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高考数学万能解题法：只做50道题就参加高考
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11届高考数学集合映射与不等式复习
湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容： 一、方法概述高考集合映射与不等式题型分析与预测① 对于集合:首先要认清构成集合的元素所具有的性质(如不等式的解集、函数的定 义域或值域、平面曲线或区域等） ，然后要注意运用数形结合，借助数轴、文氏图、几何 曲线或平面区域的直观显示，简化转化过程，提高解题速度。 ② 映射：口诀?:以原象集合为基础，要求每元必有象，且象唯一。 ③ 判断充要条件，要分清谁是条件,谁是结论,然后坚持“双向”考查的原则；对于 具体的数集，可以运用口诀?:“以条件集合为基础，小充分，大必要”去处理。 ④ 注意原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价转换，并能加以灵活运用。二、 典例分析与解答：★【※题 1】①设集合 A=｛x|x=4n+2,n∈Z｝,B=｛y|y=4m+3,m∈Z｝,当 x0∈A,y0∈B,给出 下列四个结论：① x0+ y0∈B ② x0 y0∈A ③x0 - y0∈B ④x0- y0∈A，其中正确结论的序 号为______(答案:②③) ②设全集 U= ｛(x,y)|x,y∈R｝ ,集合 A= ｛(x,y)|2x-y+m&0｝ B= , ｛(x,y)|x+y-n≤0｝ ,已知 m&-1,n&5, 则下列结论正确的是( C )： A （2，3）∈A∩B B (2,3)∈( CUA)∩B C (2,3)∈A∩(CUB) D (2,3)∈( CUA)∩(CUB)③设 M，N 为全集 U 的非空子集，定义集合 M-N=｛x|x∈M 且 x∈CUN｝,则 M-（M-N） =（ ） A M BN C M∪N D M∩N 解、可取 U=｛1，2，3｝ ，M=｛1，2｝ ，N=｛2，3｝去验证，选（D） 1 ★【※题 2】已知函数?（x）=a?bx 的图象经过两点 A（4， ）和 B（5，1） ，设 an= 4 log2?（n）(n∈N*),数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn,集合 M=｛n∈N*| an ?Sn≤0｝试求出 集合 M 中的各个元素,并用列举法出来. 解、①?（n）=22n-10,则 an=2n-10； ②Sn=n2-9n,由 an ?Sn，则（2n-10） 2-9n）≤0；则 （n 5≤n≤9, ∴M=｛5,6,7,8,9｝★【※题 3】已知集合 M 是满足下列性质的函数?（x）的全体：存在非零常数 T，对任意 x∈R，有?（x+T）=T?（x）成立。①试判断函数?（x）=x 是否属于集合 M，并说明理由；② 设?（x）=ax(a&0,a≠1)的图象与直线 y=x 有公共点，证明：?（x）=ax∈M 解、 ①不属于； ②由 ax=x 有解， 则有 aT=T,则对于函数? x） x,有? x+T） x+T= aT? x=T?x= （ =a （ =a a a x T?（x）恒成立,∴?（x）=a ∈M★【※题 4】①设集合 A=｛x|x2-x&0｝,B=｛x|x2&loga(x+1)｝,若 A?B,则实数 a 的取值范围 是( ): A (2,+∞) B [2,+∞) C (1,2) D (1,2] 2 解:即当 x∈(0,1)时,函数 y=x 的图象位于函数 y=loga(x+1)的图象的下方,则 1&a≤2,从而选 (D)②设ω 是正实数,且 Sω =｛?|?（x）=cos[ω (x+?)]是奇函数｝,若对每一个实数 a, Sω ∩ (a,a+1)的元素不超过 2 个,且有 a 使 Sω ∩(a,a+1)含 2 个元素,则ω 的取值范围是_______ ? ? 解: ?（x)是奇函数,则ω ?=kπ + ,则 Sω =｛?|ω ?=kπ + ,k∈Z｝; 2 2 ∵区间(a,a+1)的长度为 1,相邻两个?之差为为 ?π &ω ≤2π π π π ,则有 &1 且 2? ≥1 ω ω ω★【※题 5】①函数?（x）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( D 2 2 A ab=0 B a+b=0 C a=b D a +b =0):②函数?（x）= （3a-1)x+4a logax则函数?（x）是 R 上的减函数的充要条件是( C 1 1 1 A 0&a&1 B C ≤a& D ≤a&1 7 3 7 1 1 解、注意到 lim [(3a-1)x+4a]≥loga1=0,则 7a-1≥0，从而有｛a| ≤a& ｝为所求 x?1 7 3(x&1) (x≥1) 1 0&a& 3)③设 a,b,c 为为实数,对任意的 x∈R,不等式 asinx+bcosx+c&0 恒成立的充要条件是 _______(c& a2+b2 )④已知函数?（x）=2cosx(sinx+acosx)-a,其中 a 为常数,则函数?（x)的图象关于直线 x=对称的充要条件是_______(答案:a=-1) 2an 1+anπ 8★【※题 6】已知数列数列｛an｝满足: a1 &0,且 a1 ≠1,an+1 = ≠0,为常数),求数列{bn }为等比数列的充要条件 an +p 解、n = b ,则 an= an p bn -1 an+1 +p = an+1 2an +p 1+an 2an 1+an(n∈N*),设 bn =an +p (p an;考查 bn+1 ==1+p 2an+p p p bn -1 p 1 =1+ + ? = + 2 2 2 p 2 21 + bn ，则 p=-1 2→ ★【※题 7】①设直线 2x-y+c=0 按向量 a =（1，-1）平移后与圆 x2+y2=5 相切，则 c=______（答 案：8 或-2)②函数?（x）=x2-2ax-3 在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是_____(答案:a≤1 或 a≥2) x2 ③已知椭圆 +y2=1 的两个焦点 F1、F2 在 x 轴上，则椭圆上存在点 P，使 PF1⊥PF2 的充要条件 m+1 是_____(答案:由 c= m ≥b 则 m≥1)x2 y 2 ★【※题 8】过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a&b&0)的左焦点 F,任做一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,M 为 x a b轴上的一点,求证:∠AMB 被 x 轴平分的充要条件是点 M 为椭圆的左 与 x 轴的交点 解、扣住 Rt△ACM～Rt△BDM 去处理准线三、课堂小结 注意领会集合、映射的概念，掌握充要条件的判断方法。注意数形结合思想、转化与化归思想的运用。 四、今日训练作业； 《专题透析》P1-10湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容： 高考函数题型分析与预测一、 方法概述 1、 处理函数问题，务必树立定义域优先的思想; 2、 函数的值域、单调性、最值是联系在一起的；运用函数的性质解题时，注意数形 结合，扬长避短→常规函数；画出图象；非常规函数，画出单调性示意图； 3、 指数函数 y=ax、对数函数 y=logax：①分两类：0&a&1 或 a&1；②牢记图象：注意定 义域、值域、单调性、特殊点，靠近线等；③?（x+a） ；?（x）+a；?（|x|） ；|?（x）|； ?（-x） ；-?（-x）等的图象要能迅速做出；④在同一坐标系下几个不同图象的比较: 指数 函数 y=ax 盯住?在 x=1 的点;对数函数 y=logax 盯住?在直线 x=1 的右边,有“底大图低” 4、 函数的周期性、对称性：①、若?（x+a）=?（x+b）或?（x+T）=?（x） ，则?（x） 具有周期性；若?（a+x）=?（b-x） ，则?（x）具有对称性； “内同表示周期性，内反表示 对称性” ；②、周期性：1）?（x+a）=-?（x） ；2）?（x+a）= 则?（x）的周期分别为 2a,2a,4a; 1 1+?（x） ；3）?（x+a）= ； ?（x） 1-?（x）③、1)?（x+a）=?（a-x）;2)?（x+a）=?（b-x）;则?（x）对称轴分别为 x=a,x=a+b ；④ 2若有?（x+a）=-?（b-x）,则函数?（x）的图象关于点（a+b ,0)中心对称，特别地，若?（x+a） 2=-?（a-x） ，则函数?（x）的图象关于点（a,0）中心对称；⑤周期性与对称性是相互联系、 紧密相关的：1）若?（x）的图象有两条对称轴 x=a 和 x=b(a≠b)，则?（x）必为周期函数， 其一个周期是 2|b-a|； 2）若?（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则?（x）必为周期函数，其一 个周期是 2|b-a|；3）若?（x）的图象有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则? （x）必为周期函数，其一个周期是 4|b-a|；?若函数的图象同时具备两种对称性，两条对称 轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 5、注意原函数与反函数之间的内在联系；注意方程、不等式、函数之间的相互转化；注 意数列是特殊的一种函数；加强导数的工具性作用。 6、函数的奇偶性：①图象性质 ②函数恒等式性质 二、典例分析与解答 ★【※题 1】①若关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根，则实数 a 的取值范围是 （ A ） A（0，1] B（-∞，1] C[0，1] D （-∞，1] ②设 m&1 为常数,若函数 ? （x） = x2 3 -x+ 的定义和域和值域都是 [1,m],则 m 的值为___(答 2 2案：m=3) ③设?、?是关于 x 的方程 x2+ax+2b=0(a、b∈R)的两根，若?∈（0，1） ；?∈（1，2） ，则 b-2 1 的取值范围是____(答案:( ,1)) a-1 4 ④已知函数?（x）=-x2+ax+b2-b+1 对任意的 x∈R 都有?（1+x）=?（1-x）成立,且对任意 x∈[-1,1]都有?（x）&0 成立,则 b 的取值范围是( D ) A (-1,0) B (2,+∞) C (-∞,-1) D (-∞,-1)∪(2,+∞) 2 ⑤设函数?（x）=ax +bx+c(b&0)满足?（x+2）=?（-x）(x∈R),则下列不等式正确的有( C ) A ?（3x）&?（2x） B ?（3x） &?（2x） C ?（3x）≥?（2x） D ?（3x）≤?（2x） ⑥已知函数? （x） 2+bx+c,若 a,b,c 成等比数列,且? =ax （0） -4,则? = （x)的值域为______(答 案:(-∞,-3]) ★【※题 2】①已知关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根,则 m 的取值范围是 _____(答案:(1,5) ②已知?（x）=4x2-mx+5 在(-2,+∞)上是单调增函数,则?（1）与 25 的大小关系是______(答 案:?（1）≥25) ③已知?（x）是定义于 R 上的增函数,且?（0）=-1,?（3）=1,则不等式|?（x+1）|&1 的解集 是______(答案:(-1,2)) ④已知函数? （x） 3+3x,x∈(-1,1)则满足? 2-1） （a-1） 的实数 a 的取值范围是_____ =2x （a +? &0 答案:(0,1)) ? +? ★【※题 3】①已知函数?（x）=x3,若当?∈[0, ]时,不等式?（msin?） 2 （1-m）&0 恒成立,则实数 m 的取值范围是多少?(答案:m&1) ②已知定义于[-π ,π ]上的函数?（x） 、g（x）分别是偶函数、奇函数， 且它★们在[0，π ]上的图象如图所示，则不等式 (答案:(-?（x） &0 的解集是_____ g（x）? ? ,0)∪( ,π )) 3 3 ③已知?（x）是定义于 R 上的以 2 为周期的周期函数,且当 x∈(-1,1]时, ?（x）=x2,若关 于 x 的方程 ?（x）+ax=0 在(1,3]内有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是______(答案:[ -1 ,0)) 3④已知函数 g（x）=2x-1,函数 y=?（x）是 y= g（x）的反函数,设 a&b&c&0,则下列正确的是 ( C ) A ?（a） ?（c） ?（b） & & a c b ?（a） ?（b） ?（c） & & a b c D B ?（c） ?（a） ?（b） & & c a b ?（c） ?（b） ?（a） & & c b aC★【※题 4】已知定义于(0,+∞)上的函数?（x）满足?（xy）=?（x）+?（y）(x,y&0), ?1 ）=1,且当 x&1 时, ?（x）&0,①确定?（x）在(0,+∞)上的单调性; 2 求不等式?（x）+?（5-x）+2≥0 的解集（②求?（4）的值; ③x1 x1 解、①凑:设 x1&x2&0,则?（x1）-?（x2）=?（ ?x2）-?（x2）=?（ ）&0,则?（x）是K x2 x2 ②?（4）=-2 ③不等式的解集为(0,1]∪[4,5) ★ 【※题 5】已知?（x）=log2(2x-a),若对任意的 x∈[0,+∞)都有?（2x）&?-1（x） 成立,求实数 a 的取值范围 解、?