数学分析的教材很多，由常庚哲、史济怀编著，中科大出版社出版的《数学分析教程》一定是口碑最好的之一。难度中等偏上，很多其他数分教材没有的证明过程，书里也有详细的向读者展现。《数学分析教程》为普通高等教育“十五”国家级规划教材，在国内同类教材中有着非常广泛和积极的影响。 本教材分上、下两册。本书为上册，内容包括实数和数列极限，函数的连续性，函数的导数，Taylor定理，求导的逆运算，函数的积分，积分学的应用，多变量函数的连续性，多变量函数的微分学，以及多项式的插值与逼近初步(附录)。书中配有丰富的练习题，可供学生巩固基础知识；同时也有适量的问题，可供学有余力的学生练习，并且书后附有问题的解答或提示，以供参考。 本书可供综合性大学和理工科院校的数学系作为教材使用，也可作为科研人员的参考书。上册目录总序第3版前言第2版前言第1章 实数和数列极限&1.1 实数&1.2 数列和收敛数列&1.3 收敛数列的性质&1.4 数列极限概念的推广&1.5 单调数列&1.6 自然对数的底e&1.7 基本列和Cauchy收敛原理&1.8 上确界和下确界&1.9 有限覆盖定理&1.10 上极限和下极限&1.11 Stolz定理第2章 函数的连续性&2.1 集合的映射&2.2 集合的势&2.3 函数&2.4 函数的极限&2.5 极限过程的其他形式&2.6 无穷小与无穷大&2.7 连续函数&2.8 连续函数与极限计算&2.9 函数的一致连续性&2.10 有限闭区间上连续函数的性质&2.11 函数的上极限和下极限&2.12 混沌现象第3章 函数的导数&3.1 导数的定义&3.2 导数的计算&3.3 高阶导数&3.4 微分学的中值定理&3.5 利用导数研究函数&3.6 L’Hospital法则&3.7 函数作图第4章 一元微分学的顶峰——Taylor定理&4.1 函数的微分&4.2 带Peano余项的Taylor定理&4.3 带Lagrange余项和cauchy余项的Taylor定理第5章 求导的逆运算&5.1 原函数的概念&5.2 分部积分法和换元法&5.3 有理函数的原函数&5.4 可有理化函数的原函数第6章 函数的积分&6.1 积分的概念&6.2 可积函数的性质&6.3 微积分基本定理&6.4 分部积分与换元&6.5 可积性理论&6.6 Lebesgue定理&6.7 反常积分&6.8 数值积分第7章 积分学的应用&7.1 积分学在几何学中的应用&7.2 物理应用举例&7.3 面积原理&7.4 Wallis公式和Stirling公式第8章 多变量函数的连续性&8.1 n维Euclid空间&8.2 Rn中点列的极限&8.3 Rn中的开集和闭集&8.4 列紧集和紧致集&8.5 集合的连通性&8.6 多变量函数的极限&8.7 多变量连续函数&8.8 连续映射第9章 多变量函数的微分学&9.1 方向导数和偏导数&9.2 多变量函数的微分&9.3 映射的微分&9.4 复合求导&9.5 曲线的切线和曲面的切平面&9.6 隐函数定理&9.7 隐映射定理&9.8 逆映射定理&9.9 高阶偏导数&9.10 中值定理和Taylor公式&9.11 极值&9.12 条件极值附录 多项式的插值与逼近初步——Bezier曲线和Coo曲面举例问题的解答或提示索引下册目录总序第3版前言第2版前言第10章 多重积分10.1 矩形区域上的积分10.2 Lebesgue定理10.3 矩形区域上二重积分的计算10.4 有界集合上的二重积分10.5 有界集合上积分的计算10.6 二重积分换元10.7 三重积分10.8 n重积分10.9重积分物理应用举例第11章 曲线积分11.1第一型曲线积分11.2第二型曲线积分11.3 Green公式11.4 等周问题第12章 曲面积分12.1 曲面的面积12.2第一型曲面积分12.3第二型曲面积分12.4 Gauss公式和Stokes公式12.5 微分形式和外微分运算第13章 场的数学13.1 数量场的梯度13.2 向量场的散度13.3 向量场的旋度13.4 有势场和势函数13.5 旋度场和向量势第14章 数项级数14.1 无穷级数的基本性质14.2 正项级数的比较判别法14.3 正项级数的其他判别法14.4 任意项级数14.5 绝对收敛和条件收敛14.6 级数的乘法14.7 无穷乘积第15章 函数列与函数项级数15.1 问题的提出15.2 一致收敛15.3 极限函数与和函数的性质15.4 由幂级数确定的函数15.5 函数的幂级数展开式15.6 用多项式一致逼近连续函数15.7 幂级数在组合数学中的应用15.8从两个著名的例子谈起第16章 反常积分16.1 非负函数无穷积分的收敛判别法16.2 无穷积分的Dirichlet和Abel收敛判别法16.3 瑕积分的收敛判别法16.4 反常重积分第17章 Fourier分析17.1 周期函数的Fourier级数17.2 Fourier级数的收敛定理17.3 Fourier级数的Cesfiro求和17.4 平方平均逼近17.5 Fourier积分和Fourier变换第18章 含参变量积分18.1 含参变量的常义积分18.2 含参变量反常积分的一致收敛18.3 含参变量反常积分的性质18.4 r函数和B函数问题的解答或提示索引《数学分析教材》上下册总共定价88元。请点击阅读原文购买另外以下图书长期有售，有兴趣的读者请进点击下面链接查看购买信息。哆嗒数学网(DuoDaaMath)　
