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问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或&a2+2ab+b2∴（a+b）2 =a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．（1）尝试解决：请你类比上述方法，利用图形的几何意义推证平方差公式．（要求自己构图并写出推证过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23=（1+2）2=32（2）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13+23+33=．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3=．（要求直接写出结论，不必写出解题过程）
考点：完全平方公式的几何背景
分析：（1）尝试解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），可以推证平方差公式；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33=62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
解答：解：（1）尝试解决：∵第一个图形的阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），∴a2-b2=（a+b）（a-b）．即可以验证平方差公式的几何意义；（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6，∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形，∴13+23+33=62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n=，∴13+23+33+…+n3=（）2=2(n+1)24．故答案为62；2(n+1)24．
点评：此题主要考查了平方差公式的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
科目：初中数学
下列判断不正确的是（　　）
A、若a＞b，则-4a＜-4bB、若2a＞3a，则a＜0C、若a＞b，则ac2＞bc2D、若ac2＞bc2，则a＞b
科目：初中数学
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E，己知AC=6，sinA=．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠DBE的值．
科目：初中数学
计算：（1）9÷×；（2）（--）×（-2）．
科目：初中数学
在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；（2）探究：当∠CBD的度数为多少度时四边形BFDE为菱形，并给予证明，求出此时AB：BC的值．
科目：初中数学
如图，AB∥CD，且∠1=20°，∠2=45°+α，∠3=60°-α，∠4=40°-α，∠5=30°．则α的值为（　　）
A、10°B、15°C、20°D、25°
科目：初中数学
如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=45°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（　　）
A、55°B、75°C、95°D、110°
科目：初中数学
化简后求值：（2a-b）2+（1-2a-b）（1+2a+b），其中a=-，b=．
科目：初中数学
分解因式：（1）9a2-36；&&&&&&&&&&&&&（2）16x4-8x2y2+y4．
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国学教育中的数学问题
发布日期：&&&文章来源：安阳网-安阳晚报&&&
春秋战国时期数学已纳入教育课程
数学，简称数，人类在结绳而治时已经用打结的方式创造了原始的数字。殷墟甲骨文的发现，更是证明了商代已出现较为完整的数字。数学来源于生活，也要回归于生活，这可以说是普通大众学数学最好的方式了。
孔子教育学生，讲究六艺：礼、乐、射、御、书、数。礼、乐属于文化课程，射、御属于体育课程，书是基础课程，数则是生活课程。可以说，孔子在六艺的教学中，从文化到体育，从基础到生活，是非常完备的。
墨子的信徒多是木匠、工匠出身。墨子及其门徒，非常注重数学的运用。如《杂守》云：
叁食，终岁二十四石；四食，终岁十八石；五食，终岁十四石四斗；六食，终岁十二石。斗食食五升；叁食食叁升小半。
孔子、墨子是如此， 《易经》 、《道德经》更将数字上升到哲学的高度。
《道德经》言：
道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。
战国时期，有人伪造《管子》一书，曰：
虙戏作造六峜，以迎阴阳；作九九之数，以合天道。
什么是九九呢？即数学。九九八十一，六六三十六，所以用九九作为算术的代名词，可见战国时期已完全能运用乘法口诀了（罗振玉、杨树达有相关论断）
这里还有个故事，据《汉书·艺文志》中的《韩诗外传》载：
齐桓之时，有以九九见者，桓公不逆，欲以致大也。
可见，春秋早期，可能已有九九称呼法，并有人因擅长数学而得到齐桓公的重用。
军事家孙子，对于数学尤其重视。 《孙子》曰：
凡用兵之法，驰车千驷，革车千乘，带甲十万，千里馈粮。则内外之费，宾客之用，胶漆之材，车甲之奉，日费千金，然后十万之师举矣。
孙子认为在发动战争前，需要先做一道数学题。“驰车千驷”，一驷为四匹马，共四千匹马，“革车千乘”，配备四千匹马，每车需弓箭手、持枪者、驾驭者共三人，则为三千人。每车如果配备至少七十二人，则为七万二千人，加上此前的三千人，至少为七万五千人。如果加上其他作战人员，就很接近十万人了。此外，行军千里，需要有士兵专门运粮、护粮，负责后勤、采购及间谍等，至少两万人，这不在“带甲十万”的范畴内。如此算来，光口粮，就要日费千金，才能勉强发动战争，并且还不能保证战争的绝对胜利。
可见，早在春秋战国时期，孔子就将数学纳入教育课程中，老子纳入哲学思辨中，墨子纳入技术操作中，管子纳入行政管理中，孙子纳入军事作战中。因此，数学在先秦时期便已作为一门显学了，到了21世纪，到了复兴国学、弘扬传统文化时，数学也应该发挥作用。
数学本身就是国学的一部分
从数学作品来看，数学本身就是国学的一部分，战国有《甘石星经》
，是我国已知最早的一部关于天文学的著作。既然是天文学，那与数学有什么关系呢？须知，天文学对于日月星辰的变化、春夏秋冬的更迭，都要依据很多数学原理来计算。我想，这点大家都应该能想得通。
关于传统的干支问题，陈遵妫《中国天文学史》中提到，“在四千多年前的夏代，可能已有干支产生了”
。郑文光《中国天文学源流》甚至认为可以追溯到伏羲时代。当然，我们相信干支起源于夏代，我想不会如郭沫若《甲骨文字研究·释干支》中提到十二时辰来源于巴比伦的黄道十二宫那样。
总之，干支、岁时、月令等，在我们中国古代已成为高度的文明，是不争的事实。
古代数学著作
儒家经典《周礼》中对于土地、河渠、道路等丈量、分封，尤其是齐国（今主要在山东）地区流传的《考工记》
，需要很强的几何知识，这与古希腊数学家欧几里得的《几何原本》时代是差不多的。因此说，中国在战国时期，虽然没有专门的著作来谈论几何，但只要从古籍中数学的运用就可以知道几何学确实存在于中国的战国时期，甚至更早。
汉代时，有《九章算术》 ，三国时期刘徽为之作注（刘徽本人亦有作品《海岛算经》 ）
，更加丰富了《九章算术》的内容，其中圆周率等概念为现在所熟知。对于圆周率，在汉以前，应该有数学家提出，到了南北朝时期的祖冲之，更是将圆周率精确在3..1415927之间，其本人也有数学著作《缀术》
大约同时期，还有赵君卿《周髀算经》
，该书是对先秦数学的总结，明确提出了盖天说、四分历法、勾股定理和公式，并将数学运用到天文学，在唐代奉为数学经典，李淳风为之作注，成为国子监明算科（相当于专业的数学系）经典教材。
晋末宋初，《孙子算经》 对乘、除，已有更加系统的叙述。
南北朝时期，可谓出现数学家的高峰期，如北周甄鸾的《五曹算经》是针对田亩、军事、贸易、税收等五个行政部门即五大经济领域的总结。另有《夏侯阳算经》，亡佚无考。北魏张丘建《算经》
对测量、纺织、贸易、税收、冶炼、土木工程、利息等领域提出了问题。
自此以后，数学的著作呈几何倍增长。清朝康熙帝在吸收西方数学的基础上结合我国古代数学进行了初步的研究。清朝末年，嘉兴人李善兰是一位著名的数学家，著作有《测圆海镜解》
、《测圆海镜图表》、 《九容图表》、 《粟布演草》等。
除了在农田、水利、律法、历法、贸易、税收、音乐、医学等各方面需要完整的数学知识，其实在很多其他领域也存在着数学的影子。
数学在古代教育中的地位
数学在古代教育中颇受重视。除先秦时期外，有史料记载的，可追溯到隋文帝时期。
隋朝时，中央设国子寺，寺下设五学：国子学、太学、四门学、算学、书学，共有弟子九百八十人。
唐代继承了隋的传统，算科称为明算科，是当时重要的仕途入门科目。唐代最重进士、明经、明算等
以后历代都设置明算科，并一直发展到现代。古代数学为现代科学、文明创造了巨大的价值。
（据凤凰网）
&&&责任编辑：方敏
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国学教育中的数学问题
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　　◎早在春秋战国时期，就有孔子将数学纳入教育课程中，老子纳入哲学思辨中，墨子纳入技术操作中，管子纳入行政管理中，孙子纳入军事作战中。因此，数学在先秦时期便已作为一门显学了，我们到了21世纪，到了复兴国学、弘扬传统文化时，怎么就没有数学了呢？
　　◎我们无论是从思想、哲学、经济、农田、水利、政治、军事，或者直接说生活、工作，都离不开数学。我们今天的私塾，或者说国学堂，应该走在时代的前列，不应该成为社会发展的另类，更不应该成为家长、学生选择学习时的矛盾所在。只有一批真正博学的国学先生，才能创造一片国学的美好家园，才能为民族的进步作出积极的贡献。
　　　《九章算术》，四部丛刊子部
　　近来很多私塾学堂，都没有数学、英语，或者有英文课，也只是跟着录音读读而已。英文，姑且不论，但对于数学，我以为如果私塾自身有一定经济条件能聘请教师的话，还是开设一门数学课为好。
　　首先，数学，简称为数，人类在结绳而治时已经用打结的方式创造了原始的数字。殷墟甲骨文的发现，更是证明了商代已出现较为完整的数字。数学来源于生活，也要回归于生活，这可以说是普通大众学数学最好的方式了。 《九章算术》就有246道与生产相关的数学题，稍后提到，此不赘言。孔子教育学生，讲求六艺：礼、乐、射、御、书、数。礼、乐属于文化课程，射、御属于体育课程，六书是基础课程，数学则是生活课程。可以说，孔子在六艺的教学中，从文化到体育，从基础到生活，是非常完备的。同时期的墨子，其信徒多是木匠、工匠出身。墨子及其门徒，非常注重数学的运用。如《杂守》云：“参食，终岁二十四石；四食，终岁十八石；五食，终岁十四石四斗；六食，终岁十二石。斗食食五升；参食食参升小半。 ” 《经说上》 ：“体：若二之一，尺之端也。 ”孔子、墨子是如此， 《易经》 《道德经》更将数字上升到哲学的高度。 《道德经》言：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。 ”