-1（x）= log2(2x+a),a∈(-1,0) ★【※题 6】已知函数?（x）的图象与曲线 C 关于 y 轴对称，把曲线 C 沿 x 轴负方向 平移 1 个单位之后恰好与函数 y=| log2(-x-2)|的图象重合； ①求函数?（x）的解析式； ②若实数 a,b 满足 1&a&b, ?（a)= ?（ b ）,求证：2 b-1∈（a,b) 解、?（x）=| log2(x-2)|； ★【※题 7】 《专题透析》P23 题 20）已知?（x）在（-1，1）上有定义，且满足 x,y ∈（-1，1）时，有?（x）-?（y）=?（ ①证明：?（x）在（-1，10 上为奇函数； 得对于任意的 n∈N*，且 说明理由。 三、课堂回顾与归纳 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想；在函数的诸多性质中，要特别重视单 调性和最值；注意函数的图象和性质的综合应用；重视导数在研究函数性质方面的重要作 x-y 2xn 1 ） ，对数列 x1= ,xn+1= 1-xy 1+xn2 2 ②求?（xn）的表达式； ③是否存在自然数 m,使1 1 m-8 1 + +?+ & 成立？若存在，求出 m 之值，若不存在， ?（x1） ?（x2） ?（xn） 4用。 四、今日训练练习： 《专题透析》P11-23湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容： 高考数列题型分析与预测 一、方法概述 pan-1 1、 求数列的通项公式常用方法： ?形如 an=pan-1+q(n≥2)?可转化为等比数列去求解； ?形如 an= an-1+q (n≥2)的递推数列，可将等式两边取倒数，转化求解； ?形如 an=p（an-1）q(n≥2) 的递推数列，可将等式两边取对数，转化求解；?形如 an-an-1=?(n)(n≥2) 的 an 递推数列?可用“累加法”去求解；?形如 =?(n)(n≥2) 的递推数列?可用“累乘法”去求解；?对 an-1 于观察数列的前几项可猜测出通项的一般变化规律的递推数列，可用归纳法求解；?有些递推数列变 形后即为等差、等比数列，则可用公式求解； 2、 解决等差、等比数列有关问题，要充分利用等差、等比数列的概念、公式和性质，尽量避免复杂运 算，利用等比数列求和公式时，要注意公比是否等于 1，必要时要分类讨论； 3、 证明与和式有关的不等式时，一般先求和，再证不等式，如果直接求和不方便，可考虑放缩求和； 但要注意把握放缩的方向和大小；部分数列不等式的证明，则要转化为函数，利用函数的单调性去 处理。 4、 对非等差、等比数列的求和，一般用分组求和、裂项相消求和、错位相减求和、倒序相加求和等方 法解决。 5、 注意 an 与 Sn 的相互转化式的应用: 二、范例剖析 ★【※题 1】①已知数列｛an｝满足 a1=4, an+1 +an =4n+6(n∈N*),则 a20 =( B ) A 40 B 42 C 44 D 46 解、an +2- an =4，则 a2 ，a4 ， a6 ? a2n 是公差为 4 的等差数列。 ②在等比数列｛an｝中，a1=2,前 n 项之和为 Sn，若数列｛an+1｝也是等比数列，则 Sn=( C ) A 2n+1-2 B 3n C 2n D 3n-1 解、公比 q=1，则 an =2，Sn=2n 1 n 2an-1 +n-1 ③已知数列｛an｝满足：a1= ,且 = (n∈N*,n≥2),则数列｛an｝的通项公式是 an =______ an an-1 3 解、转化为等差数列，则 n 1 n = +2(n-1)=2n+1,则 an = an a1 2n+1★【※题 2】设数列｛an｝前 n 项之和为 Sn，已知 Sn=2 an -3n(n∈N*)，①求数列｛an｝的通项公式；②在数 列｛an｝中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项，若不存在，请说明理由。 解、an=2 an -1+3（n≥2)，则 an =3?2n-3;不存在 ★【※题 3】已知数列｛an｝满足:a1= 列； ②求数列｛an｝的通项公式。1 ,2 an+1 =an +n(n∈N*),①令 bn = an+1 - an -1,求证：数列｛bn｝是等比数 21 1 an+1 +(n+1) an +n -1= ( an+1 -an -1)= bn 2 2 2 2 1 1 3 3 3 ②bn = - × )n-1,则有 an+1 - an =1 - × )n-1,累加则 an = n+n-2 ( ( 4 4 2 2 2解、①考查 bn+1 = an+2 - an+1 -1 = 【※题 4】①已知数列｛an｝满足:a1=1, an = A 1 56 B 1 57 C 1 58 D 1 59 an-1 (n∈N*,n≥2),则 a20=（C ） 1+3 an-1②已知数列｛an｝满足:a1=1, an+1 =2an +3(n∈N*)，则 a10 =_____(答案：211-3）1 ③已知数列｛an｝满足:a1=2, an+1 =2（1+ )2?n (n∈N*),则数列｛an｝的通项公式 an =____(答案:n2?n) a 2 n ④已知数列｛an｝满足:a1=1, an+1 - an =4n-2(n∈N*)，则使 an ≥163 的正整数 n 的最小值是____ 解:累加,则 an =2n2-4n+3≥163,则 n≥10 ⑤已知数列｛an｝, 其前 n 项之和为 Sn，满足 10 Sn= an 2+5an +6,且 a1 ,a3 ,a15 成等比数列,则数列｛an｝的通 项公式 an =____(答案: an =5n-3) 【※题 5】设数列｛an｝的各项均为正数,其前 n 项之和为 Sn，已知 a1 3+a2 3+?+an 3= Sn2, 求数列｛an｝的 通项公式。(答案: an =n) 【※题 6】已知数列｛an｝满足:a1=a, an+1 =1+ 1 (n∈N*),我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如 an1 1 3 5 当 a=1 时,得到无穷数列:1,2, , ?;当 a=- 时,得到有穷数列:- ,-1,0.问①当 a 取何值时,a4=0; ②设数 2 3 2 2 1 列｛bn｝满足:b1=-1, bn+1 = (n∈N*),求证:a 取数列｛bn｝中的任意一个数时,都可以得到一个有穷数列 bn -1｛an｝ 2 1 解:①由 an =0,倒推则有 a1=a=- ;②由,则有 bn = +1 3 bn+1 不妨设 a1=a= bn ,则 a2 =1+ 1 1 1 1 1 1 1 1+ = a =1+ =1+ = bn-2,…an =1+ =1+ = b1 =-1,则 an +1=1+ =0, a1 = bn n-1 3 a2 bn-1 an-1 b2 an则 a 取数列｛bn｝中的任意一个数时,都可以得到一个有穷数列｛an｝ n+1 【※题 7】已知数列｛an｝的通项公式 an =log2( ) (n∈N*),其前 n 项之和为 Sn，则使 Sn&-5 成立的正整 n+2 2 数 n 的最小值是_____(答案: Sn= log2( ),则 n≥63) n+2 【※题 8】已知数列｛an｝满足:a1= 为 Sn,求证:Sn ≤4(n∈N*) 4n 解: an =2n-2, bn =4-2n,错项相减法得 Sn= n-1 ,用做商法判断其单调性,为K数列,则:Sn ≤S1 =4 2 【※题 9】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲 1 2 投篮；已知每次甲、乙投篮命中的概率分别为 、 2 3 ①求第 3 次恰好由乙投篮的概率； （文） ②求前 4 次投篮中甲、 ： 乙各投篮 2 次的概率； ③记第 n 次由甲投篮的概率为 an， 求出 an 的表达式； （理） ②设前 4 次中乙投篮的次数为§， ： 写出其概率分布列和数学期望； ③记第 n 次由甲投篮的概率为 an， 求1 1 , an =2 an-1 (n∈N*,n≥2),设 bn =2log 2 2( an )bn , 数列｛ ｝的前 n 项之和 anlim an ??n解、①第 3 次恰好由乙投篮的概率 P（A）=7 ； 121 1 13 （文） ：②前 4 次投篮中甲、乙各投篮 2 次的概率 P（B）= ；③由于 an= an-1+ (1-an-1)= 36 2 31 1 1 2 2 2 3 1 2 3 a + ,则｛an- ｝为等比数列:首项 a1- =1- = ,公比 q= ,则 an= + ?（ ）n-1 5 5 6 n-1 3 5 5 5 5 6 6 1 1 1 1 7 1 2 2 2 1 (理） ②§的可能取值为 0,1,2,3;则 P(§=0)= ,P(§=1)=C1? ? )2+( )3= ,P(§=3)= ? ? = ,P(§=2)=12 3 (2 8 2 24 2 3 3 9 82 7 13 121 - - = ,则 E§= ，同样 9 24 36 72lim a =5n ??n2★【※题 10】一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第 0，1，2，?100 共 101 站，一枚棋子开始在第 0 站（即P0=1） ，由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面，则棋子向前跳动 1 站；若出现反面， 则向前跳动 2 站；直到棋子跳到第 99 站（则获胜）或第 100 站（则失败） ，此时游戏结束。已知硬币出现 正面和反面的概率相同，设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn;①求 P1，P2，P3；②设 an=Pn-Pn-1(1≤n≤100)，求证： 数列｛an｝是等比数列；③求玩该游戏获胜的概率 1 3 5 解、 1= ； 2= ； 3= ①P P P 2 4 8 ②设 Pn=1 1 -1 -1 Pn-1+ Pn-2 ，则 pn-pn-1= (pn-1-pn-2),则｛an｝为等比数列:a1=P1-P0= , 2 2 2 2-1 2 1 -1 公比 q= ,从而可求得 Pn= + ? ）n （ 2 3 3 2 2 1 -1 ③玩该游戏获胜的概率 P99= + ? ）99 （ 3 3 2 【※题 11】质点 A 处于数轴 x=0 处，质点 B 处于 x=2 处，这两个质点每隔 1 秒就向左或向右移动 1 个 1 2 单位，设向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 ；①求 3 秒后，质点 A 在 x=1 处的概率； ②求 2 秒 3 3 后，质点 A、B 同时在 x=2 处的概率；③假若质点 C 在 x=0,x=1 两处之间移动，并满足：当质点 C 仍然 1 在 x=0 处时，1 秒后必然移到 x=1 处；当质点 C 在 x=1 处时，1 秒后分别以 的概率停留在 x=1 处或移动 2 到 x=0 处，现在质点处在 x=1 处，问经过 2008 秒后质点 C 仍然在 x=1 处的概率是多少？ 4 解、①3 秒后，质点 A 在 x=1 处,则质点 A 在 3 秒内向左运动 1 次,向右运动 2 次,其概率 P（A）= ；②2 秒 9 16 后， 质点 A、 同时在 x=2 处,则质点 A 必须 2 次向右,质点 B 必须一次向左,一次向右,其概率 P B （B） = 81 ;③1 -1 2 2 1 -1 2 1 -1 由于 xn+1= xn+(1-xn)= xn+1,则有等比数列 n- ｝ ｛x :首项为 x1- = ,公比 q= ,从而有 xn= + × )n,则经过 2008 ( 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2 1 -1 秒后质点 C 仍然在 x=1 处的概率是 P（C）= + ?（ ） 2 【※题 12】现有装有 5 个红球、3 个白球的红箱子和装有 3 个红球、5 个白球的白箱子各一个（两种颜色的 球大小完全一样） ，第一次从红箱子中取出 1 个球后再放回，第二次从与第一次取出的球相同颜色的箱子中 取出一个球后再放回，照这样，第 k+1 次从与第 k 次取出的球相同颜色的箱子中取出一个球后再放回，令 Pn 为第 n 次取出的球是红球的概率，求：①求 P1、P2、P3 的值；②用 Pn-1 表示 Pn；③求{Pn}的通项公式。 5 17 65 5 3 1 3 1 1 解：①P1= ；P2= ；P3= ；②Pn=Pn-1? +（1-Pn-1） = Pn+ ；∴Pn= + ? ? （1/4）n-1 8 32 128 8 8 4 8 2 8 四、课堂回顾与小结 数列解答题，大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用 递推思想、函数与方程的思想、归纳与猜想，等价转化，分类与整合的数学思想，考查我们灵活运用 数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度；也常以应用题或探索题形式出现， 要有较强的创新意识和创造能力。 三、今日训练练习： 《专题透析》P34-44 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考三角函数与平面向量题型分析与预测 一、方法概述 1、三角变形公式主要是： ①诱导公式；②sin(?±?),cos(?±?),tan(?±?);③sin2?,cos2?,tan2?;③sin2?,cos2?;④asin?+bcos?; 1 ⑤注意常数代换（如 1= sin2?+cos2?; =sin30°=cos60°等；角的配凑（如?=（?+?）-?，2?=（?+?）