高等数学Ⅰ（二）复习题；一、选择题1．直线L：?；?x?y?z?1；与平面?：x?y?z?1的关系是（）；?x?2y?z?0；A、直线L平行于平面?B、直线L在平面?上C、直；求出直线的方向向量，平面的法向量，它们的数量积为；A．2x?2y?2z?5B．x?1?y?2?z?；?x?y?z?1x?2y?4zC．?D．??；x?2y?z?021?3?；见教材P3
高等数学Ⅰ（二）复习题
一、选择题 1．直线L：?
与平面?：x?y?z?1的关系是（ ）
A、直线L平行于平面?
B、直线L在平面?上 C、直线L垂直于平面?
D、直线L与平面?斜交
求出直线的方向向量，平面的法向量，它们的数量积为零，且直线与平面无交点。见教材P46,“直线与平面的夹角” 2．下列方程中为平面方程的是（ ）
A．2x?2y?2z?5
B．x?1?y?2?z?3
?x?y?z?1x?2y?4zC．?
x?2y?z?021?3?
见教材P39，“平面的一般方程”
3．在空间直角坐标系下，与平面x?y?z?1垂直的直线方程为（ ）
?x?y?z?1x?2y?4z
x?2y?z?021?3?
C．2x?2y?2z?5
D．x?1?y?2?z?3
以平面的法向量为方向向量的直线与平面垂直，见P46，“直线与平面夹角”
?x?3y?2z?1?04．设有直线L：?，及平面?：4x?2y?z?2?0，则直线L（ ）
2x?y?10z?3?0?
A、平行于?
C、垂直于?
同第一题解法 A、x(ax?b)e
B、在?上 D、与?斜交
5．微分方程y???y??2y?xe
的一个特解应设为
B、x(ax?b)e
C、(ax?b)e
D、(ax?b)e
考察常系数非齐次线性微分方程解的结构，参见P343，例2的解法。 6．已知y?1,y?x,y?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（
） A．C1(x?1)?C2(x?1)
B．C1(x?1)?C2(x?1)?x
C． C1?C2x?x
D．C1x?C2x?1
考察高阶线性微分方程解的结构，参见第七章第六节课件例3
7．已知y1?x，y2?e，y3?e是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（
） A．x?C1e?C2e
B．C1x?C2e?C3e
C．x?C1(e?e)?C2(x?e)
D．C1(e?e)?C2(e参见第七章第六节课件例4
8．考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：（02）
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续 ②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续 ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微 ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在
若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有
（A）②?③?①
（B）③?②?① （C）③?④?①
（D）③?①?④ 参见教材P129,总复习题1
9．二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存 在是f(x,y)在该点可微分的（
A、充分条件而非必要条件
B、既非充分条件又非必要条件 C、充分必要条件
D、必要条件而非充分条件。 同上 10．设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)、fy(x0,y0)都存在，则f(x,y)在该点（
） A．连续且可微；
C．可微但不一定连续； 同上
B．连续但不一定可微；
D．不一定可微也不一定连续。
,(x,y)?(0,0)?22
11．二元函数f(x,y)??x?y，在点(0,0)处
?0,(x,y)?(0,0)?
A、连续，偏导数存在，
B、连续，偏导数不存在，
C、不连续，偏导数存在，
D、不连续，偏导数不存在。 见教材P67,例题,类似的题目见总复习题5
12．在曲线x?t，y??t，z?t的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线 （
A、只有一条
B、只有两条
C、至少三条
D、不存在 参见教材P94，“空间曲线的切线与法平面”及P100题7.
13区域D是由直线x?0，y?0，x?y?1，x?y?2所围成。
I1???(x?y)dxdy；I2???(x?y)2dxdy；I3???(x?y)3dxdy。则（ ）
A．I1?I2?I3 ；
B．I2?I1?I3； C．I1?I3?I2；
参见教材P137，题4 14．改换二次积分的次序A．C．
D．I2?I3?I1。
f(x,y)dx?（
?dx?xf(x,y)dy
?dx?xf(x,y)dy
见教材P154，题6（2）
15．设?是上半球面x?y?z?a，z?0，则
222(x?y?z)dS?（
考察对面积的曲面积分的定义,见第十一章第四节 16．设L为圆周x?acot，则对弧长的曲线积分s，y?asint（0?t?2?）
?y2)nds?（
考察对弧长的曲线积分的定义 17. 级数
（常数a?0）是（
） (1?co)，n
A．条件收敛
B．绝对收敛
D．收敛性与a有关
参见教材P261，例8. 18. 设k是负常数，则级数
A．条件收敛
B．绝对收敛 C．发散
D．敛散性与k有关 考察交错级数的敛散性，见教材P262, 定理7 19．设?是非零常数，则级数A、条件收敛
C、绝对收敛
见教材P265，例9
二、填空题
D、敛散性与?有关
20．曲线y?2x相应于0≤x≤1，这一段的弧长可表示为
。 考察第一类曲线积分的几何意义(被积函数为1)
21．曲线y?x与x轴及直线x?1围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为
。 考察三重积分的定义
22．已知|a|?3，|b|?4，|a?b|?7，则|a?b|? 考察向量模长的定义及数量积，参见第八章第二节课件备用题1 23．过点(1,?4,2)且与直线平面的点法式方程 24．设u(x,y,z)?e
垂直的平面方程为
，则该函数在点M(1,1,1)处的梯度grad|uM?