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三重积分教案 正文
三重积分教案
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篇一：三重积分教案(转 载于: 在 点 网:三重积分教案) 第十章 重积分
一、教材依据和参考：《高等数学（第五，六版）》 同济大学主编 高等教育出版社《数学分析讲义（第三版）》 刘玉琏等主编 高等教育出版社《数学分析》华东师大主编 高等教育出版社 《数学的思想、方法与应用》 张顺燕编著 北京大学出版社 《高等数学学习指南》 高仪新主编 东北师范大学出版社 二、教材分析及教学任务 从本章开始进入多元函数积分学，微积分分为微分学和积分学两部分经过长期发展，系统的微分法和积分法给出了几何学以及各自然学科中产生的直关概念所需的精确描述。 教学目的：（1）掌握二重积分的概念及计算的计算方法（直角坐标、极坐标） （2）掌握三重积分的概念计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）； （3）应用重积分求一些几何量与物理量（面积、体积、质量等）。 教学重点：二重、三重积分的定义、计算及应用。
教学难点：二重、三重积分的计算。 主要教学方法：（1）从实际问题出发，在解决实际问题的时候抽象出积分概念，把数学建模 的思想融入到高等数学的教学中，培养“提出问题――分析问题――解决问题”的理论与实际结合能力。 （2）充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学， 注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。 （3）同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍 和数学方法的应用，提高教学效果。
三、学生能力分析 1.现有知识储备：定积分以及二重积分的概念，应用及其计算。 2.现有能力特征：具有一定归纳、类比、抽象思维能力。 四、教学准备：复习定积分和二重积分10.3三重积分
积分的概念是高等数学中最重要的概念之一，是学习专业课必备的基础知识，在工程和经济领域中也有着广泛的应用，我们将从解决实际的问题中抽象出三重积分的概念，并寻求三重积分的解法 一、 1．概念 课程设计 （提出问题）（分析问题）
（解决问题）
（应用） 2．计算 ?? D f(x,y)d? 二次积分（相当两次定积分） f(x,y,z)dv ??? ? 二、教学目标 1.知识目标：通过三重积分概念的形成过程，了解三重积分概念的实际背景，从而掌握三重 积分的概念。从而理解三重积分的几何一意义，物理意义。 2.能力目标：通过实例分析，让学生从实际问题抽象出数学模型，深刻理解“大化小――常 代变――近似和――取极限”的思想。有利于实际应用能力的提高以及后续课程数学建模等的学习。 三、教学重点和难点 1. 教学重点：三重积分的计算 （直角坐标、柱坐标、球坐标） 2. 教学难点：对三重积分的理解（ 不能死背定义中公式）一、 引例：
通过视频将日常生活中的现象融入到教学过程之中，通过演绎积分 的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构积分的概念。
vk kk,?k)已知一密度不均匀的物体，求其质量。
大化小――常代变――近似和――取极限 质量为M?lim ??0 ?f?x,y,z??V i i i i i?1 n
二、导数的定义 定义1：设f?x,y,z?是空间R中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V 3 任意分割为若干个可求体积的小闭区域V1,V2,...,Vn，这个分割也称为V的分划，记为P: oo V1,V2,...,Vn. Vi?Vj??(空, i?j), 其体积分别是?V1,?V2,...,?Vn，直径分别是 d1,d2,...,dn．设??maxd{d,n},或记为||P||. 在每个小区域中任意取一点1,d2,... ?xi,yi,zi??Vi，作和?f?xi,yi,zi??Vi(称为 i?1 n Riemann和)，若当??0时，这个和式 的极限存在，则称其极限为函数f?x,y,z?在区域V上的三重积分，记为 ???f?x,y,z?dV．并称函数f?x,y,z?在区域V上可积．f?x,y,z?称为被积函数,x,y,z 称 V 为积分变量., V称为积分区域. 特别地，在直角坐标系下，可以记为 ???f?x,y,z?dxdydz． V我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略). 