+（?-?） ， 2 ?= ?+? ?-? + 等） 2 22、变形时，要注意角与角之间的相互关系，最常用的有：切割化弦、高次降幂、异角化同角等； （化同名、化 同次、化同角）3、三角函数的图象和性质，要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性、最值；正、余弦函 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 数作图的“五点法” ，以及图象的变换。 4、解三角形时，要充分利用正弦定理、余弦定理，结合三角形的内角和定理，三角变形公式去处理问题； 5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；要将坐标运算与基底运算灵活 → →→ 加以应用；向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；利用| a |2= a ? a → = a 2 可以实现数量积与模的相互转化。 二、范例剖析 ★【※题 1】①已知 tan(?-π )= A 8 5 B 4 51 ,则(2sin?+cos?)cos?的值为（ A ） 2C1 D03π ? 12 ? -3 -56 ②已知?、?∈（ ，π ） ，sin(?+?)= ,sin(?- )= ,则 cos(?+ )=__________(答案： ） 4 5 13 65 4 4 x 2sin2（ ）-1 2 π ③已知?（x)=2tanx,则是?（ ）的值为（ ） x x 12 sin cos 2 2 8 3A433 4B3C4D 84 （解、?（x)= ,则所求为 8） sin2x★ 【※题 2】 ①设△ABC 的三个内角 A， C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列， c=2a,则 cosB=( B ) B， 且 1 4ABC24D23②已知某正弦函数 y=Asin(ω x+?)的部分图象如图示，则 ?（x)的解析式为________(答案:y= y=-4sin( ③函数 y=sin(2x的( D ) A 向左平移? )的图象是由函数 y=cos2x 的图象经地 3B 向右平移? ? x+ ) 8 4过下列哪种平移变换而得到5? 个单位 65? 个单位 65π 5π C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 12 12★【※题 3】①设点 P 是函数?(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小 值是? ,则?(x)的最小正周期是_______(答案:π ) 4②已知函数?(x)=3 sinπr x (r&0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆 x +y =r 上,则?(x)的最2 2 2小正周期是______(答案:4) ③已知函数 y=sin(ω x+?)(ω &0,0&?&π )是偶函数,其图象关于点 M( 数,求ω 和?的值.(答案:?= ★ 【※题 4】 已知函数?(x)=3 sinω xcosω x-cos ω x+3 (ω ≠0)的最小正周期是π ,且图象关于直线 x= ? 22? 2 ;ω =2 或 ) 3 23? ? ,0)对称,且在[0, ]上是单调函 4 2求出ω 之值; ②若当 x∈[0,? ]时,|a+?(x)|&4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 26对称,①解、①?(x)= -sin（2x+? ）+1；②|a+?(x)|&4 恒成立?[-4-?(x)]max&a&[4-?(x)]min 65 则 a∈（-4，2）★【※题 5】①把函数 y=cosx小值是（ C ）A3 sinx 的图象向左平移 m 个单位之后，所得图象关于 y 轴对称，则 m 的最C? 6B②若?(x)= asin(x+? 7π π ③把曲线 C:y=sin( -x)cos(x+ )向右平移 a(a&0)个单位,得到曲线 C′,若曲线 C′关于点( ,0)对称, 8 8 43π 则 a 的最小值是_____(答案: ) 8 → → → → → → 【※题 6】①已知 a =(1,1) a 与 a +2 b 的方向相同,则 a ? b 的取值范围是_______(答案:(-1,+∞)) → → → → AB AC ②已知非零向量AB与AC满足( + → → |AB| |AC| A 钝角△ B Rt△ C 等腰非等边△ → → → AC 1 AB )?BC=0,且 ? = ,则△ABC 为(D ) → → |AC| 2 |AB| D 等边△? ? )+3sin(x- )是偶函数，则 a=______(答案:-3) 4 4? 32? 3D5? 6→ → → → → → → ③已知OA=(3,1),OB=(-1,2),若OC⊥OB,且BC∥OA,则OC=________(答案:(14,7)) → → → → ④已知向量 a =(1,-2), b =(1,?),若 a 与 b 的夹角为锐角,则实数?的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪ (-2,1 )) 2→ → → → 【※题 7】设函数?(x)= a ? b ,其中向量 a =(2cosx,1), b =(cosx, [-3 sin2x),①当?(x)=1- 3 ,且 x∈→ ? ? ? , ],求 ②若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m,n)(|m|& )平移后得到函数 y=?(x)的图象,求实数 3 3 2m,n 之值. 解:①?(x)=2sin(2x+ ②m= -π , n=1 12? ? )+1,则 x=6 4★【※题 8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞; 卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=?(t),下面是该港口在 某季节每天水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米) 经过长期观察, y=?(t)曲线可以近似地看作函数 y=Asinω t+k 的图象 ①根据以上数据,求出函数 y=?(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以 上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m,如果该 船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间) 解:①y=3sin? t+10; 6②y=3sin? t+10≥5+6.5,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17,则最多可停留 16 个小时. 6→ → → → ★ 【※题 9】 ①设 O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+?(AB+AC),?∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 → → → → AB AC ②将上题中的条件改为OP=OA+?( + )则应选(C) → → |AB| |AC| 【※题 10】设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (Ⅰ)给出下列两个条件:?a,b,c 成等差数列; ?a,b,c 成等比数列; (Ⅱ)给出下列三个结论:①0&B≤? C A 3b 1+sin2B ;②a?cos2( )+c?cos2( )= ;③1& ≤ 2 2 2 COSB+sinB 32请你选择给定的两个条件中的一个做为条件,给定的三个结论中的两个做为结论,组建一个你认为正确的命 题,并给出证明. 解:（1）可组建四个正确的命题:??①②;??①③；??②③；??①③ 1+sin2B （2）y= = COSB+sinB2 sin(B+ ? ）且 0&B≤ ? ，则 1&y≤ 24 3三、课堂回顾与小结 ① 对于三角函数，应熟练掌握其基础知识，把握住三角函数的几何特征，灵活应用三角公式（正用、 逆用、变用） ；灵活变换角，如?=（?+?）-?；运用方程与函数的思想。 → → ②对于向量，应理解其运算的深层次意义，比如 a ? b 把长度、角度、数相联结；又比如通过 → | a |= →2 a 可将向量问题转化为数的问题。注意用坐标处理向量；对于解析（立体）几何问题，比如平行、垂直，有时先用向量表示，再通过向量的运算来处理，最后把向量转化为数，这种方法比较简单。 ③对三角函数的复习应注意基础性，对向量的复习应注重综合性。 四、今日训练练习： 《专题透析》P24-33 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考直线与圆锥曲线题型分析与预测QQ： 手机号码： 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： 一、方法概述 1、 直线方程：注意倾斜角和斜率，线性规划的相关内容； 2、 圆的问题:标准方程,充分利用圆心到直线的距离去处理相关位置关系; 3、 圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、图形及几何性质；涉及圆锥曲线的焦点、准线的 距离问题，一般利用圆锥曲线的定义进行转化求解；涉及弦长问题，一般利用弦长公式 d=|x1-x2|? 1+k ,结合韦达定理进行处理；涉及弦的中点问题，常用“点差法”沟通弦的中点坐标与 弦所在直线的斜率之间的关系。 4、 平面向量与解析几何的交汇常体现在平行、垂直、夹角、距离、共线、共点等问题上；解题时应注意将 这些问题坐标化、符号化，将逻辑推理转化为代数运算或几何性质，进而化归为函数、方程、不等式等 问题来处理。 一、范例剖析 2 2 ★ 【※题 1】①一束光线从点 A（-1，1）出发，经过 x 轴反射到圆（x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是（ A ） A 4 B 5 C 322 -1D 26x2 ? y 2 ? 1有相同的渐近线的双曲线方程是（C ） ②过点 P（2，-2）且与双曲线 2Ax2 y 2 ? ?1 4 2Bx2 y 2 ? ?1 2 4Cy 2 x2 ? ?1 D 2 4y 2 x2 ? ?1 4 2③已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，设 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，过点 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若△ABF2 为正三角形，直线 x=3 为椭圆的一条准线，则该椭圆的方程是______(答 案:x2 y 2 ? ? 1) 3 21 sinA,则顶点 A 的轨迹方程 2④在△ABC 中,|BC|=4,且 BC 落在 x 轴上,以 BC 的中点为坐标原点,若 sinC-sinB= 是( D ) Ax2 ? y2 ? 1 3Bx2 ? y 2 ? 1( x ? 1) 3Cx2 ?y2 ?1 3Dx2 ?y2 ? 1( x ? 1) 3⑤在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 A1B1 的距离是点 P 到直线 BC 的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹是( B ): A 圆弧 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 → → → → → ★ 【※题 2】 x、 设 y∈R， 为直角坐标系内 x 轴， 轴正方向上的单位向量， i,j y 若向量 a =x i +((y+2) j , b =x i → → → +(y-2) j ,且| a |+| b |=8；①求动点 M（x,y）的轨迹 C 的方程；②过点（0，3）作直线 L 与曲线 C 交于 A， → → → B 两点，设OP=OA+OB，是否存在直线 L，使得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 L 的方程，若不存在， 说明理由。 解、 ①动点 M （x,y） 的轨迹 C 的方程为 5 ，故存在直线 L：y=± 4 → → x2 y 2 -21 -18k ? ? 1 ； OA⊥OB， x1x2+y1y2=0,则(1+k2)? ②即 则 2+3k? 2+9=0, 4+3k 1+3k 12 16 5 4 x+3，使四边形 OAPB 为矩形。则 k=±x2 y 2 ? 1 （a& ★【※题 3】①已知双曲线 2 ? a 22 )的两条渐近线的夹角为 ? ，则双曲线的离心率为（D3D 2 3）A 2B3C2 363②把椭圆x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等分，过每一个分点作 x 轴的垂线， 25 16分别交椭圆的上半部分于 P1，P2，?P7 七个点，F 是椭圆的左焦点，求 3 |P1F|+|P2F|+?