　　战国时期，有时人伪造《管子》一书，曰：“虙戏作造六峜，以迎阴阳；作九九之数，以合天道。 ”什么是九九呢？即是数学。九九八十一，六六三十六，所以用九九作为算术的代名词，也可见战国时期已完全能运用乘法口诀了（罗振玉、杨树达有相关论断） 。这里尚有个故事，据《汉书·艺文志》中的《韩诗外传》载：齐桓之时，有以九九见者，桓公不逆，欲以致大也。可见，春秋早期，可能已有九九称呼法，并有人因擅长数学而得到齐桓公的重用。
　　军事家孙子，对于数学则尤其重视。 《孙子》曰：“凡用兵之法，驰车千驷，革车千乘，带甲十万，千里馈粮。则内外之费，宾客之用，胶漆之材，车甲之奉，日费千金，然后十万之师举矣。 ”孙子认为在发动战争前，需要先做一道数学题。驰车千驷，一驷为四匹马，共四千匹马，革车千乘，配备四千匹马，每车需弓箭手、持枪者、驾驭者共三人，则为三千人。每车如果配备至少七十二人，则为七万二千人，加上此前的三千人，至少为七万五千人。如果加上其他作战人员，就很接近十万人了。除此外，行军千里，需要有士兵专门运粮、护粮，负责后勤、采购及间谍等，至少两万人，这不在“带甲十万”的范畴内。如此算来，光口粮，就要日费千金，才能勉强发动战争，并且还不能保证战争的绝对胜利。
　　由此可见，早在春秋战国时期，就有孔子将数学纳入教育课程中，老子纳入哲学思辨中，墨子纳入技术操作中，管子纳入行政管理中，孙子纳入军事作战中。因此，数学在先秦时期便已作为一门显学了，我们到了21世纪，到了复兴国学、弘扬传统文化时，怎么就没有数学了呢？
　　其次，从数学作品来看，数学本身就是国学中的一部分，战国有《甘石星经》 ，是我国已知最早的一部关于天文学的著作。既然是天文学，那与数学有什么关系呢？须知，天文学对于日月星辰的变化、春夏秋冬的更迭，都要依据很多数学原理来计算。我想，这点大家都应该能想得通。关于传统的干支问题，陈遵妫《中国天文学史》中提到，“在四千多年前的夏代，可能已有干支产生了” 。郑文光《中国天文学源流》甚至认为可以追溯到伏羲时代。当然，我们且相信干支起源于夏代，我想不会如郭沫若《甲骨文字研究·释干支》中提到十二时辰来源于巴比伦的黄道十二宫那样。总之，干支、岁时、月令等，在我们中国古代已成为高度的文明，是不争的事实。
　　另外，儒家经典《周礼》中对于土地、河渠、道路等丈量、分封，尤其是齐国（今主要在山东）地区流传的《考工记》 ，需要很强的几何知识，这与古希腊数学家欧几里得的《几何原本》时代是差不多的。因此说，中国在战国时期，虽然没有专门的著作来谈论几何，但只要从古籍中数学的运用就可以知道几何学确实存在于中国的战国时期，甚至更早。
　　汉代时，有《九章算术》 ，三国时期刘徽为之作注（刘徽本人亦有作品《海岛算经》 ） ，更加丰富了《九章算术》的内容，其中圆周率等概念为现在所熟知。对于圆周率，在汉以前，应该有数学家提出，到了南北朝时期的祖冲之，更是将圆周率精确在3 .
. 1415927之间，其本人也有数学著作《缀术》 。
　　大约同时期，还有赵君卿《周髀算经》 ，该书是对先秦数学的总结，明确提出了盖天说、四分历法、勾股定理和公式，并将数学运用到天文学，在唐代奉为数学经典，李淳风为之作注，成为国子监明算科（相当于专业的数学系）经典教材。晋末宋初，又有《孙子算经》 ，其中一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”诸君看着大概眼熟，的确，这道题曾出现在小学数学中。另有一有名的题目：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：‘二十三’ 。 ”同时对乘、除，已有更加系统的叙述：“凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。 ”“凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。 ”至于面积、体积、比例等算法则更多了。
　　南北朝时期，可谓是数学家的高峰期，如北周甄鸾的《五曹算经》是针对田亩、军事、贸易、税收等五个行政部门即五大经济领域做出的总结。另有《夏侯阳算经》 ，亡佚无考。北魏张丘建《算经》 ，对测量、纺织、贸易、税收、冶炼、土木工程、利息等领域提出了问题。
　　自此以后，数学的著作呈几何倍增长，我就不一一赘述了。到清康熙帝，他本人在吸收西方数学的基础上结合本国数学也进行了初步的研究。到了清朝末年，嘉兴人李善兰是一位著名的数学家，著作有《测圆海镜解》 《测圆海镜图表》 《九容图表》 《粟布演草》等。
　　除了在农田、水利、律法、历法、贸易、税收、音乐、医学等各方面需要完整的数学知识，其实在很多其他领域也存在着数学的影子。
　　最后，再看数学在古代教育中的地位。除先秦时期外，有史料可记载的，可追溯到隋文帝时期。隋朝时，中央设国子寺，寺下设五学：国子学、太学、四门学、算学、书学，凡弟子九百八十人。唐代继承了隋的成规，算科称为明算科，是当时重要的仕途入门科目（唐代最重进士、明经、明算等） 。以后历代都有设置，并一直发展到现代，为现代科学、文明创造了巨大的价值。
　　综上所述，我们无论是从思想、哲学、经济、农田、水利、政治、军事，或者直接说生活、工作，都离不开数学。而且，为了方便学习，我个人将小学六年级十二册内容的单元顺序全部打乱，设计出一套一年到一年半针对零基础的同学讲完十二册数学内容的计划。如果计划可行，岂不是儿童的福音？我们今天的私塾，或者说国学堂，应该走在时代的前列，不应该成为社会发展的另类，更不应该成为家长、学生选择学习时的矛盾所在。只有一批真正博学的国学先生，才能创造一片国学的美好家园，才能为民族的进步作出积极的贡献。（吴贤若）
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责任编辑：李雪芹大家请先看后面一句话论述超纲的答案再决定要不要看我的答案。我的答案确实有用但没什么营养，能掌握这些方法的人我相信即使不用这些，用最朴素的方法面对高考也能应对自如，或者说题无定法。就不删了。&br&&br&还有一句需要注释：以下超纲内容算错答案不给分；用错场合不给分。&br&所以大家拿去做做选择题就好了。。&br&&br&排版强迫症慎入。。由于打算略认真的写一下。。所以点了一下禁止转载，我写这么乱应该也没人转载吧_(:з」∠)_&br&—————————&br&1.&b&隐函数求导&/b&，解决一系列极值问题的大杀器。比如&img src=&///equation?tex=x%5E3%2By%5E2x%2By%5E3%3D0& alt=&x^3+y^2x+y^3=0& eeimg=&1&&求y极值。我再补一句：两边求导数&img src=&///equation?tex=3x%5E2%2B2xyy%27%2By%5E2%2B3y%5E2y%27%3D0& alt=&3x^2+2xyy'+y^2+3y^2y'=0& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%5CRightarrow+y%27%282xy%2B3y%5E2%29%3D-y%5E2-3x%5E2%5CRightarrow+y%27%3D-%5Cfrac%7By%5E2%2B3x%5E2%7D%7B2xy%2B3y%5E2%7D%3D0& alt=&\Rightarrow y'(2xy+3y^2)=-y^2-3x^2\Rightarrow y'=-\frac{y^2+3x^2}{2xy+3y^2}=0& eeimg=&1&&&br&得到另一条曲线然后带回去解出来即可。这里极值爆了题目没凑好。。意思一下&br&这个题改一下为&img src=&///equation?tex=x%5E3%2By%5E2x%2By%5E3-x%3D0& alt=&x^3+y^2x+y^3-x=0& eeimg=&1&&就可以自然的做了。。&br&&br&1.1Taylor Expension:&br&华约2014第七题：&br&已知：&img src=&///equation?tex=n%5Cin+N%5E%7B%2A%7D& alt=&n\in N^{*}& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=x%5Cleqslant+n& alt=&x\leqslant n& eeimg=&1&&,求证&img src=&///equation?tex=n-n%281-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%5E%7Bn%7D%5Ccdot+e%5E%7Bx%7D%5Cleqslant+x%5E%7B2%7D& alt=&n-n(1-\frac{x}{n})^{n}\cdot e^{x}\leqslant x^{2}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D%5Cgeqslant+n& alt=&x^{2}\geqslant n& eeimg=&1&&时，恒成立；&br&当&img src=&///equation?tex=x%5E%7B2%7D%3Cn& alt=&x^{2}&n& eeimg=&1&& 时，由于&img src=&///equation?tex=e%5E%7By%7D%3E1%2By& alt=&e^{y}&1+y& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%281-y%29%5E%7Bn%7D%5Cgeqslant1-ny& alt=&(1-y)^{n}\geqslant1-ny& eeimg=&1&&&br&于是，&img src=&///equation?tex=n%281-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%5E%7Bn%7De%5E%7Bx%7D%3Dn%28%281-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29e%5E%7Bx%2Fn%7D%29%5E%7Bn%7D%5Cgeqslant+n%5B%281-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%281%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%5D%5E%7Bn%7D& alt=&n(1-\frac{x}{n})^{n}e^{x}=n((1-\frac{x}{n})e^{x/n})^{n}\geqslant n[(1-\frac{x}{n})(1+\frac{x}{n})]^{n}& eeimg=&1&&&br&从而:&img src=&///equation?tex=n%5B%281-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%281%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%29%5D%5E%7Bn%7D%5Cgeqslant+n%281-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bn%7D%29+%3D+n-x%5E%7B2%7D& alt=&n[(1-\frac{x}{n})(1+\frac{x}{n})]^{n}\geqslant n(1-\frac{x^{2}}{n}) = n-x^{2}& eeimg=&1&&&br&不是我不想写泰勒展开。。实在是连续性不清楚的情况下对数列求导数泰勒展开啥的容易出错。。&br&&br&2.&b&投影角定理和海伦公式，&/b&我比较喜欢用几何方法做立几。配合海伦公式有奇效。&br&对不起大家这么多赞呀，那我展开讲一下第二点。。不过这个要结合三垂线定理等比较技巧性的东西呀。