1. 若f?x,y,z?是有界闭区域V上的连续函数，则函数f?x,y,z?在区域V上可积． 2. 若f?x,y,z?=1时, ???dxdydz V ?V的体积. 3. 若f?x,y,z?在有界闭区域V上的间断点集合是0体积时, f?x,y,z?在V可积. 三、三重积分的性质． １．（线性性质）（1）可积函数的和（或差）及积仍可积. (2)和（差）的积分等于积分的和(差)． (3)可积函数的函数k倍仍可积. 其积分等于该函数积分的k倍． ２．(积分区域可加性) ???f?x,y,z?dV????f?x,y,z?dV????f?x,y,z?dV ? ?1 ?2 其中?是可求体积的有界闭区域，f求体积的闭区域?1,?2之并，则 ?x,y,z?在?上可积，?分为两个无共同内点的可 ． f?x,y,z?在?1,?2上可积，并有
四、三重积分的计算（利用直角坐标系） 1． 投影法（先一后二） b ??? ? f?x,y,z?dV??dx??f?x,y,z?dydz??dx? a D b y2?x? a y1?x? dy? z2?x,y? z1?x,y? f?x,y,z?dz 说明此方法： 我们现在z轴上做积分，暂时将x,y看成是常数．把函数f?x,y,z?看作是z的函数，将它在区间[z1?x,y?,z2?x,y?]上积分得到 “线”的质量 z2?x,y? ?? 域Dxy上做二重积分 “体”的质量 z1x,y? f?x,y,z?dz． 显然这个结果是x,y的函数，再把这个结果在平面区 z2?x,y? ???z?x,y?f?x,y,z?dz??dxdy． ?1? Dxy ?? 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结
果．若平面区域Dxy可以用不等式a?x?b,y1?x??y?y2?x?表示，则 ??? ? f?x,y,z?dV??dx? a b y2?x? y1?x? dy? z2?x,y? z1?x,y? f?x,y,z?dz． 这个公式也将三重积分化为了三次积分． 2．截面法（先二后一） ???f?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?dxdy ? a Dz b 说明此方法： 如右图, a≤z≤b, z=z与?的截面面积为Dz
, 不难得到,若函数f?x,y,z?在?上的可积, 则 “面”的质量 b ?? Dz f?x,y,z?dxdy “体”的质量 z a??? ? f?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?dxdy a Dz b
例题1：计算三重积分体区域． 分析：按积分计算步骤： 1)描述?，2)根据对?的描述选择方法，3)转换为三次积分。 解
积分区域如图所示，可以用不等式表示为 ???xdV，其中?是由三个坐标面和平面x?y?z?1所围的立 ? 0?x?1,0?y?1?x,0?z?1?x?y， 所以积分可以化为 篇二：重积分的应用 篇三：利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教案 高等数学教案 篇四：第十章____重积分(高等数学教案) 重积分 【教学目标与要求】 1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 【教学重点】 1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。 【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。 【教学课时分配】
(10学时) 第1 次课
１ 第2 次课
2 第3 次课
3 第4 次课
第5次课 习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
二重积分的概念与性质 【回顾】定积分 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 求直线x?a、x?b、y?0 及曲线y?f (x)所围成的曲边梯形的面积? (1)分割：用分点a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把区间[a? b]分成n个小区间? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 记?xi?xi?xi?1 (i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 f(?i)?xi (i?1? 2? ? ? ? ? n)? （3）作和：曲边梯形面积A的近似值为 A??f(?)?x?
ii i?1 nn (4)取极限：记??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲边梯形面积的精确值为 A?lim??0?f(?)?x?