|P7F|之值______(答案:所求=7?2+ (1+2+3+4+5+6+7)=35 ) 4x2 y 2 ③双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P,使 AP⊥PQ,则此双曲线的离心 a b率的取值范围是( B A e& ) 6 6 6 B 1&e& C e≥ D 1&e&错误！链接无效。 2 2 3 ④已知 x,y,z 满足 x-y+5≥0 x≤3 x+y+k≥0 且 z=2x+4y 最小值为-6,则常数 k=_____(为 0) ⑤在长度为 a 的线段上取两点从而分成三段,则此三段可以构成一个△的三边的 _______(答案:P=0.25) 2 ★【※题 4】过定点 A(m,0)(m&0)做一直线 L 交抛物线 C:y =2px(p&0)于 P,Q 两点,概率为设 Q 点关于 x 轴的对称点为 M,连结 PM 交 x 轴于点 B; → → → → ① 证明:点 B 为定点;②若AP=?AQ,求证:PB=?BM 解、①可求得 B(-m,0);②转为向量坐标关系去证明.x2 y 2 x2 y 2 ★【※题 5】已知 A,B 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a&b&0)和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不 a b a b→ → → → 同于 A,B 的动点,且有AP+BP=?(AQ+BQ)(?∈R,|?|&1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4 为一个定值. → → → → 解、①点 A(-a,0);B(a,0);②由AP+BP=?(AQ+BQ),向量的加法平行四边形法则, x1 y1 2 2 a 2 则有 O， P 三点共线;设 P(x1,y1)、 x2， 2） Q， Q （ y ,则 2 - 2 =1,则 x1 -a = 2?y1 a b b y1 y1 2x1y1 2b x1 -2b x2 x1 x2 故 k1+k2= + = 2 2 = 2 ? ;同样有 k3+k4= 2 ? ;由于 = ,则所 x1+a x1-a x1 -a a y1 a y2 y1 y2 求的定值为 0，为定值。 2 【※题 6】 ①过抛物线 y =4x 的焦点做直线 L 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 3,则|AB|=____(答 案:8) y1y2 2 ② 抛物线 y =2px(p&0)焦点弦 AB 的两个端点的坐标是 A(x1,y1),B(X2,y2),则 之值是( B ) x1x2 A 4 B -4 C p D Cp 2 ③抛物线 x =4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B ) A 6 B 9 C 12 D 16 ④ 在③题中,若将条件改为 A(3,1),其它不变,则是____(答案:3) 2 2 ⑤直线 y=2x+m 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点,以 x 轴正半轴为始边,OA 为终边(O 为坐标原点)的角为?,OB 为 -4 终边的角为?,则 sin(?+?)=____(答案: ) 5 ★ 【※题 7】已知双曲线 C 中心在原点,抛物线 y =8x 焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线过点 T(2 2 2 2 2 2 2 22 , 3 );①求双曲线 C 的方程;2②设双曲线 C 的实轴左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象限内任取双曲线 C 上的一点 P,问是否存在常数?(?&0),使得∠PFA=?∠PAF 恒成立,并证明你的结论. 解:① x ?y2 ? 1; ②取特殊位置;PF⊥x 轴求出?=2,再一般性去加以证明. 3二、课堂回顾与小结 解析几何的实质是用代数方法去研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此，要掌握求曲 线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一。同时，要熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识，掌握直 线与圆锥曲线的位置的研究方法。 三、今日训练练习： 《专题透析》P54-66 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容： 高考排列组合二项式定理概率统计题型分析与预测洞口三中 方锦昌 电子邮箱：
QQ： 手机号码： 一、方法概述 1、 概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估 计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。试题以实际问题为背景，贴 近生活，难度适中。 2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独立重复试验，以便选择正确的计算方法。解题过程中，要明确条件中“至少有 1 个发生”“至多有 1 、 个发生”“恰有 1 个发生”“都发生”“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间 、 、 、 的关系和计算公式。 3、 总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。 4、 在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之 和；二是先求此事件的对立事件的概率。 5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等 式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。 6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是 随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程 度。 二、范例剖析 ★ 【※题 1】 甲、 乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋中装有 2 个红球,2 个白球;乙袋中装有 2 个红球,n 个白球;现从甲、乙两袋中各任取 2 个球.①若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率；②若取到的 4 个球 中至少有 2 个红球的概率是 3/4，求 n 的值。 2 C2 C2 1 2 解：①记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A,则 P(A)= ? = 2 C4 C2 60 5 ②可求得 n=2 ★ 【※题 2】从 6 名男同学和 4 中女同学中,采用简单随机抽样的方法选出 3 名同学参加一项竞技测试,每位 同学通过测试的概率为 0.7,试求:①选出的 3 人中至少有一名女同学的概率;②选出的 3 人中甲同学必被 选中且通过测试的概率是多少;③设选出的 3 位同学中至少有 2 名男同学的概率. 3 C6 5 C3 9 3 解:①至少有一名女同学的概率 P1=1= ; ②甲同学必被选中的概率为 = ;且通过测试的概率是 3 6 3 10 C10 C10 P2=0.3?0.7=0.21 2 1 C6C4 ③至少有 2 名男同学的概率 P3= 3 C10 C3 2 6 + = 3 C10 3【※题 3】美国 NBA 篮球总决赛采用七局四胜制,即先胜四局的队获胜,比赛结束。2007 年美国东部活塞队与 1 西部马刺队分别进入总决赛,已知马刺队与活塞队的实力相当,即单局比赛每队获胜的概率均为 ；若第一场比 2 赛组织者可获门票收入 30 万美元,以后每一场门票收入都比上一场增加 10 万美元，设各局比赛相互之间没有 影响.①求组织者在本次比赛中获门票收入为 180 万美元的概率；②若组织者在本次比赛中获门票收入不低于 330 万美元，其概率为多少. 解:①每场比赛的门票收入构成等差数列｛an｝,其中 a1=30，d=10，则 an=20+10n,Sn=25n+5n2,由 Sn=180 得 1 4 1 n=4(n=-9 舍去） ，即比赛进行 4 场，∴P4=2C4( ) = ；②由 Sn≥330，则 n≥6(n≤-11 舍去） ，则必须比赛 6 或 4 2 8 1 1 1 1 5 7 场： ?比赛 6 场的概率为 P6=C1C3（ ）5?（ ） ；?比赛 7 场的概率为 P7=C1C3（ ）5?（ ） ；∴P 求= P6+P7= 2 5 2 2 6 2 2 2 8 ★ 【※题 4】某人玩掷骰子放球的游戏:若掷出 1 点,则在甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,则在乙盒中放一 球;否则,则在丙盒中放一球.设他掷 n 次之后,甲、乙、丙各盒中的球数分别为 x,y,z ① 当 n=3 时，求 x,y,z 成等差数列的概率； ②当 n=6 时，求 x,y,z 成等比数列的概率。1 1 1 1 1 1 2 1 解：①由 2y=x+z 则有 x=y=z=1:C1( )C1( )C1( )= ；或 x=0,y=1,z=2:C1( )C2( ) = ；或 3 2 1 3 2 6 6 1 2 1 1 1 1 1 4 x=2,y=1,z=0:C2( ) C1 ( )= ∴P1= + + = 3 1 36 36 9 6 3 6 4 1 2 2 1 2 2 1 2 5 ② y2=xz,且 x+y+z=6,则 x=y=z=2：P2=C2( ) C4( ) C2( ) = 6 6 2 3 72 3 2 3 2 4AB CD★ 【※题 5】设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移到另外三个顶点是等可能的。现抛掷一枚均匀硬 1 币（硬币正面和反面出现的概率均是 ） ， 2 根据硬币的正、反面来确定棋子是否移动：若硬币出现正面，则棋子不动，若硬币 出现反面，则棋子移到另一顶点。已知棋子的初始位置在顶点 A。①求掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B 的概率；② 求掷 2 次硬币后棋子恰好到达顶点 B 的概率；③掷了 3 次硬币，求硬币出现的都是反面，且棋子第 3 次恰好到 达顶点 B 的概率。 1 1 1 解：①掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B，则说明硬币出现的是反面，且棋子由 A 移到 B，则 P1= ? = ；②掷 2 次 2 3 6 1 1 硬币后棋子恰好到达顶点 B，可能有下列 4 类情形：A?A?B，A?B?B，A?C?B，A?D?B，则 P2= ? + 2 6 1 1 1 1 1 1 2 ? + ? + ? = 6 2 6 6 6 6 9 ③ 可能有 7 种情形： A?B?A?B， A?B?C?B， A?B?D?B， A?C?A?B， A?C?D?B， 1 3 7 A?D?C?B，则所求概率为 P3=7?（ ） = 6 2161 2 n n ★ 【※题 6】证明下列各式：①1+2 Cn +4 Cn +?+2 Cn ?1 +2 Cn =3n-1 n nA?D?A?B，0 1 2 n n ②( Cn ) +( Cn ) +( Cn ) +?+( Cn ) = C2 n2222解：①构造函数?（x)=(1+x) ,令 x=2 可得结论。 2n n n n ②构造函数?（x)=(1+x) =(1+x) ?(1+x) ,比较两边展开式中 x 的系数即可得到结论。 ★ 【※题 7】设?（x)是定义于 R 上的一个给定函数，函数 0 1 n n n n-1 0 0 1 n g(x)= Cn ?（ )?(1-x) + Cn ?( )x(1-x) +?+ Cn ?( )x (1-x) (x≠0,1); n n n ①当?(x)=1 时，求 g(x); ②当?(x)=x 时，求 g(x).0 1 n 解：①当?(x)=1 时，g(x)= Cn (1-x) + Cn x(1-x) +?+ Cn x (1-x) = [（1-x)+x] =1n n-1 n 0 nn0 1 2 n n n n-1 2 n-2 0 1 2 n ②当?(x)=x 时，g(x)= Cn ? ?(1-x) + Cn ? ? x?(1-x) + Cn ? ?x ?(1-x) +?+ Cn ? ?x , n n n nk k ?1 k 由于 k Cn =n Cn?1 ,则 Cn ?n-1k k ?1 = Cn?1 ,则 n2 n-1 3 n-2 n0 1 2 n?1 g(x)= Cn?1 ?x?(1-x) + Cn?1 ?x ?(1-x) + Cn?1 ?x ?(1-x) +?+ Cn?1 ?xn-1 n-1 2 n-2 n-10 1 2 n?1 =x[ Cn?1 ?(1-x) + Cn?1 ?x?(1-x) + Cn?1 ?x ?(1-x) +?+ Cn?1 ?x ]=x[(1-x)+x] =xn-1★ 【※题 8】(理）甲有一只放有 x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且 x+y+z=6（x,y,z∈N） ，乙有一只 放有 3 个红球，2 个黄球，1 个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲 胜，异色时乙胜。