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《数学桥——对高等数学的一次观赏之旅》
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中文名:&数学桥——对高等数学的一次观赏之旅原名:&A MATHEMATICAL——An intuitive Journey in Higher Mathematics作者:&译者:&图书分类:&科技资源格式:&PDF版本:&扫描版出版社:&书号:&地区:&大陆语言:&简体中文简介:&
学数学难学是一个众所周知的事实，但它到底有多难，直到我开始学习大学数学时，我才明白.对于要把注意重点从高中数学中以重复性操练为基础的常规解题训练
转移到作为真正数学的智力体操上来，我毫无准备。庆幸的是，在我的奋力拼搏下，我通过了最初几个月的学习，而且逐渐地开始理解正式讲课中无处不在的大量符
号的含义。我发现，数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，尽管它远在一条由形式化、简洁性和逻辑性构成的水流湍急、险象环生的大河的那一侧。
几年以后，我在从事研究和讲授数学的过程中，发现一代又一代的数学家苗子仍在与我当初面临的同样问题作战。很自然，一些学生很突出，很快成了技巧娴熟的数
学家。一些学生没能完成向更高层次数学的过渡，于是放弃，不再继续学习数学。其他一些学生很成功，这种“成功”在于能将符号搬来弄去，并在考试中取得高
分，但是他们不具备任何有意义的数学悟性。第四类由有可能成为既技巧娴熟又聪颖过人的数学家的学生组成，但他们仍然觉得向更高层次数学的过渡很困难。这四
类学生的共同之处是，他们都是有才能的学生，但他们在中学阶段没有接触更高层次的数学就进了大学。有那么多的学生最终归于后两类，这让我一直感到吃惊。
进一步的调查发现，看来几乎没有一种图书资料能以一种清晰的、直观的，特别是以一种有趣的方式来提供这种过渡性材料。一方面，我们有着标准的教材。当然，
这些教材是必需的，但从整体上讲它们也是内容非常密集、阅读非常困难、编排非常紧凑的东西，除了适用于专门的学习和参考外，其他什么都不适用。另一方面，
还有许多精彩的“普及性”数学图书。然而，这些图书往往关注数学中十分前沿的尖端性研究论题，这种论题只与一小部分成功的数学家直接相关，而且只经过数年
的研究。此外，这些图书往往不包含任何实在的数学细节；它们有点像在对数学进行观光，或对人类智能进行探视，对一个景点拍一张照，然后赶往下一个景点。虽
然它们是长期灵感的重要来源，或者就是一种令人愉快的读物，但阅读这种图书几乎不需要数学技巧，人们也几乎不能从中得到任何数学技巧。
我觉得这两个极端之间肯定可以有一个折衷点：一种真正的数学书，它表述内容的风格比通常的数学书更具有谈话性、更为直观而且更为亲切。由于这些原因，我灵
感迸发，着手写这本书——一本杂交型的“普及性教科书”，一本我在从事数学家职业之前就应该乐于拥有的书。本书的目标很简单：
以一种只需要基本的高中数学为起点的方式，发掘典型的数学学位课程中的核心元素和亮点.强调许多令人惊叹的结果所具有的自然之美和实用价值，同时保持数学上的纯正性。
于是，经过数年的努力，这本书现已完成，我想让它适用于以下人群：
●有抱负的数学家，他们想更多地了解关于数学的真正艺术。
●数学专业本科毕业生，他们愿意阅读关于其大学数学课程中各个“亮点”的一种引人入胜的概览性读物。
●科学家、工程师和热情的业余爱好者，他们想知道数学家到底是干什么的。
●数学教师，他们希望对较高层次的内容有一种使人耳目一新的表述，以从中找到例子来激发自己和学生的灵感。
●进修高等数学概要或适合诗人的数学等课程的学生。
就像刚才提到的，数学是难学的。这本书也不例外。由于所述概念的丰富性，阅读本书需要在脑力上付出高度的努力。在书中各个不同的地方，需要对附录中所详细
叙述的数学知识有一个基本水平上的知晓或熟悉。然而，本书非常具有谈话性，而且各个部分相对独立，因此可以在不同的深度水平上阅读。而且，一个论题对另一
个论题的依赖性也保持在最低水平。只要可能，每个新章节都从头讲起，所以如果某个领域变得太难懂了，或者不令你感兴趣了，你可以转到下一个领域。此外，为
了避免破坏内容的流畅性或遗漏掉作为数学思想之基础的关键点，在一些地方我对某些技术性较强的细节略而不讲.但愿这些地方已被清楚地指明，而这些省略不会
