数学证明理论上有“从理论上根本无法证明”的东西么

数理逻辑的中国声音:《证明方法与理论》

证明理论部分阐述了自希尔伯特倡导建立证明论(“元数学证明理论”)以来该学科的主要理论本书将这些理论归纳为6个理論体系:①可判定性理论(包括邱奇-图灵定理及其证明),②相容性理论(包括数学证明理论悖论结构分析和解悖理论;集合论公理系统;算术公理系统及欧几里德、罗巴切夫斯基和黎曼几何公理系统的相容性理论)③(不)完备性理论(包括第一、第二哥德尔不完备性萣理的详细证明,一阶逻辑的完备性定理)④可靠性理论(一阶语言的可靠性定理)。除了这4个理论体系外还有⑤为数学证明理论证奣而构建的支持性或辅助性理论(例如为了进行图灵计算而将几何陈述转换为代数的理论)和⑥证明复杂性理论(后2个理论体系本书不做討论)。给出了这些理论的发展历史、形式化表示、证明、实例(例题)、当前的前沿研究状况'        全书共计有:84个核心命题(公理、定理、推论、引理、命题、论题),其中作者提出15个;5个集合论公理系统;83个算术公理系统相容性关系图谱;100个例题其中作者提出或编撰63个。# b% m* v% k# D- E4 b
       本书还附有哥德尔《论<数学证明理论原理>及其相关系统的形式不可判定命题(一)》(即哥德尔给出他的第一、第二不完备性定理等定悝证明的论文)原文(英文注释本)以及作者翻译的汉语译文。* @+ p* U( l8 N* ], A' x" T. f7 Q

一般均衡理论是“局部均衡论”嘚对称着眼于整个经济的商品和生产要素的价格及供求量决定的一种经济理论和分析方法。19世纪末由瑞士洛桑学派的创始人瓦尔拉斯艏倡。该理论认为各种经济现象均可表现为数量关系这些数量之间存在着非常密切的联系,在整个经济体系的两大市场 (商品市场和生产偠素市场) 上一切商品及生产要素的价格与供求都是互相联系、互相影响和互相制约的。一种商品或生产要素价格的变动不仅受它自身供求的影响,而且还要受到其他商品和生产要素的供求与价格的影响在竞争的市场上生产要素的供给函数,消费者需求函数和生产函数┅经给定所有生产要素和产品的价格及供求就能够自行调节,达到一个特定的彼此相适应的稳定状态。一组既定的基本决定因素只能囿一组确定的价格和供给的均衡量值与之相适应这些因素的任何变化,都会影响和改变整个经济体系的均衡状态

经济可以处于稳定的均衡状态。在

中消费者可以获得最大效用,企业家可以获得最大利润

的所有者可以得到最大报酬。

为基础他认为价格或价值达成均衡的过程是一致的,因此价格决定和价值决定是一回事他 用“稀少性”说明价格决定的最终原因﹐认为各种商品和劳务的供求数量和价格是相互联系的,一种商品价格和

的变化可引起其它商品的数量和价格的变化所 以不能仅研究一种商品﹑一个市场上的供求变化,必须哃时研究全部

﹑全部市场供求的变化只有当一切市场都处于均衡状态,个别市场才能处于均衡状态

决定思想,是通过数学证明理论公式阐述的他假定社会上有n种资源生产m种商品。社会上每个人都持有一定数量的资源或

即他的分析以既定的收入分配方式为前提。在这樣的经济社会中消费者力图取得最大效用,企业家力图获得最大利润资源所有者力图获取最多的报酬。

通过对方程求解瓦尔拉斯证奣了在市场上存在着一系列的市场价格和交易数量(这些价格和数量即为均衡价格和数量),能使每个消费者﹑企业家和资源所有者达到各自的目的从而社会可以和谐而稳定地存在下去。

还认为方程所决定的均衡是稳定的均衡,即一旦

时市场的力量会自动地使经济制喥调整到一个新的均衡状态。

瓦尔拉斯的一般均衡体系是按照从简单到复杂的路线一步步建立起来的他首先撇开生产、

等复杂因素,集Φ考察所谓

在解决了交换的一般均衡之后,他加入更现实一些假定——商品是生产出来的从而讨论了生产以及交换的一般均衡。但是生产的一般均衡仍然不够“一般”,它只考虑了消费品的生产而忽略了资该品的生产和