①用 x,y,z 表示出甲胜的概率；②若同时规定，当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为 1、2、3 分，否则得 0 分，求甲得分的期望的最大值及此时 x,y,z 之值。 1 x 1 y 1 z 3x+2y+z 解、①甲胜的概率 P1= ? + ? + ? = 2 x+y+z 3 x+y+z 6 x+y+z 36 z 2y 3x 3(x+y+z)+y 18+y 18+6 2 ②E§=3? +2? +1? = = 而 0≤y≤6，则其最大值为 = ，此时 x=z=0,y=6 36 36 36 36 36 36 3 ★题 9、已知正四面体 A-BCD，有一只小虫自顶点 A 沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点 B、C、D， 然后又从 B、C、D 中的一个顶点沿着每一条棱以等可能的概率爬到其他三个顶点，依次进行下去，记 Pn 为第 n 次到达顶点 A 的概率（小虫刚开始时在 A 点） 。① 求 Pn 的通项公式；②求第 2007 次小虫爬到顶点 A 概率。 （理科：若不断地爬下去，小虫最终停在 A 处的 概率是多少？） 解： ①小虫第 n 次在顶点 A 的概率为 Pn； n-1 次在顶点 A 的概率为 Pn-1， 第 则此时在 B 或 C、 处的概率为 1-Pn-1， D 1 1 1 -1 1 而由其中任何一个顶点爬到 A 的概率均为 ，则有 Pn=（1-Pn-1）? ，则有 Pn - = （Pn-1 - ） ，且 P1=1， 3 3 4 3 4 3 -1 n-1 1 3 -1 2006 1 则有 Pn = （ ） + ；②P2007 = （ ） + ， 4 3 4 4 3 4lim P =4n1n ??★题 10、经统计，长沙友谊商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下： 排队人数 概率 25 以上 0.050～5 0.16～10 0.1511～15 0.2516～20 x21～25 0.2求:①每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? ②一周七天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算 的概率大于 0.75,商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口,为什么? 解:①由于概率之和等于 1,则有 x=0.25;P1=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75;②每一天超过 15 人排队结算的概率是 1 1 0.25+0.2+0.05= ,则一周七天中:?没有出现超过 15 人排队结算的概率是 C0( )7;? 有一天出现超过 15 人排队 7 2 2 1 1 结算的概率是 C1 ( )7;? 有两天出现超过 15 人排队结算的概率是 C2 ( )7;∴有三天以上(含三天)出现超过 15 7 2 7 2 1 1 1 99 人排队结算的概率是 1-[ C0( )7+C1( )7+C2 ( )7]= &0.75,∴该商场需要增加窗口. 7 2 7 2 7 2 128 一、课堂回顾与小结 求较复杂事件的概率，可以将它分解为几个比较简单的互斥事件，再利用互斥事件概率的加法公式来求解， 这种方法实质就是分类讨论思想。 四、今日训练练习： 《专题透析》P45-53 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考直线平面与简单几何体题型分析与预测 湖南省洞口三中 方锦昌电子邮箱：
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邮编： 422312四、方法概述 近几年高考的立体几何,命题形式比较稳定,难易适中,一般保持着“两小一大”的题型格局;考查的主要内 容有:线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，线线、线面、面面所成的角及有关距离的计算，面积 和体积的计算（侧重于体积） 。试题的特点是；推理论证与几何量的计算并重，常常是一题两解，兼顾几何 法与向量法，且由于向量法的独特性，使得向量法在得分上略显优势。试题以中等难度为主，兼有少量容 易题，没有出现过很难的题。 五、典例剖析 AE CF ★ 【※题 1】①如图,在正四面体 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 = EB FD =?(?&0),设? （?） ?+??,其中??与??分别表示 EF 与 AC、 所成的角， （D ） =? BD 则 A ?（?）是（0，+∞)上的增函数 B ?（?）是（0，+∞)上的减函数 C ?（?）是（0，1)上的增函数 , 是（1，+∞)上的减函数 D ?（?）是（0，+∞)上的常函数 ②关于直线 m,n 与平面?，?有下列四个命题：?若 m∥?,n∥?,且?∥?,则 m∥n;?若 m⊥?,n⊥?,且?⊥?,则 m⊥n;?若 m⊥?,n∥?,且?∥?,则 m⊥n;?若 m∥?,n⊥?,且?⊥?,则 m∥n；其中真命题的序号为____(答 案:??) ③设 l,m 为两条异面直线,?,?为两个不同的平面,若 l⊥m,且 l??,m??,给出下列四个结论:??∥?;?? ⊥?;?l∥?;?m⊥?;其中可能成立的结论个数有＿＿＿＿个． （答案：４个） ④设 l,m 为空间两条直线,?,?为空间两个不同的平面,且 l??,m? ?,则下列命题中，其否命题为假命题 ．．． 的是（ Ｃ ） Ａ 若 m∥?,则 m∥l; Ｂ 若 m⊥l,则 m⊥?; Ｃ 若 l⊥?,则?⊥?; Ｄ 若 l∥?,则?∥? ⑤设?,?为空间两个不同的平面, m、n 为平面?，?外的两条不同的直线,给出下列四个论断：?m∥n;?n ∥?;??⊥?;?m⊥?;以其中的任意三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共可组成四个命题，则这四 个命题中正确的命题有______(答案:?????或?????) ★ 【※题 2】已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直, ∠ABC=90°,BC=2,AC=23 ,且 AA ⊥A C,AA =A C,①求侧棱 A A 与底面 ABC 所成的角1 1 1 1 1的大小;②求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成的二面角的大小;③求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离. (解: ①45°; ② 60°; ③3)★【※题 3】如图 3，已知Ｏ为半径为 1 的球的球心，点Ａ、Ｂ、Ｃ在球面上，ＯＡ、OB、Ｏ C 两两垂直，点Ｅ、Ｆ分别为大圆弧 ? 和 ? 的中点，则点Ｅ、Ｆ在该球面上的球面距 AB AC 离为________ 解: 要求过Ｅ、 Ｆ两点的球面距离，则要求∠ＥＯＦ的弧度数； 为此，则要求出弦ＥＦ的长度, 则应过Ｅ、 Ｆ做平行于平面ＯＢＣ的平面交ＯＡ于Ｄ， 由于Ｅ、 Ｆ分别是 ? 和 ? 的 AB AC 中点，可知ＤＥ＝ＤＦ＝? 2 ，从而求出ＥＦ＝１，那么得到∠ＥＯＦ＝ ，则 点Ｅ、Ｆ在该球面上的 3 2球面距离为? 3★【※题 4】 【§Ⅰ】下列命题正确的序号有_____①②④____ ① 直线 m、n、L 和平面?、?：若 m??,L∩?=A,点 A?m,则 L 与 m 不共面 ② 若 L 与 m 是异面直线，L∥?,m∥?,且 n⊥L,n⊥m,则,n⊥? ③ 若 L∥?,m∥?,且?∥?，则 L∥m ④ 若 L??， m??， L ∩m=A, L∥?,m∥?,则?∥? 【§Ⅱ】 、已知直线 L⊥?，直线 m??,则： ①若?∥?? L⊥m； ②?⊥??L∥m ④L⊥m??∥? 正确的有 ①③③L∥m??⊥?【§Ⅲ】 、已知直线 m、n、和平面?、?，则 ①若 m⊥?，m⊥?，则?∥? ②若 m??, n??, m∥n,则?∥? ③若 m∥n, m⊥?，则 n⊥? ④若 m⊥?，m??，则?⊥? 正确的有 ①③④【§Ⅳ】 、如图，在正方体 ABCD―A′B′C′D′中，EF 是异面直线 AC 与 A′D 的公垂线,则由正方体的八个顶点所连接的直线中,与 EF 平行的直线( A ) A 有且只有一条 B 有二条 C 有四条 D 不存在 解、转为线面关系，则 EF⊥平面 A′C′D ，而只有 BD′⊥平面 A′C′D 从而选（A） 【§Ⅴ】 、一个三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，且长度分别为 1、 6 、3 已 知该项三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ A 16π B 32π C 36π D 64π A ）解、建立长方体模型，则球的直径为长方体的对角线，从而有 2R= 1+6+9 =4 【§Ⅵ】在长方体 ABCD―A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中 点，若∠CMN=90°，则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为( D ) A 30° B 45° C 60° D 90° 解、由三垂线定理知所求为 90° 【§Ⅶ】在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,将菱形沿对角线 AC 起,使折起后 BD=1,则二面角 B-AC-D 的余弦值为( A A 1 3 B 1 2 C 2 2 3 D 3 2 )折【§Ⅷ】如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所 在 平 面 成 60 ° 的 二 面 角 , 则 AB 与 平 面 BCD 所 成 角 的 大 小 为 _______(答案:arcsin 6 ) 4_★【※题 5】如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,平面 B1ED 交 A1D1 于 F,①指出 F 在 A1D1 上的位置,并说明理由; ②求直线 A1C 与 DE 所成的角的大小; ③设 P 为面 BCC1B1 上的动点,且 AP= 曲线的长度. 解:①F 为 A1D1 的中点;②arccos 15 ; 15 ③△APB 为 Rt△,则 PB= AP2-AB2 = 2 3 ,试指出动点 P 的轨迹,并求出其轨迹所表示 3 的3 ,而 33 6 πB为定点,则点 P 的轨迹是以 B 为圆心,1 1 3 3 为半径的 圆,其长度为 ?2π ? = 4 4 3 3★【※题 6】因需要进行商业谈判,我急于要从北京出发前往智利的圣地亚哥,航空公司开出了两条路线供我选择:其 一:从北京 ??? ? 纽约 ??? 圣地亚哥；其二:从 北京 ??? 澳大利亚的弗里曼特尔 ? ?向西向南向南向西? 圣地亚哥。已知这四个城市的经纬度为：北京（东经 120°、北纬 40°） ；纽约（西经 70°、 ???北纬 40°） ；圣地亚哥（西经 70°、南纬 30°） ；弗里曼特尔（东经 120°、南纬 30°） 请帮我比较策划这两种方案中哪一种飞行距离更短些，请说明理由。解:不妨用LAB表示地球上两点间的球面距离，用各城市的头一个字母Ｂ、Ｎ、Ｆ、Ｓ分别代表北京、纽约、弗里曼特尔、圣地亚哥。甲方案的空中航线长为：LBN＋LNS;乙方案的空中航线长为：LBF＋LFS由于向南飞行是同经度，沿经度线飞行，经度线所在就是地球的大圆线，它们间纬度差正好相等，则有LNS=LBF，从而只要比较LBN和LFS就可以了。在LBN中，北纬 40°的小圆半径ｒ=Ｒ?cos40° ,经度差为 170°，它的弦长ＢＮ= 2Ｒsin85°?cos40° 同理有ＦＳ= 2Ｒsin85°?cos30°； ∵cos40°＜cos30° ∵对于同一个球，较长的弦对应的球心角也较大，则∴ＢＮ＜ＦＳLBN＜LFS∴两个方案中第一个方案飞行的距离要短些。 i. 本题不必去求出具体的距离数值，而只要去比较大小即可，从而减少计算量。同时，要能熟练掌握 同纬度两城市间的距离和同经度两城市间距离的求解 三、课堂回顾与小结 立体几何中经常涉及的知识与题型有：①证明平行与垂直；②求多面体的体积；③三种角的计算；④有关 距离的计算；⑤多面体表面积的计算。这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相 交直线所成的角；面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等。其解答题的设计，注意了求解方法既可用 向量法处理，又可用传统的几何法解决，并且向量方法比用传统的方法解决较为简单。 四、今日训练练习； 《专题透析》P67-81 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容： 导数及其应用湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱：