影响到大多数读者。
数学是一种激动人心而又充满活力的艺术形式，我希望本书能给你带来对数学之真正意义的某种领悟。
目录序言1.数 11.1计数 21.2实数 131.3复数及其高维同伴 221.4素数 311.5模整数 402.分析2.1无穷极限 502.2无穷和的收敛与发散 592.3实函数 672.4对数函数和指数函数以及e 812.5幂级数 882.6π与分析学观点下的三角学 932.7复函数 1023.代数 1073.1线性性 1083.2最优化1253.3距离、长度和角度1323.4几何与代数1403.5对称1534.微积分与微分方程1694.1微积分的起因和内容1694.2线性常微分方程1754.3偏微分方程1814.4微积分与几何相遇1924.5非线性性2054.6定性方法：不求出解的解法2135.概率2275.1概率论的基本概念2275.2严格的概率论2325.3样本空间上的函数:随机变量2395.4极限定理2566.理论物理2656.1牛顿的世界2666.2光、电、磁2766.3相对论与宇宙的几何2816.4量子力学294附录A给读者的练习309A.1数309A.2分析317A.3代数326A.4微积分与微分方程337A.5概率349A.6理论物理360附录B阅读进阶370附录C基本数学知识374C.1集合374C.2逻辑和证明375C.3函数376C.4向量和矩阵378C.5微积分380附录D字母与符号382D.1希腊字母表382D.2数学符号382译者后记385
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我看到你这题目瞬间产生了共鸣。当初我也是个学渣。英语是我的软肋。但是作为一个过来人告诉你。大家都觉得难，如果你做了别人做不到的事情的时候你就比别人更强大了。还有一个很简单的两个字克服。我高三的时候由于需要我是带手机的一开始我也玩。但是后来我能心平气珐袱粹惶诔耗达同惮括和的在英语课上用手机查完单词再安静的放回口袋。就这么简单。我不敢说我是学霸。但是没有哪个学霸像我这样从学渣爬到了伪学霸。克服，就这么简单，如果能克服，你的人生一路在飞
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高中生如何学好数学呢？
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别烦别烦，你就把书本当成钱，你要为了钱争取，有些时候学不进去是因为学习方法不对，换一种方式，比如去找个学伴，一起监督一起学习。
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出门在外也不愁黄远航：别上数学课了，真的没啥用
黄远航：别上数学课了，真的没啥用
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黄远航：别上数学课了，真的没啥用
语文老师有时会很羡慕数学老师，因为按现在的教学模式，数学老师只要在课堂上讲清几个定理或公式或例题以后，剩下的时间就布置50题练习题，让学生们自己做就行了。——然而，轻松是轻松了，容易造成两个后果，有数学天赋的，会被重复训练磨掉探索的好奇心，没天赋的，会被繁重的压力搞得精神压抑，特别是当怎么样也学不好时，会被严重地打击自信心。
这大概是中国出不了顶级数学家和科学家的原因之一。
数学是个很奇怪的科目，它存在着一种“梯次掉队”的现象。它不是说你低年级的知识学好了，高年级的知识就一定能学好，那可不一定的。在数学上面，我们常常看到，小学三、四年级的时候，有一批学生数学成绩突然掉了下来；再往后，到了初二、初三时，常常又有一批学生的数学成绩落后了；再往后，到了高中时，仍然有人不断掉队。
很多教育工作者尝试解释这种奇怪的现象，有人说是“孩子大了，不听话了”，有人说是“青春期了，孩子野了”，还有人说，“小时候没有进行思维训练”。我认同最后一种说法，更准确的说，是：思维能力的地基没打牢。
