△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC边ae中平移与剪切在哪里得到的，连接AE，BE

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-02 14:12 标签： bebc
（2013o沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得
到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 14?&&，请直接写出△ABC的面积．
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED= 12?&&AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE．
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2× 12?&&×4×3=12．
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=12?&& AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=12?&& AB=12?&&× 4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 14?&&，
∴S△DOC= 14?&&S△ABC=&& 12?&&S△BDC= 12?&&&&S△ADC=&12?&& S △A′DC， &
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=12?&& AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=√4?2-22& =2√3?& ，
∴△ABC的面积是12?&& ×BC×AC= 12?&&×2×2√3?& =2 √3?&；
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=12?&& AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D= 12?&&AB= 12?&&×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S△DOC= 14?&&S△ABC=&& 12?&&S△BDC= 12?&&&&S△ADC=&12?&& S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴BD=A′C=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=& 12?& A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2×& 12?& ×A′D×CQ=2×& 12?& ×2×1=2；
即△ABC的面积是2或2√3?& ．如图,△ABC沿直线BC向右平移线段BC长的距离就与△ECD重合,则△ABC≌△＿＿＿＿＿,其中相等的边有＿＿＿＿＿＿＿＿,相等的角有＿＿＿＿＿＿＿＿.
小涵系列760
三角形ECDAB与EC,AC与ED,BC与CD角A与角E,角B与角ECD,角ACB与角D
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