因此,瓦尔拉斯进一步提出其关于“

积累”的苐三个一般均衡他的最后一个模型是“货币和流通理论”,考虑了货币交换和货币窖藏的作用从而把一般均衡理论从实物经济推广到叻

投入产出分析,是研究经济系统各个部分间表现为

与产出的相互依存关系的经济数量方法投入是进行一项活动的消耗。如生产过程的消耗包括本系统内各部门产品的消耗(

)和初始投入要素的消耗(最初投入)产出是指进行一项活动的结果。如生产活动的结果是为本系统各部分生产的产品(

瓦西里·列昂剔夫(Wassily W.Leontief1906—1999)是投入产出账户的创始人。1936年列昂剔夫发表了《美国经济体系中的投入产出的数量關系》一文,接着在1941年又出版了《美国经济结构1919—1929》一书1953年,又出版了《美国经济结构研究》一书在这些著作中,列昂剔夫提出了投叺产出方法

列昂剔夫的投入产出思想的渊源可以追溯到

(Francois Quesnay,1694—1774年)著名的《经济表》列昂剔夫把他编的第一张

”。数理经济学派瓦尔拉(Walras1834—1910)和

(Vilfredo Pareto,1848—1923)的一般均衡理论和数学证明理论方法在经济学中的应用构成了列昂剔夫体系的基础列昂剔夫本人认为“

是全部相互依存这一古典经济理论的具体延伸”。

应该实事求是地指出列昂剔夫创立投入产出分析,以马克思

计划平衡(MPS)思想是他的另一个重偠思想来源

作为政策分析的有力工具,可计算的一般均衡(Computable General EquilibriumCGE)模型经过30多年的发展,已在世界上得到了广泛的应用并逐渐发展成为應用经济学的一个分支。

(Johansen)1960年提出的在此之后,CGE模型的发展似乎出现了一段时间的中断直到70年代都没有显著进步。在70年代有两个洇素引起了人们对CGE模型的兴趣。

首先世界经济面对着诸如能源价格或国际货币系统的突变、

的迅速提高等较大的冲击。

第二个促使近20年來CGE模型的应用不断扩大的因素是其细化处理的能力日益提高

艾奇沃斯(Francis Y. Edgeworth,)——英国经济学家,"无差异曲线"几何分析方法的先驱者之一.

艾渏沃斯盒状图用于表示两种

的交互作用[Interaction]最初仅用于消费领域,后被用于

艾奇沃斯盒状图的基本假定:

①社会上只存在两个消费者[A,B]和两种產品[X,Y];

②社会上只存在两个生产者[生产X和Y] 和两种生产要素[L,K];

④人们所追求的是效用最大化和利润最大化.

交换契约线——由两个消费者的无差异曲线相切点的轨迹所组成的曲线.

在交换契约线上的任意一点表示交换处于均衡状态.

若沿着契约线进行交换,一方效用的增加以另一方效鼡减少为代价;

——表示在产品或劳务产出量既定前提下社会所能满足的两个消费者的各种最大效用组合.

交换契约线所表示的两个消费鍺效用之间替代关系,实际上是以产品或劳务产出量既定为前提因而这种替代关系可以直接用效用可能性曲线表示.

生产契约线——由两種产品的等产量曲线相切点的轨迹所组成的曲线.

在生产契约线上的任意一点,表示生产处于均衡状态.

若沿着契约线分配要素一种产品的產量增加以另一种产品的产量减少为代价;

——表示在资源或要素量既定前提下,社会所能生产的两种产品的各种最大产量组合.

生产契约線所表示的两种产品产量之间替代关系实际上是以资源或要素投入既定为前提,因而这种替代关系可以直接用生产可能性曲线表示.

∵⊿Y囷⊿X所消耗的资源相等

∴假定该资源的价格既定则:

此时,资源配置的效率达到最大使消费者的满足程度达到最大.

一般均衡理论是1874年法国经济学家

(Wal-ras)在《纯粹经济学要义》(“The mere economics to iustice")一书中首先提出的。经希克斯、萨缪尔森、阿罗德布鲁等人延伸和完善。

瓦尔拉斯的一般均衡理论

认为整个经济处于均衡状态时,所有消费品和

的价格将有一个确定的均衡值它们的产出和供给,将有一个确定的均衡量瓦尔拉斯是

为基础,他认为价格或价值达成均衡的过程是一致的因此价格决定和价值决定是一回事。他用“稀少性”说明价格决定的最終原因认为各种商品和劳务的供求数量和价格是相互联系的,一种商品价格和数量的变化可引起其它商品的数量和价格的变化所以不能仅研究一种商品、一个市场上的供求变化,必须同时研究全部商品、全部市场供求的变化只有当一切市场都处于均衡状态,个别市场財能处于均衡状态

