九江市庐山区董晓红初中数学工作室
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二元一次方程组
上传: 包志强 &&&&更新时间： 20:06:10
二元一次方程组 一、二元一次方程的定义 1．若方程2xm-n-1+y2m+n-2=5是二元一次方程，求m，n的值． 2．如果（a-2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 3．已知方程2xm+2+3y1-2n=17是二元一次方程，求m，n的值． 4．方程 +y=5及xy=3中x、y两个未知数的指数都是1，那这样的方程是不是二元一次方程呢？ 5．你还记得&什么是方程&&什么是一元一次方程&吗？类比着来学习二元一次方程． 6．已知方程（m+2）x|m|-1+（n-3）yn2-8=5是关于x、y的二元一次方程，求m2+2mn+n的值． 7．已知关于x、y的方程2x3a-2-3y2a+3b+5=1是二元一次方程，求a2-2ab+b2的值． 8．若3x2m+5n+9+4y4m-2n-7=2是二元一次方程，求（n+1）m+2002的值． 9．方程（k2-4）x2+（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 10．若方程(m+1)x|m|+(n&1)yn2＝&3是关于x、y的二元一次方程，求m+n的值． 二、二元一次方程（组）的解 1．若 和 是方程mx+ny=3的两组解，求m、n之值． &
2．已知方程组 中，xy的系数都已经模糊不清，但知道 是这个方程组的一个解，请写出原方程组． 3．如果关于x、y的方程2x-y+2m-1=0有一个解是 ，请你再写出该方程的一个整数解，使得这个解中的x、y异号． 4．已知方程ax+by=-1的两组解是 和 。 &
（1）求a，b； （2）求（a+b）（a2-ab+b2）的值． 5．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为 ；乙把ax-by=7看成ax-by=1，求得一解为 ．试求a，b的值． 6．已知关于x、y的二元一次方程y=kx+b的两组解是 和 。 （1）求k和b的值；（2）当x=2时，求y的值． 7．已知 和 是方程mx+ny=10的解，求m、n的值． 8．若 是方程2x-6y=18的解，求k的值． 9．已知 是方程4x+my=10和mx-ny=11的公共解，求m2+2n的值． 10．（1）已知 是方程2x-6my+8=0的一组解，求m的值； &
（2）如果 是方程x-6y+16=0的解，则t=？ 11. 已知关于x，y的二元一次方程（a-3）x+（2a-5）y+6-a=0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． （1）求出这个公共解； （2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a-3）x+（2a-5）y+6-a=0的解． 三、解二元一次方程 &
1. 求方程2x+9y=40的正整数解． 2. 求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1；&&& （2）9x+21y=144；&&&& （3）103x-91y=5． 3. 求下列不定方程的正整数解： （1）3x-5y=19；&& （2）12x+5y=125；& （3）37x+107y=25。 四、用实际问题抽象出二元一次方程 1. 某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进AB两种型号的收割机共30台，根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元，其中，收割机的进价和售价见下表： &
进价（万元/台）
售价（万元/台）
设计公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元． （1）试列出关于字母x、y的二元一次方程； （2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？ 2. 若干名游客要乘坐游船，要求每艘游船乘坐的人数相同．如果每艘游船乘坐12人，结果剩下1人未能上船；若有一艘游船空着开走，则所有游客正好能平均分坐到其余游船上．已知每艘游船最多能容纳15人．请你通过计算，说明游客共有多少人？ 3. 大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？设需要大型客车x辆，中型客车y辆． 4. 某县政府打算用25 000元用于为某乡福利院购买每台价格为2 000元的彩电和每台价格为1 800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款． （1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台； （2）由于国家出台&家电下乡&惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法． 5. 某校积极推进&阳光体育&工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得-1分． （1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？ （2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场． 6. 阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道二元一次方程组 的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方程来解，可求得方程组 有唯一解． &
我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解． 下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程： 由2x+3y=12得
∵x、y为正整数，∴ ，则有0＜x＜6。又 为正整数，则 为正整数，所以x为3的倍数 又因为0＜x＜6，从而x=3，代入： ，∴2x+3y=12的正整数解为
问题：（1）若 为正整数，则满足条件的x的值有几个．（　　） A、2 B、3 C、4 D、5 （2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？ （3）试求方程组 的正整数解． 7．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：&我这次买这两种笔需支领2447元．&王老师算了一下，说：&如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．&请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了． ②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_____________元． 8. 一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？ &