25．曲面e?z?xy?3在点(2,1,0)处的法线方程为
。 26．曲面x?2y?3z?21在点(1,?2,2)的法线方程为。 27．u?ln(x?y?z)在点M(1,2,?2)方向导数的最大值为
方向导数与梯度的关系, 教材P104, 见第九章第七节课件备用题1
x?28．函数u?ln(
y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向
见第九章第七节课件备用题2 29．交换二次积分的积分次序：30．积分
f(x,y)dx?。
dx?e?ydy?。
31．设f(x)为连续函数，F(t)?
dy?f(x)dx，则F?(2)?
交换积分次序，变上限积分求导
32．设一变力F(x,y)?(4x?y)i?(axy?6y)j，当a?时，质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。 参见教材P214,题7
34．微分方程y???2y??5y?0的通解为。
35．以y1?esinx，y2?ecosx为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是
。参见第七章第七节备用题
36．以y1?e，y2?e为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是
方程y???4y??13y?esin3x的特解应设为。 37．设曲线L为x2?y2?R2，则曲线积分38．设?为球面x?y?z?4，则
(x2?y2?2x)ds?___________。
(x?y?z)dS?。
39．若级数?条件收敛，则p的取值范围为
nn?1(x?1)n
40．幂级数?n的收敛域为
41．若级数
条件收敛，则级数
（填收敛或发散） |一定是。
三、解答题
42．指出下列方程所表示的曲面。 1）4x?y?z?4，
2）x?y?4z?4，
3）???1 ，
参见教材P31,习题8-11
4） D．z? ?
?x2?y2?z2?3x?0
44．求曲线? 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。
?2x?3y?5z?4?0
45．设?(2,?3,1),?(1,?2,3),?(2,1,2)，向量满足?,?,c?14，求。 46．设?(u,v)具有连续的偏导数，证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0所确定的
?z?z?b?c。P89,习题7 ?x?y
?x?y?z?7?0
47．求过点(1,2,3)且与直线?垂直的平面方程。
2x?y?2z?1?0?
函数z?f(x,y)满足a
48．设z?f(xy,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求：。 2
49求由方程xyz?
x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的
50．求函数u?xyz在点P(5,1,2)处沿从点P(5,1,2)到点Q(9,4,14)的方向的方向导数。 51．求函数u?xyz在点P(1,?1,2)处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。
?x?y?b?022
在平面?上，且平面?与曲面z?x?y相切
?x?ay?z?3?0
于点(1,?2,5)，求a，b之值。考察曲面的法平面
53．计算二重积分??dxdy，其中D是由曲线x?0，y??，y?x所围成。
52．设直线l：?第十章第二节课件例3 54．计算二重积分
dxdy，其中D是由直线x?0，y?2，y?x所围成。
化为累次积分，先x后y 55．求I?
(x2?y)dx?(x?sin2y)dy，其中，L是在圆周y?2x?x2
由点O(0,0)到点A(1,1)的一段弧。第二类曲线积分的计算 55．求I?
(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy，其中，L是在抛物线
2x??y2上由点O(0,0)到点A(,1)的一段弧。
22(x?y)dS，其中?是圆锥面z????
x2?y2介于两平面z?1及z?0
之间的部分。课后题 57．计算曲面积分I?
2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy，其中?是曲面???
z?1?x2?y2（z?0）的上侧。参见第十一章第六节例3
(y-z)dydz?(z-x)dzdx?(x-y)dxdy， 其中?为圆锥面???
x2?y2(0?z?h）的外侧。总习题十一
59．求幂级数?nx
的收敛域（含端点）及和函数，并由此计算级数?
的和。 n?1
60．求球面x?y?z?a含在圆柱面x?y?ax内部的那部分面积。第十章第四节课后题
展开成x的幂级数。 2
62.将函数f(x)?ln及g(x)?arctanx分别展开成x的幂级数。
)n是收敛的。63．设正项数列{an}单调减少，且?(?1)an发散，证明级数?(
n?1an?1n?1
61．将函数f(x)?
由Leibeniz定理(P262)，a_n的极限大于零,用根式判别法
64设un?0 (n?1,2,?)，且
li? 1，证明：级数
第十二章第二节课件备用题2
65. 求微分方程yy???y??0满足初始条件y
1?n?1?1(?1)???条件收敛. ?n?1?unun?1?
?1，y?x?0?
参见第七章第五节例5 66．设函数?(x)连续，且满足
?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt求?(x)。求出
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共3页/42条高等数学 选择题第二题 上图&
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