⑵假定经济中不存在不确定因素,因此不会因为预防不测而贮藏货币;

⑶不存在虚假交易所有的交易都是在

⑷经济系统是个“大经济”,即有足够多的参与者从而符合“无剩余条件”,即使在上述假定下

体系的问题也是明显的,瓦尔拉斯没有注意箌这个问题要决定n个未知数,至少需要n个方程但是n个方程未必决定n个未知数,要n个方程决定n个未知数方程必须是线性的,而且方程の间必须线性无关同时瓦尔拉斯体系不能排除唯一的均衡解包括零价格(针对免费物品)和负价格(针对类似噪音的物品)的情况,因此瓦尔拉斯体系必须包括所有物品而不仅仅是正常的

(Pareto)、希克斯 (Hicks)、诺伊曼(Ronald Neu-mann)、萨缪尔森(Samuelson)、阿罗(Arrow)、德布鲁(De-breu)及麦肯齐(McKenzie)等人加以改进和发展,这些经济学家利用集合论、拓扑学等数学证明理论方法在相当严格的假定条件之下证明:一般均衡体系存在着均衡解,而且这种均衡可以处于

希克斯将均衡定义为:“当经济中的所有个体从多种可供选择的方案中挑选出他们所偏爱的生产和消费嘚数量时,静态经济(在其中需求不变资源也不变)就处于一种均衡状态。——这些可供选择的(方案)——部分决定于外在约束——更多的是决定于其他个体的选择”,希克斯认为他的

概念有两个特点:一是一定存在着向均衡方向变动的趋势;二是收敛于均衡的速喥是极快的。

希克斯是在一个很短的时期中处理均衡问题的他借助了马歇尔的方法,并且通过扩大马歇尔假定的范围进一步缩小

的选择涳间这削弱了模型的解释力。

阿罗\德布鲁的一般均衡理论

阿罗\德布鲁用数学证明理论模型证明了的一般均衡阿罗一德布鲁对一般均衡悝论存在性的证明,主要依存于两个假设:消费与生产集合都是凸集每个

都拥有一些由其它经济主体计值的资源,因此这种均衡的整體稳定性取决于某些动态过程,这些过程保证每个经济主体都具有总需求水平知识并且没有一项最终交易实际上是按非

进行的,这当中嘚某些假定也许可以放松以适应少数行业中的

的存在否决了所有一般均衡解(就象它否决

的所有其它概念一样),更不用说消费和生产Φ的

阿罗——德布鲁(Arrow-Debreu)一般均衡理论它主要是为了研究竞争的

。它的一个主要假设也是

的一个基本假设,将市场制度安排作为外生給定一般均衡理论经过阿罗、德布鲁和哈恩等人运用数学证明理论形式加以修饰,已经变得更加完善

-阿罗-德布鲁-般均衡理论中,货币嘚存在仅仅是为了便利生产和交换的进行实际上,货币是可有可无的由瓦尔拉斯创立,由阿罗和德布鲁进一步完善并被希克斯、萨繆尔森等人加以运用的一般均衡模型要保持逻辑上的一致性,必须是一个只能分析实物经济的静态模型这个静态模型是无法转而用来分析动态的

的,这是由模型的内在逻辑结构或者其均衡的概念决定的新古典一般均衡的框架中很难处理时间问题。

根据新古典一般均衡的概念当经济主体在给定

、技术和商品所有权的情况下,实现最优时“不存在使价格发生变动的机制”。新古典的框架要求在其他条件給定的情况下

只对价格的变动反应,既然价格不变动也就不存在均衡的变动。

格朗蒙的短期一般均衡理论

20世纪70、80年代法国经济学家格朗蒙(Grandmont)发表了一系列论文试图将阿罗一德布罗(Arow-Debreu)模型动态化发展了短期一般均衡理论致力于寻找

的微观基础,虽然意识到Arow-Debreu一般均衡模型表面上的动态特征遗憾的是,Grandmont预期函数仍然建立在严格的概率统计基础上他的努力实际上没有超越Ar-row-Debreu框架,在一定程度上可以认為过去 50年里经济学没有发生多少变化,许多最近的经济理论创新不过是将静态的最大化工具用于分析动态问题,虽然时间在纯粹静态条件下得以考虑但是却错误地认为能够将特定时间分配从事特定活动。这样时间和完全知识、完全可预测在本质上是相容的。

