2013年高考数学二轮复习：第7讲　三角函数的图象与性质_高考复习_中学数学网
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2013年高考数学二轮复习：第7讲　三角函数的图象与性质
作者：未知
文章来源：
更新时间： 14:27:08
简介：　三角函数与平面向量　三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现．因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练． 1. 函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．2.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内的零点个数为________．3.函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________． 【例1】　设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值； (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．【例2】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．【例4】　已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3) 当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． 1. (2011?江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.2.(2010?全国)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．3.(2009?全国)函数y＝sincos的最大值为________．4.(2010?广东)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．(2011?四川)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2) 若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．5.(2009?福建)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ－sinπsinφ＝0，求φ的值；(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数． (2009?重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．解：(1) f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx(3分)＝sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ＝＝8.(7分)(2) (解法1)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.(10分)当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.(13分)(解法2)因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)＝sin，当≤x≤2时，－≤x－≤，因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin＝.(13分)第7讲　三角函数的图象与性质 1. 若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．【答案】　－8　解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝得t＝时y取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.(1) 求f的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值．解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.基础训练1. π　奇　解析：y＝－cos＝－sin2x.2. 1　解析：在[0，＋∞)内作出函数y＝，y＝cosx的图象，可得到答案．3. －＋1　解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＝sin＋1.4. －　解析：f＝f＝f＝sin＝－.例题选讲例1　解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴ θ＝0，f(θ)min＝1；θ＝，f(θ)max＝2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义； 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)例2　解：(1)由题图可知：A＝，＝π－＝，ω＝2，2×＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，k∈Z，f(0)＝sin＝.(2) φ＝，f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，]．(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练　已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2的取值范围．解： y＝cos2A＋cos2＝＋＝1＋＋＝1＋＝1＋cos.∵ A为三角形内角，∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos≤1，∴ y＝cos2A＋cos2的取值范围是.例3　解：(1) f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin＝sin.即－sinωxcos＋cosωxsin＝sinωxcos＋cosωxsin，整理得sinωxcos＝0.因为ω＞0，且x∈R，所以cos＝0.又因为0＜φ＜π，故φ－＝.所以f(x)＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f＝2cos＝.(2)
将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．例4　解：(1)函数可化为f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t＝或.(3) 当x∈时，2x－∈， ∴ f(x)∈[1,2]．|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.变式训练　设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式；(2) 讨论g(t)在区间(－1,1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.(2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1.
列表如下：t－g′(t)＋0－0＋g(t) 极大值 极小值 由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g＝2，极大值为g＝4.高考回顾1. ―8　解析：sinθ＝＝－，解得y＝－8或8(舍)．2. π　解析：f(x)＝sin－2sin2x＝sin－.3. 　解析： y＝cosx＝sin＋.4. ，k∈Z　解析： f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)＝2sin.∵ 周期为π，∴ ω＝2，∴ f(x)＝2sin.2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.所以函数的最小正周期为T＝＝π.因为x∈，所以2x＋∈.所以2x＋∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f＝2sin＝2为最大值，f＝2sin＝－1为最小值．(2)
由(1)知，f(x0)＝2sin.又由已知f(x0)＝，则sin＝.因为x0∈，则2x0＋∈.因此cos＜0，所以cos＝－，于是cos2x0＝cos，＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.6. 解：(1) 由coscosφ－sinπsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0即cos＝0，又|φ|<，∴ φ＝.(2) 由(1)得f(x)＝sin，依题意，＝，又T＝，故ω＝3，∴ f(x)＝sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)＝sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而最小正实数m＝.