数学是人类的高级思维活动，越往顶层走的时候，需要的各种思维能力就越多，当思维能力不足的时候，掉队是必然的。比如说，小学三年级以前，数学只需要记忆力就可以了，记住一些计算规则就搞掂了；但到了小学四年级，光有记忆力就不行了，还要逻辑能力，这时逻辑思维能力不足的小朋友就掉队了；到了初中，可能还需要用了空间想象能力，空间想象能力不足的学生们就跑不动了；到了高中呢，可能还要用到抽象、归纳、演绎等思维能力，这方面综合能力不足的学生，可能就力不从心了。
这就有点象打地基起高楼一样，儿童时期打的地基越深越牢，未来起的楼就越高越雄伟，就越不会中途掉队。
所以，我想说的第一句话就是：“打好地基”。
打地基怎么打？我个人认为有三条：一是开发八种智能；二是生活数学启蒙。三是培养阅读兴趣。
所谓八种智能，是美国的加德纳博士说的，他说人类的智能是多元化而非单一的，由语言智能、数学逻辑智能、空间智能、身体运动智能、音乐智能、人际智能、自我认知智能、自然认知智能等8种组成。——然后问题又来了，这八种智能怎么开发？
我认为非常简单，就是让孩子去玩，玩得越疯越好。
你看啊，游戏中喊叫和交谈吧，这叫语言智能；游戏中组合多个游戏道具和计算数量吧，这叫计算智能，游戏中爬树跳下堆起积木吧，这叫空间智能，游戏中疯跑乱跳吧，这叫运动智能，游戏中还合作协调吧，这叫人际智能……简言之，你的孩子玩得越疯，玩得越嗨，这八种智力就开发得越好，未来的数学成绩可能就越好。
这就解释了，为什么有点调皮的男生，一直似乎数学成绩不好，到了高中反而超越了一直听话和优秀的乖乖女呢？很简单，原来数学成绩不好，也许仅是由于粗心，但调皮男孩在童年时的多种智力开发得远比乖乖女要彻底，其深层的思维能力远比乖乖女要强大，地基打得牢打得深，自然会在高中阶段反超，数学大厦自然也起得更高。
所以我总是想让小孩去找“孩子王”。啥叫“孩子王”？就是那些特别容易活跃和兴奋起来的，能够且愿意带着一大堆小孩子玩起来那种，就叫“孩子王”。这种孩子，往往还是天生的，没法培养，所以你身边要是遇到的，那就不要放过，就得想办法去亲近才行，呵呵。因为只有这样，小孩才能玩得嗨，于是八种智能也就在潜移默化中得到了锻炼和开发。
打地基的第二个方法，就是生活中的数学启蒙。
看过尹建莉的《好妈妈胜过好老师》吗？她说她的小孩圆圆4岁开始，通过游戏开始学习数学，不出两年居然就会了500以内的加减法。她们玩的就是一个简单的游戏“开小卖部”，让她自己围个地方当柜台，放点东西，爹妈轮流去购买。真定价，用真钱，真找零，玩着玩着，这些钱款计算就成了天然的“应用题”训练。这么训练到小学二年级，学校经过测试后，觉得也不用上三年级了，直接给她跳级上了四年级。
没错，生活中的日常买卖活动其实是最好的数学启蒙。如果咱们不知道怎么玩“小卖部”，小孩去超市买自己的玩具，或者买冰淇淋时，让他自己算钱、拿钱、花钱、存钱，也是个不错的法子吧。或者，玩点狠的，把买菜买烟买家居用品的所有任务都交给上小学之前的5、6岁的小朋友，当专职的家庭采购员算了，当然啦，这个游戏要爹妈配合才能玩起来，还要顺应兴趣和时机，如果一方大包大揽所有采购事宜，那就没得玩了。
还有啊，掷色子，打扑克，参加儿童跳蚤市场，都是方法；专业点的还有蒙台梭利的数学教具，一切都可以在游戏中进行。反正，每天你总要面对小孩的，每天小孩总要缠着你玩的，如果你不知道怎么玩，那就去玩“数学游戏”，动点心思，给抽象的数字结合到游戏中去，把零花钱当成道具，玩着玩着，小学三年级的加减乘除估计都给你学完了，而且还一点压力没有，而且还兴高采烈，而且还兴趣盎然。
打地基的第三个方法，就是培养阅读兴趣。
前段时间还看到一篇文章，《阅读，才是最好的“补课”》，说是孩子数学成绩不好，根源在于读书太少？这个道理，我是100%认同的，现将那篇文章部分节选如下：
前几天，朋友给我13岁的女儿推荐了一位数学辅导老师。“您孩子数学学习是什么情况？”电话中简单寒暄了几句老师问我。“题不难成绩还不错。一遇难题，就好像深入不进去。”提起女儿的数学，我真头疼。
“那她平时喜欢读书吗？”老师的问题让我一愣，这不是语文老师的事吗？跟数学。。。？“不是特别喜欢，但也不是一点不读。平时喜欢看《淘气包马小跳》之类。”我想了想说。
“哦，那科普读物和一些经典名著读过吗？”老师接着问。“没有，我认为对学习有用的书她都读不懂，也不愿意读。”我有些不好意思地回答。
“是有些问题。”老师顿了顿说，“孩子到了初中要想学好数理化，必须小学得多读书，特别是有深度有人文素养的好书。多读好书的孩子思维活跃，视野也开阔，到了初二就更能显示出优势。我们班数学成绩好的同学大多6、7岁就能看书，在小学阶段就大量阅读有深度有人文素养的好书，爱思考，爱看书，这群孩子问问题的深度和广度有时把我都难倒了。而那些表现不怎么样的孩子大都以前没读过什么书，现在也就不爱看书，有些油盐不进、刀枪不入的感觉，他们父母着急花钱，我再怎么辅导，他们的数学成绩也不会有太大的提高。”
