《定积分与微积分的基本定理》_百度文库
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《定积分与微积分的基本定理》
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平面向量的基本定理及坐标运算_百度文库
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平面向量的基本定理及坐标运算
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你可能喜欢有限单群分类定理_百度百科
有限单群分类定理
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有限单群是指：除了单位元群和它本身以外没有其他正规子群的有限群。有限单群类似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“积木块”，是有限群结构的基石。找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类问题。该问题的解决是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至1983年之间，目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字。
有限单群分类定理有限单群分类定理的基本内容
全部的有限单群是：
(Ⅰ)素数阶循环群;
(Ⅱ)n≥5的交错群An;
(Ⅲ)Lie型单群(共16族);
(Ⅳ)26个散在单群。
此一定理在数学的许多分支都有着广泛的应用，有关有限群的问题通常可以至有关有限群的问题上，再依此一分类即可将问题限于有限个例子的列举。
有限单群分类定理有限单群分类的历史
找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类
20世纪初,W.伯恩赛德关于pqъ阶群(p、是素数)必是可解群的定理，是有限单群分类问题早期最重要的工作。它说明非交换有限单群的阶至少有三个不同的素数。
有限单群分类定理是在20世纪40年代初提出的。R.Brauer是有限单群分类工作的先驱，三四十年代之交，他开始利用他所创造的模特征标理论来研究有限单群问题，在这期间，随R.Brauer研究了阶含素数p仅为一次的群及其模特征标,1942年,他们一起完成了10000阶以下的单群分类。1945年合写了“论有限单群”的。他们的一些结果至今还被人引用，有的得到推广。1954年R.Brauer又证明了关于对合的中心化子的定理，即设τ是偶阶单群G的一个对合即二阶元素，CG(τ)是其中心化子，则。于是，从已知偶阶单群的对合的中心化子出发，最多构造出有限多个单群。可用这结果去发现和构造一些新单群，许多零散单群就是这样发现的；更重要的是可以用中心化子来刻划群的构造，用于单群分类。这一定理标志了单群分类的新起点，而被称之为Brauer纲领。
1962年，W.费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破,也是第一篇长文章(225页之多)。汤普森在文中初步建立并运用了p局部子群分析法,其后于年间，他在关于极小单群（即所有真子群皆为可解群）及更一般的单N群（即所有p局部子群皆为可解群）的分类定理的证明中，完善了 p局部子群分析法。
1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划，指出了如何才能实现有限单群的完全分类。虽然这个计划在后来作了某些修改，但是此后美、英、德、日等国的群论学家自发地组织起来按计划去攻克这个大问题，终于以10年左右的时间取得了数学史上的这项重大的成果。
有限单群分类问题的解决对有关问题的影响非常深远，有些长期存在的群论问题已经由于它的解决而解决或可以解决。例如，①O.施赖埃尔猜想有限单群的外自同构群是可解的。②有限单群皆可由两个元素生成；有限非交换单群的元素皆为换位子。③除Sn和An外，不存在k≥6重传递置换群；所有双重传递群已被决定；所有素数p次置换群已知。
下述有限单群问题正在被研究并取得进展：①整理和简化有限单群分类问题的全部论证。②研究F1和模函数的关系，进而研究哪些单群能作为有理数域上的伽罗瓦群。③用分类的结果去解决群论以及其他的数学问题，这种应用正迅速增加。④进一步计算有限单群的常、模特征标和子群等。
有限单群分类定理对证明仍有的怀疑
有限单群分类定理由500多篇论文组成。在该定理的最后证明中起重要作用的Aschbacher评论道：
“一方面，当证明长度增加时，错误的概率也增加了。在分类定理中出现错误的概率实际上是1。但是另一方面，任何单个错误不能被容易地改正的概率是0。随着时间的推移，我们将会有机会推敲证明，对他的信任度必定会增加。”
因为发表出来的文章的长度及复杂度和实际上有些假设的证明还没有被发表出来，有些人依然对这些文章能否对此定理提供一个完整且正确的证明有所怀疑。让-皮埃尔·塞尔即为对其证明提出怀疑的人之中很有名的一位。这些怀疑被证实是证明中的空白，这些空间都在之后被找了出来且最终被填补了起来。
经过了一个年代的时间，专家们查觉到了一个“严重的空白”（由麦克·亚许巴赫所发现），在Geoff Mason（未发表地）对准薄群的分类上。葛仑斯坦（Gorenstein）在1983年宣称已完成有限简单群的分类，部份基于对准薄群方面的证明已完成的认知上。亚许巴赫在1990年代早期将此一空白填补起来。亚许巴赫和史蒂芬·史密斯发表了两册约有1300页的不同证明。
有限单群分类定理二代分类
