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问题名称：一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=k2/x的图像交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C，过点A做AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图形上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求直线OP的解析式。
一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=k2/x的图像交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C，过点A做AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图形上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求直线OP的解析式。
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teacher055
连接OP，交AD于点E把B（-8，-2）带入y1=k1x+2，得
∴y1=1/2x+2
当x=0时，y=2
∴C（0,2）
把点B（-8，-2）带入y2=k2/x,得
再把点A（4，m）带入y2=16/x，得
∴A（4，4）S四边形ODAC=1/2X（OC+AD）XOD
=1/2X（2+4)X4
=12又∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1
∴S△ODE=1/2XODXDE=1/2X4XDE=12X1/3
∴E（4,2）
设直线OE的函数解析式为y=kx（k≠0）
解得x=4√2
y=2√2∴P（4√2，2√2）.提问者
teacher051
解：连接OP，交AD于点E
把B（-8，-2）带入y1=k1x+2，
得 -2=-8k1+2 k1=1/2
∴y1=1/2x+2
当x=0时，y=2 ∴C（0,2）
把点B（-8，-2）带入y2=k2/x,
得 k2=16 ∴y2=16/x
再把点A（4，m）带入y2=16/x，
得 m=4 ∴A（4，4）S四边形ODAC=1/2X（OC+AD）XOD =1/2X（2+4)X4 =12
又∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1
∴S△ODE=1/2XODXDE=1/2X4XDE=12X1/3 DE=2
∴E（4,2）
设直线OE的函数解析式为y=kx（k≠0）
∴2=4k k=1/2
∴ y=1/2x y2=16/x
解得x=4√2 y=2√2
∴P（4√2，2√2）.
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北京博习园教育科技有限公司山东省济宁一中09年高考数学（人教a版选修2-1）第一轮复习教学案：第二章圆锥曲线与方程（2）doc--预览
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　　第四讲　直线与圆锥曲线的位置关系[知识梳理]［知识盘点］一．直线与圆锥曲线的位置关系1．代数法：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后得，(1)当时，则有，直线与曲线
；，直线与曲线
；，直线与曲线
。(2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是
；若是抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是
。2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线
；(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆
；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线
，对于抛物线而言，表示直线与其
或与其对称轴平行；(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线
，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。二．中点弦问题已知弦的中点，研究的斜率与方程.3． 是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为
。运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得，，从而
。运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点M，则
；已知抛物线的弦的中点M，则
.三．弦长问题.4．(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长
，其中求与时，常使用韦达定理，即做如下变形：，.(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为
，往往比利用弦长公式简单。［特别提醒］　　直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑，这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼，达到优化解题的目的。1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，常会出现漏解的情况，用代数法求解时，易忽视消元后一元二次方程的二项式系数是否为零的讨论；在利用几何法解题时，易忽视特殊情况的讨论，如与双曲线的渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况；这些情况要特别加以注意；2．解决直线与圆锥曲线相交问题时，不要忽视这一条件；3．在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形辅数的方法；4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，涉及到中点的问题，除利用韦达定理以外，用"点差法"也较为简单。[基础闯关]1．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有(
(D)4条2．与直线平行的抛物线的切线方程为(
(D) 3．抛物线过焦点的弦的中点的轨迹方程是(
(D) 4．(2005年济南模拟试题)直线与椭圆相交于两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点C共有(
(D)4个5．过抛物线的焦点作垂直与轴的直线，交抛物线于两点，则以为圆心，为直径的圆的方程是
.6．已知直线与抛物线交于两点，且过抛物线的焦点，点A的坐标为，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是