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邮编： 422312一、方法概述 1、 导数是一个知识独特、应用广泛，与初、高等数学衔接紧密的重要内容，因此成为高考的热点，并且 在大题和小题中都有相关试题。 其中选择、 填空题主要是考查导数的基本概念、 基本运算和基本方法； 解答题一般是考查导数与函数、方程、不等式的综合应用。 2、 要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。其基本方法是构造函数，然后 利用导数分析其单调性和极值、最值，概括其函数值分布，进而推出相应结论。最好画出其单调性示 意图，以加强直观理解。这是一种函数思想，导数是研究函数性质的工具和手段。 3、 理科要加强数列的极限、函数的极限、函数的连续的概念的理解和简单应用。 二、范例剖析 3 2 ★【※题 1】已知函数?(x)=- x -bx -5cx-2d 在(-∞,0]上为K,在[0,6]上J,且方程?(x)=0 有 3 个实数 根 m,n,1 ① 求?(4)的取值范围; 2 2 ② ②问 m -4mn+n 是否有最小值?若有,求出最小值,若没有,请说明理由. 解: ①由?′(0)=0,则 c=0; -2b -2b ②?′(x)=0 的两根为 x1=0,x2= ,而?(x) 在[0,6]上J,则 ≥6,则 b≤-9, 3 3 ∴?(4)=-63-15b≥72; 3 2 ③设?(x)=-(x-m)(x-n)(x-1)= - x -bx -2d,则有 -b=m+n+1,且 0=m+n+mn,且-2d=mn,∴ 2 2 2 2 m -4mn+n =(-1-b) +12d=(b-2) -9≥112,则有最小值为 112.3 1 2 ★【※题 2】已知函数?(x)=x - x +bx+c,①若?(x)的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围; ②若?(x) 2 2 在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时, ?(x)&c 恒成立,求 c 的取值范围. 1 解:①b≤ ; 12-2 22 ②?(x)在 x=1 处取得极值,则 b=-2,则?(x)在[-1,2]有极大值?( )= +c,又?(2)=2+c,∴x∈[-1,2]时, 3 27 2 ?(x)有最大值?(2)=2+c,则 2+c&c ,∴c&-1 或 c&2 为所求.★ 【※题 3】 已知函数 y=? （x)在区间 （0， +∞） 内可导， 导函数?′ （x)是K， 且?′ （x)&0,设 x0∈(0,+∞),y=kx+m 是曲线 y=?(x)在点(x0,?(x0))处的切线方程，并设函数 g(x)=kx+m ① 用 x0,?(x0)、?′(x0)表示 ②证明：当 x∈(0,+∞)时，g(x)≥?(x) 解: ① m=?(x0)- x0??′(x0) ② 构建辅助函数 G(x)= g(x)- ?(x)；对其求导: G′(x)= g′(x)- ?′(x)=k-?′(x)= ?′(x0) -?′(x)； 则当 x=x0 时，G′(x0)= 0； ③ 又已知?′（x)是K，则-?′（x)是J，则 G′(x) = ?′(x0) -?′(x) 是J， ∴ 当 x&x0 时，G′(x）& G′(x0)= 0, x&x0 时, G′(x)& G′(x0)=0； ∴ 当 x&x0 时，G(x）为J,则 G(x）& G(x0）=0； 当 x&x0 时, G(x)为K,则 G(x）& G(x0）=0； ∴ 当 x∈(0,+∞)时, G(x）& G(x0）=0,即 g(x)- ?(x)≥0,从而 g(x) ≥?(x). a 3 2 2 ★ 【※题 4】 x1、 2 是函数?(x)= x +x -a x(a&0)的两个极值点， 设 x g(x)=?′(x)-2a(x-x1)， 已知 x1&0， 1|+|x2|=2 |x 3 求证：当 x1&x&2 时，|g(x)|≤4a 2 2 2 2 解：①?′(x)=ax +2x-a , x1、x2 是函数?(x)的两个极值点,则有：x1、x2 是方程 ax +2x-a =0 的两个根，则 ?′(x)=a（x-x1)(x-x2); ②g(x)= a（x-x1)(x-x2-2), 又 x1&0,x1?x2=-a&0,则 x2&0,又 x1&x&2, ∴|x-x1|= x-x1, 且|x-x2-2|= x2+2- ( x ? x1 ) ? ( x2 ? 2 ? x) 2 a ③由于|x1|+|x2|=2,则|g(x)|= a|x-x1|| x-x2-2|= a（x-x1) (x2+2- x)≤a?[ ]= 4 22 a 2 (-x1+x2+2) = (|x1|+|x2|+2) =4a 4→ → → 2 ★【※题 5】设平面上的动向量 a =(s,t), b =(-1,t -k),其中 s,t 为不同时为 0 的两个实数，已知 k≥0，且有 a → ⊥b ① 求函数 s=?(t)的函数关系式； ②若函数 s=?(t)在[1,+∞)上是单调增函数，求证：0≤k≤3； 2 ③对上述?(t)，当 k=0 时，存在正项数列{an}满足?(a1)+?(a2)+?+?(an)=sn ，其中 sn=a1+a2+?+an，试求{an} 的通项公式并证明： 1 2 3 n + +?+ &3 2 + 2 2 2 a1 a2 a3 an 3 解：①s=?(t)=t - ②k≤ 3t1 t∈[1,+∞),则有 0≤k≤3 2 3 3 3 2 2 3 2 2 ③sn =a1 +a2 +?+an ，则 sn - sn-1 =an ,则 sn+ sn-1 =an ，则 sn-1+ sn-2 =an-1 ，两式相减得 an-an-1=1(n≥3), 又 a1=1,a2=2,则 an=n； k 1 1 1 2 3 n 又 &2( ）令 k=2,3,4,?,n,相加得 2 + + +?+ &1+2（12 2 2 2 k a1 a2 a3 an k-1 k 1 n ）&3★【※题 6】已知函数?(x)的导数?′(x)满足 0&?′(x)&1,常数 a 为方程?(x)=x 的实数根, ① 求证:当 x&a 时,总有?(x)&x 成立 ② 对任意的 x1,x2,若满足|x1-a|&1,|x2-a|&1,求证:|?(x1)-?(x2)|&2解:①设辅助函数 h(x)=x-?(x),则 h′(x)=1-?′(x)&0,则 h(x)为J,又 h(a)=a-?(a)=0,则当 x&a 时, h(x)&0, 即有?(x)&x 成立 ②不妨设 x1≤x2,由于?′(x)&0,则?(x)为J;则?(x1)≤?(x2), 又?(x)-x 为K,则?(x1)-x1≥?(x2)-x2,∴0≤?(x2)- ?(x1)≤x2-x1,即|?(x2)- ?(x1)| ≤|x2-x1|; 而|x2-x1|≤|x2-a|+|x1-a|&2, ∴|?(x1)-?(x2)|&2★【※题 7】(理) 已知函数?(x)=ln ,g(x)=x; x-1 ① 若 x&1,求证:?(x)&2g( ) x+1 1 2 2 ② 若关于 x 的方程 g(x )-?(1+x )=k 有四个不同的实数根,求实数 k 的取值范围. 2 x-1 2(x-1) x 解:①设辅助函数 h(x)= ?(x)-2g( )=ln ,求导后知,h(x)在[1,+∞)上为J,则 h(x)& h(1)=0; x+1 x+1 1 1 2 2 2 2 ②令?(x)= g(x )-?(1+x )= x - ln(1+x ),求导并得出其单调性 2 2 1 示意图,则有 k∈( -ln2,0) 2x三、课堂回顾与小结 函数、不等式、导数的综合问题，除了利用导数判断函数的单调 用导数求极值、 最值外， 高考命题中出现较多的还有导数与不等 合：一是将一类范围问题转化为求函数的最值，使用导数求解； 造函数，利用导数证明不等式。 四、今日训练练习： 《专题透析》P8-10 湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考应用性问题与数学建模的分析和探究湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱：
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邮编： 422312性和利 式的整 二是构一、方法概述1、数学应用性问题要求学生，将一个用文字语言叙述的问题，根据其实际意义概括抽象为一 个纯粹的数学问题，化归为一个数学模型（即数学建模）来解决；其本质是建立合理的数 学模型，并利用相关数学知识进行求解。 2、 数学应用题的一个显著特点是文字叙述多、生活常识多、科技术语多、字母变量符号多、 相关制约因素多。解题时，首先要认真读题，准确理解题意，舍弃问题中与数学无关的非 本质因素，梳理信息；其次要抓住问题中的关键词语，抽取出涉及问题本质的数学结构， 建立适当的数学模型。 3、应用题中往往数据较多,数量关系隐蔽,而且这些数据具有生活实际的本来面目,并非纯数 学化的数据,解题时可以适当用表格处理复杂的数量关系,把信息以表格的形式进行整合, 以此理顺各数据之间的内在取系,再进行数学建模. 4、数学应用问题,最后要对所提出的问题进行总结作答,这是求解应用性问题的一个必不可少 的步骤. 二、 范例剖析 ★【※题 1】根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》 ，书籍稿酬由基本稿酬和印数稿酬组成。 （Ⅰ） 基本稿酬的标准为：①著作稿酬每千字 10 至 30 元，确有学术价值的，可适当提高，但每千字不 超过 40 元；②词书稿有两种计酬的方法：其一是按一般著作稿酬标准另加 15%至 20%计算（词条 书目） ；其二是按每千字 20 元至 30 元计算，另增加 20%至 30%的基本稿酬（百科全书词条）（Ⅱ） 。印数稿酬的标准为：①一般书籍，印数在一万册以内，以一万册计算付基本稿酬的 8%，印数超过 一万册的，其超过部分每千册付基本稿酬的 0.8%;②确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万 册以内的,以一万册计算付基本稿酬的 30%,印数超过一万册的,计算方法同①.根据以上内容,解答 下列问题:①若印 x 千册,试写出每千字最高稿酬?(x)和每千字最低稿酬 g(x)的函数关系式;②若 王教授出版了一本 25.4 万字的书,印数 1.8 万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬. 解:①每千字最高稿酬?(x)= 40(1+20%)+40(1+20%)?30% (x≤10) 40(1+20%)+40(1+20%)?30%+40(1+20%)(x-10)?0.8% (x&10) 即?(x)= 62.4 (x≤10) 62.4+0.384(x-10) (x&10) 每千字最低稿酬 g(x)= 10+10?8% (x≤10) 10+10?8%+10?8%(x-10) (x&10) 即 g(x)= 10.8 (x≤10) 10.8+0.08(x-10) (x&10) ②此时 x=18, ?(18)=65.472, g(18)=11.44,因此此书 25.4 万字(254 千字),所以最高稿酬为 65.472 ?254=≈16630 元,最低稿酬为 11.44?254=96 元.★ 【※题 2】 载人宇宙飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在 返回舱预计到达区域安排三个救援中心(记为 A,B,C),A 在 B 的正东方向,相距 6 千米;C 在 B 的北偏西 30°方向,相距 4 千米;P 为航天员着陆点,某一时刻,A 收到来自 P 的求救 信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 远，因此 4 秒后，B、C 两个求援中心才同时收到这一信 号，已知该信号的传播速度为 1 千米/秒； ① 求 P 相对于 A 的方位角。 ② 若信号从 P 点正上空 Q 点发出，则 A、B 收到信号时间差变大还是变小，说明理由。x2 y 2 ? 1 （x&0)上； 解、①点 P 处于双曲线 ? 4 5点 P 又处于 BC 的中垂线 x∴P（8，53 y+7=0 上， 联立两方程得 x=8,3 ） P 点处于 A 点的北偏东 30°处。 ，则- y2+h2 =③ 如图，设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,由于传播速度为 1 千米/秒，则主 要是比较|QB|-|QA|= x2+h2 (x-y)? x+y x +h + y2+h22 2&1，则|QB|-|QA|&|PB|-|PA|，故 A、B 收到信号时间差变小，B、C 两求援中心收到信号的时间少于 4 秒。★【※题 3】一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为 n(n≥3,n∈N*)等份,种植红、 蓝三色不同的花， 黄、 要求相邻两部分种植不同颜色的花； （Ⅰ） 、 如图 1，圆环被分成 a1,a2,a3 三等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅱ） 、如图 2，圆环被分成 a1,a2,a3,a4 四等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅲ） 、如图 3，圆环被分成 a1,a2,a3,?,an-1,an 这 n 等份时，共有不同的种植方法数记为 S（n),试 写出 S（n）与 S（n-1)满足的关系式，并求出 S（n)关于 n 的表达式。解：①S（3）=C1C1C1=6； 3 2 1 ②S（4）=C1C1（C1+C1）=18 3 2 2 1 ③如图 3，圆环分成 n 等分，a1 有 3 种不 同的种法，对 a2,a3,?,an-1,an 都有两种不 同的种法，但这样种法只能保证 a1 与 ai(i=2,3,?,n-1)不同颜色，但不能保证 a1 与 an 不同颜色； 于是，分为两类：一类是 an 与 a1 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 S（n） (n≥3)种；另一类是 an 与 a1 同色的种法，这时可以把 an 与 a1 看成一个整体，这样的种法相当 ． ． ．．．．．． ．． ．．．．．．．．．．．．．．