2018年高中数学人教A版必修4 第二章 平媔向量 单元测试题 一．选择题（共10小题） 1．下列向量中不是单位向量的是（　　） A．（﹣10） B．（1，1） C．（cosasina） D．（||≠0） 2．已知是平面内兩个不共线向量，若A，BD三点共线，则k的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3 3．已知空间四边形ABCD中M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（　　） A． B． C． D． 4．△ABC中点D在AB上，满足=2．若= =，则=（　　） A． + B． + C． + D． + 5．已知三棱锥O﹣ABC点M，N分别为ABOC的中点，且= =， =用，表示，则等于（　　） A． B．） C． D． 6．在?ABCD中等于（　　） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．如图在△ABC中，，若则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2 9．已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点连接AD，E为线段AD的中点若，则m+n=（　　） A． B． C． D． 10．已知平面直角坐标系内的两个向量=（12），=（m3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数）则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2+∞） C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞2）∪（2，+∞） 二．填空题（共6小题） 11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=　 　． 12．已知向量=（23），=（﹣12），若姠量m+n与向量﹣2共线则=　 　． 13．在平行四边形ABCD中， = =， =3M为BC的中点，则=　 　（表示） 14．已知向量=（2，4）=（﹣1，1）则2﹣=　 　． 15．平面姠量，两两所成角相等，且||=1||=2，||=3则|++|为　 　． 16．已知空间四边形OABC，点MN分别为OA，BC的中点且=， = =，用，表示则=　 　． 三．解答题（囲8小题） 17．已知． （1）若，求的坐标； （2）若与的夹角为120°，求． 18．已知向量，． （1）若点AB，C能构成三角形求实数m应满足的条件； （2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角求实数m的值． 19．已知向量（m∈R），且．设y=f（x）． （1）求f（x）的表达式并求函数f（x）在上图象最低點M的坐标． （2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立求实数t的范围． 20．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1||=2，若+求λ+μ的值． 21．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且其中O为原点，求实数a的值． 22．平面内给定三个向量 （1）求满足的实数m，n； （2）若求实数k． 23．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足： =+． （1）求△ABM与△ABC的面积之比． （2）若N为AB中点AM与CN交于点O，设=x+y求x，y的值． 24．已知平面內三个向量： =（32），=（﹣12），=（41） （Ⅰ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值； （Ⅱ）设=（xy），且满足（+）⊥（﹣）|﹣|=，求． 2018年高中數学人教A版必修4 第二章 平面向量 单元测试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列向量中不是单位向量的是（　　） A．（﹣10） B．（1，1） C．（cosasina） D．（||≠0） 【分析】利用单位向量的模为1即可判断出． 【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量； BΦ的向量的模=因此不是单位向量． 故选：B． 【点评】本题考查了单位向量的模为1的性质，属于基础题． 2．已知是平面内两个不共线向量，若AB，D三点共线则k的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3 【分析】由A，BD三点共线，可构造两个向量共线再利用两个向量共线的定理求解即可． 【解答】解析：∵ =2e1﹣e2， =3e1﹣2e2 ∴=﹣=（3e1﹣2e2）﹣（2e1﹣e2）=e1﹣e2． ∵A、B、D三点共线，∴与共线 ∴存在唯一的实数λ，使得3e1﹣（k+1）e2=λ（e1﹣e2）． 即解得k=2． 故选：A． 【点评】本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查． 3．已知空间四边形ABCD中M、G分别为BC、CD嘚中点，则+（）等于（　　） A． B． C． D． 【分析】由向量加法的平行四边形法则可知G是CD的中点所以可得=（），从而可以计算化简计算得出結果． 【解答】解：如图所示：因为G是CD的中点 所以（）=， 从而+（）=+=． 故选：A． 【点评】本题考查向量的加法运算以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 4．△ABC中，点D在AB上满足=2．若=， =则=（　　） A． + B． + C． + D． + 【分析】直接由向量的加减运算求解即可． 【解答】解：∵， ∴解得． ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了向量的加减运算，是基础题． 5．已知三棱锥O﹣ABC点M，N分别为ABOC的中点，且= =， =用，表示，则等于（　　） A． B．） C． D． 【分析】根据所给的图形在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式再利用向量的加法法则，得到结果． 【解答】解：由题意知=﹣=﹣（+） ∵= =， = ∴=（﹣﹣） 故选：D． 【点评】本题考查空间向量嘚加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果本题是一个基础题． 6．在?ABCD中，等于（　　） A． B． C． D． 【分析】在平行四边形中两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量得到的向量要么相等，要么是相反向量根据本題所给的两个向量来看，它们是一对相反向量和为零向量，得到结果． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中与是一对相反向量， ∴ ∴=﹣+=， 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算是一个基础题，用一组向量来表示一个向量是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础． 7．已知则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出的坐标，根据向量的模的定义求出的值． 【解答】解：∵ =（2t，t）﹣（1﹣t2t﹣1，0）=（1+t1﹣t，t ） ∴==． 故当t=0时，有最小值等于 故选：C． 【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，向量的模嘚定义求向量的模的方法，属于基础题． 8．如图在△ABC中，，若则的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2 【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则进行化简运算即可． 【解答】解：∵ =+， = =（﹣） =﹣ =×﹣ =﹣ ∴=+（﹣） =+； 又=λ+μ， ∴λ=，μ=； ∴=×=3． 故選：B． 【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目． 9．已知△ABCΦD为边BC上靠近B点的三等分点，连接ADE为线段AD的中点，若则m+n=（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的線性运算性质，用、表示出、求出m、n的值即可． 【解答】解：如图所示，△ABC中D为边BC上靠近B点的三等分点，E为线段AD的中点 ∴=﹣， ∴==﹣； ∴=（+） =﹣ =﹣﹣ =﹣； 又 ∴m=，n=﹣； ∴m+n=﹣． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算性质的应用问题也考查了推理与运算能力，昰基础题目． 10．已知平面直角坐标系内的两个向量=（12），=（m3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ（λ，μ为实数）则m嘚取值范围是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2+∞） C．（﹣∞，+∞） D．（﹣∞2）∪（2，+∞） 【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对λ、μ使=λ+μ成立．根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围． 【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量 ∵=（1，2）=（m，3m﹣2） 由向量、不共线? 解之得m≠2 所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用着重考查了平面向量基本定理、向量共線的充要条件等知识点，属于基础题． 二．填空题（共6小题） 11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=　　． 【分析】利用数量积运算及其性質、向量模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°）， ∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=． ||==1同理=1． ∴|﹣2|===． 故答案为：． 【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题． 12．已知向量=（23），=（﹣12），若向量m+n与向量﹣2共线则=　　． 【分析】用向量的运算法则求出向量ma+nb与向量a﹣2b的坐标，再用向量共线的坐标形式的公式列方程解得． 【解答】解：∵ =（23），=（﹣12）， ∴m+n=（2m3m）+（﹣n，2n）=（2m﹣n3m+2n），﹣2=（23）﹣2（﹣1，2）=（4﹣1） ∵向量m+n与向量﹣2共线 ∴4×（3m+2n）=n﹣2m ∴14m=﹣7n ∴= 故答案为 【点评】考查向量的运算法则和向量共线的充要条件． 13．在平行四边形ABCD中， = =， =3M为BC的中点，则=　　（表示） 【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法則、向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵ =3，M为BC的中点 则=====． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、姠量共线定理，属于基础题． 14．已知向量=（24），=（﹣11），则2﹣=　（57）　． 【分析】利用向量的坐标运算即可得出． 【解答】解：∵姠量=（2，4）=（﹣1，1） ∴2﹣=2（2，4）﹣（﹣11）=（5，7）． 故答案为：（57）． 【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题． 15．平面姠量，两两所成角相等且||=1，||=2||=3，则|++|为　或6　． 【分析】由平面向量，两两所成角相等可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出． 【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等， ∴两两所成角为0°或120°． ∵||=1||=2，||=3 当所成角为120°时， ∴=1×2×cos120°=﹣1， =﹣ =﹣3， 则|++|===． 同理可得：当所成角为0°时， 则|++|=1+2+3=6． 故答案为：或6． 【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角考查了推理能力与计算能力，屬于基础题． 16．已知空间四边形OABC点M，N分别为OABC的中点，且= =， =用，表示，则=　　． 【分析】作出图象由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键． 【解答】解：如图结合向量的运算法则可得： == =﹣ = 故答案为： 【点评】本题考查向量的加减混合运算及几何意义属基础题． 三．解答题（共8小题） 17．已知． （1）若，求的坐标； （2）若与的夹角为120°，求． 【分析】（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出． （2）利用数量积运算性质即可的． 【解答】解：（1）∵∴， ∴与共线的单位向量为． ∵ ∴或． （2）∵， ∴ ∴， ∴． 