.[典例精析]例1．已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。［剖析］首先考虑曲线是否是抛物线，当时，是直线，因此要对进行讨论，然后就时，联立直线与抛物线组成的方程组进行求解。［解］联立方程(1)当时，此方程组恰有组解 ；(2)当时，消去，得；①当，即时，方程变为一元一次方程，方程恰有一组解；②若，即时，令，得，解得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点.综上所述，当，或时，直线与曲线恰有一个公共点。［警示］本题设计了两个思维陷阱，第一个就是同学们在审请的过程中往往视的情况，误认为对应的曲线就是抛物线；第二个是在解答的过程中不讨论二次项系数即的可能，从而漏掉两个解.另外，在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，应特别注意并不是直线与曲线有且只有一个公共点的充要条件.事实上，求曲线与曲线的点的个数，就是它们的方程组成的方程组解的个数。在具体解方程时，需要比较消去与消去哪个简单，从而选择恰当的消参方式，还要注意只是是直线与曲线有且只有一个公共点的充分不必要条件.［变式训练］：1．对于抛物线，称满足的点有抛物线的内部.若点在抛物线的内部，试求直线与抛物线的公共点的个数.例2．过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度.［剖析］由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段的长度。本题采用了设而不求的方法，即设点，代入，作差，借助于直线的斜率解题方法，这种方法称为"点差法"，是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之一，应在理解的基础上进行训练.［解］设，由得，显然不合题意，，，，从而直线的方程为，即.由，得，.［警示］本题还可以设出直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线的斜率.直线与椭圆相交，出现中点弦问题的常规处理方法有三种：(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项.［变式训练］1． 椭圆与直线相交于两点，是的中点.若，直线的斜率为，求椭圆的方程。 例3．过点的直线与抛物线相交于两点，求中点的轨迹方程。［剖析］求中点的轨迹方程，可以借助于点差法与韦达定理来解决。［解］易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，再设，的中点坐标为，则，则两式作差，得，那么，由于，得，即.又由于，由，得或，由于，可得或从而所得轨迹方程为(或).［警示］整体运算，本题可以作为一典型题目，它通过整体推理、整体代换等有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可以给我们带来一种赏心悦目的解题享受.本题借助于整体运算产生中点的轨迹方程，其过程简练、运算简单. 在欣赏整体运算的同时，需要注意解析的后部分，借助方程组产生的范围，这是多同学容易漏掉的地方，少了它，结论的完备性就不存在了。［变式训练］3.对于每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点(1)求证：；(2)取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点.试证：.例4．已知椭圆，试确定的取值范围，便得椭圆上存在不同的两点关于直线对称。［剖析］直接设出这两个不同点的坐标，由点的坐标适合椭圆方程、经过这两点的直线斜率的表示、这两点的中点在椭圆内几个已知条件，列出关系式，联立求解范围；也可以把这两个不同的点所确定直线的方程设出来与椭圆方程联立，运用一元二次方程判断式及韦达定理分析求解。［解］解法一：设是椭圆上关于直线的两个对称点，则由①②③得，联立④⑥得代入⑤，得.　　解法二：把对称点视为直线垂直平分弦之两端.设是椭圆上关于对称的两点，则所在的直线方程为与椭圆方程联立，消去得.此方程有二个实根，，解之得：(*)由韦达定理，得，弦中点纵坐标是.又弦中点是直线与的公共点，解方程组，得弦中点为，，即，代入(*)式，得，即.［警示］本题把点和直线放在椭圆中考查，又运用了椭圆的有关几何性质，常见有两种思考方法：一是由条件联立方程组整体分析和代换求解；二是应用一元二次方程的判别式及韦达定理，进行分析求解.对于圆锥曲线上存在两点关于某一条直线对称，求有关参数的问题，可以用参数表示弦的中点的坐标，利用中点在曲线的内部和在直线上等条件，建立不等式或不等式组来求出参数的范围；或者利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判断式大于零，建立不等式进行求解。 ［变式训练］4.直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围. 例5．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值. ［剖析］本题分成了两个小问题，第一个小问题是求轨迹问题，可借助于求轨迹的方法处理；对于第二小问，结合题目的特点可以借助函数的单调性来加以解决。［解］（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解. 将①代入②并化简得，，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得
③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
⑤④-⑤得，所以当时，有
将⑦代入⑥并整理得
⑧当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 （2）解：由点P的轨迹方程知所以 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为 ［警示］本题主要考查圆锥曲线的最值问题，此类问题的求解策略主要有两种：(1)几何法：若题目条件和结论能明显体现某一曲线的几何特征及意义，则可以考虑结合图形来加以解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可以首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法及函数的单调性法等。［变式训练］5．(2005年辽宁卷)如图所示，已知为坐标原点，为轴上一动点，过点作直线交抛物线于两点，，试问：当为何值时，取得最小值，并求出这个最小值。例6．给定双曲线.(1)过点的直线与所给的双曲线交于，求线段的中点的轨迹方程；(2)过点能否作直线，使与所给的双曲线交于，且是线段的中点？若存在，求出直线方程.如果不存在，请说明理由。［剖析］本题是探索性问题，考查方程思想，韦达定理及解析几何中的"设而不求"的思想。［解］(1)解法一：设，(i)若存在，则由可得，
①②，得，代入②，得有(ii)当不存在时，有，则也合符合上式。综合(i)(ii)可知点的轨迹方程为.解法二：设，则，两式相减，得当，时，，即；当时，也满足.故点的轨迹方程为.(2)假设满足题设条件的直线存在，设可得，直线的方程为，即由于方程组无解，故满足条件的直线不存在。［警示］探索性试题常见的题型有两类：一类是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性；通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律。第二类是只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论，这类问题常以适合某种条件下的结论"存在"、"不存在"与"是否存在"等词语表述.解决这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性也随之解决；若推导出矛盾，则否定了存在性。［变式训练］6．已知双曲线的左右焦点分别为，问双曲线上是否存在一点，使(1)；(2)同时成立？若存在，求出双曲线方程；若不存在，请说明理由。 [能力提升]1．设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于两点，则(