?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n
二重积分的概念与性质 一、引例 1? 曲顶柱体的体积V 设有一立体? 它的底面是xOy面上的闭区域D? 其侧面为母线平行于z轴的柱面? 其顶是曲面z?f(x? y)非负连续? 称为曲顶柱体? 若立体的顶是平行于xoy面的平面。 体积=底面积?高 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积? （i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线? 作母线平行于z轴的柱面? 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体?（ii）代替：在每个?? i中任取一点(? i ? ? i)? 以f (? i ? ? i)为高而底为?? i的平顶柱体的体积为 f (? i ? ? i) ??i
(i?1? 2? ? ? ? ? n )? （iii）近似和： 整个曲顶柱体体积V V??f(?i,?i)??i? i?1n 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得&无限细&, 则右端近似值会无限接近于精确值V. （iv）取极限： 记
??max{?i的直径},1?i?n
其中??i的直径是指??i中相距最远的两点的距离。 则 V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i ??0i?1n 2? 平面薄片的质量? 当平面薄板的质量是均匀分布时, 质量 = 面密度×面积. 若平面薄板的质量不是均匀分布的. 这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如 何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D? 它在点(x? y)处的面密度为?(x,y)? 这 里?(x,y)非负连续? 现在要计算该薄片的质量M? （i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? （ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量? mi??(? i ? ? i)?? i ? （iii）近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值? M???(?i,?i)??i? i?1n将分割加细? 取极限? 得到平面薄片的质量 （iv）取极限：记??max{?的直径},i1?i?n 则
M?lim??(?i,?i)??i?
??0i?1n 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同： “分割, 代替, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积: V?lim?f(?i,?i)??i ??0i?1n 平面薄片的质量: M?lim??(?i,?i)??i ??0i?1n 二、二重积分的定义及可积性 定义： 设f(x? y)是有界闭区域D上的有界函数? 将闭区域D任意分成n个小闭区域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 其中?? i表示第i个小区域? 也表示它的面积? 在每个?? i上任取一点(? i? ?i)? 作和
?f(?i,?i)??i? i?1n 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在闭区域D上的二重积分? 记作??f(x,y)d?? 即 D lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dn f(x? y)被积函数? f(x? y)d?被积表达式? d?面积元素? x? y积分变量? D积分区域? 积分和?直角坐标系中的面积元素? 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D? 那么除了包含边界点的一些小闭区域外? 其余的小闭区域都是矩形闭区域? 设矩形闭区域??i的边长为?xi和?yi? 则??i??xi?yi? 因此在直角坐标系中? 有时也把面积元素d? 记作dxdy? 而把二重积分记作??f(x,y)dxdy D 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素? 二重积分的几何意义? 如果f(x? y)?0? 被积函数f(x? y)可解释为曲顶柱体的在点(x? y)处的竖坐标? 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积? 如果f(x? y)是负的? 柱体就在xOy 面的下方? 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积? 但二重积分的值是负的? 说明：当函数f(x? y)在闭区域D上连续时? 则f(x? y) 在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x? y)在闭区域D上连续，所以f(x? y) 在D上的二重积分都是存在的。 例1.利用二重积分定义计算： 三. 二重积分的性质 设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。 性质1
??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。 D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?? DDD 性质2 设k为常数，则 性质3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? DD??1?d????d??|D|，其中(|D|为D的面积)? DD 性质4 设D?D1?D2，且D1,D2无公共内点，则 ??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?? DD1D2 性质5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 则 ??f(x,y)d????g(x,y)d?? DD 特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，则 ??f(x,y)d??0 D （2） |??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?? DD 这是因为?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)| 性质6 设M、m分别是f(x? y)在闭区域D上的最大值和最小值? |D|为D的面积? 则篇五：21.5 三重积分
