一元二次反函数的定积分的换元积分法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-14 11:39 标签： 定积分换元
LZ今天突然发现一个对反函数积分的方法……好吧看上去不算什么…_数学吧_百度贴吧
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LZ今天突然发现一个对反函数积分的方法……好吧看上去不算什么…收藏
求积分似乎是一件很难办的事情……毕竟求导有公式，只要有解析式的函数通常导函数都能求出来但是……积分会很麻烦，很多函数都没有初等积分不过人们很聪明，发现了分部积分法、凑微分法等一系列方法……但是LZ在尝试求自然对数 ln(x) 的积分的时候卡住了虽然积分表里面有……但是对于一个平时丢三落四又不爱背书的LZ来说……似乎没什么用但是LZ觉得，对ln(x)的反函数e^x求积分似乎要容易很多（就是它本身）……于是……LZ尝试不用积分表把它做了出来，期间也没有换元积分、分部积分(*下面是LZ思考的过程，对这些没兴趣的话直接看最后的结果，放心不会像拼字母公式那样复杂)首先，我们知道，积分上限函数求导之后仍然是被积函数本身（从牛顿-莱布尼茨公式很容易看出）所以，积分上限函数可以看做被积函数的一个原函数但是，另一方面，积分上限函数又可以看做f(t)在a&t&x这个区域内与X轴围成的曲边梯形的面积这样，就把不定积分转化成了定积分那么，为了不讲的那么抽象，让大家有一个实在的认识，这里就让f(t)=ln(x)，也就是LZ上面说的被积函数对数函数为了避开奇点，这里让积分下限a=1先看看y=ln(x)的图象再看看它的反函数y=e^x的图象你会发现ln(x)关于x轴的面积(阴影部分)和e^x关于y轴的面积似乎一样……事实上，由反函数的定义就不难推出它们相等这样，就把关于ln(x)的面积转化成了e^x的面积首先声明一点，y轴上的点y=t在e^x上对应到x轴就是x=ln(t)那么，e^x关于y轴在1&y&t的面积可以看做如下两个面积相减：(1)长方形0&x&ln(t),0&y&t，不难看出，这个长方形的面积就是S_1=t*ln(t)(2)e^x在0&x&ln(t)内在X轴上方围成的曲边梯形，直接积分可以得到面积为两个面积相减,S_2-S_1=t*ln(t)-(t-1)=t*ln(t)-t+1把常数项(其实就是刚才的积分下限)忽略掉，就得到我们要的结论了当然，问题还没有结束，这只是对ln(x)使用了这种方法但是有没有一个公式使得它对所有函数都适用？下面，LZ会和你们一起去发现它首先假设你要积分的函数f^(-1)(x)是f(x)的反函数那么，你要求f^(-1)(x)的积分，像刚才上面那样变换成积分上限函数当然，不妨设a是f^(-1)(x)的零点，到后面你就会发现a的取值不影响积分结果，因为a在积分下限，积分之后代进去就是一个常数那么这个定积分就是f^(-1)(t)在a&t&x内在X轴上方围成的曲边梯形面积再像上面做的那样，转化成两个部分：(1)长方形0&x&f^(-1)(t),0&y&t，面积为S_1=t*f^(-1)(t)(2)f(x)在0&x&f^(-1)(t)内在X轴上方围成的曲边梯形，积分得到其面积为(用F(x)来表示f(x)的原函数)显然F(0)是个常数……无视掉，然后用S_1-S_2，就得到结果了！下面我们就来看看漂亮的结论吧：(为了好看，这里在Word上编辑好了截图)当然，由于LZ水平也不咋地，有些人可能看完上面的思路觉得迷迷糊糊的所以，现在该到证明这个公式的时候了……其实也不难，主要就是链式法则[f(x)]'表示对方括号内的函数求导OK，看来我们之前做的没错……现在该到结束这篇文章的时候了其实有些爱思考的同学或许早已发现这条公式……当然LZ写这篇东西的主要目的并不是发现一条公式而是觉得，我们不仅仅要会套用公式、证明公式还要学会如何发现假如直接把这条公式给你要证明它是轻而易举的但是要发现它却未必容易学数学就应该多思考，而不要仅仅局限于书本上(毕竟我没有看过哪本书上有这公式)最后，祝大家新年快乐，学业进步！
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太长 看不懂.
额这么晚来不及看了，高一党还不一定看得懂，不过我觉得如果是新发现一定注意保留所有权。
LZ的思考很好啊！不过这貌似是老方法了，在文库里看到过。。个人感觉是因为局限性太强（需要验证反函数的存在性，之后需要求出反函数，这个有时候很困难）所以教材上没写。。
点亮12星座印记,
楼主试一试分部积分，然后变量代换，其实更容易。
一下子觉得好高端 0 0对我这样偏好文科的来说，似乎差一点就要到天书了吧。
楼主是初一？不信
果断收藏先!~
用反函数来积分？
其实这个结论用分布积分即可证明。我同样按照楼主的假设，即F(x)是f(x)的原函数，f！(x)表示f(x)的反函数，那么根据分部积分法，有&f！(x)dx=xf！(x)-&xd(f！(x))=xf！(x)-&f(f！(x))d(f！(x))=xf！(x)-F(f！(x))+C这里&是积分符号。另外，在数吧难得楼主这种学术贴，必须赞个。
请楼主用这个方法法算一下y=x+sinx的反函数x=y+siny的原函数
做数学时总是有很强的满足感，可以说说你们为什么喜欢数学！『不过，不要说为了考试啊，去发现数学的美』
感觉以后学这个会死掉吧
其实我觉得得出这个公式并不是最重要的里面的思想是把不定积分转化成了定积分来算这样的话，对于这样的：考虑其几何意义，就是单位半圆在如下区域内的面积：忽略常数项Pi/4，就得到
初一学这个略屌
这个方法你们书上没讲吗？
（P.S.我有点怀疑LZ是否真的是初一）
楼主，这个书上有。
好神奇的样子。。。
反函数的积分在一些微积分教材里提及到了，例如Stewart的《Calculus》有这样一道习题：
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利用反函数求定积分
优质期刊推荐请问一道高数填空题（知识点：反函数,定积分,导函数）,
夜色阑珊丶励
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扫描下载二维码一个函数的反函数的积分与这个函数的积分有没有什么关系?弄错啦，是一个函数的倒数的不定积分与这个函数的不定积分有木有关系
shitouwa6685
从(x1,y1)到(x2,y2)的定积分A+B=x2y2-x1y1目测是这样的……然后不定积分呢……可以验算下sinx和arcsinx，这个式子是对的----------------------------------------------------------------------------------------------------倒数的不定积分和原来那个函数的不定积分没什么显式的公式可以联系起来，而且往往可以看到一个初等函数的倒数不可积或者原函数不初等的情况
一般情况下，没什么联系。。。
　　没发现它们之间有什么关系的，也从没见过什么地方提过这个问题，你是在哪儿看到这个问题的？　　补充：一个函数的倒数的不定积分与这个函数的不定积分也是没有关系的。
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扫描下载二维码2-40这公式是不是写反了,定积分不是上边减下边吗
那个先求不定积分 然后代入上下限的值来求?看后边的式子就发现了 RB小 所以式子为正值 即引力在距离减小方向上做正功.图示中的做法一口吃大胖子了,先去掉符号 然后上下限换位置.然后求不定积分了以后 R平方分之一 原函数 为 负R分之一 然后代入上线 RA 下限RB来减就行了.
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