如图已知抛物线C:y^2=2px和圆M:(x-4)^2 y^2=1,过抛物线上一点H(x,y)(y≥
发表于： 22:02:53
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如图已知抛物线C:y^2=2px和圆M:(x-4)^2+y^2=1,过抛物线上一点H(x,y)(y≥1)作两条直线与圆M相切与A,B两点如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为17/4（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值． 最佳推荐答案（I）M（4,0）到抛物线y^=2px的准线的距离为17/4，∴准线为x=-1/4,p=1/2,抛物线C的方程为y^=x.①(II)∠AHB的平分线HM⊥x轴时H为(4,土2），H为(4,2)时，设HA(HB)的方程为y-2=k(x-4),即kx-y+2-4k=0,M到HA的距离=2/√(k^+1)=1,∴k^=3,k=土√3，把y=√3x+2-4√3②代入①，3x^+(4√3-25）x+52-16√3=0，xH=4,xE=(13-4√3）/3，代入②，yE=(√3-6)/3,同法得xF=(13+4√3）/3,yF=(-√3-6)/3,∴EF的斜率=（2/√3）/（-8/√3）=-1/4，同法得H为(4,-2)时，EF的斜率=1/4.(III)设A(x1,y1)，B(x2,y2)在圆(x-4)^+y^=1上，则切线HA,HB为(xi-4)(x-4)+yi*y=1,i=1,2,它们过H(x0,y0),∴（x0-4)(xi-4)+y0yi=1,∴AB的方程是(x0-4)(x-4)+y0y=1,它在y轴上的截距t=[1+4(x0-4)]/y0=[4y0^-15]/y0=4y0-15/y0,↑,y0=1,∴t的最小值=t(1)=-11.
其他答案解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为4+p2=174，∴p=12，∴抛物线C的方程为y2=x．（2分）（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=-kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴yH-y1xH-x1=-yH-y2xH-x2，∴yH-y1y2H-y21=-yH-y2y2H-y22，∴y1+y2=-2yH=-4．（5分）∴kEF=y2-y1x2-x1=y2-y1y22-y21=1y2+y1=-14．（7分）法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=3，kHB=-3，∴直线HA的方程为y=3x-43+2，联立方程组y=3x-43+2y2=x​，得3y2-y-43+2=0，∵yE+2=33∴yE=3-63，xE=13-433．（5分）同理可得yF=-3-63，xF=13+433，∴kEF=-14．（7分）（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵kMA=y1x1-4，∴kHA=4-x1y1，∴直线HA的方程为（4-x1）x-y1y+4x1-15=0，同理，直线HB的方程为（4-x2）x-y2y+4x2-15=0，∴(4-x1)y02-y1y0+4x1-15=0，(4-x2)y02-y2y0+4x2-15=0，（9分）∴直线AB的方程为(4-x)y02-yy0+4x-15=0，令x=0，可得t=4y0-15y0(y0≥1)，∵t′=4+15y20＞0，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当y0=1时，tmin=-11．（12分）法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4-7m2+16，HA2=m4-7m2+15．以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m2）2+（y-m）2=m4-7m2+15，①⊙M方程：（x-4）2+y2=1．②①-②得：直线AB的方程为（2x-m2-4）（4-m2）-（2y-m）m=m4-7m2+14．（9分）当x=0时，直线AB在y轴上的截距t=4m-15m（m≥1），∵t′=4+15m2＞0，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，∴当m=1时，tmin=-11．（12分）