(D)2．已知抛物线的焦点在直线上，现让抛物线作平行移动，当抛物线的焦点沿直线移动点时，抛物线的方程应为(
(D) 3．如果以原点为圆心的圆，经过双曲线的焦点，而且被直线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为(
(D)4．(2006年山东菏泽模拟试题)不论取值何值，直线与曲线总有公共点，则实数的取值范围是(
(D)5．（2006年四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（
（D）6．(2006年湖北卷)已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线斜率的取值范围是(
(D) 7．直线与抛物线相切，则8．椭圆中过点的弦恰好被点平分，则此弦所在的直线方程是
9．已知椭圆的离心率为，焦点到其相应准线的距离为，弦过焦点，若的倾斜角为，则10．在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标；
（2）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.11. （2006年福建卷） 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。12. （2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五讲　曲线与方程[知识梳理]［知识盘点］1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个一元二次方程的实数解建立如下关系：(1)
，那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。另外，平面上所有满足条件的动点的集合，也称为
。2．坐标法与解析研究的对象(1)坐标法：借助于坐标系，用
表示点，把曲线看成
或轨迹，用曲线上的点的坐标所满足的方程
表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这种方法称为坐标法. (2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做
，解析几何主要研究以下问题：①根据已知条件，求出曲线的方程；②通过曲线方程，研究曲线的性质.(3)利用坐标法求曲线方程的步骤：①建立适当的坐标系，用有序的实数对表示曲线上任意一点的坐标；②写出适合条件的点的集合
；③用坐标表示条件，列出方程；④化方程为最简形式；⑤说明化简后的方程的解为坐标的点都在
上.3.求曲线方程(或轨迹)常用的方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系"翻译"成的等式就可以得到曲线的方程.由于这种求曲线(轨迹)方程的过程不需要其它步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法；(2)定义法：其动点的轨迹符合某本曲线的定义，则可根据曲线的定义直接求出曲线方程；(3)几何法：若所求的曲线方程满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可利用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较为方便；(4)相关点法(代入法)：有些问题中，其动点满足的条件不便于用等式列出，但其动点是承受着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.这时我们可以用动点的坐标表示出相关点的坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程；(5)参数法：有时动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可以发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(如角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法称之为参数法，如需要得出普通方程，只要消去参数即可。在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.(6)交轨法：在求动点的轨迹方程时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参考求出所求的曲线方程，该法经常与参数法并用.(7)整体法：当探求的曲线方程问题较为复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成是一个整体，从整体出发运用整体思想、注重整体结构的挖掘和分析。［特别提醒］1．求曲线的方程问题是解析几何学的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中几何条件，通过"坐标互化"将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出方程.2．要注意一些轨迹问题，都包括一定的隐含条件，也就是曲线上的点的取值范围.3．解答曲线的方程问题，首先要明确圆锥曲线的性质，作好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等等，注意将动点的几何性质用数学语言表述。4．在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出轨迹方程以后，应仔细检查有无"不法份子"掺杂其中，将其删除；另一方面，还应注意圾无"漏网之鱼"逍遥法外，将其捉回，即轨迹上点不能含有杂点，也不能少点，也就是曲线上点不多也不少。[基础闯关]1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（
）　　A.圆
B.椭圆　　C.双曲线的一支
D.抛物线2．x=表示的曲线是（
）　　A.双曲线
B.椭圆　　C.双曲线的一部分
D.椭圆的一部分3．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（
）　　4．若，则的焦点的轨迹方程是(
D.5．△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________
6．高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________
[典例精析]例1．在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.［解］解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，　　令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.　　 　　|MP|===，|NP|===.