9. 七年级（1）班为了奖励优秀学生，班长小明带了120元钱去文具商场购置钢笔和笔记本，钱刚好用完，已知每支钢笔8元，每本笔记本5元． （1）小明有多少种买法？ （2）请你再添加一个条件，使得小明购买钢笔和笔记本的数量只有一种情况． 10. 学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品．若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本． （1）请用y的代数式表示x． （2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？ （3）若王老师用这W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有）．请求出所有可能的a，b值． 11. 某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的 ．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ &
单价（单位：元/只）
12. &母亲节&快到了，七（1）班班委发起慰问烈士家属王大妈和李大妈的活动，决定在&母亲节&期间全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集资金．已知同学们从花店按每枝1.4元买进鲜花，并按每枝3元卖出，设卖出鲜花x枝． （1）每卖出一枝鲜花赚__________元，卖出鲜花x枝赚_______________元； （2）若从花店购买鲜花的同时，同学们还花了50元购买包装材料，请把所筹集的资金y（元）用鲜花的销售量x（枝）的代数式表示；现在筹集的资金为750元，问需要卖出鲜花多少枝？ （3）已知两种家用小电器的单价如下表所示，现将筹集的750元全部用于购买表中家用小电器赠送两位大妈，且电饭煲至少要购买1只，请求出所有的购买方案． & & & & & & 13. 为了保护环境，某企业决定用192万元钱购买处理污水设备．现有A，B两种型号的处理污水设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表． &
价格（万元/台）
月处理污水量（吨/台）
（1）设A、B型设备应各买入x、y台，请你列出方程或方程组； （2）用含y的代数式表示x，并写出所有满足题意的x，y的值； （3）为了使月处理污水量达到最大，A，B型设备应各买多少台？最大月处理污水量为多少吨？ 14. 某校七年级初一（20）班组织由男生和女生组成的小组去参加义务植树活动，男生每人植树4棵，女生每人植树3棵，全组共植树48棵，设男生有x人，女生有y人． （1）请列出关于x、y的二元一次方程：______________________； （2）在下面的表格中写出该组男生人数、女生人数的所有可能情况： &
男生人数（x）
女生人数（y）
（3）根据你列的方程，再编一个类似的实际问题． 15. 刘老师装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少． 16. 长春至吉林现有铁路长为128千米，为了加快长春与吉林的经济一体化发展，有关部门决定新修建一条长春至吉林的城际铁路，城际铁路全长96千米．开通后，城际列车的平均速度将为现有列车平均速度的2.25倍，运行时间将比现有列车运行时间缩短 小时．求城际列车的平均速度． 17. （探索题）某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可利用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载． （1）请你给出三种不同的租车方案； （2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最小的租车方案，并简述你的理由． 18. 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ &
用水量（吨）
19. 为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市规定用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水费按每吨m元收费，超过6吨时，不超过部分仍按每吨m元收费，超出部分按每吨n元收费．该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示，设某户每月用水量x吨，应交水费y元． （1）求m、n的值 （2）分别写出用水不超过6吨和超过6吨时，y关于x的函数关系式． （3）若该户11月份用水10吨，求11月份应交水费． 20. 现有1 克2克3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体． （1）在取出的砝码中，设有3 个1克的，那么，3克重的砝码应有多少个？ （2）除（1）的情况外，取出的砝码还有哪几种情况呢？（设任一种砝码至少取一个） 21. 小刚周日去逛超市，兜里仅有出门时妈妈给他的1角、5角、1元硬币各10枚．小刚看见一支自己喜欢的玩具手枪，这支手枪的标价是10元，正逢周日超市对所有玩具商品一律按标价七折销售，他决定买下这支玩具手枪．于是小刚去收银台，取出15枚硬币，既不多又不少，交给收银员，便拿着玩具手枪回家了．请解答：小刚取1角、5角、1元硬币各多少枚？ 22. 某商场计划拨款9万元购进50台电视机．已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，问有多少种不同的进货方案？并写出这些方案． （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在第（1）小题的几个方案中，为使销售时获得利润最多，你选择哪种方案？并说明理由． 23. 黄冈中学拟组织三好学生代表及部分教师去省博物馆参观，下面是政教处程老师和陶老师有关租车问题的对话： 程老师：&平安客运公司有45座和30座两种型号的客车可供租用，日租金分别为300元每辆，220元每辆．& 陶老师：&原计划租用30座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的45座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．& 根据以上对话，解答下列问题： （1）设原计划租30座客车x辆，外出参观师生有y人，则y= _______（用含x的式子表示）；若租用45座客车，则y= _______________（用含x的式子表示）． （2）外出参观师生共有多少人？ （3）若同时租用两种型号的客车，且要使每个同学都有座位，每辆客车恰好坐满．设租30座客车a辆，45座客车b辆，问有几种租车方案？ （4）设租车费用为W元，问怎样租车更合算？ 24. 甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行，甲、乙二人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，则A、B两地的距离是多少？ 25. 甲、乙两人到特价商店购买商品，商店里每件商品的单价只有8元和9元两种（分别称为A型和B型），已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花了172元，求甲、乙两人购买的所有商品中，A型共有几件？B型呢？ 