设f(x)是定义在r上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意已知实数a满足x.y.都有f（x）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-16 09:20 标签： 若实数m满足m的平方
设f（x）是定义在R上的函数且满足f（0）=1,并且对于任意的实数x,y都有f（x-y）=f（x）-f（2x-y+1）,求f（x）的表达式
f（x-y）=f（x）-f（2x-y+1）,令y=x,那么有f(0)=f(x)-f(2x-x+1)=f(x)-f(x+1)即f(x)-f(x+1)=1,或f(x+1)-f(x)=-1,这是等差数列的形式,f(0)=1所以f(x)=f(0)+(-1)x=1-x,虽然用数列公式得出,但对于连续的x依然是正确的.
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你可能喜欢设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，则f（2）=______．
∵对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，f（0）=1，∴令x=0可得，f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，∴f（x）=x2-（-x）+1=x2+x+1，∴f（2）=4+2+1=7．故答案为：7．
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由对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立可令x=0可得，f（-y）=y2-y+1，进而可求f（x），最后将2代入解析式即可求出所求．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
本题主要考查了利用赋值法及配凑法求解函数的解析式，同时考查了分析问题的能力，属于基础性试题．
扫描下载二维码设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）of（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x
2+6x-1）of（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=?，求实数a的取值范围．
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设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）of（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x
2+6x-1）of（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=?，求实数a的取值范围．
设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）of（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x
2+6x-1）of（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=?，求实数a的取值范围．
科目:最佳答案
证明：令m=n=0得f（0）=f2（0）∴f（0）=0或f（0）=1又∵f（x）≠0∴f（0）=1当x＜0时，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1∴f（0）=f（x-x）=f（x）of（-x）=1∴∴x＜0时f（x）＞1∴对x∈R，都有f（x）＞0
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2则x1-x2＜0，∴f（x1-x2）＞1则1)
=f(x1)of(-x2)=f(x1-x2)＞1又∵f（x1）＞0，f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在R上是减函数
A={（x，y）|f（-x2+6x-1）of（y）=1}2+6x-1+y)=f(0)}
={(x，y)|-x2+6x-1+y=0}
={(x，y)|y=x2-6x+1}
∵A∩B=?∴方程x2-6x+1-a=0无实数根∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0∴a＜-8
解析（1）证明：令m=n=0得f（0）=f
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）of（-x）=1
∴x＜0时f（x）＞1
∴对x∈R，都有f（x）＞0
（2）证明：任取x
=f(x1)of(-x2)=f(x1-x2)＞1
1）＞0，f（x
∴f（x）在R上是减函数
（3）解：A={（x，y）|f（-x
2+6x-1）of（y）=1}
2+6x-1+y)=f(0)}
={(x，y)|-x2+6x-1+y=0}
={(x，y)|y=x2-6x+1}
2-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心分析：（1）为使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由当x＞0时，f（x）＞1．可设x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），结合f（1）＞1可求f（0）（2）要证明f（x）在R上是增函数，即证明当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），当x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0，则f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）•f（x2-x1），可证（3）由f（x2+y2）＜f（1）及单调性知x2+y2＜1可求A；由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0可求B，若A∩B=φ，用图形分析可得：只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可解答：（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）∵f（1）＞1∴f（0）=1（2）证明：∵对x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0∴f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）•f（x2-x1）中有f（x2-x1）＞1由已知可，得当x1＞0时，f（x1）＞1＞0当x1=0时，f（x1）=1＞0当x1＜0时，f（x1）•f（-x1）=f（x1-x1）=f（0）=1又∵f（-x1）＞1∴0＜f（x1）＜1故对于一切x1∈R，有f（x1）＞0∴f（x2）=f（x1）•f（x2-x1）＞f（x1），故命题得证．（3）解&由f（x2+y2）＜f（1），则由单调性知x2+y2＜1．由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，若A∩B=φ，则只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故|c|2≥1．∴c≥2或c≤-2点评：本题主要考查了利用抽象函数的赋值法求解函数值，及利用构造法证明函数的单调性的技巧要求考生熟练应用，利用函数的单调性把集合的基本运算转化为直线与圆的位置关系，本题是一道构思非常巧妙的试题．
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科目：高中数学
设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=loga（a2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（　　）
A、（0，+∞）B、（-∞，0）C、D、
科目：高中数学
设函数f（x）定义域为D，x1，x&2∈D，同时满足下列条件①f(x1x&2)=f(x1)+f(x2)②f(x2)-f(x1)x2-x&1＞0③f(x1+x&22)＞12[f(x1)+f(x2)]的函数是（　　）
科目：高中数学
设函数f（x）定义域为R且f（x）的值恒大于0，对于任意实数x，y，总有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（0）=1，且f（x）在R上单调递减；（2）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B≠∅，求a的取值范围．
科目：高中数学
设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(π2)=4，（1）求f（π）的值；（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周期；（3）求函数f（x）解析式．
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