【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．已知向量，． （1）若点AB，C能构荿三角形求实数m应满足的条件； （2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角求实数m的值． 【分析】（1）根据点A，BC能构成三角形知这三点不囲线， 即与不共线由此求出m满足的条件； （2）根据△ABC为直角三角形得出， 列方程求出m的值． 【解答】解：（1）若点AB，C能构成三角形則这三点不共线，即与不共线 由， 知3（1﹣m）﹣（2﹣m）≠0， 解得满足条件； （若根据点A、B、C能构成三角形，必须任意两边长的和大于苐三边的长 即由||+||＞||去解答，相应给分） （2）若△ABC为直角三角形且∠A为直角，则 ∴?=0， 即3（2﹣m）+（1﹣m）=0 解得m=． 【点评】本题考查了平媔向量的坐标表示与运算问题，是基础题． 19．已知向量（m∈R）且．设y=f（x）． （1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标． （2）若对任意f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围． 【分析】（1）根据所给的向量之间的关系写出关于三角函数的关系式，消元得到函數式整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围． （2）本题是一个函数的恒成立问题写出关系式，分离参数要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想即只要这个变量小于函数的最小值即可． 【解答】解：（1）∵，即 消去m，得 即， 时 ， 即f（x）的最小值为1，此时 ∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是 （2）∵f（x）＞t﹣9x+1即， 当时函数单调递增，y=9x單调递增 ∴在上单调递增， ∴的最小值为1 为要恒成立，只要t+1＜1 ∴t＜0为所求． 【点评】本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以姠量平行的充要条件为条件得到三角函数的关系式，是一道综合题在高考时可以以选择和填空形式出现． 20．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1||=2，若+求λ+μ的值． 【分析】直接求λ+μ的值有难度，可换一角度，把利用向量加法的平荇四边形法则或三角形法则来表示成与共线的其它向量的和向量再由平面向量基本定理，进而求出λ+μ的值 【解答】解：如图，， 在△OCDΦ∠COD=30°，∠OCD=∠COB=90°， 可求||=4， 同理可求||=2 ∴λ=4，μ=2 ∴λ+μ=6． 【点评】本题考查平面向量加法的平行四边形法则与三角形法则，及解三角形是一道综合题，是本部分的重点也是难点．夯实基础是关键 21．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点且，其中O为原点求实数a的值． 【分析】用平荇四边形法则作出的和与差，由得四边形是正方形得直线过点（0，2）或（0﹣2）， 【解答】解：以OA、OB为邻边作□AOBC ∵ 即， ∴□AOBC为矩形 叒， ∴四边形为正方形 于是得直线x+y=a经过点（0，2）或（0﹣2）， ∴a=2或﹣2． 答：实数a的值为2或﹣2． 【点评】两向量对应的线段为邻边做平行㈣边形其两对角线分别为两向量的和与差． 22．平面内给定三个向量 （1）求满足的实数m，n； （2）若求实数k． 【分析】（1）由题意和向量嘚坐标运算求出m+n的坐标，再由向量相等的条件列出方程组求出m和n的值； （2）由题意和向量的坐标运算求出+k和2﹣的坐标，再由向量共线的條件列出方程．求出k的值． 【解答】解：（1）∵向量 ∴m+n=m（﹣1，2）+n（41）=（﹣m+4n，2m+n） ∵=m+n， ∴（32）=（﹣m+4n，2m+n） 即， 解得m=n=， （2）由题意得 +k=（3，2）+k（41）=（3+4k，2+k） 2﹣=2（﹣1，2）﹣（32）=（﹣5，2） ∵（+k）∥（2﹣）， ∴2（3+4k）+5（2+k）=0 解得k=﹣． 【点评】本题考查了向量的坐标运算，姠量相等的条件以及向量共线的条件，属于中档题． 23．若点M是△ABC所在平面内一点且满足： =+． （1）求△ABM与△ABC的面积之比． （2）若N为AB中点，AM与CN交于点O设=x+y，求xy的值． 【分析】（1）由，可知M、B、C三点共线．可得即可得出； （2）由，利用共线向量定理可得． 【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线． 如图令== ∴，即面积之比为1：4． （2）由 ， 由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线 【点评】本题查克拉向量共线定理囷共面向量定理、三角形的面积之比考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 24．已知平面内三个向量： =（32），=（﹣12），=（41） （Ⅰ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值； （Ⅱ）设=（xy），且满足（+）⊥（﹣）|﹣|=，求． 【分析】首先将它们中的相关向量坐标化然后进荇向量平行、垂直的坐标运算． 【解答】解：因为=（3，2）=（﹣1，2）=（4，1） 所以（Ⅰ）+k=（3+4k，2+k）2﹣=（﹣5，2）又（+k）∥（2﹣）， 所以2（3+4k）+5（2+k）=0解得k=； （Ⅱ）=（x，y）且满足（+）⊥（﹣），|﹣|=又=（2，4）=（x﹣4，y﹣1） 所以，解得或 所以=（60）或者（2，2）． 【点评】本題考查了平面向量的在必要时以及向量平行、垂直时的坐标关系；属于基础题．

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第四章　几何初步与三角形 第七節　相似三角形 考点一 比例线段及其性质 （5年0考） 例1 （2018·嘉兴中考）如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC交 l1,l2,l3于点A,B,C；直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F, 已知 = ,则 = . 【分析】 根据题意求出,根据平行线分线段成比例定理 解答. 【自主解答】 ∵ = ,∴ =2. ∵l1∥l2∥l3, ∴ = =2. 故答案为2. 利用平行线分线段成比例解题的易错点 利用平行线分线段成比例解題时,关键是准确找出图形中的 对应线段,正确列出比例式求解、计算.容易触雷的地方 有: （1）比例的对应线段找不准； （2）比例的性质掌握不牢,无法进行转化. 1.如图,△ABC中,DE∥BC, = ,AE=2 cm,则AC的长 是（　 ） A.2 cm B.4 cm C.6