5 三重积分 教学目的
掌握三重积分的定义和性质． 教学内容
三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义1
设f?x,y,z?是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于V的任何分割T，当它的细度??时，属于T的所有积分和
都有 i ?f(?,?,? i i i?1 N )??i?J?? , 则称f?x,y,z?在V上可积，数J称为函数f?x,y,z?在V上的三重积分，记作 J= ???f?x,y,z?dvdydz V ， 其中f?x,y,z?称为三重积分的被积函数，x,y,z称为积分变量，称为V积分区域． 1可积函数类 （）有界闭区域V上的连续函数必可积. （）有界闭区域V上的有界函数f?x,y,z?的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f?x,y,z?必在V上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理21.15
若函数f?x,y,z?在长方体V=?a,b???c,d???e,f?上的三重积分存在，且对任何x??a,b?，二重积分 f?x,y,z?dydz??I?x?= D 存在，其中D=?c,d???e,f?，则积分 ?dx??f?x,y,z?d? a b D
也存在，且 ???f?x,y,z?dxdydz?dx??f?x,y,z?d? V b =a D . (1) 证明
用平行于坐标轴的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体 vijk=?xi?1,xi??yj?1,yj??zk?1,zk?， 设Mijk,mijk分别f?x,y,z?为在vijk上的上、下确界．对于?xi?1,xi?上任一点?i，在 ?? Djk=yj?1,yj??zk?1,zk?上有 mijk?yj?zk? 现按下标j,k相加，则有 ?? Djk ??f??,y,z?dydz i ?Mijk?yj?zk， ???f??,y,z?dydz??f??,y,z?dydz ==I???， i j,kDjk i D i 及 i,j,k ?m ijk ?yj?k??I??i??xi? i i,j,k ?M ijk ?yj?zk ， (2) 上述不等式两边是分割T的上和与下和．由于f?x,y,z?在V上可积，当T?0
2时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得I?x?在?a,b?上可积且 ?I?x?dx???f?x,y,z?dxdydz a b = V . 可化为累次积分计算， 由
2知道，（1）式右端中的二重积分 ??f?x,y,z?d? D 于上我们就能把（1）左边的三重积分化为三次积分来计算．如化为先对z，然后对y，最后对x来求积分，则为 ???f?x,y,z?dxdydz?dx?dy?f?x,y,z?dz V bdf =a ce . 为了方便有时也可采用其他的计算顺序． 若简单区域V由集合 ?x,y,z?z1?x,y??z?z2?x,y?,y1?x??y?y2?x?,a?x?b? V?? 所确定，V在xy平面上的投影区域为 D=?x,yy1?x??y?y2?x?,a?x?b ?? 是一个x型区域，设f?x,y,z?在上连续，z1?x,y?，z2?x,y?在D上连续，y1?x?， y2?x?上?a,b?连续，则 ???f?x,y,z?dxdydz??dxdy??f??x,y,z?dz?dx???dy??f??x,y,z?dz V z2b y2?x? z2 = D z1x,y =a y1xz1x,y ， 其他简单区域类似． 一般区域V上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算． 1 dxdydz22??? 例1 计算Vx?y，其中V为由 平面x?1,x?2,z?0,y?x,z?y所围的区域. 11 dxdydzdxdydz22???22???x?y 解
Vx?y= y dxdy22??10x?y 2 x 2 x y
11ln2dxln2?22=1=. 2
3?x2y2z2?x2y2z2????dxdydz?2?2?1????a2b2c2?2 V??Vabc例2求，其中为. x2y2z2 dxdydz???2dxdydz???2dxdydz2??? 解I=Va+Vb+Vc， x2x2 y2z2x2dxdydzdxdydz?aa2???2?1?22???2aR?RxxVbca,即 而=，而为区域： a y2 ?x? b??1?a2???? 2 2 ? z2?x? c??1?a2???? 2 2 ?1 ?x2 ?bc??1?a2 ?，其面积为? ?? ?，故 a ?x2x2x2 1?2dxdydz?2bc??2????aVa=?aa ?4??abc?dx ?=15， y2z2 dxdydz???2dxdydz4?abc2??? 同样可得Vb=Vc=15， 所以I?3? 44 ?abc??abc. 155 三、三重积分换元法 设变换T：x?x?u,v,w?，y?y?u,v,w?，z?z?u,v,w?把uvw空间中的区域V?一对一地映成xyz空间中的区域V，并设函数x?x?u,v,w?，y?y?u,v,w?， z?z?u,v,w?及它的偏导数在区域V?内连续且行列式 ?x?u?y?u?z J?u,v,w?=?u ?x?v?y?v?z?v ?x?w?y?w?z ?w?0 , ?u,v,w??V?, 则 ???f?x,y,z?dxdydz???f?x?u,v,w?,y?u,v,w?,z?u,v,w??J?u,v,w?dudvdw V = V? ，（4） 其中f?x,y,z?在V上可积． （一）、柱面坐标变换 如下图所示 4?x?rcos?,0?t???? ?y?rsin?,0???2??z?z,???z??? 变换T：?， cos? ?rsin?rcos?