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应用《几何画板》解决三角函数图像变换中的易错问题
2015年21期目录
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　　【摘要】多媒体技术在课堂教学过程中有着广泛的用途和传统教学所达不到的教学效果.因此作为新一代的中学教师我们不仅要具有精深的专业知识和深厚的教育教学功底，还应熟练地掌握一种或多种适合自己学科的CAI软件. 中国论文网 /9/view-7151231.htm　　本文介绍了计算机辅助数学教学的重要软件《几何画板》的主要功能，并通过实际案例分析说明《几何画板》在课堂教学过程中的重要作用. 　　【关键词】计算机辅助教学;几何画板;三角函数 　　一、计算机辅助数学教学的重要工具――几何画板 　　计算机辅助教学（ComputerAssisted Instruction，简称CAI）是教师为了提高教学效果和效率，利用以计算机为中心的丰富的教学资源，改进传统教学，或为学生提供一个学习环境，使学生通过与计算机的交互对话进行学习的一种教学形式. 　　《几何画板》（The Geometers Sketchpad）是计算机辅助数学教学的重要软件之一.它的主要功能有： ①画出各种欧几里德几何图形;②画出解析几何中的所有二次曲线;③画出任意一个初等函数的图像;④对所有画出的图形、图像进行各种变换，如平移、旋转、放缩等;⑤对所作出的对象进行度量，如线段的长度、封闭图形的面积等. 　　下面笔者通过分析《几何画板》辅助教学的实际案例来说明其在数学教学中的重要作用. 　　二、《几何画板》使用案例 　　（一）案例背景 　　三角函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换按变换方向的不同可以分为两类：①沿y轴方向的伸缩变换;②沿x轴方向的伸缩变换和平移变换. 　　沿y轴方向的伸缩变换在没有平移变换的干扰下比较容易掌握.沿x轴方向的平移和伸缩变换是教学的重点和难点，如果只发生单一的变换，学生能够正确的理解并进行处理，一旦两种变换同时存在并且需要对其进行综合应用时，学生就会出现一些困难. 　　（二）问题情景 　　问题1：将函数y=sinx的图像进行怎样的变化后能得到函数y=sin2x+π3的图像？ 　　分析：这个问题是三角函数图像变换中常见的练习题目. 　　解法一：先进行伸缩变换再进行平移变换. 　　学生出现的错误解法是：将函数y=sinx图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π3个单位长度.由此实际得到是函数y=sin2x+2π3的图像，而非函数y=sin2x+π3的图像. 　　正确的解法是：将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x的图像，再将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sin2x+π3的图像. 　　对于这种平移变换中的错误，在高一第一学期介绍图像变换时是作为一个易错点进行突破的，因此在这里只要进行知识的复习和巩固，学生便能够接受.同时若伴有《几何画板》进行演示，则可以增加学生对三角函数平移变换的感性认识. 　　解法二：先进行平移变换再进行伸缩变换. 　　学生容易出现的错误解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π6个单位长度，得到函数y=sinx+π6的图像，然后再将函数y=sinx+π6的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变.由此得到的函数图像实际为函数y=sin2x+π6的图像，而不是函数y=sin2x+π3的图像. 　　正确的解法是：将函数y=sinx的图像向左平行移动π3个单位长度，得到函数y=sinx+π3的图像，再将函数y=sinx+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=sin2x+π3的图像. 　　对比两种的做法，我们不难看出，出现此种错误的原因是学生没有准确地把握函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律.下面我们可以利用一个更简单的例题来说明学生的这种错误. 　　问题2：将函数y=sinx+π3的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，所得到的解析式是什么？ 　　正确的答案是：所得到的函数解析式为y=sin2x+π3.然而学生可能得到的函数解析式是：y=sin[2x+π3]=sin2x+2π3. 　　此时我们便可以利用《几何画板》进行演示来帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律. 　　（三）问题解决 　　步骤1：演示y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]两个函数图像伸缩变化的过程，让学生观察它们区别.（在说明两个函数的变化过程时，可以选取两个具体的函数，这样利于学生进行观察.） 　　制作过程：①绘制两条可变线段AB和CD;②度量线段AB和CD的长度，并将结果分别命名为ω和υ;③分别绘制出函数y=sinωx+π3和y=sinυx+π3. 　　演示方法：分别变换线段AB和CD的长度引起ω和υ的变化，让学生观察y=sinωx+π3和y=sinυx+π3两个函数图像变化的相同之处和不同之处. 　　观察结论：当ω和υ发生变化时，函数y=sinωx+π3和函数y=sinυx+π3图像变化的共同点是：都发生了沿x轴方向的伸缩变化.不同点是：当ω变化时，函数y=sinωx+π3的图像以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的（事实上，当x=0时，无论ω取何值，均有y=sinωx+π3=32）;而当υ变化时，函数y=sinυx+π3图像则是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的（事实上，当x=-π3时，无论υ取何值，均有y=sinυx+π3=0）. 　　步骤2：演示函数y=sin（ωx+φ）图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律.
　　制作过程：①在x轴上选取一个点M，然后标记它的横坐标xM;②计算出2π3xM并令结果为ω;③绘制新函数f（x）=sinωx+π3. 　　演示方法：拖动点M，让学生观察ω和xM之间的变化关系. 　　观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到ω和xM之间的变化关系：当ω变化时图像上点M的横坐标变为原来的1ω倍，即当ω变换化时，图像上每一点到y轴的距离变为了原来的1ω倍.这就说明函数y=sinωx+π3的图像是以其与y轴的交点（0，32）作为定点进行伸缩变化的. 　　步骤3：演示函数y=sin[υ（x+φ）]图像伸缩变化的过程，让学生观察其变化规律. 　　制作过程：①在x轴上绘制点D（-π3，0）;②过点D构造x轴的垂线;③在x轴上选取一个点N并标记它的横坐标;④计算出d=|xN-xD|，此时d为N点到D点的距离;⑤计算出πd并令结果为υ;⑥绘制新函数f（x）=sinυx+π3. 　　演示方法：拖动点N，让学生观察υ和xN、υ和d之间的变化关系. 　　观察结论：从《几何画板》所给出的数据中可以清楚地看到：当υ变化时，图像上点N的横坐标并没有变为原来的1υ倍，而d（图像上点xN到直线x=-π3的距离）变为原来的1υ倍.这就说明函数y=sinυx+π3是以-π3，0作为定点进行横向伸缩的. 　　（四）问题结论 　　通过上面的观察我们可以得出以下结论：函数y=sin（ωx+φ）的图像是由函数y=sin（x+φ）的图像上各点横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变得到的;函数y=sin[υ（x+φ）]的图像则是由函数y=sin（x+φ）的图像上各点的横坐标到直线x=-φ的距离变为原来的1υ倍，纵坐标不变而得到的，而函数y=sin[υ（x+φ）]图像上各点的横坐标变化和υ之间的关系会因φ的不同而不确定.由此我们就可以帮助学生理解函数y=sin（ωx+φ）和函数y=sin[υ（x+φ）]在伸缩变换上的区别和规律，从而排除错误答案. 　　总之，多媒体设备已经成为教育教学过程中必备的工具，计算机辅助教学技术也已经成为当代教师必备的素质之一.作为新时代的教师，必须要掌握至少一种适合自己学科特点的CAI软件，而且要学会如何使多媒体技术与课堂教学内容有机的结合，努力使课堂生动活泼，使学生在轻松愉悦情境中学习知识培养能力，打造出精品课堂.
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