三角函数平方根公式
=SQRT(),这就是平方根函数
有不少，但不知道你要找哪个？是sin2+cos2=1吗？
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xuezhong60
三角函数中,以公式多而著称.解题方法也较灵活,但并不是无法可寻,当然有它的规 律性,近几年的高考中总能体现出其规律性.而对三角函数的考查解法,归纳起来主要有以 下六种方法:一.平方法 观察问题的条件和所求结论,是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式,可 考虑将代数和取平方.这样能有机地将和差与乘积结合起来,从而顺利求解.例:已知 θ ∈(0,2π ) 且 sin θ ,cos θ 是方程 x kx + k + 1 = 0 的两根,求 k 的值.2解析:由韦达定理得:sin θ + cos θ = k (1) sin θ cos θ = k + 1 (2)(1) 2 (2) × 2 得:1 = k 2 2k 2 ,∴ k = 3 或 k = 1又原二次方程满足 ≥ 0,∴ k ≥ 2 + 2 2 或 k ≤ 2 2 2∴ 舍去 k = 3 得 k = 1注:解决数学问题应掌握一些基本的技能,如"取平方""取对数""取倒数"等技巧,,,以提高解题能力.二.降幂法 涉及高次三角函数化简问题,常通过平方关系,倍角关系降幂得到解答.例:已知 sin θ + cos θ=4 4A.解析:∵ sin θ + cos θ2 2(7 9B.7 9)5 ,则 cos 4θ = 9 1 C.9 2 sin 2 θ cos 2 θ =( D.)1 925 4 2 2 ,∴ 2 sin θ cos θ =9 9∴sin 2 2θ 4 1 cos 4θ 8 7 =,∴ = ,∴ cos 4θ = ,选 A.2 9 2 9 9注:本题降幂是一个重要环节,有很多涉及三角函数的化简,求值,性质等题目,入门 的关键是恰当运用平方关系,如 sin α + cos α = 1 和倍角公式如 2 sin α cos α =sin 2α ,2 2sin 2 α =1 cos 2α 1 + cos 2α 2 ,cos α = 等.2 2三.凑角法 还有一些求值问题,通过观察角之间的关系,恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起 来,能找出解答途径.例:已知π3 π π 3 3 5 < α < π ,0 < β< 且 cos α = ,cos π + β =,求 4 4 4 4 5 4 131sin (α + β ) 的值.解析:由π3 π π 4 π < α < π 得 < α < 0 ,从而 sin α = 4 4 2 4 5 4由0 < β cos(π B ) = cos B .但 cos A =12 4 12 < = cos B ∴ cos A ≠ .13 5 13 12 33 当 cos A = 时,符合题意,故 cos C = cos( A + B ) = .13 65注:讨论法是将问题化整为零,化难为简的重要方法,一般在用平方关系涉及象限角问 题或含有绝对值的三角函数问题等,都得加以讨论.六.图象法 在解决三角函数问题时,有时要借助图象才能更好地解决相应问题.例:设 ω > 0 ,若函数 f ( x )= 2 sin ωx 在π π ,上单调递增,求 ω 的取值范围.3 42解析:如图(右) ,据三角函数的图象及其性质 知 f ( x ) 在π π ,上单增.2ω 2ωπ 2ωπ 2ωπ π π π ∴ ,应该为 ,的子区间.3 4 2ω 2ωπ π ≤ 3 ∴ 2ω π π ≥ 2ω 43 ∴ ω ∈ 0,.2注:三角函数的很多问题涉及图象,如能充分借助图象,进行直观分析,数形结合常能 快捷解答问题.
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三角函数就是关于三角形三个角和三条边之间的关系。公示和定理都是比较多的，介意你到书店去看那种数学工具书，上面都有的。
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三角函数公式大全
倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α) cos^2(α)=1 1 tan^2(α)=sec^2(α) 1 cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α) cos^2(α)=1 tan α *cot α=1一个特殊公式 （sina sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ） 证明：（sina sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a θ）*sin（a-θ）坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）, 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角）,那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a 2a) =sin2acosa cos2asina =2sina(1-sin2a) (1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60° sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60° a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos2a-cos230°) =4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)] =4cosacos(60°-a)cos(60° a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a) 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3 tan(α)^2)/(-1 3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1 cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1 cosα) tan(α/2)=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]其他 sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0 cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1 (-8*cosA^2 8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2 tanA^4)五倍角公式 sin5A=16sinA^5-20sinA^3 5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3 5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2 tanA^4)/(1-10*tanA^2 5*tanA^4)六倍角公式 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA 1)*(2*sinA-1)*(-3 4*sinA^2)) cos6A=((-1 2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2 1)) tan6A=(-6*tanA 20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1 15*tanA^2-15*tanA^4 tanA^6)七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7 64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4 64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7 35*tanA^2-21*tanA^4 tanA^6)/(-1 21*tanA^2-35*tanA^4 7*tanA^6)八倍角公式 sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2 8*sinA^4 1)) cos8A=1 (160*cosA^4-256*cosA^6 128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1 7*tanA^2-7*tanA^4 tanA^6)/(1-28*tanA^2 70*tanA^4-28*tanA^6 tanA^8)九倍角公式 sin9A=(sinA*(-3 4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4 36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3 4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4 36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2 126*tanA^4-36*tanA^6 tanA^8)/(1-36*tanA^2 126*tanA^4-84*tanA^6 9*tanA^8)十倍角公式 sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2 2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2 5 16*sinA^4)) cos10A=((-1 2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6 304*cosA^4-48*cosA^2 1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2 126*tanA^4-60*tanA^6 5*tanA^8)/(-1 45*tanA^2-210*tanA^4 210*tanA^6-45*tanA^8 tanA^10)N倍角公式 根据棣美弗定理,(cosθ
i sinθ)^n = cos(nθ)
i sin(nθ) 为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ)
i sin(nθ) = (c
i s)^n = C(n,0)*c^n
C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2
C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4
C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3
C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5