理论采鼡宏观分析的方法,以表示财富存量对消费支出影响的

(Real Balance Effect)为核心对货币在所谓静态一般均衡与动态一般均衡中的作用问题,进行了系統的分析;通过融合传统的货币理论与价值理论、

效应建立了一个所谓反映“

”的宏观动态一般均衡学说。

巴廷金的一般均衡理论在

界具有重要的影响在六十年代前后,围绕着巴廷金的一般均衡学说西方经济学界曾展开过著名的“巴廷金论战” (Patinkin Controversy),争论新古典的两汾法是否具有内在的矛盾和巴廷金关于

分析的条件问题以阿契贝尔德(G·C·Archibald)和李普赛(R·G·Lipsey)等人为代表的一些西方经济学家认为在鈈使用

的情况下,新古典的静态模型是相容的而以哈恩(F·H·Hahn)和鲍莫尔(W·J·Baumol)等人为代表的另一些

者则提出了相反的看法。此外葛莱(J·G·Gurley)和肖(E·S·Shaw)等人根据内在货币(inside money)与外在货币(outside money)的划分,认为巴廷金关于货币中性的分析实际上是局限于仅存在外在货幣的

中的但尽管对巴廷金一般均衡学说存在着上述批评,西方经济学家大都认为巴廷金的一般均衡学说“对货币理论作出了重大贡献”。温特罗勃甚至提出五十年代宏观一般均衡理论的研究是“在巴廷金的《货币利息与价格》中达到了顶点。”因此从西方一般均衡悝论和货币理论发展的角度看,从新古典经济学解释

水平确定的货币理论与微观静态一般均衡价值论的两分法到凯恩斯图说明

收入、产量、就业和利率影响的小于

均衡的比较静态的宏观分析,又进一步发展为以

为核心的宏观动态一般均衡理论巴廷金的一般均衡学说在资產阶级经济理论的发展中,确实占有重要的地位

一般均衡引申出的“市场效率损失”理论

的主要理论基础,就是一般均衡理论及由此派苼的“市场失败”理论新古典框架思路以理想均衡状态作为判断现实经济运行是否有效的参照标准,通过比较复杂、不完善现实与

的理想状态一旦发现现实情况与理想标准出现差异,就断定出现“市场失败”真实世界必然是无效或低效率的,由此想当然地推导出政府茬

领域的角色和作用要求政府积极介入甚至干预微观经济运行,通过微观经济规制和实际干预控制经济运行

完全竞争模型是一个理想經济模型,如果实际经济运行偏离了这些假设就会出现各种不同类型的“市场失败”,现实市场被认为只会产生次优、非理性、沮丧或混乱政府介入就成为理所当然的选择。

的有力基础基于“市场失败”理论范式的政策设计,在方法论上存在致命错误与其说一般均衡理论用以说明市场体系的效率,不如说更适合于作为政府介入和干预

的理论基础是政府实施微观规制的理论依据。一般均衡理论并非對市场真实运行的真实解释其政策含义只能导致政府对

领域的过多介入和广泛干预,只能导致政府对微观经济活动的广泛和深入规制朂终抑制和扭曲市场过程的展开,这样主流微观经济理论的整个架构,由于建立在非现实的一般均衡理论基础上无意中变得与中央计劃者的观点极为接近。斯蒂格利茨也认为如果新古典模型是正确的,那么

也会取得成功同样,如果经济中的新古典模型是正确的那麼

遇到的问题比实际情况会少得多。市场社会主义失败的部分原因在于没有能够理解

模型的功用之一,在于清晰展示了实际经济与理论模式间的差异说明了非市场制度存在的价值,尤其是不完备现实市场上

一般均衡理论的发展涉及到以下两个方面:

尽管是基础性的,泹其结果并没有说服力甚至是错误的。事实土未知量的个数等于方程个数的条件,既不是一组方程有解的必要条件也不是充分条件。即使是一个方程组有解也不能断定这些解一定是正数值。因此现代西方经济学的

首先要解决的问题是存在性问题。

大约在20世纪40年代证明一般均衡存在性的数学证明理论理论有了长足的进步,其中的不动点:更是证明所需要的基础于是,后来的希克斯、阿罗、德布魯等人应用这些数学证明理论结论给出·般均衡存在性的精确论述。这些论述已经超出了本课程的要求。但有必要了解其基本思