n-1 于对 n-1 部分符合要求的种法，记为 S（n-1） ．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．；两类合计共有 3?2 种种法， ． ． ．． 则 S（n）+ S（n-1）=3?2n-1 = 2n+2n-1， 则有 S（n）-2n=-[ S（n-1）-2n-1]，则数列｛S（n）-2n｝是首项为 S（3）-23=-2，公比为-1 的等比数列，则 S（n）-2n=-2? （-1）n-3 ∴S（n）=2n-2? （-1）n-3(n≥3)★ 【※题 4】在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图） ，其中 A、B 是地面上 南北方向的两个定点， 正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线 OCD 与地面成锐角?，△ABD 为光照遮阳棚产生的阴影。 ① 遮阳棚与地面成多少角度时，才能使阴影△ABD 面积最大？ ② 当 AC=3，BC=4，AB=5，?=30°时，求出阴影△ABD 的最大面积。 解：过 C 做 AB 的垂线，垂足为 E，则 DE 为 CE 在地面上的射影，且 AB⊥平面 CED， ∴∠CED 是平面 ABC 与平面 ABD 所成的平面角； 在△CED 中,∠CDE=?,设∠CED=?,则 DE= sin(?+?) ?CE, sin?1 1 sin(?+?) 1 sin(?+?) ∴S△ABD= ?AB?DE= ?AB? ?CE= ?AB?CE? 2 2 sin? 2 sin?= S△ABC?sin(?+?) π ,∴当?= -?时,阴影△ABD 面积最大. sin? 2③ 利用①中结论可得所求为 12★【※题 5】如图所示,某村在 P 处有一堆肥料,今要把这堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的一块田 ABCD 中去,已知 PA=100 米,PB=150 米,BC=60 米, ∠APB=60°,能否在田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送 肥较近而另一侧的点沿道路 PB 送肥较近?如果能,请说出这条界线是什 么 曲线,并求出它的方程. 解:田地 ABCD 中的点可分为三类：第一类是沿 PA 送肥较近；第二类是沿 PB 送肥较近；第三 类是沿 PA 或 PB 送肥一样远近；由题意知，界线是第三类点的轨迹。 如图建立平面直角坐标系,设 M 为界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,则|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,故所求的界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支， x2 y2 其方程为 =1(25≤x≤35,y≥0) 625 3750 三、课堂回顾与小结： 解答应用题的一般步骤是： ①审题?认真阅读理解文字所表达的意义，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模?按问题的主要关系列式，将实际问题抽象成数学问题，构建数学模型，这是最关键 的一步； ③求解并作答?利用相关的数学知识求解，获得数学上的结论；再将所得的结果返回到实际 问题，然后作答。 注意：要透彻地理解题意，要在实际问题的情景中去理解、分析给出的问题，清理出问题所 需要的实质性因素，舍弃与解题无关的非本质性的东西。要将实际问题抽象成某种（或几种） 数学模型，运用数学式子加以描述，使实际问题得以转化，成为所熟悉的纯数学问题，然后 解之。 四、今日训练练习： 《专题透析》P 82-94湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考创新题型分析与预测电子邮箱：
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邮编： 422312一、方法概述 1、创新型数学试题大致可以分为两大类：一是新概念问题，二是新情景问题。给出一个 陌生的数学背景，要求考生在深刻、准确理解题意的基础上，运用所学的数学知识解决相关的实 际问题，是创新型试题的基本特点。这类试题的设问方式各式各样，具有开放性和探索性，要求 具备较强的知识迁移能力。 2、新概念问题是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定符等，再提出一个与之相 关的问题，要求考生结合所学数学知识进行解答。解题时首先必须深刻理解新概念的内涵，再利 用新概念将所研究的问题化为常规的数学问题来解决。 3、新情景问题是指给出一个新颖、陌生的数学背景，要求考生利用所学数学知识设计一个 辅助问题，然后将新情景问题转化为辅助问题来解决。这是一种创新思维，要求能敏锐地抓住问 题本质。 4、有些创新型试题只给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出问题的一般规律，其 解题过程就是一个从特殊到一般的归纳探索过程，充分分析题目给出的基本材料，明确所探求的 结论的一般结构，认清解题的基本方向，是正确解题的基础。 5、对于新概念、新情景下的存在型探索性问题，一般有肯定型、否定型和讨论型三种。解题 时一般先假定结论成立，再探求它成立的条件是否与已知条件相符，然后作出相应的回答；有时 也直接由已知条件推断结论是否存在。二、典例剖析【※题 1】?设 A=(a1,a2,a3),b1 B= b2 b3 , p,q,r 三者中最大者,则设 A=(x-1,x+1,1),若记 A*B=max{a1b1,a2b2,a3b3},其中 max{p,q,r}表示 x-2 B= |x-1| 1 若 A*B=x-1,则 x 的取值范围是 C [1-(B )A [1-3 ,1]B [1,1+2]2 ,1]D [1,1+3]?在计算机的算法中，有一种算法叫做冒泡排序法，它是用来将一列数按照规定的次序进行 排列的一种算法。例如用冒泡排序法将一列数按照从小到大的顺序排列时，其过程是：将该列数 的第一个数与第二个数进行比较，如果第一个数小于第二个数，则两个数的位置保持不变；如果 第一个数大于第二个数，则交换两个数的位置，然后再将这时的第二个数与第三个数进行比较， 若第二个数小于第三个数，则两个数的位置保持不变；如果第二个数大于第三个数，则交换两个 数的位置，依次下去，直到最后两个数，就算完成了一趟排序；然后再从第一个数开始按照上述 方法进行第二趟排序，第三趟排序?直到所有的数最终按照从小到大的顺序排列 ，整个排序过程 结束。现有一列数：15，3，12，14，7，10，用上述的冒泡排序法将这 6 个数从小到大进行排序 时，第二趟的结果是_____,需要几趟排序即可将这列数按照从小到大的顺序完成排列_____ (答案: 第二趟的结果是：3,12,7,10,14,15; 需要 3 趟排序) ?在一个数列中，如果每一项与它后面一项的乘积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积 数列，这个常数叫做该数列的公积。已知数列｛an｝是等积数列，an ≠0 且 a2006=2，公积为 5，则 a1 =_____ 解、an ?an+1= an+1? an+2 ? an= an+2 ， 5 则 a1= a3 =?= a2005 ， a2 = a4 =?= a2006 =2，∴ a1 = 2 ?定义运算 a*b 为： a*b= a (a≤b) b (a&b) 则 1*2x 的取值范围是______(答案:(0,1])?椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,B 为上顶点,A 为右顶点, → → 当FB⊥AB时,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆” 可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 的值为( 5 +1 5 -1 A B C 5 -1 2 2 5 +1 → → 解：由FB?AB=0 则 b2=ac ∴e= 2 ) D 5 +1★【※题 2】①一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再后 退 2 步的规律移动.如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距离为 1 个单位 长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那么下列结论中错误的是( D ) A P(3)=3 B P(5)=1 C P(101)=21 D P(103)& P(104) 解: P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=2, P(5)=1,则此机器猫每 5 秒向正的方向前进一步,则 P(103)=23, P(104)=22②如图,已知图形满足:?第 n 行首尾两数均为?表中的递推关系类似杨辉三 n2-n+2 角,则第 n 行(≥2)第 2 个数是________(答案: ) 2 n(n-1) 解:每一行的第 2 个数,满足 an=an-1+n-1,于是有 an=a1+1+2+3+?(n-1)=1+ 2③椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质.对于椭圆有如下的命题:已知 A,F,B 分别是优美椭圆x2 y 2 ? ? 1 (a&b&0)(离心率为黄金分割比 a 2 b25 -1 的椭圆)的左顶点、右焦点和上顶点，则有 AB⊥BF；类似地， 2x2 y 2 对于双曲线有如下命题：已知:A,F,B 分别是优美双曲线 2 ? 2 ? 1 （a&0,b&0)(离心率为黄金分割比的倒数 a b5 +1 的双曲线)的左顶点、右焦点及其虚轴的上端点，则有_____(答案:AB⊥BF) 2 ④在平面几何中有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2” ；拓展 比平面几何有勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确 结论是： “设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC， ACD， 两两互相垂直， ADB 则____(答案:S 2 2 2 2 ABC +S△ACD +S△ADB =SBCD )到空间，类△⑤有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式” ，即运算符号紧跟在运 算对 象后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式 3?（x-2)+7,其运算为：3，x,2,-,*,7,+.若计算机进行运算： x,x,2,-,*,lg,那么使此表达式有意义的 x 的范围为___(答案:x&0 或 x&2)【※题 3】ABCD-A′B′C′D′是单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每爬完 一条棱称为“爬完一段” 。白蚂蚁爬行的路线是 AA′?A′D′??；黑蚂蚁爬行的路线是 AB?BB′??；它们都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的直线必须是异面直线 （其中 i 是自然数） ，设黑、白蚂蚁都爬完 2008 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、 白蚂蚁的距离是_____ 解:每爬完三段,黑、白蚂蚁相汇于单位正方体的一个顶点处,由于 +1,则爬完 2008 段后,黑、白蚂蚁位于正方体的同一个面的相对两个顶点处,它们的距离是 2★【※题 4】设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),?Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线 C 上的点,且 a1=|OP1|2,?,an=|OPn|2 构成公差为 d(d≠0)的等差数列,其中 O 是坐标原点,记 Sn=a1+a2+?+ x2 y2 ① 若 C 的方程为 + =1,n=3,点 P1(10,0),且 S3=255,求点 P3 的坐标(只需写出一个); 100 25 x2 y2 ② 若 C 的方程为 2+ 2 =1(a&b&0),点 P1(a,0)对给定的自然数 n,当公差 d 变化时,求 Sn 的最小值; a b ③ 请选定一条椭圆以外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P1,P2,?Pn 存在的充要条件,并说明理由. 解:①a1=|OP1|2=100,由且 S3= 3 x32 y32 (a1+a3)=255,得 a3=|OP3|2=70,则有 + =1,且 x32+y32=70 从而解 2 100 25得 x32=60,y32=10,∴点 P3 的坐标可以是(2 15 , 10 ) x2 y2 ②原点 O 到二次曲线 C: 2+ 2 =1(a&b&0)上各点的最小距离为 b,最大距离为 a, a b∵a1=|OP1|2=a2,∴d&0,且 an=|OPn|2=a2+(n-1)d≥b2,∴b2-a2 n(n-1) ≤d&0,∵n≥3, &0, n-1 2n(n-1) b2-a2 b2-a2 n(a2+b2) 2 n(n-1) ∴Sn=na + ? d 在[ ,0)上J,故 Sn 的最小值为 na + ? = 2 n-1 2 n-1 22x2 y2 若双曲线 C: 2 - 2 =1,点 P1(a,0),a&0,则对于给定的 n,点 P1,P2,?Pn 存在的充要条件是 d&0, a b ∴点 P1,P2,?Pn 存在当且仅当|OPn|2&|OP1|2,即 d&0.★ 【※题 5】 给定 an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使 a1?a2?a3???ak 为整数的数 k(k∈N*)叫做潇湘 数,则区间[1,2006]内的所有潇湘数之和为_______(答案 :2026) 三、课堂回顾与小结对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段去进行分析处理，再灵活、综合地应用所学的 数学知识、思想与方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，然后创新性地将问题解决。2007 年的考纲强调在平稳过渡中主要加强设计试题的创新程度，值得我们注意。四、今日训练练习： 《专题透析》P65-82湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义 专题内容：高考应用性问题和创新题型分析与预测(2)电子邮箱：