&br&&img src=&/15aab197c7cd03d45fce8c5fbc1d2797_b.png& data-rawwidth=&1370& data-rawheight=&992& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1370& data-original=&/15aab197c7cd03d45fce8c5fbc1d2797_r.png&&大家可以在这个题里面用一下感受一下。&br&这个方法可以拓展到一些图形上投影关系没这么好的地方。不过技巧性高得多，就不多介绍了，我要回家拿到小本子才能找到例子。。直接构造一个感觉有点累_(:з」∠)_&br&&br&&b&2.1某些几何公式&/b&（这些是我高中老师上课讲的，不知道超不超纲。我觉得可能有一点，其中一条我独立发现过，所以推导应该不是很难）&br&&b&折叠角公式&/b&&br&设O为面上一点，过B的直线BO在面上的射影为AO，OC为面上的一条直线，那么∠COB,∠AOC,∠AOB三角的余弦关系为： cos∠BOC=cos∠AOB&img src=&///equation?tex=%5Ccdot& alt=&\cdot& eeimg=&1&&cos∠AOC(∠AOC,∠AOB只能是锐角）&img src=&/a6fa9ccc636ebce8dc88269b_b.jpg& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&114& class=&content_image& width=&250&&&p&&b&空间余弦定理&/b&&/p&&p&繁琐之至我是不高兴用的。这里有一篇论文&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///Article/CJFDTotal-GZSL.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&空间余弦定理的应用--《高中数理化》2012年Z2期&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&倒是可能有奇效。&/p&&br&&p&&b&拟柱体公式&/b&&/p&&p&所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.&br&&/p&&br&&p&其有体积公式&img src=&///equation?tex=V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dh%28S_1%2BS_2%2B4S_0%29& alt=&V=\frac{1}{6}h(S_1+S_2+4S_0)& eeimg=&1&&。&img src=&///equation?tex=S_%7B0%7D& alt=&S_{0}& eeimg=&1&&为其中截面积，即h为一半处平行截面的面积。&/p&&br&&p&这个东西很像某差值近似，我第一次用的时候也觉得很神奇。&/p&&br&&p&此外还有行列式表达的&b&四面体体积公式&/b&&/p&&p&这个我下面补充行列式的时候再写。&/p&&br&&br&3.&b&复数的引入&/b&，可以解决一系列二维平面上的极限点问题（通项也可以写）。&br&我记得有一个题目是这样的：&img src=&///equation?tex=A_%7B0%7D%3D%280%2C0%29%2CA_%7B1%7D%3D%281%2C0%29& alt=&A_{0}=(0,0),A_{1}=(1,0)& eeimg=&1&&,后面的点都是这条线段逆时针旋转60°并且长度缩短为&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D& alt=&\frac{1}{3}& eeimg=&1&&。这在复数里面就相当于一个等比数列求和。&br&&img src=&///equation?tex=%E8%AE%B0a_%7B0%7D%3D1%2Cq+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D& alt=&记a_{0}=1,q = \frac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{3}}& eeimg=&1&&（复数乘法的几何意义，模相乘，角旋转）于是我们的每一项都可以直接用等比数列求和公式计算出来，最终的横坐标就是实部，纵坐标就是虚部。&br&这个常见一点是转90°。规则再鬼吊一点也可以这样搞定。。大不了多来两个比例系数。这种等比数列求和题真是比猜出位置归纳顺溜太多了。&br&此外复数做平面几何也不是一般的厉害，不过我们这边高考不考平面几何，只考解析几何，所以略过不讲了。&br&&br&&br&&br&4.这里是一些&b&建系&/b&情况下的辅助。&br&&b&行列式&/b&求三角形面积(绝对值加行列式，就不要管左右手啦）等价于下面的&br&&img src=&///equation?tex=S_%5CDelta+ABC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C+%5Cleft%7C+%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1+%26+a_1++%26b_1+%5C%5C+%0A1+%26+a_2%26b_2%5C%5C+%0A1+%26+a_3+%26+b_3%0A%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%7C%5Cright%7C+& alt=&S_\Delta ABC=\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix}
1 & a_2&b_2\\
1 & a_3 & b_3
\end{matrix} \right|\right| & eeimg=&1&&&br&&b&空间坐标系&/b&下求三角形面积(利用叉积几何性质，有兴趣可以看我另一个弱弱的物理回答）&br&&img src=&///equation?tex=S_%5CDelta+ABC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C+%5Cleft%7C%5Cvec%7BAB%7D%5Ctimes%5Cvec%7BBC%7D+++%5Cright%7C+%5Cright%7C+& alt=&S_\Delta ABC=\frac{1}{2}\left| \left|\vec{AB}\times\vec{BC}
\right| \right| & eeimg=&1&&&br&&b&混合积&/b&判断共面&br&如果三个有公共交点向量的混合积为0，则三条直线共面。&br&这是因为两个向量的叉积朝向垂直平面的方向，再点乘又是一个垂直关系。&br&而一条直线过定点只有一个垂面。&br&&b&空间四面体&/b&体积公式&br&也是利用混合积（其实也可以看成三角形面积的推广，写成四阶行列式也是可以的。只是沙路法不成立了，高中学因子式展开又显难，故略过不表）&br&&img src=&///equation?tex=V_%7BABCD%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cleft%7C+%5Cleft%7C%28%5Cvec%7BAB%7D%5Ctimes%5Cvec%7BAC%7D%29%5Ccdot+%5Cvec%7BAD%7D++%5Cright%7C+%5Cright%7C+& alt=&V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left| \left|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot \vec{AD}
\right| \right| & eeimg=&1&&&br&&br&与之前不建系的内容一起使用效果更佳。&br&&br&如果能掌握圆锥曲线的行列式表达那是极好的。此外其实圆和椭圆有一个带&img src=&///equation?tex=%5Clambda+& alt=&\lambda & eeimg=&1&&的表达叫圆系方程，可以用来快速的做一些事情。例子我记不清了。&br&&br&对了还有基向量法。。比直角坐标优越到不知哪里去了。&br&&br&5.&b&特征根求数列递归通项&/b&。&br&&br&&br&&br&6.此外在我现在看来，&b&组合数学&/b&的一系列结论也是很有用的，不过母函数（特征方程）的掌握确实是困难的。&br&&br&7.此外还有过椭圆外定点求椭圆切线，可以做代换&img src=&///equation?tex=y%3Dkx& alt=&y=kx& eeimg=&1&&变成圆，求完切线再代回来。&br&&br&8.还有&b&判断点和线的位置关系&/b&，用点的坐标代入线，然后乘积的正负判断是否异侧。&br&&br&9.竞赛里面的三角恒等式和一些不等式（基础的如&img src=&///equation?tex=Cauchy& alt=&Cauchy& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=H%5Ctilde%7Bo%7D+lder& alt=&H\tilde{o} lder& eeimg=&1&&不等式（知乎好像不支持德语字母。。））还是掌握一下为好。同理能驾驭泰勒展开的话把一阶记熟可能有用。&br&&br&10.还有就是一些题目道进乎技，比如&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B2y%5E2%2B7xy%3D3& alt=&x^2+2y^2+7xy=3& eeimg=&1&&求到原点距离的最大值,换成椭圆或者用拉格朗日乘子法，你就too young了，还不快用我极坐标大法23333&br&把这个题做一下：这个题问的其实是&img src=&///equation?tex=%5Crho+& alt=&\rho & eeimg=&1&&的最大值。&img src=&///equation?tex=%5Cbinom%7Bx%3D%5Crho+%5Ccdot+cos%28%5Ctheta+%29%7D%7By%3D%5Crho+%5Ccdot+sin%28%5Ctheta+%29%7D%0A& alt=&\binom{x=\rho \cdot cos(\theta )}{y=\rho \cdot sin(\theta )}
