提高学生求解线性代数和概率统计证明题的效率，培养训练数学思想方法与掌握数学算理，引导学生探索证明题的基本求解思路。本书适用于理工类、经济类、管理类本科生学习，也适用于备考研究生的学生选作学习证明题的参考书。
&&& 本书是为了有效地提高学生求解线性代数和概率统计证明题的效率，培
养训练数学思想方法与掌握数学算理，引导学生探索证明题的基本求解思
路。怎样寻找有效途径可以达到证明目的?如果题目的已知条件不变化，而
证明的结论发生变化，证明的思路将发生什么变化?如果已知条件变化，而
证明的结论不变，证明的思路将发生什么变化?外观形式相仿的题目，证明
的思路是否相同?外观形式不同的证明题，它们的证明思路是否也不同?希
望能通过这种训练，有效地提高证明题的求解能力。
&&& 本书选题范围较广。依据本科数学基础课程教学基本要求，参考研究生
入学数学考试大纲，由多本线性代数和概率统计习题集、考研试题、数学竞赛
题中选择约500道证明题进行归类、分析
学习线性代数和概率统计，要求学生掌握其基本概念、基本性
质和基本方法。进一步还要求学生掌握其知识体系、知识框架，期
望学生通过学习这两门课程，提高抽象思维能力、逻辑推理能力、
空间想象能力、运算能力和运用所学知识分析问题和解决问题的
能力。学习数学证明题是学习数学过程中的重要环节之一。数学
证明问题通常是检查学生对基本知识掌握程度的重要手段，也是
培养学生各种能力的有效方法之一。
&&& 有效地提高解答数学证明题的效率是学生共同的目标，也是
数学教师普遍关心的问题。多年来经常看到有些数学习题集前后
相隔很远的地方出现的题目，虽然外观形式差异较大，但实质是同
一类题目，证明思路完全相同。学生常常是给出了前面题目的证
明，但是不知道后面的题目如何下手?有些考试试题或数学竞赛
题中出现的题目，是习题集中某个题目的特殊情形或推广形式，但
是考生得分率很低。这从某种程度上说明学生有个共性问题：需
要学习数学证明题的求解基本思想、需要学习掌握数学算理。
&&& 本书期望能解决上述问题，引导学生发掘更深层次的问题，本
书的主要特色为
&&& 1．对所选线性代数、概率论与数理统计证明题进行对比、分
&&& 将证明思路相同的题目、证明结论相同的题目、已知条件相同
的题目等集中对比，归纳，以引起读者注意证明的基本思想有何变
化?希望引导学生从这些数学证明问题的常见方法中，学习发现
数学的基本算理，培养训练数学思想方法，本书立意引导学生思考
所给问题的证明思路是什么?怎样寻找有效途径得到所要证明的
&结论?如果题目的已知条件不变化，而证明的结论发生变化，证明
的思路将发生什么变化?如果已知条件发生变化，而证明的结论
不变，证明的思路将发生什么变化?外观形式相仿的题目，是否证
明思路相同?外观形式不同的题目，是否证明的思路也不同?本
书希望读者通过这种训练，有效地提高证明题的求解能力，打牢数
&&& 2．选题范围较广(见书后的参考书目)。本书将一些形似或
方法相似的题目归纳到一起，意图引导读者对照学习，找出不同题
目之间的共性与差异，学习分析证明方法，从而有效地提高求解证
明题的能力。
&&& 本书为高等教育出版社出版的学习辅导系列之一。该系列辅
导书分别从概念与性质、基本运算、证明题三个侧面编写。包括
&&& (1)《高等数学证明题500例解析》，由北京航空航天大学徐
&&& (2)《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》，由南
开大学肖马成、周概容编写。
&&& (3)《考研数学焦点概念与性质》，由徐兵、肖马成、周概容
&&& (4)《考研数学历年真题解析与应试对策》(理工类)，由徐
兵、肖马成、周概容编写。
&&& (5)《考研数学历年真题解析与应试对策》(经济类)，由徐
兵、肖马成、周概容编写。
&&& 从某种意义上说，《考研数学焦点概念与性质》是针对概念与
性质的专项辅导书；《考研数学历年真题解析与应试对策》是对提
高运算能力有特殊作用的辅导书；《高等数学证明题500例解析》
与《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》是对提高求
解证明题能力有明显功效的辅导书。可以说为大学生学习高等数
学、线性代数、概率论与数理统计提供了一套全方位、有特色、有成
效的精品辅导书。这是几位教授几十年来教学经验与教学研究的
&总结与积累的成果。
&&& 本书题目的顺序安排基本上与教学同步，但是个别题目需要
利用后续知识才能证明，之所以将这些题目前移，是为了便于将这
些题目与前面相关题目进行对比，而这些题目都加了&*&，提请
读者注意。
&&& 本书适用于学习线性代数、概率论与数理统计的理工类、经济
类、管理类等本科学生学习使用，也适用于备考硕士研究生的学生
选作复习参考书。
作者于南开大学
& 2007年8月
第一篇& 证& 明& 题
第一章行列式&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．1．1& 行列式的定义与性质&&&&&&&&&&
&&& 1．1．2行列式按行(列)展开&&&&&&&&&&
第二章矩阵&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．2．1& 矩阵的概念、线性运算、乘积与转置&&&&