... =&比较两边的实部与虚部 实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n
C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2
C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4
... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3
C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5
... 对所有的自然数n, 1. cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示. 2. sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示. (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉. (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))
和差化积 sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)两角和公式 tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanαtanβ) cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差 sinαsinβ =-[cos(α β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2双曲函数 sh a = [e^a-e^(-a)]/2 ch a = [e^a e^(-a)]/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ α）= sinα cos（2kπ α）= cosα tan（2kπ α）= tanα cot（2kπ α）= cotα 公式二： 设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π α）= -sinα cos（π α）= -cosα tan（π α）= tanα cot（π α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2 α）= cosα cos（π/2 α）= -sinα tan（π/2 α）= -cotα cot（π/2 α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2 α）= -cosα cos（3π/2 α）= sinα tan（3π/2 α）= -cotα cot（3π/2 α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt θ)
B·sin(ωt φ) = √{(A2
2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt
arcsin[ (A·sinθ B·sinφ) / √{A^2
2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式） 公式一 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα 公式二sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα 公式三 sin(π/2 α) = cosα cos(π/2 α) = -sinα 公式四sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα 公式五sin(π α) = -sinα cos(π α) = -cosα 公式六tanA= sinA/cosA tan（π/2 α）=－cotα tan（π/2－α）=cotα tan（π－α）=－tanα tan（π α）=tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))2] cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1 (tan(α/2))2] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]
其它公式
(1) (sinα)^2 (cosα)^2=1（平方和公式） (2)1 (tanα)^2=(secα)^2 (3)1 (cotα)^2=(cscα)^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 证： A B=π-C tan(A B)=tan(π-C) (tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC) 整理可得 tanA tanB tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x y z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1 (6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)^2; (cosB)^2 (cosC)^2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA)^2 (sinB)^2 (sinC)^2=2 2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) (seca)^2 (csca)^2=(seca)^2(csca)^2 幂级数展开式 sin x = x-x^3/3! x^5/5!-…… (-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)! ……. (-∞<x<∞) cos x = 1-x^2/2! x^4/4!-…… (-1)k*(x^(2k))/(2k)! …… (-∞<x<∞) arcsin x = x
1*3/(2*4)*x^5/5
……(|x|&1) arccos x = π - ( x
1*3/(2*4)*x^5/5
…… ) (|x|&1) arctan x = x - x^3/3
x^5/5 -……(x≤1) 无限公式 sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)…… cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)…… tanx=8x[1/(π^2-4x^2) 1/(9π^2-4x^2) 1/(25π^2-4x^2) ……] secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2) 1/(25π^2-4x^2)- ……] (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8…… (1/4)tanπ/4 (1/8)tanπ/8 (1/16)tanπ/16 ……=1/π arctan x = x - x^3/3
x^5/5 -……(x≤1) 和自变量数列求和有关的公式 sinx sin2x sin3x …… sinnx=[sin(nx/2)sin((n 1)x/2)]/sin(x/2) cosx cos2x cos3x …… cosnx=[cos((n 1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n 1)x/2)=(sinx sin2x sin3x …… sinnx)/(cosx cos2x cos3x …… cosnx) sinx sin3x sin5x …… sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx cosx cos3x cos5x …… cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系.而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1．三角函数本质：
[1] 根据右图,有 sinθ=y/ cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y. 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 sin(A B) = sinAcosB cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点.角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD. A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2 [sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2 (sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a b)/2与(a-b)/2） 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ.图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式. 两角和公式
sin(A B) = sinAcosB cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB sinAsinB tan(A B) = (tanA tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1 tanAtanB) cot(A B) = (cotAcotB-1)/(cotB cotA) cot(A-B) = (cotAcotB 1)/(cotB-cotA)
</x<∞)</x<∞)
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TA的最新馆藏三角函数的配方公式?记得好像可以把a平方和b平方提一个常数,使他们和一个三角函数值相等,然后整个式子能变成tan,怎么推导
a²sin²x+b²cos²x=a²cos²x(tan²x+b²/a²)√(a²sin²x+b²cos²x)=|acosx|√(tan²x+b²/a²)
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a²sin²x+b²cos²x=a²cos²x(tan²x+b²/a²)=a²(tan²x+b²/a²)/(1+tan²x)√(a²sin²x+b²cos²x)=|a|√[(tan²x+b²/a²)/(1+tan²x)]
应该是降低指数，最后和差化积吧？
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