& eeimg=&1&&，于是&img src=&///equation?tex=%5Crho+%3D%28%5Cfrac%7B3%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta+%29%2B2sin%5E%7B2%7D%28%5Ctheta+%29%2B7sin%28%5Ctheta+%29cos%28%5Ctheta+%29%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D& alt=&\rho =(\frac{3}{cos^{2}(\theta )+2sin^{2}(\theta )+7sin(\theta )cos(\theta )})^{\frac{1}{2}}& eeimg=&1&&然后用什么做都可以了。&br&&br&11.有一些题目（重庆喜欢出）是专门针对椭圆或者双曲线的极坐标表达出的，用出来有奇效。&br&我觉得第二定义还是要熟练掌握，因为说不定就能秒杀解析几何。&br&&br&本来还有很多平几技巧然而高考里没卵用_(:з」∠)_&br&----------------------------------------&br&不过建议分析结论不要乱用，很多小朋友对数列求导数看得我醉醉的。。填空题随意&br&&br&前面说向量叉积，是我们高中里面推崇的标准做法。。然一个题要做10几分钟。。只能说是从思想上秒杀了题目。。你们为什么都觉得建系好啊囧，在笛卡尔时代之前才是几何的辉煌呀，高中那点方方正正的东西几何做法完全能解决，而且快得多…当然如果熟练掌握了叉积判断方向和点积计算夹角…然而总觉得坐标系这个东西不是几何智慧的荣光…&br&&br&我高考完以后给小朋友总结过一本小册子。。数学物理各五招。。&br&还压中了千分考4、5个题，华约一个题。。然而现在记得的已经没几个。。&br&---------------------------------------&br&感觉就是自high了一下都没人赞。。 _(°:з」∠)_&br&好的。。我继续去追我的古今数学思想了。。&br&&br&---------------------------------------&br&不定期更新。。暂且准备一共补11个例题吧_(:з」∠)_&br&请叫我良心答主。。希望不太监。。越写越多觉得可能是个长连载。。&br&我略作了顺序修改。。&br&&br&对了，借这个机会推一本书吧。初中生可以看看，高中生就算了。。你们没空的。&br&&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3DnXCXXh6kuAFLUftL3ozA1WVFmttdYaDSHaxDQjMfrKvuwwR1VGu9JAavjPJ2fDLmDFPRGGqS2YduLVaOeOs5q_& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《几何学教程(平面几何卷)》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&我第一次在图书馆看到这本书才卖4块钱，果断赔了40块把绝本（旧版本）拿下。。请骂我2333&br&新版本的这套书里面很多概念诸如射影、反演、调和等都没有了。我也没看过新版本不知道是不是翻译变了。但这确实是一本好书，一生推。大家凑活着看o(╯□╰)o
大家请先看后面一句话论述超纲的答案再决定要不要看我的答案。我的答案确实有用但没什么营养，能掌握这些方法的人我相信即使不用这些，用最朴素的方法面对高考也能应对自如，或者说题无定法。就不删了。 还有一句需要注释：以下超纲内容算错答案不给分；用…
谢邀,这个问题我很早以前就想过,很早以前也有类似的问题邀请我,然而我并不敢答.&br&&br&取平方是有其因果上的必然性在里面的.什么平方可积性质好,方差函数可求导这种事其实都是&b&结果&/b&而不是原因.真正可以解释这玩意为什么这么设计的理论比这个高到不知道哪里去了.&br&&br&回忆最初的动机,设计这玩意的动机是想办法找一个&b&度量&/b&来衡量&b&这个随机变量离它们的均值有多远&/b&,而且这个度量最好是&b&线性&/b&的(即随机变量乘A,最后这个距离也会乘A)&br&于是这个问题就变成了一个标准的泛函问题,一个自然而然的做法是把所有一个妈生(在一个空间下)的随机变量构成一个线性空间,运算就是随机变量之间的运算.&br&由于要衡量的是离均值有多远,所以不妨设这里面的每个随机变量均值都是0好了,不然全部平移一下就好.&br&然而这并没有什么卵用.到这里还没有区分开标准差和平均差,以及若干次方差,因为他们都是等价的范数(度量).在这里看不出区别.&br&&br&现在一个新的需求来了,贪婪的人类不仅想描绘出随机变量离均值&b&距离&/b&,还想找办法刻画出随机变量偏离均值的&b&方向&/b&,一个很简单的思考,就是如果两个随机变量偏离的方向比较接近,它们两者本身应该是比较相关的(想象欧式空间里的夹角.)贪婪的人类甚至还希望,如果两个随机变量&不相关&(例如互相独立),那最好这两个随机变量能通过某种运算算出个0来,那就优美了.&br&谢天谢地正好有这么个轮子能完成这件事,这玩意就叫&b&内积&/b&,它需要满足要求的线性,也满足独立的随机变量算出来是0,同时可以很好地刻画相关度,还要满足杂七杂八的一堆内积该有的性质,综合了一堆条件,可以用的内积设计就只剩下&img src=&///equation?tex=%28X%2CY%29%3DEXY& alt=&(X,Y)=EXY& eeimg=&1&&&br&反映到统计学的名词上来,这玩意有个小名就叫&u&协方差&br&&/u&有了内积,就可以诱导出一个范数了,这个诱导出的范数是唯一的,它就是&img src=&///equation?tex=%7C%7CX%7C%7C%3D%5Csqrt%7B%28X%2CX%29%7D+& alt=&||X||=\sqrt{(X,X)} & eeimg=&1&&&br&然而这个东西的小名就是标准差.&br&&br&所以说平方均值这种东西真不是因为它性质好,获得了几百个数学家的一致通过,然后我们钦点他是2次,而是作为一个含有内积的距离空间(希尔伯特空间),希尔伯特同志对我讲,空间的特性已经决定了,这玩意&不得不&是2次
谢邀,这个问题我很早以前就想过,很早以前也有类似的问题邀请我,然而我并不敢答. 取平方是有其因果上的必然性在里面的.什么平方可积性质好,方差函数可求导这种事其实都是结果而不是原因.真正可以解释这玩意为什么这么设计的理论比这个高到不知道哪里去了. 回…
这是一个值得科普的好问题。&br&&br&2015 年 9 月 17 日，&b&陶哲轩 &/b&宣布破解 &b&埃尔德什差异问题&/b&（the Erd?s Discrepancy Problem)（论文地址：&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/abs/&/span&&span class=&invisible&&3&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），实在是可喜可贺。&br&&br&&b&埃尔德什差异问题 &/b&当然是一个很难的问题。从提出者和破解者的履历便可见一斑：&br&&ul&&li&Terence Tao 有多厉害，相信大家都知道：12 岁获得 IMO 金牌，31 岁获得菲尔兹奖等，都是极其厉害的成就。当然，让我印象深刻的，还有这么一段描述：&i&“陶哲轩的数学生涯 &b&也并非一帆风顺&/b&。9岁多时，他未能入选澳大利亚队，去参加国际&/i&&i&数学奥林匹克竞赛。”&/i&&br&&/li&&li& 但我们更应该知道，Paul Erd?s 也是一个很厉害的人，至少，从成就上来说，他可能比现在的 Tao 更厉害： 他发表论文高达 1475 篇，为现时发表论文数最多的数学家（第二位为 &a href=&///?target=http%3A///view/4645.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&欧拉&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）；曾和 511 人合写论文。如果你看过《我的大脑敞开了》或《数字情种》，你一定会对这个神奇的数学家留下深刻的印象。&br&&/li&&/ul&&br&然而，与两人的光辉履历形成鲜明对比的是，“埃尔德什差异问题” 从 &b&问题描述 &/b&来说，却是相当简洁且便于理解的——&b&通过适当的解释，只要是小学毕业了的人，都可以理解这个问题在说什么。&/b&&br&&br&埃尔德什差异问题 的描述是这样的：&br&&ul&&li&对于任意无穷数列&img src=&///equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BN%7D+%5Crightarrow+%5C%7B1%2C-1%5C%7D& alt=&f:\mathbb{N} \rightarrow \{1,-1\}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7Bn%2Cd%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D+%7D%7C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf%28id%29%7C%5Crightarrow+%5Cinfty+& alt=&\sup_{n,d\in \mathbb{N} }|\sum_{i=1}^nf(id)|\rightarrow \infty & eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&&br&接下来，我尝试用 &b&小学生可以理解的方式 &/b&来解释这个问题：&br&&br&（1） 首先，有一个无限长的数列 ，数列中的每个数，都是由 1 和 -1 组成的。&br&&ul&&li&比如数列 &i&A&/i&：1，-1，-1，-1，1，-1……就是一个满足条件的数列。&br&&/li&&/ul&&br&（2） 接下来，我们要取数列的某些项，这些项在数列中的位置都是某个自然数 N 的倍数，并且是从头开始的连续几个倍数（即第 N 、2N、3N……项）。&br&&ul&&li&比如，我们可以取数列的第 1、2、3、4 项（在 &i&A&/i& 中分别为 1，-1，-1，-1），因为它们都是 1 的倍数，且为前 4 项；或者取数列的第 2、4、6 项（在&i& A&/i& 中分别为 -1，-1，-1），因为‘它们都是 2 的倍数，且为前 3 项。但我们不能取数列的第 1、2、4 项 或者 第 4、6、8 项，因为它们不是【从头开始】的【连续几个倍数】。&br&&/li&&/ul&&br&（3）对于（2）中的每种取法构成的新的数列，我们可以求该数列所有项的和。我们要证明的命题是：无论原来的无穷数列长什么样，我们都可以找到一种取法，使得新数列的和的绝对值大于&b&任意给定的自然数 C&/b&。&br&&br&——————————&br&&br&遇到这样的问题，一个很自然的思路是：试试 C 比较小的时候，我们是否可以给出证明。&br&&br&&ul&&li&&b&当 C=0 时，结论是显然的。&/b&&/li&&/ul&我们只要取数列的第 1 项就可以，它的绝对值肯定大于0。&br&&br&&ul&&li&&b&当 C=1 时，结论就不那么显然了。&/b&&br&&/li&&/ul&我们要证明的是，对任意满足要求的数列，&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7Bn%2Cd%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D+%7D%7C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf%28id%29%7C%3E1& alt=&\sup_{n,d\in \mathbb{N} }|\sum_{i=1}^nf(id)|&1& eeimg=&1&&&br&&br&我思考了这个问题，给出了自己的解法，并认为这可以成为一道中学数学竞赛题。为了便于理解，解答过程不使用超过初中的数学。&br&&br&**********&br&&br&&b&证明：&/b&&br&&br&&b&用反证法。