&&& 1．2．2逆矩阵&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．2．3& 矩阵的初等变换与初等矩阵及矩阵的秩&&
&&& 1．2．4& 分块矩阵&&&&&&&&&&&&&&&
第三章向量&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．3．1& 向量的线性组合及线性相关性&&&&&&
&&& 1．3．2& 向量组的极大线性无关组及向量组的秩&&
第四章线性方程组&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．4．1& 线性方程组解的判别& 齐次线性方程组的
&&& 基础解系和通解&&&&&&&&&&&&
&&& 1．4．2& 非齐次线性方程组解的结构及通解&&&&
第五章矩阵的特征值和特征向量&&&&&&&&&&&
&&& 1．5．1& 矩阵的特征值和特征向量&&&&&&&&
&&& 1．5．2相似矩阵及矩阵的对角化&&&&&&&&
&&& 1．5．3& 实对称矩阵的对角化&&&&&&&&&&
&第六章二次型&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．6．1& 二次型及其矩阵& 二次型的标准形及
&&& 规范形&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 1．6．2二次型及其矩阵的正定性概念及判别法&&
&&& 第二篇& 证明题解析
第一章行列式&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．1．1& 行列式的定义与性质&&&&&&&&&&
&&& 2．1．2行列式按行(列)展开&&&&&&&&&&
第二章矩阵&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．2．1& 矩阵的概念、线性运算、乘积与转置&&&&
&&& 2．2．2& 逆矩阵&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．2．3& 矩阵的初等变换与初等矩阵及矩阵的秩&&
&&& 2．2．4& 分块矩阵&&&&&&&&&&&&&&&
第三章向量&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．3．1& 向量的线性组合及线性相关性&&&&&&
&&& 2．3．2& 向量组的极大线性无关组及向量组的秩&
第四章线性方程组&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．4．1& 线性方程组解的判别& 齐次线性方程组
&&& 的基础解系和通解&&&&&&&&&&
&&& 2．4．2& 非齐次线性方程组解的结构及通解&&&
第五章矩阵的特征值和特征向量&&&&&&&&&&&
&&& 2．5．1& 矩阵的特征值和特征向量&&&&&&&
&&& 2．5．2相似矩阵及矩阵的对角化&&&&&&&
&&& 2．5．3& 实对称矩阵的对角化&&&&&&&&&
第六章二次型&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．6．1& 二次型及其矩阵& 二次型的标准形及
&&& 规范形&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 2．6．2二次型及其矩阵的正定性概念及判别法&
&第一篇& 证& 明& 题
第一章随机事件和概率&&&&&&&
&&& 1．1．1& 事件及其关系和运算&
&&& 1．1．2事件的概率&&&&&
&&& 1．1．3& 独立事件和独立试验&
第二章随机变量及其分布&&&&&&
&&& 1．2．1& 随机变量的分布函数&
&&& 1．2．2& 离散型随机变量&&&
&&& 1．2．3& 连续型随机变量&&&
第三章& 多维随机变量的分布&&&&&
&&& 1．3．1& 联合分布的一般性质&
&&& 1．3．2& 多元正态分布&&&&
&&& 1．3．3& 随机变量的独立性&&
&&& 1．3．4& 随机向量函数的分布&
第四章随机变量的数字特征&&&&&
&&& 1．4．1& 一般性质&&&&&&
&&& 1．4．2& 概率论中常见的不等式
&&& 1．4．3& 随机变量的相关性&&
第五章& 中心极限定理&&&&&&&&
&&& 1．5．1& 依概率收敛和大数定律
&&& 1．5．2& 中心极限定理&&&&
第六章& 数理统计的基本概念(抽样分布)
&&& 1．6．1& 总体、样本和统计量&&
&&& 1．6．2& 正态总体的常用抽样分布
&&& 1．6．3极限抽样分布&&&&
&第七章参数估计&&&&&&&&&&&&
&&& 1．7．1& 未知参数的点估计&&&&
&&& 1．7．2求估计量的方法&&&&&
&&& 1．7．3& 正态总体参数的估计&&&
&&& 1．7．4& 非正态总体参数的区间估计