26. 某班花了50元钱购买笔和讲义夹，每支笔6元，每个讲义夹4元，设买笔x支，买讲义夹y个，试用列表尝试法求出x、y的值． 27. 某种客货车车费起点是2km以内2.8元．往后每增加455m车费增加0.5元．现从A处到B处，共支出车费9.8元；如果从A到B，先步行了300m然后乘车也是9.8元，求AB的中点C到B处需要共付多少车费？ 28. 一根长20米的钢管，刚好截成若干根长3米和2米的规格的钢管，则共几种不同的截法？ 29. 甲、乙两同学从A地到B地，甲步行速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米，甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙下车步行，甲走到乙放车处骑自行车，以后不断交替行进，两人最后恰好同时到达B地，求甲走完全程的平均速度． 30. 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？ 31. 把一根lm长的金属线材，截成长为23cm和13cm的两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高？求出最高利用率．（ ，截口损耗不计） 32. 有这样的两位数，交换该数数码所得的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为29+92=121=112．请你找出所有这样的两位数．[两位数有8个，29.38，47，56，65，74，83，92] 33. 王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？ [解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为0～9的整数）． ∵王亮的爷爷今年80周岁了， ∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： （1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000+10x+y， 依题意，得 2012-（2000+10x+y）=2+0+x+y， 整理，得 ,x、y均为0～9的整数，∴x=0，此时y=5， ∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁． （2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900+10x+y， 依题意，得 2012-（1900+10x+y）=1+9+x+y， 整理，得11x=102-2y，故x为偶数，又 ， ,∴ ,∴x=8，此时y=7， ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．] 34. 阳光公司决定按如图（1）给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知这三个工厂生产的产品A的优品率如表所示．
（1）阳光公司从甲厂应购买______件产品A，从乙厂应购买___________件产品A，从丙厂应购买________件产品A； （2）阳光公司所购买的200件产品A的优品率为___________； （3）你认为阳光公司能否通过调整从三个工厂所购买的产品A的比例（每个工厂的购买数均大于0），使所购买的200件产品A的优品率上升3%？若能，请问应从甲厂购买多少件产品A；若不能，请说明理由．（如图（2）） 35. 有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？ 36. 小明的外婆送来一篮鸡蛋，这篮鸡蛋最多只能装55只左右，小明每3只3只地数，结果剩下1只，但忘了数了多少次，只好重数；他又每5只5只地数，结果剩下2只，但又忘了数了多少次，他准备再数时，妈妈笑着说：&不用数了，共有52只．&小明惊讶地问妈妈是怎么知道的，妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？ 37. 一楼房内有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F六种报纸，已知每家至少订有1种报纸，且赵、钱、孙、李、周分别订了其中2、2、4、3、5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订户，若吴姓住户订有x种报纸，报纸F在这幢楼里有y家订户，试写出一个含有x、y的等式，并求出x、y的值． 38. 用多于7角的任意钱（以角为单位，钱数是整角数）去买3角和5角的两种冰糕，一定可以把钱花完．说明为什么？ [解：假设3x为任意一大于7的一个数且x是正整数x&3， 有分析可知大于7的数可以分为三种，即：①3x；②3x+1；③3x+2； ①当数为三的倍数时只买三角的可以花完； ②当数为3x+1时，式子可以写为3（x-3）+10，3（x-3）部分购买三角的，10角购买5角的也可以花完； ③当数为3x+2时，式子可以写为3（x-1）+5，3（x-1）部分购买三角的，5角购买5角的也可以花完； 又，上述个情况中不包含数字8， 对数字8单独分析8=5+3，显然也能花完，故一定可以把钱花完．] 39. 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 40. 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 41. 兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱？ 42. 现有某物质73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问最省运费是多少元？ 43. 某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示： &
数量（米）
单价（元/米）
金额（元）
所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7.28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账． 44. 将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数，使得&田&字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值． 45. 有一批长50米的钢筋，现要截成长度为9.5米和7米的两种钢筋备用，问怎样截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？ 五、二元一方程组的定义 1.已知方程组 是二元一次方程组，求m的值． 2. 若方程组 是二元一次方程组，求a的值。
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题号：2471450试题类型：解答题 知识点：二元一次方程的定义,二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解法,二元一次方程组的应用&&更新日期：
.已知满足二元一次方程的值也是方程的解,求该二元一次方程的解.
难易度：容易