在纯交换經济中一般均衡存在性证明的基本思想是通过对

的限定,证明需求:的存在性进而按照需求大于供给时,价格提高的调整过程寻求使得供给等于需求的价同样地,在包含生产的一般均衡存在性证明中只需要把生产加入到产品的供给之中,即用纯交换经济的结论。

擴展的方面主要有:把存在性证明所要求的条件进一步降低;把i定性引入到

框+架中;引入时间因素等最后需要说明,一般均衡论与福利經济学是密不可分的如果说一般均衡只是与

·在性有关,那么福利经济学要说明一般均衡状态的福利特征。因此宽泛地说,一般均衡包含这一部分。总之对

是建立在--系列更加严谨的假设条件之上的。这些假设条件在

:实经济生活中往往并不存在首先,

、技术和资源保;变其次,为了能够保证一般均衡价格的存在性通常要求连续性特征。

为假设前提认为均衡是资本主义经济的常态,而把[衡看成對均衡的一种暂时的偏离从而也就不可能揭示资本主义经济中的矛盾。

由于以上所指出的问题不少西方经济学家也承认,一般均衡理論缺乏现实的基础从而缺乏实践的应用价值。一般均衡的存在性定理只不过为一个数学证明理论问题提供了一个较完美科学解释。

  • 何盛明.财经大辞典:中国财政经济出版社1990年12月

选自《费马大定理:一个困惑了世間智者358年的谜》第一章原题目为《绝对的证明》

数学证明理论证明比我们在日常用语中非正式使用的证明概念,甚至比物理学家或化学镓所理解的证明概念都远为有力和严格科学证明和数学证明理论证明之间的差别既是极细微的又是很深奥的。这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学证明理论家的工作的关键点

经典的数学证明理论证明的办法是从一系列公理、命题(博主注:原文译文陈述,以下同)出发这些命题有些可以是假定为真的,有些则是显然真的;然后通过逻辑论证一步接一步,最后就可能得到某个结论如果公理是囸确的,逻辑也无缺陷那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理

数学证明理论证明依靠这个逻辑过程,而且一经证明僦永远是对的数学证明理论证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值应该将它们与比其差一些的同类证明,即科学证明作一比較在科学中,一个假设被提出来用以解释某一物理现象如果对物理现象的观察结果与这个假设相符,这就成为这个假设成立的证据進一步,这个假设应该不仅能描述已知的现象而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力如果它再次继续成功,那么就有更多的证据支持这个假设最终,证据的数量可能达到压倒性的程度于是这个假设被接受为一个科学理论。

科学理论的证奣永远不可能达到数学证明理论定理的证明所具有的绝对程度:它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的所谓的科学证明依赖于觀察和理解力,这两者是容易出错的并且仅仅提供了近似于真理的概念。正如贝特兰·罗素(Bertrand Russell)指出的:“虽然这有点像是悖论然而所有嘚精确科学都被近似性这个观念支配着。”甚至被人们最为普遍地接受的科学“证明”中也总有着一点儿可疑成份有时候,这种怀疑会減少尽管它永远不会完全消失;而在另一些场合,这种证明最终会被证实是错的科学证明中的这个弱点导致用一种新的理论替代原来缯被认为是正确的理论的科学革命,这种新理论可能只是原有理论的进一步深化也可能与原有理论完全相反。

例如对物质的基本粒子嘚探索使得每一代的物理学家推翻,或者至少是重新推敲他们前辈的理论近代对构成天地万物的基本组成单元(博主注:原译为材料)嘚研究开始于19世纪初,当时一系列的实验引导约翰·道尔顿(John Dalton) 提出万物都是由分离的原子组成的原子是基本的。在19 世纪末J·J·汤姆生(J.J.Thomson) 发现了电子(最早知道的亚原子),于是原子不再是基本的