&/b&假设存在一个数列，满足&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7Bn%2Cd%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D+%7D%7C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf%28id%29%7C%5Cleq+1+& alt=&\sup_{n,d\in \mathbb{N} }|\sum_{i=1}^nf(id)|\leq 1 & eeimg=&1&&&br&于是我们有两个简单的推论：&br&&ol&&li&&b&对任意正整数 d，数列的第 d 项和第 2d 项的和为 0&/b&——反之，它们的和必为 2 或-2，矛盾；&br&&/li&&li&&b&对任意正整数 d，数列的第 2d-1 项和第 2d 项的和为 0&/b&——反之，设 k 为最小的不满足该条件的数，即第 2k-1 项和 第 2k 项的和为 2 或 -2，则数列的前 2k 项的和为 2 或 -2，矛盾；&br&&/li&&/ol&&br&不失一般性，设数列第 1 项为 1。&br&&ul&&li&由推论2 =& 第 2 项为 -1；&br&&/li&&li&由推论1 =& 第 4 项为 1；&br&&/li&&li&由推论2 =& 第 3 项为 -1；&br&&/li&&li&由推论1 =& 第 6 项为 1；&br&&/li&&li&由推论2 =& 第 5 项为 -1；&br&&/li&&li&由推论1 =& 第 10 项为 1；&br&&/li&&li&由推论2 =& 第 9 项为 -1；&br&&/li&&/ul&&br&考虑数列的第 12 项：&br&由于数列的第 6 项为 1，由推论1 =& 第 12 项为 -1；&br&但此时数列的第 3、6、9、12 项分别为 -1，1，-1，-1，其和为 -2，与题设矛盾！&br&&br&故假设不成立，结论成立。&br&&br&**********&br&&br&好了，通过一阵折腾，我们证明了 C=1 的情况是成立的。&br&那么，&b&C=2 的时候，会是什么情况呢？&/b&&br&&ul&&li&2014 年 2 月，英国利物浦大学的&i& Alexei Lisitsa &/i&和 &i&Boris Konev&/i&，利用计算机，几近于暴力验证的办法，验证了 C=2 的特殊情况。但是，计算机验证过程产生数据达到 13G，甚至超过整个Wikipedia 网站的总数据量。&br&&/li&&/ul&&br&&b&C=3 呢？&/b&&br&&ul&&li&相同的计算机算法，没有给出结果……&br&&/li&&/ul&——————————&br&&br&&b&然后，陶哲轩登场了！&/b&&br&&br&他证明了一个更强的命题：&br&&ul&&li&对于任意无穷数列&img src=&///equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BN%7D+%5Crightarrow+H%2C++%7C%7Cf%28n%29%7C%7C_H%3D1& alt=&f:\mathbb{N} \rightarrow H,
||f(n)||_H=1& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Csup_%7Bn%2Cd%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D+%7D%7C%7C%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf%28id%29%7C%7C_%7BH%7D+%5Crightarrow+%5Cinfty+& alt=&\sup_{n,d\in \mathbb{N} }||\sum_{i=1}^nf(id)||_{H} \rightarrow \infty & eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&这段话是什么意思呢？&br&&br& 首先，数列不再局限于由 1 和 -1 组成了，只要满足 &img src=&///equation?tex=+%7C%7Cf%28n%29%7C%7C_H%3D1& alt=& ||f(n)||_H=1& eeimg=&1&& 即可，&br&其中 &i&H&/i& 代表 &a href=&///?target=http%3A///view/310495.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&希尔伯特空间&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&当然，对于非数学系的同学来说，要理解希尔伯特空间可能有些困难。&br&为了让高中生也能有一个概念，我们取一个该空间的子集：&b&复数集&/b&。&br&&br&即，对于数列的每一项，只要满足模等于 1 即可。&br&&br&比如，数列可以长成这样： &img src=&///equation?tex=1%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7Di%2C++-%5Cfrac%7B8%7D%7B17%7D%2B%5Cfrac%7B15%7D%7B17%7Di%2C-1%2C++%5Cfrac%7B21%7D%7B29%7D-%5Cfrac%7B20%7D%7B29%7Di%2C++-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D++%2C& alt=&1,\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i,
-\frac{8}{17}+\frac{15}{17}i,-1,
\frac{21}{29}-\frac{20}{29}i,
-\frac{\sqrt{3} }{2}-\frac{i}{2}
,& eeimg=&1&&……&br&&br&在这种情况下，Tao 证明了：&br&&ul&&li&我们总可以找到满足要求的子数列，&b&使得&/b&&b&它们的和的模大于任意一个自然数&/b&。&br&&/li&&/ul&&br&现在，你是不是感觉到，这个结论好像真的很强？&br&&br&然而我们可不能忘记，&b&希尔伯特空间比复数集还要大得多得多。&/b&&br&&br&对了，刚才忘了说，陶哲轩从接触这个问题，到最终发表论文，只用了不到两周：&br&他并没有专门去攻克埃尔德什差异问题，只是在研究其他问题时，发现恰好和这个问题有关，于是“顺手”证明了一下而已。&br&（注：这其实是一个略带夸张的说法，评论区 &a data-hash=&036eefa7eb1e67835cbde6ca& href=&///people/036eefa7eb1e67835cbde6ca& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@chen ke& data-hovercard=&p$b$036eefa7eb1e67835cbde6ca&&@chen ke&/a& 指出，Tao自己在这篇paper里就说明了这个结果是基于polymath project的成果，而他本人就参加了这个项目）&br&&br&所以，如果陶哲轩的证明最终被认为是正确的，&br&那么对于我们而言，除了默默围观和赞叹，&br&还能做什么呢？&br&&br&【完】&br&&br&********************&br&【如需转载，请联系作者】
这是一个值得科普的好问题。 2015 年 9 月 17 日，陶哲轩 宣布破解 埃尔德什差异问题（the Erd?s Discrepancy Problem)（论文地址：），实在是可喜可贺。 埃尔德什差异问题 当然是一个很难的问题。从提出者和破解者的履历便可见一斑…
他们也觉得数学难。&br&&br&觉得数学简单的，不是学霸，是井底之蛙。
他们也觉得数学难。 觉得数学简单的，不是学霸，是井底之蛙。
永远不可能。&br&给一种相对好理解的说法：&br&每个杯子有一个参数，口向上是1，口向下是-1。&br&定义一个量A，把7个杯子的参数全都乘起来，显然A取1或者-1。&br&杯口全部向上，A=1&br&杯口全部向下，A=-1&br&每翻转一只杯子，A乘以-1&br&对于操作“每次翻转4只杯子”，A乘以(-1)^4，所以A不变&br&所以在这样的操作下，A不可能从1变到-1。&br&证毕
永远不可能。 给一种相对好理解的说法： 每个杯子有一个参数，口向上是1，口向下是-1。 定义一个量A，把7个杯子的参数全都乘起来，显然A取1或者-1。 杯口全部向上，A=1 杯口全部向下，A=-1 每翻转一只杯子，A乘以-1 对于操作“每次翻转4只杯子”，A乘以(-1)…
假设&br&x=0.....&br&则&br&1....&br&两个等式相互减&br&&br&x=....&br&这个办法是万能的！&br&&br&评论太多！&br&故关闭评论！
假设 x=0..... 则 1.... 两个等式相互减
x=.... 这个办法是万能的！ 评论太多！ 故关闭评论！
体积为1的正方体内，能放进的最大正方形面积是多少？=====&br&&br&&br&...............&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&...........&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&..............&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&............&br&&br&&br&&br&&br&&br&~~~~~~~~&br&&br&10.14更新，答案不是1哦&br&&br&&br&&br&&br&&br&非常难，如果百度出来就知道有多难了！关注度超过100赞发答案。
体积为1的正方体内，能放进的最大正方形面积是多少？===== ............... ........... .............. ............ ~~~~~~~~ 10.14更新，答案不是1哦 非常难，如果百度出来就知道有多难了！关注度超过100赞发答案。
10.3更&br&&p&我只是一只图样的程序猿，我们院的离散数学还不幸得跳过了数论。。。只能自己自学了一点，表述不准确的地方还望指正。&/p&&p&对题目抽象到一个一般的问题上&/p&&p&如何说明一个整数&br&X = 0 (mod m)&/p&&p&首先我们先跳过最简单粗暴的方法-------直接X%m，实在是太没有技术含量啦&/p&&p&但是仍然可以思考一下这个做除法的过程&/p&&p&比如8638除以7&/p&&p&做第一轮除法后得到余数是1638&/p&&p&一定是同余的，因为他们之间的差一定是除数乘上现阶段的商嘛&/p&&p&然后我们就发现，这种做法的本质就是一直在找一个比它更小的在模m意义下同余的数，&/p&&p&只不过。。。它是从高位开始搞的。&/p&&p&那么，可不可以从低位开始搞呢？&/p&&p&显然也是可以的&/p&&p&把X表示为10x+y&/p&&p&然后对X去掉各位后加上（减去）k倍的y即x+ky&/p&&p&只要这两个的差是m的倍数那么显然这个两个数也是在模m意义下同余的数，&/p&&p&但是直接作差的话9x鬼知道是什么玩意儿，于是将这部分乘10再作差消掉x，这样就只有一个变量y了。&/p&&p&于是得到(10k-1)y&/p&&p&我们只要取适当的k使得(10k-1) =0 (mod m)就好啦&/p&&p&对这个式子变个形&/p&&p&得到10k+am=1&/p&&p&看到这个式子想到了什么?&/p&&p&Bingo，扩展欧几里得！&/p&&p&换个熟悉的形式写一下，&/p&&p&10x+my=1&/p&&p&在10和m的最大公约数为1的情况下才一定有整数解。（不知道这个定理的，可以从辗转相减什么的角度来感受一下，最大公约数是能减掉的最小“单位”）&/p&&p&ok，有了这个理论基础剩下的就简单多了&/p&&p&我们只要对相应的m求出这个不定方程的一组整数解就好了&/p&&p&比如，m=3&/p&&p&有这样一组整数解x=-2和y=7&/p&&p&于是对于一个数能否被3整除我们可以通过去掉最低位并减去最低位的两倍的方法来验证&/p&&p&比如说111111&/p&&p&09&/p&&p&2&/p&&p&109-4=105&/p&&p&。。。&/p&&p&至于如何求解扩展欧几里得这个网上现成东西太多就不献丑了，随意查阅就好。&/p&&br&————————————————————————————————————&br&9.30更&br&玛雅，第一个要过百赞的答案&br&说这个方法并不是因为他速度快只是因为他存在&a href=&tel:33333&/a&&br&努力思考了一下，手动算熟练的话应该速度还可以，毕竟只是减去一个两位数&br&摊还一下的我估计每次减法影响的位数可能也就三四位（脑补的。。。有人愿意精确算的话还希望告诉我答案。。。）原来的方法。。。好吧似乎也就两三位。。。&br&而且算每一位的时候只要一次乘2的乘法，大概这点上比手动除法有点优势。。。&br&。。。&br&以上纯属胡扯听听就好了，有计算器干嘛不用计算器。。。&br&另，python大法好&br&ps，具体的扩展的话等放假有空补上。&br&最后谢赞^_^&br&——————————————————————————————&br&截去个位，余下的数减去这个个位的两倍&br&重复直到你能看出剩下的数是或者不是7的倍数&br&&br&例子&br&1078&br&107-2*8=91&br&9-2*1=7&br&&br&&br&证明原数可表示为10x+y&br&一次变换后得到x-2y&br&如果x-2y能被7整除，那么10x-20y也能被7整除&br&所以和原数做差21y显然是7的倍数&br&由此可得若变换后能被7整除，变换前也是7的倍数