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二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0其中a、b不为零。二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解 。
二元一次方程的特点：1.在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数。2.未知数的项的次数是1，指的是含有未知数的项（单项式）的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程。3.二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程1/x-y=1的左边不是整式，所以她不是二元一次方程。二元一次方程的解的特点：1.二元一次方程的每个解都包括两个未知数的值，是一对数值，而不是一个数值，如x=7不是方程x+y=18的一个解，而才是方程x+y=18的一个解。2.二元一次方程的解是具有相关性的一对未知数的值，二者相互制约，相互对应，不独立存在，当其中一个未知数的值确定以后，另一个未知数的值也确定了。3.一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，如方程x+y=18的解还可以是等等。
二元一次方程的判定标准：1.二元：有两个未知数 2.一次：未知数的系数为13.整式方程：分母不含未知数
二元一次方程组：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。一般形式为：（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.
二元一次方程组的特点：1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数，如也是二元一次方程组。2.在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。3.二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。4.二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。
二元一次方程与二元一次方程组的区别：
二元一次方程组的判定：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。3、无解。如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c&0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。例：解方程组 ：&&&& x+y=5①｛&&&& 6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即 y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即 x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。2）加减消元法用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。例：解方程组：&&&& x+y=9①｛&&&& x-y=5②解：①+②2x=14即 x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴ x=7y=2 为方程组的解利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。3）加减-代入混合使用的方法例：解方程组：&&& &13x+14y=41①｛&&&& 14x+13y=40 ②解：②-①得x-y=-1x=y-1 ③把③ 代入①得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入③得x=1所以：x=1,y=2特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。二、换元法例：解方程组：&& （x+5)+(y-4)=8｛&& （x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。三、设参数法例：解方程组：&&&&& x:y=1:4｛&&&& 5x+6y=29令x=t，y=4t方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1所以x=1，y=4四、图像法二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。
二元一次方程组应用中常见的相等关系：1． 行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt①相遇问题（同时出发）：确定行程过程中的位置路程 相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程÷相遇时间= 速度和相遇问题（直线）& 甲的路程+乙的路程=总路程相遇问题（环形）& 甲的路程 +乙的路程=环形周长②追及问题（同时出发）：追及时间＝路程差÷速度差&& 速度差＝路程差÷追及时间&& 追及时间×速度差＝路程差追及问题（直线）距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间追及问题（环形）快的路程-慢的路程=曲线的周长③水中航行顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间&& 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间&& 顺水速度=船速＋水速&& 逆水速度＝船速－水速&& 静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2&& 水速：（顺水速度－逆水速度）÷22．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂3．增长率问题4．工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。5．几何问题①常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。②注意语言与解析式的互化:如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。③注意从语言叙述中写出相等关系：如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。④注意单位换算:如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。
二元一次方程组的应用：列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。⑸解方程及检验。⑹答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
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