以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）.则2a=|MP|+|NP|=，2c=|MN|=，故所求椭圆方程为+=1.　　解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0，　　
=，　　　　=2，　　　　　y·c=1，　　解之，得x=，y=，c=.　　设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则　　b2·（）2+a2（）2=a2b2，　　a2－b2=，　　解之，得a2=，b2=3.故所求椭圆方程为+=1.［警示］解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.［变式训练］：1．如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. 例2．如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.［解］设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意知x1≠0，y1>0，y2>0.　　由y=x2， ①
得y′=x.　　∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=－，　　直线l的方程为y－x12=－（x－x1）
②　　方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M为PQ的中点，　　
x0==－，　　　　y0=x12－（x0－x1）. 　　消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），　　∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.　　方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，　　得y1－y2=x12－x22=（x1+x2）（x1－x2）=x0（x1－x2），　　则x0==kl=－，∴x1=－.　　将上式代入②并整理，得y0=x02++1（x0≠0），　　∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.［警示］本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法. 与弦的中点有关的问题，可采用"消参法"，即设出弦中点坐标，代入圆锥曲线方程，根据斜率公式，消去参数，得弦中点的轨迹方程；或直接设出弦的两个端的坐标及中点坐标，根据端点坐标适合圆锥曲线方程，联立方程，采用"设点作差"的方法，分析轨迹方程.这种方法相比较而言，"设点作差"(即点差法)的计算过程更为简单，但是一般要知道相交弦的中点坐标时方可采用，有一定的限制性.［变式训练］2．求过点所作椭圆的弦的中点的轨迹方程.例3．如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
［剖析］本题主要考查利用"相关点代入法"求曲线的轨迹方程利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程
［解］设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
　　又因为R是弦AB的中点，依垂径定理
在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)　　又|AR|=|PR|=　　所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0　　因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
　　设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,　　代入方程x2+y2－4x－10=0,得　　－10=0　　整理得
x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
［警示］对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程
［变式训练］3. 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 例4．给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.［剖析］由直接法得出曲线的方程，再作进一步化简，并判断曲线的形状。［解］解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x，y），则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得　　|y|=
①　　依题设，点C在直线AB上，故有：y=－（x－a）　　由x－a≠0，得b=－
②　　将②式代入①式得：y2［1+］=［y－］2.　　整理得：y2［（1－a）x2－2ax+（1+a）y2］=0　　若y≠0，则（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）；　　若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）.满足上式.　　综上得点C的轨迹方程为：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.　　∵ a≠1，∴（0≤r＜a ③由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足　　（Ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x，y），　　则0＜x＜a，y≠0.　　由CE∥BD，得|BD|=（1+a）　　∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD　　∴2∠COA=π－∠BOD　　∵tan（2∠COA）=，tan（π－∠BOD）=－tanBOD，tanCOA=，tanBOD=（1+a）　　∴（1+a）整理得：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）　　（Ⅱ）当|BD|=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为（0，0），满足上式　　综合（Ⅰ）（Ⅱ），得点C的轨迹方程为（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）.　　∵ a≠1，　　∴（0≤r＜a (*)　　由此知，当0＜a＜1时，方程(*)表示椭圆弧段；　　当a＞1时，方程(*)表示双曲线一支的弧段.［警示］本题主要考查了曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一利用设点法引入参数b，消参数得方程.解法二则利用角之间关系，使用二倍角公式得出等式，化简较简捷，但分析时不容易想.［变式训练］4．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ。例5．如图所示，已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.［剖析］点M是OM与AB的交点，点M随着A、B两点的变化而变化，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数.［解］解法一：设M（x0，y0），则kOM=，kAB=－，直线AB方程是y=－（x－x0）+y0.由y2=4px可得x=，将其代入上式，整理，得　　x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0.