已知抛物线C,y^2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交与A,B两点,点A关于X轴的已知抛物线C,y^2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交与A,B两点，点A关于X轴的对称点为D.1,证明：点F在直线BD上。2，设向量FA×向量FB=8/9,求三角形BDK的内切圆MC的方程.问题补充：速度啊,急用 最佳推荐答案第一问时，如果按正常过程来做有点麻烦，所以我用了假设，第二问时我先算出BD直线的斜率求出BD,利用|(MD)|=|(MB)|=|(MK)|,(x)代表向量以下过程代表个人意见(1):AB直线（过K）设A(x1,y1)B(x2,y2)y=k(x+1)①,y²=4x②,①②→k²x²+(2k²-4)²+k²=0,x1+x2=(4-2k²)/k²③,x1x2=1④,y1y2=4⑨假设F在BD上(问题转化为证明D为A的对称点即可)→设BD直线y=m(x-1)⑤,设D(a,b)②⑤→m²x-(2m²+4)x-4x=0→a+x2=2+4/m²⑥,ax2=1⑦→by2=-4⑧⑦④→a=x1,⑧⑨→y1=-b→D为A关于X轴的对称点（以上有些过程可省略~）(2):根据(1)→(FA)(FB)=8/9→(x1-1,y1)(x2-1,y2)=8/9→k²=36/55求出BD,AB直线方程即可，设圆心M(X,Y),M到直线BD,AB距离列出方程解答即可（我这种方法好像很麻烦，只是暂时没其他的解题方法）
如图，已知抛物线y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴相交于点D，AO=1（1）填空：b=___.c=____,点B的坐标为（__,__）:（2）若线段BC的垂直平分线EF交AB于点E，交X轴于点F，求FC的长（2）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使圆心p于X轴，直线BC都相切？若存在，请求出P坐标，不存在，请说理由。问题补充： 最佳答案解1）对称轴为 x=2 所以 9/8*b=2 b=16/9又 AO=1 所以 A点坐标为（-1.0），该点在抛物线上 代入 得 -4/9-16/9+c=0 c=20/9所以 y=-4/9x^2+16/9x+20/9 y=-4/9(x-5)(x+1) 得 B点坐标（5.0）2) c点坐标（2.4）利用对称轴定理 可得。但是E为BC重点。所以 E（7/2，2）所以经过BC的直线方向系数 为-4/3 由于经过FE的直线与BC垂直。所以 FE的方向系数为3/4直线EF直线方程为 y=3/4(x-7/2)+2 所以F的坐标 （5/6.0）所以FC=BF=5-5/6=25/63）存在p(2.5/2)
其他答案解：因为对称轴为2 即-b/2a=2 -b/2*(-4/9)=2 b=16/9 又因为y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点 且AO=1 根据二次函数的对称性 那么DA=DB=3 故点B的坐标为（5,0）将B点坐标代入解析式，求得C=20/94ac-b^2/4a=4*(-4/9)*20/9-(16/9)^2/4*(-4/9)=4 C(2,4) 将c,b点坐标代入，BC解得k=-4/3,6=20/3 BC=-4/3x+20/3又因为EF为BC的垂直平分线，直线EF的k=3/4，所以E点的坐标为（7/2,2）EF=3/4x+b 将E点坐标代入，EF=3/4X-5/8 求得F(5/6，0) CF=BF=5-5/6=25/6（3）存在做角CBF的垂直平分线，交对称轴于点p，（2,3/2） '理由如下：设P（2，y）过P做PG垂直于BC于G PG=PD=y 则三角形CPG相似于三角形CBDPG/BD=PC/BC即 y/3=（4-y）/5 y=1.5 ;;; (2)若线段BC的垂直平分线EF交与点E，交X轴于点F，求FC的长 解：因为对称轴为2 即-b/2a=2 -b/2*(-4/9)=2 b=16/9 又因为y=-4/9x的平方+bx+c与x轴相交于A,B两点 且AO=1 根据二次函数的对称性 那么DA=DB=3 故点B的坐标为（5,0）将B点坐标代入解析式，求得C=20/9（2）4ac-b^2/4a=4*(-4/9)*20/9-(16/9)^2/4*(-4/9)=4 C(2,4) 将c,b点坐标代入，BC解得k=-4/3,6=20/3 BC=-4/3x+20/3又因为EF为BC的垂直平分线，直线EF的k=3/4，所以E点的坐标为（7/2,2）EF=3/4x+b 将E点坐标代入，EF=3/4X-5/8 求得F(5/6，0) CF=BF=5-5/6=25/6（3）存在做角CBF的垂直平分线，交对称轴于点p（2,3/2） '理由如下：设P（2，y）过P做PG垂直于BC于G PG=PD=y 则三角形CPG相似于三角形CBDPG/BD=PC/BC即 y/3=（4-y）/5 y=1.5
