线性代数 基，求维数与基

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-25 04:43 标签： 线性代数 基底
线性代数中，向量空间的维数和解空间维数有什么区别_百度知道【图文】线性代数 N维向量空间 第4节 基与维数_百度文库
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线性代数 N维向量空间 第4节 基与维数
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线性代数 N维向量空间 第4节 基与维数.ppt
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* ? §4.4 向量空间
第四章 n维列向量空间 §4.4 向量空间
一. 向量空间 vector space 的概念
1. n维实 列 向量的全体
Rn x1, x2, …, xn T | x1, x2, …, xn?R
关于向量 即列矩阵 的加法和数乘运算
满足如下8条基本性质: 关于加法:
? 关于数乘:
k l? kl ?; 7
k? +k?. ? ? 第四章 n维列向量空间 § 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭 closed , 即 仅含有零向量0的集合 0 关于向量的线性运 算也构成一个向量空间. Rn和 0 称为Rn的平凡 trivial 子空间.
则称V是Rn的一个子空间 subspace , 或直接
称为一个 实 向量空间 real vector space .
??, ??V, k?R, 有?+??V, k??V,
closure conditions
? 第四章 n维列向量空间 § 4.4 向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量空间.
| x, y ? R ;
| x, y, z ? R, x+y?z
A?Rm?n, b?Rm, b?0,
? 第四章 n维列向量空间 § 4.4 向量空间
?1, ?2, …, ?s?Rn,
L ?1, ?2, …, ?s | 诸ki?R . s
――由?1, ?2, …, ?s生成的向量空间
generated/spanned by ?1, … 或
?1, ?2, …, ?s――生成元 generator .
?1, ?2, …, ?s 的线性包 linear closure .
? 第四章 n维列向量空间 § 4.4 向量空间
二. 向量空间的基 basis 与维数 dimension
?1, ?2, …, ?r ――V的一组基:
r称为V的维数. 记为维 V 或dim V .
n维基本单位向量组就是Rn的一组基,
例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
零空间没有基, 规定dim 0
① ?1, ?2, …, ?r线性无关,
② ???V都能由?1, ?2, …, ?r线性表示.
? 第四章 n维列向量空间 § 4.4 向量空间
定理2.7. ?1, ?2, …, ?s的极大无关组是
A1, A2, …, As ,
求L A1, A2, A3, A4 的一组基和维数.
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一、线性相关性
& & & 什么情况下，向量X1，X2，……，Xn是线性无关的？
& &&& 答：当向量X1，X2，……，Xn的线性组合(线性组合时系数不能全为0)不为零向量时，它们是线性无关的。即方程
不存在非零解。
& && & 对于一个矩阵A来说，当A总各列向量是线性无关时，则Ax=0的解只有0向量，即矩阵A的零空间只有零向量。&如果各列向量是相关的，则矩阵A的零空间中还存在一些其他的向量。
& &&& & 当矩阵A各列是线性无关的，则矩阵A各列都有主元，自由变量的个数为0。
二、空间的基
& &&& & 我们知道，矩阵各列的线性组合生成矩阵的列向量。但是，矩阵的各列有可能不是线性相关的。我们关心的是这样的一组向量：既能生成空间，又是线性无关的。这样的向量我们称为空间的基。
& &&& & 如果要确定一个空间，我们只需要知道该空间的基，就了解了该空间的所有信息。例如：在三维空间中，向量的一个基是：
&当然，我们还可以写出其他的基，只需要满足基的两个性质：1、生成空间；2、线性无关。但是基中向量的个数是一样的。
& &&& & 对于一个n阶的方阵A的各列想要成为n维空间的基的话，该方阵必须是可逆的。
三、空间的维数
& &&& & 维数的定义：空间内任意基内向量个数称为空间的维数。
& &&& & 空间内所有的基内向量个数是相同的，都指空间的维数。& &&& &&
下面我们来举例说明上述概念：假设矩阵为A:
&矩阵A的各列生成矩阵A的列空间。
&矩阵A的各列不是A的列空间的基，因为它们线性相关，列空间的一个基是矩阵的第一、二列。
我们可以通过消元知道，该矩阵的秩为2，该列空间的维数为2。即矩阵的秩是列空间的维数！
作者：nineheadedbird
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