001r=， J?r?,z?= sin?0
按（4）式 ???f?x,y,z?dxdydz???f?rcos?,rsin?,z?rdrd?dz V = V? ， 这里V?为V在柱面坐标变换下的原象． 在柱面坐标中： r=常数，是以z轴为中心轴的圆柱面； ?=常数，是过z轴的半平面； z=常数，是垂直于z轴的平面． ?x,y,zz1?x,y??z?z2?x,y?,?x,y??D?时 若V在平面上的投影区域D，即V=? ???f?x,y,z?dxdydz??dxdy??f??x,y,z?dz V z2?x,y? = D z1x,y ， 其中二重积分部分应用极坐标计算． 例3 计算的区域． 22 解
V在平面上的投影区域D为x?y?2 ????x V 2 ?y2dxdydz ? 22 ，其中V是由曲面2x?y?z与z?4为界面 ??
????x V 2 ?y2dxdydz ? = 2 4 ???r V? 3 drd?dz
2? =?d??dr
2r2 ? r3dz? 8?3 .
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摘要………………………………………………………………………………………I
关键词…………………………………………………………………………………I
Abstract………………………………………………………………………………I
Key words……………………………………………………………………………Ⅱ
前言………………………………………………………………………………1
二重积分的概念及其计算方法…………………………………………………1
2.1 二重积分的定义…………………………………………………………1
2.2 二重积分的性质…………………………………………………………2
2.2.1二重积分的线性性质 2
2.2.2二重积分的对区域的可加性质 2
2.2.3二重积分的不等式性质 2
2.2.4二重积分的中值定理 3 2.2.5对称区域上奇偶函数的积分性质
2.3二重积分的计算方法 3 2.3.1直角坐标系下的二重积分的计算 2.3.2二重积分的积分次序的正确选择 2.3.3用极坐标计算二重积分
三重积分的概念及其计算方法 4
3.1三重积分的定义 4
3.2三重积分的计算方法 5
3.2.1利用直角坐标计算三重积分 5
3.2.2利用柱面坐标计算三重积分 5
3.2.3利用球面坐标计算三重积分 6
二、三重反常积分的计算 8
4.1 二、三重反常积分的计算 8
参考文献 13
重积分的计算方法与技巧
要 重积分的计算是数学分析与高等数学中的重要内容，并且重积分的计算是一个重要的研究课题，它对于全面掌握函数知识有着重要的作用。它在解决许多实际问题的时候有着重要地位，它广泛应用于理论力学，材料力学，水力学及其他一些工程学科中。 本文从二重积分的计算问题进行研究， 包括二重
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考研数学三六大阶段复习经验分享
10:31:46 来源：新东方在线
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　　数学三是很多同学迈不过去的坎，他们大都出身文科但志向于经济，有很多本科几乎没有学过数学。0基础必定会面对更多的问题，分享一位师姐的前车之鉴。　　我一直想给数学基础很差的同学写我复习数学的感悟，因为我觉得他们是最需要得到帮助的一群人，现在我有时间这么做了。这次数学考的并不理想，大概在100分左右。但我想这并不影响我给你们提供一些经验，每一个认真复习过的人都可以通过自己的经历给后来人一些帮助。好比我不能像雷大侠一样给你们总结出每门课的框架，但是雷大侠可能也无法体会到0基础全靠自学所面临的一些困难。　　