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（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos2θ=4sinθ的焦点的极坐标是______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
曲线ρcos2θ=4sinθ 即 ρ2cos2θ=4ρsinθ，它的直角坐标方程为 x2=4y，故它的焦点坐标为（0，1），再化为极坐标即 （1，π2），故答案为 （1，π2）．
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据魔方格专家权威分析，试题“（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos2θ=4sinθ的焦点的极坐..”主要考查你对&&极坐标系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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极坐标系的定义：
在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
点的极坐标：
设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ，θ）叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素：
极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向．极坐标系的四要素，缺一不可．
极坐标系的特别注意：
①关于θ和ρ的正负：极角θ的始边是极轴，取逆时针方向为正，顺时针方向为负，θ的值一般以弧度为单位。&
极坐标和直角坐标的互化:
(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式．通常取所在的象限取最小正角;②当③直角坐标方程及极坐标方程互化时，要切实注意互化前后方程的等价性．④若极点与坐标原点不是同一个点．如图，设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为（x，y），在以为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 第一组公式用于极坐标化直角坐标；第二组公式用于直角坐标化极坐标．
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& 2016届（新课标）高考数学（文）一轮复习精品讲义：选修4－4　坐标系与参数方程
2016届（新课标）高考数学（文）一轮复习精品讲义：选修4－4　坐标系与参数方程
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资料概述与简介
选修4－4　坐标系与参数方程
第一节坐_标_系
基础盘查一　平面直角坐标系中的伸缩变换
理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
1．判断正误
(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆(　　)
(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．
解析：由知
代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.
答案：y′＝3sin 2x′
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的互化(二)
1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
2．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．
sin θ＝，θ＝或.
能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．
1．判断正误
(1)过极点，做斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α(　　)
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．
解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则ABO＝θ－90°，
化简得ρ＝－2cos
答案：ρ＝－2cos
3．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，曲线C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
|(基础送分型考点——自主练透)
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，
称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．
解：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，
于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
A′(1，－1)为所求．
2．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．
解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将代入y＝6x得
2y′＝6×，y′＝x′，即y＝x为所求．
3．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
(重点保分型考点——师生共研)
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或(θ与(x，y)所在象限一致)．
[提醒]　(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．
(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．
注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(kZ)表示同一点的坐标．
在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin θ和直线l：
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
极坐标方程与普通方程互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
(2014·广东高考改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标．
解析：由ρsin2θ＝cos θρ2sin2θ＝ρcos θy2＝x，
又由ρsin θ＝1y＝1，联立
故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．
(重点保分型考点——师生共研)
1．圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.
2．直线的极坐标方程
(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.
(2)过点与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a.
[提醒]　(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．
(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．
(2015·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为
C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，
则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
求曲线方程，常设曲线上任意一点P(ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多．
求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
(2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析：选A　因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，且y＝1－x，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝.又0≤x≤1，所以0≤y≤1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤.
1．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，
所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标(，1)，化为极坐标为.
2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos上任意两点间的距离的最大值．
解：由ρ＝4cos可得ρ2＝4ρ＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即得x2＋y2＝2x＋2y，配方可得(x－1)2＋(y－)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.
3．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，求实数m的取值范围．
解：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.
要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，
只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，
即＞1，|m－5|＞5，
解得，m＜0或m＞10.
4．求函数y＝sin经伸缩变换后的解析式．
将其代入y＝sin，得2y′＝sin，
即y′＝sin.
5．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2.
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
6．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos＝1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，
由于圆心到直线的距离为d＝＝＞1，
所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，
所以ρ0cos＝1，
将代入，得cos＝1，
即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
7．(2015·济宁模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：ρ＝kcos θ－ksin θ，
ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，
圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，
即2＋2＝k2，
圆心的直角坐标为.
ρsin θ·－ρcos θ·＝4，
直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，
即|k＋4|＝2＋|k|，
两边平方，得|k|＝2k＋3，
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.
8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)因为M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，
则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρR)．
第二节参数方程
基础盘查一　参数方程与普通方程的互化
了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.
1．判断正误
(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线(　　)
(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆(　　)
答案：(1)×　(2)×
2．参数方程(t为参数)化为普通方程为________．
解析：x＝，
＝4－3×＝4－3x.
＝2－[0,2)，
x∈[0,2)．
所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x[0,2))．
答案：3x＋y－4＝0
1．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
2．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．过点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)
1．判断正误
(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)
(2)参数方程表示的曲线为椭圆(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由C1得x2＋y2＝5，且　
由C2得x＝1＋y,
∴由联立解得
答案：(2,1)
3．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．
解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有 ＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切线的倾斜角或.
|(基础送分型考点——自主练透)
1．参考方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．
[提醒]　在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．几种常见的参数方程
(1)圆的参数方程
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)．
(2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．
1．将下列参数方程化为普通方程．
解：(1)两式相除，得k＝，将其代入得x＝，
化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x[0,2]．
2．求曲线(θ为参数)中两焦点间的距离．
解：曲线化为普通方程为＋＝1，c＝，故焦距为2.
3．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
解：因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
(重点保分型考点——师生共研)
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
[提醒]　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.
(2)法一：由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.
由直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，知直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即＜2，由此解得k＞.
即直线l的斜率的取值范围为.
法二：将圆C的参数方程为
化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
将直线l的参数方程代入式，得
t2＋2(2cos α＋5sin α)t＋25＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos2 α，两边同除以cos2 α，由此解得tan α＞，即直线l的斜率的取值范围为.
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如(t为参数)．
当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
　已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．
解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，解得t1＝，t2＝.由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
(重点保分型考点——师生共研)
极坐标与参数方程的综合应用规律
1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．
2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
(2014·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
1．(2015·大同调研)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝cos.
(1)求直线l被曲线C所截得的弦长；
(2)若M(x，y)是曲线C上的动点，求x＋y的最大值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去t，可得3x＋4y＋1＝0.
由于ρ＝ cos＝ ，
即有ρ2＝ρcosθ－ρsin θ，则有x2＋y2－x＋y＝0，
其圆心为，半径为r＝，
圆心到直线的距离d＝＝，
故弦长为2＝2 ＝.
(2)可设圆的参数方程为(θ为参数)，
则x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin，
由于θ R，则x＋y的最大值为1.
2．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
解：(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，
得y2＝2ax(a＞0)，
(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，
曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a＞0)，x－y－2＝0.
(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，
整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
|MN|2＝|PM|·|PN|，
(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，a＝1.
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C1与C2交于M，N两点，求线段MN的长．
解析：由题意得，C1的参数方程转化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，C2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝22，圆心(0,2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝＝，
所以|MN|＝2＝2.
2．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标得P(0,4)，
P(0,4)满足方程x－y＋4＝0，点P在直线l上．
(2)法一：因为点Q是曲线C上的点，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，所以点Q到直线l的距离
d＝＝(αR)
所以当cos＝－1时，d取得最小值.
3．(2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在曲线C1上，所以
从而曲线C2的参数方程为(α为参数)．
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
5．(2014·新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
6．(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
故实数a的取值范围为[－2，2]
7．(2014·新课标全国卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
8．(2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(α是参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
解：(1)直线l的极坐标方程为ρcos＝2，
即直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
由得＋＝1.
即曲线C的普通方程为＋＝1.
(2)设点P(2cos α，sin α)，则点P到直线l的距离
d＝＝，其中tan φ＝.
当cos(α＋φ)＝－1时，dmax＝，
即点P到直线l的距离的最大值为.
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