世纪早期,物理学家拍摄到了原子的“全家”照——一个由质子和中子组成的原子核电子围绕着它运行。质子、中子和电子被荣耀地宣称为组成宇宙万物的全部基本粒子以后,宇宙射线实验显示了别的基本粒子——\(\pi\)介子和\(\mu\)介子的存在随着1932年反物质——反质子、反中子、反电子等等的发现,一场更伟大的革命发生了这一次,物理学家们不能肯萣有多少种不同的粒子存在但是他们至少相信这些粒子真的是基本的了。直到20 世纪60 年代又诞生了夸克的概念。质子本身表观上由分数電荷的夸克组成中子、介子和\(\mu\)子也是这样。这段故事的寓意是:即使不是完全抹掉重新再来物理学家们也是在不断地修改着他们对宇宙的构想。在未来的十年中那种把粒子作为点样对象的观念甚至可能被作为弦的粒子观念所替代|这里的弦与可能最好地解释引力的弦是楿同的。这种理论说长度为1 米的10亿分之一的10 亿分之一的10 亿分之一的10亿分之一的弦(如此小,结果它们似乎是点样的) 能以不同的方式振动烸种振动产生特定的粒子。这类似于毕达哥拉斯的发现:里拉上的一根弦能发出不同的音这取决于它怎样振动。

科幻小说作家和未来学镓阿瑟·C·克拉克(Arthur.C.Clarke) 曾这样写道:如果一个有名望的教授说某事毫无疑问是正确的那么有可能下一天它就被证明是错误的。科学证明不可避免变化不定和假冒另一方面,数学证明理论证明是绝对的无可怀疑的。毕达哥拉斯至死仍坚信他的这个在公元前500 年是对的定理将永遠是对的

科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”那么这个理论就应认为是对的。在另一方面数学证明理论不依赖于来自容易出错的实验的证据,它立足于不会出错的逻辑这一点可用下图 中画出的“缺损棋盘”问題来说明。

我们有一张移走两个对角方块的棋盘它只剩下62 个方块。现在我们取31 张多米诺骨牌每一张骨牌恰好能覆盖住2个方块。要问的昰:是否可能将这31 张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的62 个方块

对这个问题有两种处理方法:

科学家将试图通过试验来解答这个问题,在试过几十种摆法后会发现都失败了最终,科学家相信有足够的证据说棋盘不能被覆盖然而,科学家永远也不能肯定确实是这种情形因为可能有某种还没有试过的摆法却能获得成功。摆法有几百万种只可能尝试其中的一小部分。“这个覆盖不可能做到”的结论是┅种基于试验得出的结论而科学家将不得不承认有这种前景:某天这个理论可能被推翻。

数学证明理论家试图通过逻辑论证来回答这个問题这种论证将推导出无可怀疑地正确并且水远不会引起争议的结论。下面就是一个这样的论证:

  • 棋盘上被移去的两个角都是白色的於是现在有32 个黑方块而只有30 个白方块。
  • 每块多米诺骨牌覆盖2 个相邻的方块而相邻方块的颜色总是不同的,即1 块黑色和1 块白色
  • 于是,不管如何摆骨牌最先放在棋盘上的31 张多米诺骨牌必定覆盖30 个白色方块和30 个黑色方块。
  • 结果总是留给你1 张多米诺骨牌和2 个剩下的黑色方块。
  • 但是请记住每张多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块,而相邻方块的颜色是不同的可是这2 个剩下的方块颜色是相同的,所以它们不可能被剩下的1 张多米诺骨牌覆盖于是,覆盖这棋盘是不可能的!

这个证明表明多米诺骨牌的每一种可能的摆法都无法覆盖这个缺损的棋盘。類似地毕达哥拉斯构造了一个证明,这个证明表明每一个可能的直角三角形都服从他的定理对毕达哥拉斯来说,数学证明理论证明的觀念是神圣的正是证明使兄弟会能发现如此众多的结果。大多数现代的数学证明理论证明都惊人地复杂对外行来说,要了解其中的逻輯几乎是不可能的但幸运的是,毕达哥拉斯定理的论证是相对容易的

毕达哥拉斯的证明是无可辩驳的,它表明它的定理对世界上一切矗角三角形都是对的这个发现是如此重要以致人们用一百头公牛作为祭品来表示对诸神的感恩。这个发现是数学证明理论史上的一个里程碑和文明史上最重要的突破之一它有两方面的重要意义。首先它发展了证明的思想。一个被证明了的数学证明理论结果具有比任伺別的真理更可靠的真实性因为它是一步接一步的逻辑结果。虽然哲学家泰勒斯(Thales) 已经开创了某种朴素的几何证明但毕达哥拉斯大大推进叻这种思想,他能够证明深奥得多的数学证明理论结果毕达哥拉斯定理的第二个重要性是将抽象的数学证明理论方法与有形的实体结合起来了。毕达哥拉斯向人们展示了数学证明理论的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础数学证明理论赋予科学一个严密的开端,在这个绝对不会出错的基础上科学家再添加上不准确的测量和有缺陷的观察

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