讨论函数g(x)=1/x·ln²x函数的单调性与极值区间与极值点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-21 01:02 标签： ln178.com
已知函数f(x)=x+a/x+lnx(a属于R)求函数的单调区间与极值点合肥三模的理科数学第十九题
天才暖暖50f
答：定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=1-a/x²+1/x=(x²+x-a)/x²f'(x)=0时x²+x-a=0(x+1/2)²=a+1/4因为x∈(0,+∞),g(x)=(x+1/2)²在x∈(0,+∞)上递增,所以g(x)值域为(1/4,+∞).所以(x+1/2)²=a+1/4>1/4,即a>0.①当a≤0时f'(x)=0无解,此时f'(x)恒>0,f(x)在定义域上为增函数,即单调增区间为(0,+∞),无减区间,无极值点.②当a>0时,f(x)=0当且仅当x=(√(4a+1)-1)/2（另外一根为负值不在定义域内舍去）.x (0,(√(4a+1)-1)/2) ,(√(4a+1)-1)/2 ,((√(4a+1)-1)/2,+∞)f'(x) 0f(x) 递减 ,极小值 ,递增f((√(4a+1)-1)/2)=√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)所以f(x)的单调增区间为((√(4a+1)-1)/2,+∞),减区间为(0,(√(4a+1)-1)/2),极小值点为((√(4a+1)-1)/2) ,√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2),无极大值点.
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已知函数f(x)=x+2a2x-alnx&&(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）因为f（x）=x+2a2x-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-2a2x2-ax=x2-ax-2a2x2=(x+a)(x-2a)x2，①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．（2）当a=1时，f（x）=x+2x-lnx(x＞0)．由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=3-ln2．因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，即2b≥x+1x对于任意x∈[1，e]恒成立，因为函数y=x+1x的导数y′=1-1x2≥0在[1，e]上恒成立，所以函数y=x+1x在[1，e]上单调递增，所以(x+1x)max=e+1e，所以2b≥e+1e，所以b≥e2+12e，故实数b的取值范围为[e2+12e，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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4061054685137961472517474959414080131.已知函数f(x)=e^x+ae^-x (1)试讨论函数f(x)的奇偶性(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围,并说明理由2.设f(2^x)=x²+bx+c(b,c,∈R)(1)求函数f(x)的解析式(2)当x∈(0,1/4]∪[4,+∞),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
（1）f（x）=f（-x）,没有符合条件的a值；f（x）=-f（-x）,知道a=-1；所以知 a=-1时,f（x）为奇函数（2 ）求导 可知f（x）的导函数为（1+a）e^x-1≥0,a≥1/e^x -1;求得a≥1/e-1；(a大于后面函数1/e^x -1 的最大值 1/e-1 )；楼主太狠了吧,搞了两题2.(1)设2^x=t；x=log2 ^t（就是以2为底的函数,log不会打见谅）f（t）=log2 ^t*log2 ^t+b*log2 ^t+c；f（x）=log2 ^x*log2 ^x+b*log2 ^x+c； 第二个问比较复杂有时间再和你说吧
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?? ??????? e^x?????e^x
????? ??????????SORRY
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