已知圆M的圆心在直线2x-y+5=0上，且与y轴交于两点A(0,-2),B(0,4) （1)求圆M的方程（2）求过点C（-4，4）的圆M的切线方程；（3）已知D(1,3),点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形ADQP的顶点Q的轨迹方程 最佳答案1）因为圆与 y 轴交于A、B，因此圆心在AB的垂直平分线上，即圆心纵坐标为 (-2+4)/2=1 ，在 2x-y+5=0 中，令 y=1 得 x= -2 ，因此圆心为M（-2，1）， r^2=MA^2=(-2-0)^2+(1+2)^2=13 ，所以，圆M的方程为 (x+2)^2+(y-1)^2=13 。2）容易知道，C 在圆M上，由于kCM=(4-1)/(-4+2)=-3/2 ，因此切线斜率为 2/3 ，所以，过C的圆的切线方程为 y-4=2/3*(x+4) ，即 2x-3y+20=0 。3）设P（x1，y1），Q（x，y），因为ADQP是平行四边形，因此AQ=AP+AD，即 (x，y+2)=(x1，y1+2)+(1，5)=(x1+1，y1+7) ，则 x1=x-1 ，y1=y-5 ，代入圆M的方程得 (x+1)^2+(y-6)^2=13 ，因为 P 与 A、D 不重合，因此 （x，y）≠ （1，3）、（2，8），所以，所求的Q的轨迹方程为 (x+1)^2+(y-6)^2=13 ，其中(x，y)≠(1，3) 和(2，8) 。
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点C（2，-1）与y轴交于点D，与x轴交于A.B两点，A在B左侧，△ABC为直角三角形…已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点C（2，-1）与y轴交于点D，与x轴交于A.B两点，A在B左侧，△ABC为直角三角形，直线y=kx+h，经过B.D两点。（1）求抛物线和直线的关系式（2）在直线y=kx+h上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。 在下愚笨，解不出此题，且此题无图附给，求数学达人详细解答，谢谢！ 答得对一定给分。 最佳答案解：△ABC为直角三角形,设对称轴于x轴交点为E, 只有∠ACB=90°且△ACB为等腰三角形 C(2,-1)∴EA=EB=EC=1 ∴A(1,0 ) B(3,0) 所以抛物线为y=x^2-4x+3 ∴D(0,3) ∴直线为y=-x+3(2)当QA=QB时Q为CE于BD的交点 ∴Q(2,1) 当QA=AB时 由OB=OD=3得∠OBD=45° ∴∠BQA=45°∴∠QAB=90° ∴AQ=AB=2 带入y=-x+3 ∴x=1 ∴Q(1,2) 当AB=BQ时有两种情况 Q在第一象限 和第四象限 在第一象限时作QF⊥X轴于F BF=QF=根号2 ∴Q(3-根号2，根号2) 在第四象限时易知Q(3+根号2，-根号2) Q存在四点Q1(2,1) Q2(1,2),Q3(3-根号2，根号2),Q4(3+根号2，-根号2)
其他答案y=a(x-2)^2+1A(X1,0) B(X2,O) C(2,-1)因为C为AB中点，所以X1+X2=4,X2=4-X1因为C与A或B不可能横坐标相同，所以C为直角,AB为斜边AB^2=(x2-x1)^2=(4-2X1)^2AC^2=(X1-2)^2+(0-(-1))^2=(X1-2)^2+1BC^2=(X2-2)^2+(0-(-1))^2=(X2-2)^2+1=(2-X1)^2+1勾股定理AB^2=AC^2+BC^2解得X1=1,所以X2=4-X1=3A,B,C的坐标都出来之后就可以求出抛物线关系式，及D的坐标，然后直线BD的关系式就能求出来，注意！！第二问会有四种情况的等腰三角形！！楼主自己求一求吧
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