首先我要对那些为了梦想决心啃下数学这块硬骨头的同学竖起大拇指。据我所知，不少人因为数学差而选择了其他专业，毫无基础来应付的确是个不小的挑战。但是我相信经过一年的扎实复习数学是可以过120分的，我的基础应该不会比大家好(大学的确是什么都没学)，复习过程中的一些内因与外因导致了我的数学考的并不是很理想。所以我想把我复习的历程做一个总结，希望大家能得到一些经验教训。相信我，只要你努力，120没问题!为了方便大家前面的复习，我将对教材进行比较详细的讲解。因为好像不少人看了大纲也不太清楚具体书上有那些知识点不考。　　?阶段一 教材　　教材的选用上论坛有很多经验之贴，大家可以参考。我们大学发的是吴传生的经济类教材，我的感觉是并不适合自学，工程数学讲的要好些。于是有些同学关心到经济应用的问题，我的想法是经济应用是比较简单的，内容也不多，可以直接在复习全书阶段复习就够了。对于书上的习题，因为你基础不好一定要好好做，买一本对应的习题解析，动手写出来再对答案。当然有些地方不用看不用做的，下面我依照自己用的教材详细讲一讲。　　1、高等数学(微积分)　　这部分我用的同济大学的高等数学，一共两册，是很不错的教材。　　(1)函数与极限　　这一章前面要熟悉几个常见初等函数的图形。反双曲正弦等我没看，个人觉得看不看无所谓。用定义证明极限大纲是不要求的，但是这部分例题应该看看，对理解极限的定义有好处，而极限的定义是选择题爱考的知识点。一致连续性这节大纲不要求。　　(2)导数与微分　　这章相对简单。由参数方程所确定的函数导数，相关变化率不考，微分近似计算不考。　　(3)中值定理与导数应用　　这一章比较难，但也是考试重点，主要是证明题。几个中值定理理解起来并不困难，但是运用起来会有困难，所以得多做题目练练，这几个定理要学会证明。泰勒公式可能开始看起来比较抓狂，其实这个证明考试应该不会考，太复杂。但是这个公式十分重要，要学会应用，而且应用起来并不困难，所以一定要掌握。后面的曲率，方程近似解都不考。(另外书中凡是有关工程应用的例题和习题都不用看)　　(4)不定积分　　这部分书上给的习题并不难，要好好做，全书上的一些题目到很让人抓狂。有理函数的积分好像大纲已经不要求了，10年全书上还留着，可以看看，对计算一些积分有好处。积分表大纲是不要求的。　　(5)定积分　　这章很重要，变限积分经常考。要搞清楚变限积分，不定积分，定积分的区别。什么样的条件下有原函数，什么条件下可积，可积和原函数存在是没有关系的。可能刚开始看的时候会有些混，仔细看书不要慌，后面的复习也会复习到的。第五节反常积分的审敛法Γ函数大纲是不要求的。但是我要说说Γ函数，当时我没有认真看真有点悔，这个函数在概率统计里很有用。　　(6)定积分的应用　　数三考的内容只有：平面图形面积计算旋转体体积计算平行截面面积为已知立体体积计算(这部分经济数学教材给的例子比较好)　　(7)向量代数与空间解析几何　　(数三不要求)　　(8)多元函数微分学　　这一章我开始时看的十分抓狂，特别是复合和隐函数的情形。但是弄懂后这章出的题目并不难，所以要多做几个题目找点感觉，才能知道自己的理解错在哪里。不考的主要内容有：全微分近似计算多元函数几何应用方向导数与梯度二元函数泰勒公式最小二乘法。　　(9)重积分　　这部分只考二重积分，重点就是计算二重积分，基本上每年都有一个大题，一定得学会算各种二重积分，会用计算技巧。　　(10)曲线曲面积分(不要求)　　(11)无穷级数　　这章仍然很重要。开始看可能也有些难度，求和函数要自己动手多做做题。不考的内容有：柯西审敛原理;正项级数中的根值法09大纲删了，但我想这个是可以用的;求和函数中数项级数求和09删了;函数幂级数展开式应用;函数项级数一致收敛性…;傅立叶级数。　　(12)微分方程与差分方程　　工程数学没有差分方程，但是这整章内容都比较简单，个人觉得直接看复习全书就可以了。　　2、线性代数　　这部分的教材我依旧用的同济大学的工程数学，和经济类的数学差别并不大。