积分号sin^（4）x，这个不定积分sin2xcos3xdx怎么积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-08 20:42 标签： sin2x不定积分
第四章：不定积分
一、本章的教学目标及基本要求
1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。
2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。
二、本章各界教学内容及学时分配
第一节 不定积分的概念与性质
2学时 第二节 换元积分法
4学时 第三节 分部积分法
2学时 三、本章教学内容的重点和难点
1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；
2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法， 四、本章内容的深化和拓广
1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；
2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫； 3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。 五、本章教学方式及教学过程中应注意的问题
1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方； 2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点； 3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。
第一节 不定积分的概念与性质
前面已经介绍了微分学，从本章开始我们讲积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的反问题引进的。两者概念不完全相同，却有紧密联系。
本章讲不定积分的概念、计算方法。
§1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1：?x?I，有F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。
例：①sin2x，2?cos2x，sin2x?C在(??,??)内是sin2x的原函数。 ②lnx在(0,??)内是
的原函数，因(lnx)??
③ln(?x)在(??,0)内是的原函数，因[ln(?x)]??
我们要问：是否任何函数均有原函数呢？如果不是，那么具备什么条件的函数才有原函数呢？原函数既然不唯一，那么两个原函数之间有什么关系呢？
函数f(x)?sgnx??0,x?0在(??,??)上没有原函数。
解：设f(x)在(??,??)有原函数F(x)，则F?(x)?f(x)，F(x)必取如下形式： ?x?C1,
，又因为F(x)在x?0连续，所以有
lim(x?C1)?lim(?x?C2)?F(0)?C1?C2?F(0)?C
故F(x)??C,
x?0，但这个函数在x?0不可导，故符号函数没有原函数。 x?0
原函数的存在定理：若f(x)在某区间内连续，则在该区间内f(x)的原函数一定存在。 由于初等函数在其定义区间上均连续，所以初等函数在其定义区间上均有原函数。 原函数只要存在就不唯一，任何两个原函数之间相差一个确定的常数。事实上， 设F(x),?(x)均是f(x)的一个原函数，
则[F(x)??(x)]??F?(x)???(x)?f(x)?f(x)?0，即F(x)??(x)?C，即有下面定理。 定理：如果在区间(a,b)内，函数F(x)为其中C为任意常数。
我们引进不定积分的概念：
的一个原函数，则F(x)?C是
的全体原函数，
定义2：函数
在I的全体原函数F(x)?C叫做
叫做积分号，函数
在I的不定积分，记作?f(x)dx，即
?f(x)dx=F(x)?C，其中?
积分变量。
例1 求?sec2xdx
叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，而x叫做
解 因为(tanx)??sec2x，即tanx是sec2x的一个原函数。故?sec2xdx=tanx+C 例2 求?
，?axdx，?2
例3 设曲线过点(1,2)，且其上任一点的切线钭率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。 解：设所求曲线方程为y?f(x)，则对任意一点(x,y)有
?2x,且y(1)?2，由y??2x知y?x?C，进一步有y?x?1。
注意积分常数的任意性，同时注意它有可确定性。 一般地，f(x)的原函数F(x)的图形称为
的积分曲线；F(x)?C的图形称为积分曲线簇，其图
形布满整个实平面，即不定积分在几何上表示的是积分曲线簇。
二、积分与微分的关系：设f(x)的原函数为F(x) 则
??F(x)?C??F?(x)?f(x),即d?f(x)dx?f(x)dx ?
?F?(x)dx?f(x)dx?F(x)?C,即?dF(x)?F(x)?C
由此可见，若不计常数C，则积分号与微分符号不论先后，只要它们连在一起就互相抵消。这说明：积分与微分在不计任意常数时互为逆运算。 三、基本积分表
由积分与微分的关系容易得到下列基本积分公式。（具体解释如何由微分公式得积分公式，如何验证公式的正确性），见教材。
设f(x)的一个原函数为e解
， 所以f?(x)?4e
设f(x)是积分曲线族?sinxdx中过点(
,1)的曲线，求f(x)
解： 由f(x)=?sinxdx??cosx?C，过点(
(x)??cosx?1?
四、不定积分的性质
函数和的不定积分等于不定积分之和，即
?[f(x)?g(x)]dx??
或?[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx?性质2：
f2(x)dx???
（k是常数，k?0）
利用基本积分表以及不定积分的性质，我们可以求出一些简单函数的不定积分。 例7 ：
应注意两点：（1）在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数，但由于任意常数之和仍是任意常数，因此只在式子后写出一个任意常数就行了。
（2）检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数。
(secx?1)dx?tanx?x?C ?
解：基本积分表中没有这种类型，把被积函数变形，化为已有的积分公式，逐项积分：
x?(1?x)x(1?x)
?x?arctanx?ln|x|?C
解 ：被积分函数为假分式，恒可化为多项式加真分式，一般有两种方法：加项减项法或多项式的除
?xdx??1dx?
)dx?3(x?arctanx)?C
(1?cosx)dx ?
[?1dx??cosxdx]?
(x?sinx)?C
?e?(1??cos?sin
cos2xx?sinx1
cosx?sinxcosx?sinxcosx?sinxsinx?cosx
1sinx1cosx
dx=?cotx?tanx?C
dx=tanx?cotx?C求不定积分∫dx/(sin^4(x)+cos^4(x)),&
可用如图改写函数,再用凑微分法求出原函数.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
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