10.3更 我只是一只图样的程序猿，我们院的离散数学还不幸得跳过了数论。。。只能自己自学了一点，表述不准确的地方还望指正。对题目抽象到一个一般的问题上如何说明一个整数 X = 0 (mod m)首先我们先跳过最简单粗暴的方法-------直接X%m，实在是太没有技术…
窃以为超纲这个概念就是对认知的最大毒害之一。
窃以为超纲这个概念就是对认知的最大毒害之一。
随便想起来一个:证明椭圆没有内接正五边形。&br&这里默认圆不算椭圆。&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&=============================&br&Hint:五点确定一条二次曲线。
随便想起来一个:证明椭圆没有内接正五边形。 这里默认圆不算椭圆。 ============================= ============================= ============================= ============================= ============================= =========================…
&p&纯数学当然可以转化为生产力，从而造福社会了。&/p&&p&黎曼几何与相对论的例子不必说了。&/p&&p&这里举一个大家熟悉的。&/p&&p&参加过高考的同学，都应该对数学里边线性规划这块的知识点比较熟悉。&/p&&p&线性规划，最初就是作为纯数学问题进行研究的。后来经济学家将线性规划应用于经济领域，并因此获得了1975年的诺贝尔经济学奖。&/p&&p&以下是线性规划发展历程：&/p&&p&法国数学家傅里叶和瓦莱.普森分别于年独立地提出线性规划，但未引起注意。&/p&&p&1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。&/p&&p&1947年美国数学家G.B.Dantzing提出求解线性规划的单纯形法。&/p&&p&1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。&/p&&p&1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。&/p&&p&知乎上有个问题是问你觉得你离诺贝尔奖最近的一刻是什么时候。其实当你在做高中数学线性规划相关习题的时候，就是在亲身体验诺贝尔经济学奖的研究成果。&/p&&p&来感受一下2016年高考数学全国卷线性规划的高考题，看看还会做不&/p&&p&先来一道全国卷3的线性规划纯数学题&/p&&br&&figure&&img src=&/v2-022a572e5c2a3b835c2c99_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&101& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-022a572e5c2a3b835c2c99_r.png&&&/figure&&br&&p&再来一道，全国卷1中线性规划的经济领域应用题&/p&&figure&&img src=&/v2-5ee369e3c0de32_b.png& data-rawwidth=&696& data-rawheight=&127& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/v2-5ee369e3c0de32_r.png&&&/figure&&p&最后，在附上美国学者罗素1883年为纯科学呼吁一文中经典的一段话，大家共勉。&/p&&p&&b&我时常被问及这样的问题：纯科学与应用科学究竟哪个对世界更重要。为了应用科学，科学本身必须存在。假如我们停止科学的进步而只留意科学的应用，我们很快就会退化成中国人那样，多少代人以来他们都没有什么进步，因为他们只满足于科学的应用，却从来没有追问过他们所做事情中的原理。这些原理就构成了纯科学。中国人知道火药的应用已经若干世纪，如果他们用正确的方法探索其特殊应用的原理，他们就会在获得众多应用的同时发展出化学，甚至物理学。因为只满足于火药能爆炸的事实，而没有寻根问底，中国人已经远远落后于世界的进步。我们现在只是将这个所有民族中最古老、人口最多的民族当成野蛮人。&/b&&/p&
纯数学当然可以转化为生产力，从而造福社会了。黎曼几何与相对论的例子不必说了。这里举一个大家熟悉的。参加过高考的同学，都应该对数学里边线性规划这块的知识点比较熟悉。线性规划，最初就是作为纯数学问题进行研究的。后来经济学家将线性规划应用于经济…
1. &br&&br&Z上定义环，有两种运算，我不知道是什么，先用“加”和“乘”指代，反正肯定有一种运算是“+”。&br&环平凡的时候，Z={0}。于是1=0，3=1加1加1=0，4=1加1加1加1=0，3+4∈Z，3+4=0。&br&&br&环不平凡的时候，1代表单位元，0代表零元，1≠0。&br&&br&假设1加1=1，两边加1的负元，得到0加1=0，由于0是零元，故1=0，矛盾，于是1加1≠1，于是1乘1=1+1=1，也就是说“乘”就是“+”。&br&&br&于是由乘法分配律，1加1=2=2+2=（1加1）+（1加1）=（1+1）加（1+1）加（1+1）加（1+1）=1加1加1加1，两边加负1再加负1，得到0=1加1，于是2=0。&br&&br&如此一来，3=2加1=1，3+3=1+1=1=3，与原题不矛盾(卧槽这个有点屌，多谢出题人手下留情)&br&&br&于是4=2加2=0加0=0，于是3+4=1+2=（1+1）加（1+1）=1加1=0。&br&&br&——————————————————————&br&&br&2. 原式=3×（1/3－0.9999……/3）=3×（0.333……－0.333……）=3×0=0。&br&&br&——————————————————————&br&&br&3. 8=2。否则若8≠2，则与2=8矛盾。&br&&br&——————————————————————&br&&br&你在一个学数学的面前耍流氓，谁不会耍流氓啊 (?Д?)?(?Д?)? 关键，要按基本法，要耍得优雅。
1. Z上定义环，有两种运算，我不知道是什么，先用“加”和“乘”指代，反正肯定有一种运算是“+”。 环平凡的时候，Z={0}。于是1=0，3=1加1加1=0，4=1加1加1加1=0，3+4∈Z，3+4=0。 环不平凡的时候，1代表单位元，0代表零元，1≠0。 假设1加1=1，两边加1的…
设一瓶酒里的酒价值x，酒瓶价值y，瓶盖价值z，&br&x+y+z=2&br&2y=2&br&4z=2&br&解得x=0.5，y=1，z=0.5，&br&10/0.5=20，最多可喝20瓶啤酒。&br&具体步骤如下：&br&10元买5瓶酒，5个酒瓶，5个瓶盖&br&4个酒瓶换2瓶酒，3个酒瓶，7个瓶盖&br&2个酒瓶换1瓶酒，2个酒瓶，8个瓶盖&br&2个酒瓶换1瓶酒，8个瓶盖换2瓶酒，3个酒瓶，3个瓶盖&br&2个酒瓶换1瓶酒，2个酒瓶，4个瓶盖&br&2个酒瓶换1瓶酒，4个瓶盖换1瓶酒，2个酒瓶，2个瓶盖&br&2个酒瓶换1瓶酒，1个酒瓶，3个瓶盖&br&借5瓶酒，6个酒瓶，8个瓶盖&br&6个酒瓶换3瓶酒，8个瓶盖换2瓶酒，还5瓶酒，没有欠账，没有剩余。&br&共喝5+2+1+1+2+1+1+1+1+5=20瓶酒。&br&&br&&br&Update：&br&想了一下，刚才的步骤实在过于繁琐，更新如下：&br&10元买5瓶酒，借15瓶酒，20个酒瓶，20个瓶盖&br&20个酒瓶换10瓶酒，20个瓶盖换5瓶酒，还15瓶酒，没有欠账，没有剩余。&br&共喝20瓶酒。
设一瓶酒里的酒价值x，酒瓶价值y，瓶盖价值z， x+y+z=2 2y=2 4z=2 解得x=0.5，y=1，z=0.5， 10/0.5=20，最多可喝20瓶啤酒。 具体步骤如下： 10元买5瓶酒，5个酒瓶，5个瓶盖 4个酒瓶换2瓶酒，3个酒瓶，7个瓶盖 2个酒瓶换1瓶酒，2个酒瓶，8个瓶盖 2个酒瓶换1…
&p&有一部科幻小说，何夕的《伤心者》。&/p&&p&————————————————&/p&&p&我是何宏伟。&/p&&p&一连两天我没有见过一个客人，尽管外界对于此次划时代事件的关注激情已经到了白热化的程序。这两天里我一直在写一份材料。现在我已经写好了。其实这两天我只是写下了几个人的名字，连连同简短的说明。但是每写下一个字我的心里都会滚过长久的浩叹，而当我写下最后那个人的名字时几乎握不住自己的笔。然后我带着这样一份不足半页的资料站到了诺贝尔物理学奖的领奖台上。无论怎么评价我的得奖项目都不会过分，因为我和我的领导的实验室是因为大统一场方程而得奖的。这是人类最伟大的梦想，从某种意义上讲是人类认识的终极。&/p&&p&&女士们先生们。&我环视全场，&大家肯定知道，从爱因斯坦算起为了大统一场理论已经过去了两百多年，至少耗尽了十几代最优秀的人的生命。我是在三十年前开始涉足这个领域的。在差不多十七年前的时候我便已经在物理意义上明晰了大统一理论，但是这时候我遇到无法逾越的障碍。实际上不仅是我，当时有很多人都做到了这一步，但是却再也无法前行一步。你们有过这样的体会吗，就是有一件事情，你自己心里似乎明白了，但却无法把它说出来，甚至根本无法描述它。你张开了嘴，但是却发现吐不了一个字，就像是你的舌头根本不属于你。此后我一直同其他人一样徘徊在神山的脚下，已经看得见事情的转机说来有几分戏剧性。两年前的某末我送十一岁的小儿子去上学，当时他们的一幢老图书楼正被推倒。在废墟里我见到一套装在密封袋里的书，后来我才知道这套书已经出版了一百五十年，但是当时它的包装竟然完好无损，也就是说从未有人留意过它。如果当时我不屑一顾地走开，那么我敢说世界还将在黑暗里摸索一百五十年。但是一股好奇心让我拆开了它，然后你们可以想像我当时的心情，就像是一个穷到极点的乞丐有一天突然发现了阿里巴巴的宝藏。我不知道这样一部我难以用语言来评述的伟大著作怎么会被收藏在一所小学校里，不知道上天为何对我这样好，让我有幸读到这样非凡的思想。我只知道当时我简直失去了控制了，在废墟上大喊大叫不能自己。这正是我要找的东西，它就是大统一理论的数学表达式，甚至比我要的还要多得多。那一时刻我想到了牛顿。