若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x
2总有以下不等式
f(x1)+f(x2)
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax
2+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax
2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．
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若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x
2总有以下不等式
f(x1)+f(x2)
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax
2+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax
2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．
若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x
2总有以下不等式
）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax
2+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax
2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．
科目:最佳答案
证明：对任意x1，x2∈R，当a＜0，有[f（x1）+f（x2）]-2f（1+x2
）=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a（1+x2
）2+b（1+x2
）+c]=ax12+ax22-a（x12+x22+2x1x2）=a（x1-x2）2&&&&&&&&&&&&&（3分）∴当a＜0时，f（x1）+f（x2）≤2f（1+x2
），即1)+f(x2)
）当a＜0时，函数f（x）是凸函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（5分）
当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax2≤-x+1，∴a≤2
-=（-）2-恒成立，∵x∈（0，1]，∴≥1，当=1时，（-）2-取到最小值为0，∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数&&（11分）
令x=y=0，则f（0）=[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=；若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]2；&&&&&&&&&&（14分）若n＜0，n∈Z，则-n∈N*，∴f（n）==-n
=2n；∴x∈Z时，f（x）=2x．综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2x；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（15分）∵[20+21]=＞，所以f（x）不是R上的凸函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（16分）（对任意x1，x2∈R，有[f（x1）+f（x2）]=[x1+2x2]≥&2x1+x2
），所以f（x）不是R上的凸函数．&16分）
解析解：（1）证明：对任意x
2∈R，当a＜0，
2&&&&&&&&&&&&&（3分）
∴当a＜0时，f（x
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（5分）
（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax
恒成立，∵x∈（0，1]，∴
取到最小值为0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数&&（11分）
（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]
2，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=
若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]
2；&&&&&&&&&&（14分）
若n＜0，n∈Z，则-n∈N
*，∴f（n）=
n；∴x∈Z时，f（x）=2
综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2
x；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（15分）
，所以f（x）不是R上的凸函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（16分）
），所以f（x）不是R上的凸函数．&16分）知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心【考点】；；．【专题】方程思想．【分析】由f（=ax3+bx2-3x在x=±1取得极值可得f'f'（-1）0故得a、b的方程组，求即；由题意知，点A不在曲上，故设出切点（x0，y），据切点在曲线y=f（x）上和导数何义建等量系，推出2x-3x+m+3=0由题意知，该方程有3解，故将问转化为g（x）=03-x02+3的极值和极小值的问题，从而求实数m的取范围．【解答】解：f'（x）=a2+2bx-3，依题意f'（-1）=0，∴切的斜率为0-mx0-1，则'（x0）=x02-60，∵曲线方程为=3-x，∵过点A（1m）作曲的三条线，（x0）=3（x02-1），g'（x0=0，得x=0或x=1．（1分）∴函gx0）=x03-3x02+m+3的极值为0=，0=1．即（+）（m+2＜，解得-3＜m-2．∴A（，m）不在曲线．fx）x3-3x．（4分）即，解a=1，b=．整理2x0-30+m+3=0．（8分）f'（x）x-3=3（+1）（-1），所求的实取值范围是-3＜m＜-2．【点评】题考了导数的几何意义，利用导数求函数极最等知识难度较大．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：jj2008老师　难度：0.46真题：10组卷：64
解析质量好中差
&&&&，V2.26606> 【答案带解析】已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-． （I）求实数a的值...
已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-．（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（II）设g（x）=kx+1，对?x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（III）设bn=，证明：b1+b2+…+bn＜1+ln2（n∈N*，n≥2）．
（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，构造函数h（x）=lnx-（k+1）x，利用h（x）max≤0，即可求得k的取值范围；
（Ⅲ）先证明当n≥2时，有ln（n+1）＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．
考点分析：
考点1：函数的单调性与导数
考点2：利用导数研究曲线上某点切线方程
考点3：导数在最大值、最小值问题中的应用
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题型：解答题
难度：中等
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导数的运算：1、常见函数的导数：&（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）2、导数运算法则：&（1）和差：（2）积：（3）商：复合函数的导数：&运算法则复合函数导数的运算法则为：4、复合函数的求导的方法和步骤：&（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；&（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；&（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:（1）求函数y=f\left({x}\right)在\left({a,b}\right)内的极值；（2）将函数y=f\left({x}\right)在各极值与端点处的函数值f\left({a}\right)，f\left({b}\right)比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．
函数y=f\left({x}\right)&中表示自变量x和因变量y之间的对应关系的表达式称为函数的解析式．函数的表示方法有三种：解析法:&用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．图象法:&用图象表示两个变量之间的对应关系．列表法:&列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（c＞0）的导函数的图...”，相似的试题还有：
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(c＞0)的导函数的图象如图所示：(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)令g(x)=\frac{f(x)}{x}，求y=g(x)在[1，2]上的最大值．
已知函数f(x)=ax3+bx+c为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线9x+y-2=0平行，导函数f'(x)的最小值为-12．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)的极值．
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