因为有限简单群分类的证明真的实在是太长了，所有有许多被称做“修正”的工作，原本由丹尼尔·葛仑斯坦所领导，在找寻着一个更简单的证明。这即是所谓的二代分类证明。
直到2005年，已有六册被发表了出来，其他还有许多的原稿存在。亚许巴赫和史密斯的两册提供了可以作用在一代和二代证明上有关准薄群方面的一个证明。预计当新的证明完成之后将会有大约5000页的页数。（需注意的是，较新的证明会以较丰富的形式写出。）
葛仑斯坦和其同事给出了一些对于较简单的证明是可能达成的理由。其中最重要的一点是因为现在已经知道了正确且最终的叙述，而所能应用的技术也已足够用来研究这些群。相反地，在原本的证明里，没有人知道到底有多少个散在群，且实际上有些散在群还是在试图证明分类定理的过程中被发现出来的，如詹柯群，以致于应用了些过份一般的技术。
而且，也因为不知道结论是什么，甚至有很长的一段时间是令人觉得不可信的，所以原本的证明中有含有许多个单独的完整定理，分类了一些重要的特例。这些定理为了达成其自身的最终叙述，必须要去分析数个特例。通常，大多数的工作都是在做这些例外的事情。做为一个较大且协调的证明之一部份，这些许多特例都是可以不需要去理会的，当更强的假设被加上来时即可得到。因此而得到的收获即为，原本的定理在修正后就不再会有那么较小的证明了，但还是会有一个完整的分类。
不再有那些需要去理会例子的再细分才有效的单独定理。多个目标的群因此都会有多重的等价。修正后的证明会依靠著不同例子的细分来减少其多余的部份。
最后，有限群论学家将会有更多的经验和更新的技术。
有限单群分类定理散在群
散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄（Mathieu）所发现的，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的。有一些此类的群在它们被建构出来前曾被预测其会存在。大多数此类的群是以第一个预测出其存在之数学家来命名的。其完整的列表如下：
马提厄群 M11、M12、M22、M23、M24 詹柯群 J1、J2(HJ)、J3(HJM)、J4 康威群 Co1、Co2、Co3 费歇尔群 Fi22、Fi23、Fi24(Fi24′) 希格曼-西姆斯群 HS 麦克劳林群 McL 赫尔得群 He(F7) 路多里斯群 Ru 铃木散在群 Suz 欧南群 O&#39;N 原田-诺顿群 HN(F5) 里昂群 Ly 汤普森群 Th(F3) 子怪兽群 B(F2) 怪兽群 M(F1) 　对于所有散在群在有限体上的矩阵表示除了怪兽群之外都已经被算出来了。最大的零散单群为F1，名为怪物群或魔群，它的阶为2^46*3^20*5^9*7^6*11^2*13^3*17*19*23*29*31*41*47*59*71=000000,约为10^54。G.格里斯用手算,从47·59·71=196883维的线性表示而得到F1。它有着良好的内在的几何结构，并且有20个左右的零散单群作为它的子群，所以并不是什么怪物，G.格里斯改称它为“友好巨人”。其他6个为J1、J3、J4、O&#39;N、Ru和Ly。这6个群有时会被称为贱民(pariahs)。
直至目前为止，对散在群的一个可信的统一叙述方面的进展还是很少。
全体散在群中文名
BabyMonster group
原田-诺顿群
Harada-Norton group
Held group
希格曼-西姆斯群
Higman-Sims group
Lyons group
麦克劳林群
McLaughlin group
Monster group
O&#39;Nan group
路多里斯群
Rudvalis group
Suzuki group
Thompson group
Conway 1 group
Conway 2 group
Conway 3 group
费歇尔群22
Fischer 22 group
费歇尔群23
Fischer 23 group
费歇尔群24
Fischer 24 group
Janko 1 group
Janko 2 group
Janko 3 group
Janko 4 group
马提厄群11
Mathieu 11 group
马提厄群12
Mathieu 12 group
马提厄群22
Mathieu 22 group
马提厄群23
Mathieu 23group
马提厄群24
Mathieu 24 group
有限单群分类定理参考文献
1.Michael Aschbacher, The Status of the Classification of the Finite Simple Groups[1]
, 2004年8月美国数学学会上的介绍
2.Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups （volume 1），AMS, 1994 （volume 2），AMS,
3.Ron Solomon: On Finite Simple Groups and their Classification[2]
, 1995年美国数学学会上的介绍
4.Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: &Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups.& Oxford, England 1985。
5.Orders of non abelian simple groups：包含上至一千亿目的所有非可换简单群之列表
6.Atlas of Finite Group Representations[3]
：包含包括散在群在内的许多有限简单群的表示及他资料
企业信用信息科斯第三定理_百度百科
科斯第三定理