他的引力思想并非独有，比如同时代的胡克不能，所以只能是牛顿来解决引力问题。现在我面临的问题又何尝不是这样。书的名字叫《微连续原本》作者叫何夕。&/p&&p&是的，当时我的惊讶并不比你们此刻少。这是个完全陌生的名字。后来的事正如你们看到的，在不到半年的时间里我发表了一系列重要论文，简直是神速地完成了大统一理论的方程式，甚至在几个月前我和我的小组还试制出基于大统一理论的时空转换设备。有人说我是天才，但是今天我只想说一句，超越时代的不是我，而是一百五十年前的那位叫何夕的人。不要以为我这样说会感到难堪，其实我只感到幸运，因为我现在已经知道超越时代意味着什么。如果何夕生在我们的时代根本轮不到我站在这个地方。在他的那个时代支持大统一理论的物理事实少得可怜，现在我们知道必须达到一千万亿吉电子伏特的能级才可能观察到足够多的大统一场物理现象。而在何夕的时代这是不可想象的，这也就注定了他的命运。他是个什么样的人？为何他写下了这样伟大的著作但却被历史的黄沙掩埋？为了解开心中的这些疑团，我将第一次时空实验的时区定在了何夕生活的那个年代。我们安排一个虚拟的观察体出现在了那个过往的年代，那实际上是一处极小的时空洞。它可以随意地出现在指定的时间和地点，从而观察到当时的事情。我亲眼目睹了事情的全部过程，如果诸位不反对的话我想把我知道的全讲出来。&台下没有一个人说话，甚至听不到大声出气的声音。我轻声描述着自己近日来的经历，描述着何夕，描述着何夕的母亲夏群芳，描述着那个时代我见过的每一个人。他们在我的眼前鲜活过来了，连同他们的向往与烦恼。工作人员打开了投影仪，两幅老照片投放在了屏幕上。这是我委托政府找到的，可惜只有两张。一张是年轻漂亮的少妇夏群芳抱着她刚满周岁的胖儿子何夕坐在公园的长椅上，脸上是幸福而憧憬的笑容。别一张是风烛残年的半文盲妇人夏群芳，她拿着一把梳子专注地给她满脸胡须的目光痴呆的傻儿子何夕梳头，目光里充满爱怜。&/p&&p&尽管我想忍住但还是流下了泪水。我觉得照片上的母亲和儿子是那样的亲密，他们都是那样的善良，而同时他们又是那样的伤心。是的，他们真的很伤心。而现在他们早已离开这个他们一生都无法理解的世界了，就仿佛他们从来没有来过。&/p&&p&&如果没有何夕，大统一理论的完成还将遥遥无期。&我接着说，&而纯粹是由于他母亲的缘故，《微连续原本》才得以保存到今天，当然这并非她的本意，当初她只是想骗骗自己的儿子，想让他开心。以她的水平根本不知道这里面究竟写的什么东西，根本不知道这是怎样的一本著作，所以她才会将这部闪烁不朽光芒的巨著偷偷放到一所小学校的图书楼里。从局外人的观点看她的行为会觉得荒唐可笑，但她只是在顺应一个母亲的本能。自始至终她只知道一点，那就是她有一个好孩子，这是她的好孩子选择去做的事情。&/p&&p&我不否认对何得心应手那个时代来说《微连续原本》的胡没有什么意义，但我只想说的是，对有一些东西是不应该过多地讲求回报的，你不应该要求它们长出漂亮的叶子和花来，因为它们是根。这是一位母亲教给我的。母亲对自己的孩子永远都不会要求回报，但是请相信我们可爱的孩子自会回报他的母亲。&&还有一点，&我稍稍顿了一下，&记得当初在长达几个世纪的时光里有无数人为了永动机耗尽了他们的一生。也许我们可以说这只是一些愚蠢的人，可是正是这些人的探索才最终让我们认识了热力学定律。他们虽然没能告诉后人应当走哪能条路，但却指明了其中的某些路是死路。所以我要说，即使微连续理论在今天仍然被证明是无用的，我们依然应当对何夕表示敬意。因为他曾经尽力求索过，这就够了。&我看着手里的半页纸，上面的每一个名字都是那样的伤心。&也许我们应该永远记住这样一些人。&我照着纸往下念，声音在静悄悄的大厅里回响。&/p&&p&&古希腊几何学家阿波洛尼乌斯总结了圆锥曲线理论，一千八百年后由德国天文学家开普勒将其应用于行星轨道理论。&/p&&p&数学家伽罗华公元1831年创立群论，一百余年后获得物理应用。&/p&&p&公元1860年创立的矩阵理论在六十年后应用量子力学。&/p&&p&数学J·H莱姆伯脱，高斯，黎曼，罗马切夫斯基等人提出并发展了非欧几何。高斯一生都在探索非欧几何的实际应用，但他抱憾而终。非欧几何诞生一百七十年后，这种在当时毫无用处的理论以及由之发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础。&/p&&p&何夕提出并于公元1999年完成的微连续理论，一百五十年后这一成果最终导致了大统一场理论方程式的诞生。&世界沉默着，为了这些伤心的名字，为了这些伤心的名字后面那千百年的寂寞时光。&/p&
有一部科幻小说，何夕的《伤心者》。————————————————我是何宏伟。一连两天我没有见过一个客人，尽管外界对于此次划时代事件的关注激情已经到了白热化的程序。这两天里我一直在写一份材料。现在我已经写好了。其实这两天我只是写下了几个人…
学霸不会觉得数学简单，但他可能会觉得考试内容很简单。大概感觉就是，高峰还在远处，你们怎么爬个土坡就不行了。
学霸不会觉得数学简单，但他可能会觉得考试内容很简单。大概感觉就是，高峰还在远处，你们怎么爬个土坡就不行了。
先说说我知道的几个作图法吧，&br&&b&逗比类：&/b&&br&按照对应的角做出一个圆弧，把圆弧拿下来做成圆锥，三等分底下的圆就好了。&br&&br&&b&无赖类：&/b&&br&既然已经有角度了，那构造一个三角形，根据余弦和正弦直接算三等分角对应的长度，尺子量出来就好。&br&&br&&b&毅力类：&/b&&br&四等分是可行的，所以你只要...&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B4%5E3%7D+%2B+%5Ccdots+%3D+%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B3%7D& alt=&\frac{\theta}{4} + \frac{\theta}{4^2} +\frac{\theta}{4^3} + \cdots = \frac{\theta}{3}& eeimg=&1&&&br&根据我实践，次就后可以逼近了。&br&&br&&b&正经类：&/b&&br&1. 利用二刻尺（阿基米德提出）&br&如图，要三等分是是角度a。在尺子上量出刻度为AB的一条线段，以该长度为半径，B为圆心，做圆。接下去只要找到一个满足CD = AB的连线就ok&br&&figure&&img src=&/bb97f3ec1dea939cf8578_b.png& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/bb97f3ec1dea939cf8578_r.png&&&/figure&&br&2. 双曲线的坐标系分割法（帕普斯提出）&br&&figure&&img src=&/716fc0b52295b5eca3fb94fc_b.png& data-rawwidth=&176& data-rawheight=&146& class=&content_image& width=&176&&将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=1/x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=1/3∠AOB。&/figure&将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=1/x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=1/3∠AOB。&br&&br&注：关于曲线能否做出，是一个很暧昧的概念。理论上来讲，只要是有刻度的尺子就可以做出完美的曲线，但实际操作中不太可行。如果这个可行的话，那方案就很多了。&br&&br&3. 第二种双曲线分割法&br&&figure&&img src=&/fde9e902e1ccb_b.jpg& data-rawwidth=&271& data-rawheight=&210& class=&content_image& width=&271&&&/figure&&br&设∠O 为已知。以 &em&O&/em& 为圆心，任意长 &em&r&/em& 为半径做弧交
两边于 &em&A&/em&,&em&B&/em&。做∠O的平分线 &em&OC&/em&。以 &em&OC&/em& 为准线，&em&B&/em& 为焦点做双曲线 &em&PQR&/em& 使曲线上任一点 &em&R&/em& 到 &em&B&/em& 的距离为到 &em&OC&/em& 距离的两倍。若双曲线交弧于 &em&Q&/em&，则 ∠QOB = 1/3 ∠AOB。&br&&br&4. 阿基米德螺线法&br&&figure&&img src=&/8343dbd865ce7ac54385_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&549& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/8343dbd865ce7ac54385_r.png&&&/figure&&br&&br&因为在极坐标中，方程&img src=&///equation?tex=%5Crho+%3D+c+%5Ctheta& alt=&\rho = c \theta& eeimg=&1&&，所以对应任意角，只要找到&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B3%7D%3Dc%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B3%7D& alt=&\frac{\rho}{3}=c\frac{\theta}{3}& eeimg=&1&&即可等分。
先说说我知道的几个作图法吧， 逗比类： 按照对应的角做出一个圆弧，把圆弧拿下来做成圆锥，三等分底下的圆就好了。 无赖类： 既然已经有角度了，那构造一个三角形，根据余弦和正弦直接算三等分角对应的长度，尺子量出来就好。 毅力类： 四等分是可行的，所…
题主的问题很好，这涉及到数理逻辑中“语法的”(syntactical)和“语义的(semantic)”概念之间的区别.
先放结论：(1) 否，但取决于“判定”的含义；(2) 只有形式系统无法讨论“真”.&br&&br&UPDATE: 增加了关于不完备性定理的讨论.&br&&br&&p&&i&&b&粗体代表重要&/b&，&/i&&i&&i&&b&粗体代表重要&/b&，&/i&&/i&&i&斜体代表玩梗，不喜欢看玩梗的请自动忽略.&/i&&/p&&br&我们来考察“可证”与“真”这两个概念.&br&&br&所谓“可证”，是相对一个形式系统来说的。具体地说，一个命题 σ 在系统 Γ 中&b&可证&/b&是指存在一列公式，每一个：&br&&ol&&li&是 Γ 中的句子，&/li&&li&或是一条逻辑公理，&/li&&li&或是由之前出现过的两个公式经由 &a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Modus ponens&i class=&icon-external&&&/i&&/a& (latin: the way that affirms by affirming) （其实就是三段论推理）得到.&/li&&/ol&&p&并且最后一个公式为待证的命题 σ (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_system& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hilbert system&i class=&icon-external&&&/i&&/a&). &br&&/p&&br&&p&可以看到，上面所有涉及的概念都是“语法的”，即只涉及数学符号的变换.
