群论可以解决什么问题和拓扑学有什么关系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-16 22:25 标签： 拓扑学有什么用
什么是“泛函”?什么是拓扑？和泛函有关系吗？
血刺█好好qP8
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科.它是20世纪30年代形成的.从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的,它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题,可看作无限维的分析学.泛函分析的产生十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段.这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论.这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽.随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念.由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响.这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析.在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了.比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间.泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容.因袭,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中.泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论.他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了.半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一.泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用.
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组合群论(combinatorial group theory)群论分支之一基于群的呈示对群进行研究的学科
组合群论(combinatorial group theory)[1]
群论分支之一基于群的呈示对群进行研究的学科.从1901年到1914年，马克思·邓(MaxDehn)发表了一系列具有深远影响的论文.这些论文提出的下述问题标志着组合群论的诞生:对给定的一类群，是否都是有限的(即伯恩赛德问题)?是否都是有限呈示的?其子群是否仍是此类群?以及三大群论问题:群的字问题、群的元素的共扼问题、群的同构问题.组合群论的目的就是结合拓扑学(例如，一个连通的拓扑空间的基本群可以用一个呈示予以刻画)、同调代数(例如，群的上、下同调)和数理逻辑(例如，群的有关判定问题、自动机群、群的邓函数)等学科的理论工具、技巧和方法，发展代数的技巧和方法，利用群的呈示解决群论中的问题(包括上述问题).“组合”一词也源于此，而与组合数学却没有直接的联系.(你会想我吗？)
(只若初见)
(哔。黑猫警嫂。)
第三方登录：拓扑学是一门什么样的几何学?
点集拓扑分析学是基于“极限”这一概念(或者是“收敛”),进而研究各种空间但是如果没有“极限”这一概念,那该怎样研究各种奇葩的空间?答案是:基于“开集”,也就是点集拓扑举个栗子,在直线R上,开集如果定义成形如 (a,b) 这样的区间,就得到欧式拓扑,或者叫通常拓扑如果定义成形如 [a,b) 这样的区间,得到的拓扑就称作Sorgenfrey拓扑如果定义成形如 [x,+00)或者(x,+00) 这样的区间,就是Alexandroff拓扑原谅我用 00 表示无穷.懒得打公式了.上述三种拓扑空间有什么区别?继续我们的栗子现在我们定义“收敛”:x(n)收敛于x,指的是,任给x的一个领域U,存在N使得,对任意k>N,x(k)都在U里面现在我们考虑序列 x(n) = [(-1)^n]/n在欧式拓扑中 x(n) 收敛于0 (这很直观)在Sorgenfrey拓扑中,x(n) 不收敛 (什么?.)在Alexandroff拓扑中,x(n) 收敛于任意小于0的实数 (你的三观还完好不?)2.代数拓扑是非数学专业的孩子见到的听到的实际上是这个东西,也就是研究各种连续变换下空间的不变量什么的简单得理解,就是捏橡皮泥了……为什么要叫”代数“拓扑?因为讨论里面的对象,需要用到群论什么
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