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邮编： 422312一、典例剖析S1+S2+S3+?+Sn 【※例 1】 设数列 n｝ ｛a 的前 n 项之和为 Sn， 定义 Tn= 为数列 a1,a2,?an 的 “和均数” ， n 那么数列 1，2，6，10 的“和均数”是______；若数列 a1,a2,?a100 的“和均数”是 2020，则数列： 7，a1,a2,?a100 的“和均数”是______ 答案：①8 ②2007★ 【※例 2】已知等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 对一切实数 x 都成立，定义?(a1,a2,a3,a4)=b1+b2+b3+b4，则?(4,3,2,-1）=_______(答案为-2）★ 【※例 3】对于在区间[m,n](m&n)上有意义的两个函数?(x)、g(x)如果对于任意的 x∈[m,n]都 有|?(x)-g(x)|≤1 成立，则称?(x)与 g(x)在区间[m,n]上为“邻近函数” ，对于函数?(x)=loga(x-3a) 1 与 g(x)=loga（x-a) (a&0,且 a≠1)，试讨论?(x)与 g(x)在区间[a+2,a+3]上是否为邻近函数，并证 明。★ 【※例 4】对于定义于区间[2，4]上的函数?(x),若对任意的 x∈[1,2]，都有?(2x)∈(1,2)，且存 在常数 k∈(0,1)，使得对于任意的 x1,x2∈[1,2]都有|?(2x1)-?(2x2)|≤k|x1-x2|成立，则称函数?(x) 3 为“凯森函数” ；证明：①函数?(x)= 1+x x∈[2,4]为“凯森函数” ；②若?(x)为“凯森函数” ， 且存在 x0∈(1,2)，使得 x0=?(2x0)，则这样的 x0 是惟一的。★ 【※例 5】已知两定点 M（0，3） 、N（0，-3） ，若某曲线上存在点 P，使|PM|- |PN|=4,则称该 2 曲线为“等差曲线”,给出下列曲线方程:①x +(y-2)2=1;②y=x;③x2=5y;④x-2y-5=0,其中是“等 差曲线”的方程的序号是（ B ）A ①③ B ②④ C ①② D ③④★ 【※例 6】对于任意的两个实数对（a，b)和(c，d)，规定：(a，b)=(c，d)，当且仅当 a=c，b=d 时成立，定义运算“⊙”为(a，b) ⊙(c，d)=(ac-bd，bc+ad)；定义运算“” ：(a，b)
(c， d)=(a+c，b+d)；设 p,q∈R，若(1,2) ⊙ (p，q)=(5,0)，则(1,2)
(p，q)=________（答案： （2， 0） ） x1+x2 1 ★ 【※例 7】 如果定义在集合 A 上的函数? x)满足： （ 对任意的 x1、2∈A， x 都有?( 2 )≤ [?(x1)+?(x2)] 2 成立，则称函数?（x)是 A 上的凹函数，①试判断函数?(x)=3x2+x 是否是 R 上的凹函数；②若函数 ?(x)=logax 是 R+上的凹函数，求不等式?(x2+2x-2)≥0 的解集。 解：①是；②x∈[-3,-1-3 )∪(-1+ 3 ,1]x+1-a ★ 【※例 8】已知函数?(x)= a-x ,按如图所示构造一个数列发生器,其 工作原理如下:①输入数据 x1(x1≠a),经数列发生器输出 x2=?(x1);②若 x2=a,则数列发生器结束工作;若 x2≠a,则将 x2 反馈到输入端,再输出 x3=?(x2),并依此规律继续下去. (Ⅰ)求当 a 为何值时,数列｛xn｝为无穷数列? (Ⅱ)试推断是否存在数据 使数列｛xn｝为无穷递增数列,若存在,求 x1 的取值范围,若不存在,说明理 解:①a=-1;②不存在.x1, 由.★ 【※例 9】把数列｛2n+1｝中的各项从小到大依将次按第一个括号放一个数,第二个括号放 2 个数,第三个括号放 3 个数,第四个括号放 4 个数,第 5 个括号又放 1 个数,?循环分为: 3） 5,7） （ , （ , （9,11,13）,（15,17,19,21）,（23）,（25,27）,（29,31,33）,（35,37,39,41）,?那么第 104 个括号内各数之和为( D ) A 2036 B 2048 C 2060 D 2072湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第二轮总复习讲义专题内容：数学选择题的求解常见策略 一、方法概述 数学选择题具有概念性,知识面广,注重基础,内容灵巧等特点.由于选择题提供了备选 答案,又不要求写出解答过程,因此,选择题的解法灵活多样,不拘一格.最常用的的方法主要有直 接法、排除法、特例法、验证法、图象法、估算法等;在实际应用中,同一个选择是题可以用几种 方法去求解,也可以联合几种方法去求解,方法的选取要以提高解题效率为目的,力求 “快、 巧” 准、 , 防止小题大做. ①直接法:直接从题设条件出发,通过正确的的运算或推理求得结论,再与选择支对照,从而作出 判断;这种方法解题严谨,适用于解题过程简单的选择题. ②排除法:充分运用单项选择题的特点,结合题目中的有关信息,采用简捷有效的手段,对各选择 支进行筛选,排除其中三个假支,即可选出真支;这种方法适用范围广,解题效率高,是一种简单可行的 典型方法. ③特例法:运用满足题设条件的某些特殊值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊函数等,对 各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真这一原理,达 到肯定一支或否定三支的目的,从而得出正确选项,这种方法符合普遍性存在于特殊性之中的辩证 原理,是一种非常重要的解题策略. ④验证法:将选择支中的具体数值逐一代入,验证题设条件是否成立,然后确定符合题设条件的 选择支,这种方法适用于选择支是方程、不等式的解集,参数的值或取值范围等. ⑤图象法:利用函数图象或数学问题的几何意义,将数的问题转化为形的问题,利用图形的直观 性,辅以简单的计算,再确定正确选项;这种方法是一种数形结合的数学思想,能使解题简捷、迅速. ⑥估算法:通过粗略的计算,把复杂的问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数 据扩大或缩小,对运算结果确定一个大致范围或作出一个估计,进而作出判断选择真支;这种方法常 用于解选择支为数据运算结果的某些选择题. 二、范例剖析 1 ※【★题 1】已知定义于 R 上的函数?(x)满足?(x+2)= ,若?(1)=-5,则?[ ?(5)]的值为( C ) A ?(x) -1 1 -5 B 5 C 5 D 5 ※ 【★题 2】 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( C ) A 16π B 20π C 24π D 32π 2+x x 2 ※【★题 3】设函数?(x)=lg 2-x ,则?(2) +?(x)的定义域为( A ) A (-4,0)∪(0,4) B (-4,1)∪(1,4) C (-2,-1)∪(1,2) D (-4,-2)∪(2,4) Cx ※【★题 4】设函数?(x)= 2 -1, (x≤0)x ,1 2(x&0)若?(x0)&1,则 x0 的取值范围是( D )A (-1,1) B(-1,+∞) C (-∞,-2)∪(0,+∞) D (-∞,-1)∪(1,+∞) ※【★题 5】已知长方形的四个顶点 A（0，0）,B（2，0）,C（2，1）,D（0，1）一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为?的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3、 P4（入射角等于反射角） ，设 P4 的坐标为(x4,0)，若 1&x4&2,则 tan?的取值范围是（ C ） 1 A （ ，1） 3 B 1 2 （ ， ） 3 3 2 1 2 2 C （ ， ） D （ ， ） 5 2 5 3 ） A※【★题 6】在（1+x)n 的展开式中，奇数项之和为 p，偶数项之和为 q，则(1-x2)n=（ C 0 B pq C p2-q2 D p2+q2? x2 y 2 ※【★题 7】设双曲线 2 ? 2 ? 1（a&b&0)的两条渐近线的夹角为?，离心率为 e,则 cos2等于（ B ） a bA eB1 eCe21 D e2 → → → → → 3 ,OA? OB=0,点 C 在∠AOB 的内部,且∠AOC=30°,设OC=mOA+n0B(m,n B 3 C→ → ※ 【★题 8】 已知|OA|=1,|OB|= m ∈R),则 =( B） n Ａ 1 333D3※【★题 9】若定义于区间（-1，0）的函数?(x)=log2a(x+1)满足?(x)&0,则 a 的取值范围是（A ） A 1 1 1 （0，2） B （0，2] C （2，+∞） D （0，+∞） ※【★题 10】已知等差数列｛an｝的前 n 项之和为 30，前 2n 项之和为 100，则它的前 3n 项之和 为（C ）A 130 B 170 C 210 D 260 ※【★题 11】设 a&0,b&0 则以下不等式中不恒成立的是（ B） ．．．． 1 1 A (a+b) (a +b) ≥4 B a3+b3≥2ab2 C a2+b2+2≥2a+2b D |a-b| ≥ a bx+1 ※【★题 12】函数 y=ln( x-1 ) (x∈1,+∞)的反函数为（ B ） ex-1 ex+1 A y=ex+1 （x∈(0,+∞) ） B y= ex-1 （x∈(0,+∞) ） ex-1 ex+1 C y=ex+1 （x∈(-∞,0) ） D y= ex-1 （x∈(-∞,0) ） → → → → ※【★题 13】若平面向量 b 与 a =(1,-2)的夹角为 180°,且| b |=3 5 ,则 b =( A ) A (-3,6) B (3,-6) C (6,-3) D (-6,3) ※【★题 14】设直线 L 过点 A(0,a),且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( C ) A ±4 B ±2 2 C±2 D ± 2 → → 2 sin?),则向量OA与向量OB的夹角的→ → → ※【★题 15】已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2 cos?, 取值范围为( C ) π A [0, ] 4 π 5 B [ , π] 4 12 C [ π 5 , π] 12 12 D [ 5 π π, ] 12 2※【★题 16】设 a&1 为常数,对任意的 x∈(1,a),下列不等式中正确的是( B ) A loga(logax)&loga(x2)&(logax)2 B loga(logax)& (logax)2& loga(x2) C(logax)2 &loga(x2)& loga(logax) D (logax)2& loga(logax) & loga(x2) ※【★题 17】设区间 I?[0,2π ],已知当且仅当 x∈I 时,函数 y=sinx 是减函数,y=cosx 是增函数,且 sinx&cosx,则区间 I 为( C ) π π A( , ] 4 2 B [ π ,π ] 2 C [π , 5π ) 4 D ( 5π 3π , ] 4 2 A ） A 奇2x ※【★题 18】定义两种运算：ab= a2-b2 ,a⊙b= (a-b)2 ,则函数?(x)= 为（ (x⊙2)-2 函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数※【★题 19】过点 A(1,-1)和 B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为( C ) A (x-3)2+(y+1)2=4 B (x+3)2+(y-1)2=4C (x-1)2+(y-1)2=4 D (x+1)2+(y+1)2=4 ※【★题 2