至于这些符号的意义究竟是什么暂付阙如.&/p&&br&&p& 这样定义直观上当然保证了如果 Γ 中的句子都“成立”，那么 σ 也“成立”（保真性），因为逻辑公理和推理规则都是“放之四海而皆准”的.
然而“成立”是一个十分模糊的说法，什么叫“成立”？我们来看这样的陈述：“如果将 0 作为单位元，+ 作为运算，-x 作为 x 的逆元，那么群论公理在整数集中成立”.
可以看到，“成立”或数理逻辑中通常说的“&b&真&/b&”，实际上是在一定的条件下，&b&一个形式系统与一个集合之间的关系&/b&（更准确的说不是一个单纯的集合，而是指定了一些“解释”的集合，如这里将群论公理中提到的单位元解释为 0, 运算解释为加法等.
这样的集合称为&b&结构&/b&；如果 Γ 在该结构中成立则称此结构为 Γ 的&b&模型&/b&）.
因此，离开具体的结构，是无法谈论“真”的.
因此第二个问题没有意义.&br&&/p&&br&&p&不过，第二个问题与 &b&G?del 完备性定理&/b& (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DGodel_completeness_theorem%26redirect%3Dno& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Godel completeness theorem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DGodel_completeness_theorem%26redirect%3Dno& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&) &i class=&icon-external&&&/i&&/a&相关.
该定理是说，对&b&任意&/b&相容的形式系统 Γ, 如果命题 σ 在 Γ 的所有模型中都成立，则 σ 可由 Γ 证明.
例如，如果某性质是所有群共有的，则一定可以用群论公理证明.
（反过来也对，即前面提到的保真性；相关的定理被称为&b&可靠性定理&/b& (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Soundness& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Soundness&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)）在这个意义下，可以说“在所有模型中真”即“可证”.
注意该定理与系统的强度无关；强于 Peano 算术的系统，只要是相容的，也具有这个性质.&/p&&br&&p&或问，不完备性定理与完备性定理岂不矛盾？&b&第二不完备性定理&/b&是说，&b&对于充分复杂的形式系统，如果它是相容的，那么它不能证明自身是相容的&/b&.
这涉及到数理逻辑中最容易混淆的概念：形式定理与元定理 (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Metatheorem& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Metatheorem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&).
简而言之，这个陈述中两个“相容的”含义有微妙的区别.&/p&&br&&p&有了证明序列的概念，很容易定义相容性：称 Γ 是相容的，是指不存在一个由 Γ 到矛盾式的证明.
（简便起见，如果 Γ 强于皮亚诺算术，不妨将该矛盾式取为 0 = 1）.
这是关于形式系统 Γ 的一个陈述，这个陈述本身在形式系统之外.
另一方面，由于所有证明序列都是满足一定规则的有穷字符串，可以借适当的编码将它们与自然数对应.
因此“Γ 相容”本身也可以形式化为&img src=&///equation?tex=%5Cforall+n+%28n+%5Ctext%7B+codes+a+proof+sequence+from+%7D+%5CGamma+%5Cto+%5Cneg+%28n+%5Ctext%7B+proves+0+%3D+1%7D%29%29& alt=&\forall n (n \text{ codes a proof sequence from } \Gamma \to \neg (n \text{ proves 0 = 1}))& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&其中&codes a proof sequence&及&proves&都是在形式语言中定义的关系；这一形式语句通常简记为 Con(Γ).
所以说存在两个版本的相容性：“外部的”，即系统之外（元理论中）的相容性，和“内部的”（形式化的）相容性.
第二不完备性定理是说一个系统如果在外部看是相容的，则无法证明内部的相容性.&/p&&br&&p&或问，既然 Γ 本身是相容的，那么 Γ 每个模型中 Γ 都是相容的，因此由完备性定理，Γ 应能证明自身的相容性.
Good question!
这里的陷阱在于，&b&即使 Γ 在外部看是相容的，在内部看也未必相容&/b&！这是由于在 Γ 的模型中可能存在“非标准自然数”（见 &a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_model_of_arithmetic& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Non-standard model of arithmetic&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），它们编码了 Γ 到矛盾式的证明；而在外部看，这些对象是无穷的，因而不是一个合法的证明序列.
因此第二不完备性定理与完备性定理并不矛盾；相反，两者结合还可以得出一个前者的较不容易混淆的等价表述：&b&对于充分复杂的形式系统 Γ, 如果 Γ 是相容的，则存在一个&img src=&///equation?tex=%5CGamma+%2B+%5Cneg%5Cmathrm%7BCon%7D%28%5CGamma%29& alt=&\Gamma + \neg\mathrm{Con}(\Gamma)& eeimg=&1&&的模型.&/b&
当然，想要在较短的篇幅内讲明白非标准算术是不可能的，如果想要了解更多，参见最后一句.&br&&/p&&br&&p&至于第一个问题，相当于问证明序列能否“有效地” (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DEffectively_computable%26redirect%3Dno& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Effectively computable&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, 通常译作“能行地”，但我觉得这个词有点奇怪)找到.
这又涉及到数理逻辑的另一个分支——可计算性理论.
简而言之，和停机问题类似：只要枚举所有的证明序列（满足一定规则的有限长字符串），便可以找到所有可证的命题；然而，这将消耗无限的计算时间.
如果一个命题可证，一直枚举下去一定能找到一个证明，即搜索在有限时间内终止；若否，则永远找不到证明.
即，&b&验证某命题确实可证是可行的&/b&；&i&然而并没有什么卯月&/i&，&b&对于充分复杂的形式系统，判定某命题是否可证是做不到的&/b&.
（也就是御坂妹 &a data-title=&@苏暖暖& data-editable=&true& class=&member_mention& href=&///people/dca47027ebd6f450d336a& data-hash=&dca47027ebd6f450d336a& data-hovercard=&p$b$dca47027ebd6f450d336a&&@苏暖暖&/a& 所引用的命题，&i&と徐天00001这样解释道&/i&）即“可证”是半可判定的，又称“能行可枚举”/“递归可枚举”/“可计算可枚举” (&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DComputably_enumerable%26redirect%3Dno& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Computably enumerable&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, &i&提出这个术语的人你出来！我从未见过如此糟糕的术语&/i&！)的.
当然，要精确定义这些可计算性概念本身也不是一件容易的事，在这里就不多说了，可以理解为“完全不用动脑子就能做的事”，或者“机器也肯定能做的事” :-)&/p&&br&&p&“真”与“可证”之间的区别实际上推动了整个数理逻辑的发展.
“四大论”（证明论，模型论，可计算性理论与集合论）中至少前三者皆滥觞于此. &i&如果你有兴趣的话，和 G?del签订契约，成为数理逻辑少年吧！&/i&&/p&
题主的问题很好，这涉及到数理逻辑中“语法的”(syntactical)和“语义的(semantic)”概念之间的区别. 先放结论：(1) 否，但取决于“判定”的含义；(2) 只有形式系统无法讨论“真”. UPDATE: 增加了关于不完备性定理的讨论. 粗体代表重要，粗体代表重要，斜…
谢邀。（np问题我的知识为0，所以就不献丑了）&br&&br&&b&简单的猜一个好了：应该不可能，这几个问题人类会先做出来。根据？对不起，没有。个人的期望吧。其他几个问题我不清楚，但是我觉得NS方程快被做出来了（有生之年可以看到），当然了，只是一个感觉吧。&/b&&br&&br&真到了那一天，人类（人类的尊严）应该事实上被ai消灭了（笑），那个时候应该没有Ai做不到的事情了。因为数学，特别是这种纯数学，非常非常难而且没有一点“利润”都没有，这些问题是所谓的百万问题，但是百万算个鸟，随便一个高水平自然科学基金都超过这个数了。Ai如果饿到连这块肉都吃了，就知道它们应该没剩下什么了，任何其他研究应该都已经被取代了。&b&不懂数学研究的会以为数学研究根本上是一个计算问题，但是其实数学研究根本上是一个“想象力”的问题，和艺术创作一样（数学的想象力不是“空想”，要符合逻辑和推理，所以比一般的想象力难一百倍）。&/b&四色问题那种不能算是ai吧？只是计算机辅助证明，类似于用计算器计算一个很大的数一样。根本上需要人先智慧先去破解一个问题，把它转化为一个简单的计算问题。如果ai真的能完成证明，并且写成人来能理解的方式。这一点很重要，别人看不懂的证明不算证明。当然了，如果你的语言过于复杂，别人懒得看是另外一回事情了。计算机擅长从1到100，不擅长从0到1。但是这些数学难题每一个几乎都需要从0到1。我在alphago对决小李子前看好它是因为它完成了从0到1，剩下的不算问题。&br&那么这一定是一个&b&强人工智能，而且是想象力惊人，表达能力超强的存在，完全具备了人类之上的知性。&/b&
谢邀。（np问题我的知识为0，所以就不献丑了） 简单的猜一个好了：应该不可能，这几个问题人类会先做出来。根据？对不起，没有。个人的期望吧。其他几个问题我不清楚，但是我觉得NS方程快被做出来了（有生之年可以看到），当然了，只是一个感觉吧。 真到了…
public class Test {&br&&br& /**&br&
* @param args&br&
*/&br& public static int all = 5;&br& public static int leftB&br& public static int leftT&br& public static void main(String[] args) {&br&
all = all + drink(5,5);&br&
System.out.println(&总共能喝&+all);&br&
System.out.println(&剩下酒瓶个数&+leftBottle);&br&
System.out.println(&剩下盖子个数&+leftTop);&br& }&br&&br& public static int drink(int bottle, int top) {&br&
if(bottle &=2 || top &=4){&br&
leftBottle = (bottle/2)+(bottle%2)+(top/4);&br&
leftTop = (top/4) + (top%4) + (bottle/2);&br&&br&
(bottle/2) + (top/4) + drink(leftBottle,leftTop);&br&
return 0; &br& }&br&}&br&&br&&br&运行结果：&br&总共能喝15&br&剩下酒瓶个数1&br&剩下盖子个数3&br&&br&&br&如果可以赊账，则是1楼的答案：20瓶
public class Test {
* @param args
public static int all = 5;
public static int leftB
public static int leftT
public static void main(String[] args) {
all = all + drink(5,5);
System.out.println("总共能喝"+all);…
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