①　　此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（，y1）、B（，y2）.　　∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1.∴·=－1.∴y1y2=－16p2.　　根据根与系数的关系，由①可得y1·y2=，∴=16p2.　　化简，得x02+y02－4px0=0，即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求.　　∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.　　解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.　　∴kOA=，kOB=，kAB=.∵OA⊥OB，∴t1·t2=－4.　　∴AB方程是y－2pt1=（x－pt12），
①　　直线OM的方程是y=－x.
②　　①×②，得（px）t12+2pyt1－（x2+y2）=0.
③　　∴直线AB的方程还可写为y－2pt2=（x－pt22）.
④　　由②×④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0.
⑤　　由③⑤可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2－（x2+y2）=0的两根.　　由根与系数的关系可得t1t2=.又t1·t2=－4，　　∴x2+y2－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.　　故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.　　解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，由OM⊥AB得k=－.　　由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb－4p）+b2=0.　　所以x1x2=.消去x，得ky2－4py+4pb=0.所以y1y2=.由OA⊥OB，　　得y1y2=－x1x2，所以=－，b=－4kp.　　故y=kx+b=k（x－4p）.用k=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）.　　解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx，　　显然k≠0，则直线OB的方程为y=－x.　　
y=kx，　　　　y2=4px， 　　类似地可得B点的坐标为（4pk2，－4pk），　　从而知当k≠±1时，　　.　　　　直线OM的方程为y=－（－k）x.
②　　可知M点的坐标同时满足①②，由①及②消去k便得4px=x2+y2，即（x－2p）2+y2=4p2，但x≠0，当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程.　　故点M的轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0），　　它表示以点（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆.［警示］本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的"完备性和纯粹性".此题是综合考查学生能力的一道好题.［变式训练］5．已知椭圆C的方程为x2+=1，点P（a，b）的坐标满足a2+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：　　（1）点Q的轨迹方程；　　（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.例6．已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。［剖析］由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。从求点的轨迹方程入手，进而讨论轨迹方程的性质，便可获得本题的解答.［解］因为，所以直线与的方程分别为：和，其中.消去实数，得点的坐标满足方程，整理得：
①，所以(1)当时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点和；(2)当时，方程①表示椭圆，故焦点坐标和为合乎题意的两个定点；(3)当时，方程①也表示椭圆，故焦点和为符合题意的两个定点.［警示］本题以向量为载体考直线，消元法求轨迹，以圆与椭圆的有关知识，考查了分类讨论思想。以向量为载体考查圆锥曲线问题是最近几何高考的热点问题，要正确认识向量等式所表示的几何意义，将向量运算的数量化是解决本类问题的关键.［变式训练］6．已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.(1)当点在轴上移动时，求点的轨迹；(2)过点作直线与轨迹交于两点，若轴上存在一点，使得是等边三角形，求的值。[能力提升]1．设k＞1，则关于x、y的方程（1－k）x2+y2=k2－1所表示的曲线是（
）　　A.长轴在y轴上的椭圆
B.长轴在x轴上的椭圆　　C.实轴在y轴上的双曲线
D.实轴在x轴上的双曲线2．经过抛物线的焦点的弦的中点轨迹方程是
C. D.3．若θ∈［0，］，则椭圆x2+2y2－2xcosθ+4ysinθ=0的中心的轨迹是（
）　　4．（2007江西）一动点到两坐标轴的距离之和的2倍等于动点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程为（　　　）
D.5．（2005年佛山）点是单位圆的动点，则点的轨迹方程是　　　　　　。6．（2005年广州）已知点是抛物线上的动点，定点，若点分所成的比为2：1，则点的轨迹方程是　　　　　　。7．（2006年兖州）设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是
．8．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.9．已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程。10．已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=－kx.（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹.11．（2007年曲师附中）已知点是的重心，在轴上，有一点满足，求点的轨迹方程.12. （2005年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F1（－1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线.　　（1）求椭圆的方程；　　（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|－|PA2|=2的一点，求tan∠A1PA2的值；　　（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程.???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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