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在《社会成本问题》中，很难找到科斯第三定理的直接表述，但在产权经济学各个理论领域的分析中，又能看到该定理的广泛运用。
科斯第三定理原理简介
概括地说，科斯第三定理指:“在大于零的情况下，由政府选择某个最优的初始产权安排，就可能使福利在原有的基础上得以改善；并且这种改善可 能优于其他初始权利安排下通过实现的福利改善。即产权的清晰界定是市场交易的前提 。这就是“科斯第三定理”。
科斯第三定理原理应用
、的分析完全建立在产权初 始界定清晰的假设之上，科斯第三定理放宽了这一假定，指出了产权界定的清晰程度与经济效率之间的相互关系。
科斯第三定理假设政府能够成本比较低地近似估计并比较不同权利界定的福利影响，同时它假定政府至少能公平、公正地界定权利。
科斯还认为，初始产权的明晰界定和分配可以节约、甚至消除纠正性交易的需要。他认为，通过政府来较为准确地界定初始权利，将优于私人之间通过交易来纠正权利的初始配置。这是科斯第三定理的实质。
科斯第三定理详细内容
科斯第三定理描述了这种的选择方法。第三定理主要包括四个方面：
第一，如果不同产权制度下的交易成本相等，那么，产权制度的选择就取决于制度本身成本的高低；
第二，某一种产权制度如果非建不可，而对这种制度不同的设计和实施方式及方法有着不同的成本，则这种成本也应该考虑；
第三，如果设计和实施某项制度所花费的 成本比实施该制度所获得的收益还大，则这项制度没有必要建立；
第四，即便现存的制度不合理，然而，如果建立一项新制度的成本无穷大，或新制度的建立所带来 的收益小于其成本，则一项制度的变革是没有必要的。
科斯第二定理是的反命题，也是组的核心部分，
而科斯第三定理是对的补充。
科斯第三定理所要解决的就是的问题。
企业信用信息积分第二中值定理_百度百科
积分第二中值定理
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积分第二中值定理是微积分中的一个定理。
积分第二中值定理内容
设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b) f(x)g(x)dx
= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(ξ,b) f(x)dx ①
特别地，若对于任意x∈[a,b]有f(x)=1=const，则①式退化为：
存在ξ∈[a,b]，使得
∫(a,b) g(x)dx = g(a)(ξ-a)+g(b)(b-ξ)
(注：实际上，定理结论中的 ξ∈[a,b] 可以加强到 ξ∈(a,b)，不过证明方法需要作适当修正)
积分第二中值定理证明
这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx&a,b&表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt&a,x+Δx& = ∫f(t)dt&a,x& + ∫f(t)dt&x,x+Δx&
= Φ(x) + ∫f(t)dt&x,x+Δx&
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt&x,x+Δx&
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m&=μ&=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx-&0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)-&0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx-&0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ&#39;(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε&0，总存在一个δ&0，使|Δx|&δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|&ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得
f(x)-ε&f(t)&f(x)+ε
由于t属于[x,x+Δx]，因此m&=f(t)&=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε&f(t)&f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立，因此得到
f(x)-ε&=m&=M&=f(x)+ε
由于m&=μ&=M（μ的意义同上），可以得到
f(x)-ε&=μ&=f(x)+ε
即|μ-f(x)|&=ε
由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx-&0时，
Φ&#39;(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证。
由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a)+C
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx&a,b&，得到
Φ(b)=∫f(x)dx&a,b& = F(b)-F(a)
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