只有向量空间和线性空间与线性变换不用考。线性代数内容比较抽象，逻辑性比较强。但是它是三门中学起来最简单的一门课，要注意前后知识点的联系，永乐大帝就是这么教我们的。　　3、概率论与数理统计　　这部分的书我都没认真看，开始总觉得时间还多就晃晃悠悠的看，后来觉得该快点看完就赶着看了，其实也有学数学学疲了的原因。概率论这部分学刚开始学起来应该比较困难，可能觉得比微积分难，因为这是数学中一种全新的研究方法。但是书一定得好好看，这部分内容看明白它的研究方法和明白它的各种模型后就觉得不是那么难了。经济数学教材中主要有区间估计和假设检验不考，09年删除的;线性回归分析…不考。　　?阶段二 听一个数学基础班　　当时有个朋友帮我搞到了不少辅导班的视频，当时心中甚喜。可是这个班听完并未给我太大的帮助，数学主要是靠自我思考和动笔做题的。我承认当时有思维上的惰性，听课比想破脑袋搞那些自己不会的题要安逸的多。我想告诉大家的是不要被那些什么导学班，基础班乱七八糟的弄混头脑。他们不可能想高中老师那样手把手的教你，然后给你布置相应的题目，再给你讲解还要搞考试，所以也不会有高中那样的效果。　　?阶段三 做基础过关660题　　我觉得这是个失误。当时我并没有看复习全书，看到书上的基础过关，想必在全书前做就可以了。其实这个&基础&并不是那个&基础&，大概是题型是填空选择的意思，或者主要是对基础知识点的考查吧。总之这个难度是不亚于真题的，所以不建议看完书后直接就做这个。　　?阶段四 李永乐复习全书　　我的全部数学资料都是李永乐的，因为我觉得这个老师十分认真耐心和负责。关于复习全书，我觉得我的做法也值得商榷，我一上来就拿笔做了起来。虽然还是有一部分题目我会做，但这无疑是个耗时而痛苦的过程。我搞了差不多三个月才搞完，而且概率论部分实在是做不下去了就直接看完了。最终不少东西我还是不会的，但时间消耗了不少。所以我认为对于数学基础不好的，看全书时大抵是可以先认真看一遍的(当然也要适当动动笔)，第二遍再把大部分掌握不太好的题目做做。其实全书的难度还是比真题难不少的，题目不会做很正常。但是后面给的习题一定要好好做，很接近真题难度。　　?阶段五 听强化班，翻复习全书　　开始听强化班是想把知识快速过一遍，但看完全书后真是有点脑袋不想想问题了的感觉。后来花了整整三天听了高数的一个强化班，开始感觉还好，后来又不想听课又不想看别的就茫然的撑着把课听完了，没有多大收获，除了做了点笔记~后来我就主要看别的科目，减少的数学的时间。后来在论坛上看到别人发帖子说某某老师的高数讲的不错，正好我有他的视频就试听了一下，结果还真是觉得有帮助，但由于时间有限我只把自己比较差的章节听了听。线代当然是听的李永乐的，这个毋庸置疑，讲的特别不错，概率课还行吧(我听的几个课都不是一个辅导机构的，为了避免打广告之嫌，我就不说是某某了，永乐哥实力毋庸置疑也不在乎我帮他打广告了呵呵)。总之对于辅导班吧，我觉得数学强化班还是有一定的帮助，前提是你复习的还行了但是还觉得有些混。另外对于不同的人选择是不同的，听不听都行，如果你自己可以学的很投入可以想清楚那些问题，那应该比老师讲的效果更好。总之辅导班不是提高数学的充分条件，自己思考同样可以达到目的。　　?阶段六 做真题　　我做真题比较散漫，好多都没按3个小时的时间来做。这很不好，我觉得。我后来没什么时间做模拟题，只做了真题。总之我觉得大家应该早点把真题做了，然后再结合不懂的翻翻全书，这样比较好吧。关于模拟题，我觉得也是应该做的，模拟题一般比真题难，也要制造一种考试的氛围去模拟。对大多数人来说考试时时间真的是挺紧的。　　总结一句就是：多思考，多动笔，重计算，重速度。　　不知不觉已经过了一上午的时间，希望我的这些经验教训能给基础薄弱的同学一些帮助，一些警示。不要怕数学，一定要坚持下去!
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