第八章假设检验与比较&&&&&&&&&
&&& 1．8．1& 假设检验的两类错误&&&
&&& 1．8．2正态总体参数的显著性检验
&&& 1．8．3& 比率的显著性检验&&&&
&&& 第二篇& 证明题解析
第一章随机事件和概率&&&&&&&&&
&&& 2．1．1& 事件及其关系和运算&&&
&&& 2．1．2事件的概率&&&&&&&
&&& 2．1．3& 独立事件和独立试验&&&
第二章随机变量及其分布&&&&&&&&
&&& 2．2．1& 随机变量的分布函数&&&
&&& 2．2．2& 离散型随机变量&&&&&
&&& 2．2．3连续型随机变量&&&&&
第三章& 多维随机变量的分布&&&&&&&
&&& 2．3．1& 联合分布的一般性质&&
&&& 2．3．2& 多元正态分布&&&&&
&&& 2．3．3& 随机变量的独立性&&&
&&& 2．3．4& 随机向量函数的分布&&
第四章随机变量的数字特征&&&&&&
&&& 2．4．1& 一般性质&&&&&&&
&&& 2．4．2& 概率论中常见的不等式&
&&& 2．4．3& 随机变量的相关性&&&
&第五章& 中心极限定理&&&&&&&&&&
&&& 2．5．1& 依概率收敛和大数定律&&
&&& 2．5．2& 中心极限定理&&&&&&
第六章数理统计的基本概念(抽样分布)& &
&&& 2．6．1& 总体、样本和统计量&&&&
&&& 2．6．2&&& 态总体的常用抽样分布&
&&& 2．6．3极限抽样分布&&&&&&
第七章参数估计&&&&&&&&&&&&
&&& 2．7．1& 未知参数的点估计&&&&
&&& 2．7．2求估计量的方法&&&&&
&&& 2．7．3&&& 态总体参数的估计&&&
&&& 2．7．4& 非正态总体参数的区间估计
第八章假设检验与比较&&&&&&&&
&&& 2．8．1& 假设检验的两类错误&&&
&&& 2．8．2 正态总体参数的显著性检验
&&& 2．8．3& 比率的显著性检验&&&
参考书目&&&&&&&&&&&&&&&
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1.75亿学生的选择
概率论的问题设ξ与η的密度函数为p（x,y）,求证ξ与η相互独立的充分必要条件为p（x,y）可分离变量,即p（x,y）=g（x).h(y).
小然然1248
①若ξ与η相互独立,则p(x,y)=pξ(x)*pη(y),即p(x,y)可分离变量②反之,若p(x,y)=g(x)*h(y),令c=∫R g(x)dx,d=∫R h(y)dy则pξ(x)=∫R p(x,y)dy=∫R g(x)h(y)dy=d*g(x)pη(y)=∫R p(x,y)dx=∫R g(x)h(y)dx=c*h(y)由1=∫R pξ(x) dx可知c*d=1故p(x,y)=pξ(x)*pη(y),即ξ与η相互独立!
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概率论一道证明题 若X与Y独立,证明：D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)那两个2是平方
DXY=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2=EX^2EY^2-(EX)^2(EY)^2=[DX+(EX)^2][DY+(EY)^2]-(EX)^2(EY)^2=DXDY+(EX)^2DY+(EY)^2DX得证
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kongdak1056
P(B|A)+P(非B|非A)=P(AB)/P(A)+ P(非A非B)/P(非A)=P(AB)/P(A)+ [1-P(A∪B]/[1-P(A)])=P(AB)/P(A)+ [1-P(A)-P(B)-P(AB)]/[1-P(A)]={P(AB)[1-P(A)]+P(A)[1-P(A)-P(B)+P(AB)]}/P(A)[1-P(A)]=[P(AB)-P(A)P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)+P(A)P(AB)]/P(A)[1-P(A)]=[P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)]/P(A)[1-P(A)]=1所以P(AB)+P(A)-P(A)^2-P(A)P(B)=P(A)[1-P(A)]=P(A)-P(A)^2,化简得P(AB)=P(A).P(B),故A和B相互独立.把我的答案在本子上写一遍会好些,这样有点乱.
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这是AB相互独立的冲要条件，大概跟你说说方法吧，没时间帮你推，利用条件概率公式，P(B|A)=p（AB）/p（A），还有就是利用P(非B|非A)=1-P(B|非A)，最后目的是化成P(B|A)+P(非B|A)=1，呵呵~练练你的计算能力吧
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