听他这么一说，我忽然想起苏联教育家苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中曾经说过：学生读书越多，他的思维就越清晰，他的智慧力量就越活跃。”很多家长总觉得阅读所带来的改变很缓慢，而考试就在眼前，所以还是觉得不如补课来得直接，效果更显著。今天，经这位数学老师一提醒，我茅塞顿开。阅读的功效绝不仅仅是丰富文化积淀，提高语文素养，而是帮助孩子点燃思维的火花，拓展视野，深化思维，提高学习力。
所以，我觉得阅读不仅仅是语文的事情，它对于任何一门学科来说都是首要的，远比补课更能提高学习成绩，促进学生的整体发展。有研究发现，一年级或更早开始大量阅读的孩子比三年级开始阅读的孩子在其后的中小学学习，尤其是数理化学习方面潜力更大。因为前者在其后的学习生涯中具备了深阅读能力和习惯，也就是理解能力很强，而后者阅读时思维很肤浅，理解能力自然很弱。这个现象在初二这个分水岭年级就表现得很明显了。
所以，不要等到中小学遇到困难才没完没了地补课“拉一把”，而是要让孩子4-7岁解决识字问题，6-9岁就会爱看书，9岁后就会大量阅读、读好书。值得一提的是，识字阅读要赶早，否则，我家现在好书一书柜，孩子不爱读，只愿看马小跳之类的书，她学习怎么能好呢？
OK，摘录完毕。
以上就是“打好地基”的三部曲，疯玩、启蒙、阅读。
接下来是小学了，在我理想中的小学6年，最好是分成“翻转课堂”和“准备应试”两个阶段。
啥叫“翻转课堂”呢？
看了《翻转课堂的可汗学院》这本书吗？可汗老师给我们描述出了一个正在发生的互联时代的教育革命。我相信，这场革命迟早会把传统的课堂教学给干掉。
为啥现在孩子学得这么累？主要原因是作业太多，而正如吴亚滨评论指出，作业是课堂教学的延伸，课堂教学效率越低，课后作业就会越重。可汗说，讲授只是课堂教学的准备。一样的意思，总之，提高课堂教学效率，最好少讲，理想的情况是——闭嘴，不要讲！激发和引导学生自我教育和自我求索，才是效率最高的教育。
所以呢，课堂教学，在某种意义上来说，就是一种表演艺术，你得通俗易懂、或者幽默风趣、或者引导情绪、或者旁征博引、或者勾起强烈的好奇心或好胜心，总之，想干好这件事情，没有一点天赋、勤奋、悟性以及天生的气质，是干不好的。更何况，由于待遇问题，这个社会上最优秀和最聪明的人，往往不一定会选择教师职业。
人性使然，如果排除特权干扰，哪个行业的平均收入最高，哪个行业必然吸引素质最高的人进驻。总之，我的意思是，真正的好老师太少了。特别是在中国，真正的好老师也许只在北、上、广、深的顶级名校或贵族私校里拿着高薪呢，你以为，二、三线城市里那些从中专毕业的老师们，真的有几个能理解“认知目标分类、教学设计论、学习心理学、认知神经学、教学论”这些东东，能够真正“踏上教学之路”？
但是现在不一样了，通过互联网，只要你有心，有分辨好坏的甄别能力，自然就可以找到各种“史上最牛老师”视频，比如史上最牛历史老师袁腾飞、史上最牛语文老师蔡兴蓉、史上最牛数学老师萨尔曼·可汗、史上最牛英语老师某某某，等等。难道，这些老师教得还不如你身边那所学校的中专生老师吗？既然有了现成的视频课程，为什么学生不能“按自己的时间和进度”来通过视频学习，跟着这些最牛逼、最优秀的明星老师学习，把宝贵的课堂时间用来“做数学作业”和“玩数学游戏”，当身边的老师充当激发者和游戏组织者不好吗？
传统的教学，是课堂讲授，回家作业；翻转课堂的教学，是在家学习，在课堂做作业，这就是“翻转”了。这有什么好处呢？
第一个好处是：主动学习，各得其所。优秀的可以学得快一点，基础差的可以学得慢一点，甚至多学几遍。本来嘛，每个学生的学习进度各不相同，每个学生的注意力也最多可持续15分钟，硬被压在课堂上听老师枯燥地讲50-60分钟，被迫按照相同的节奏接收信息，这必然导致差生跟不进度，优等生觉得单调无聊。如果是主动学习视频，学生可以随时随地学，公交车和公园上也能学，遇到难以理解的地方，可以按下暂停键或重播键再看一次。如果在课堂上，他们可能会不好意思发问。
第二个好处是：激活讨论、弥补漏洞。如果学生回家作业，就象置身“真空”，遇到问题时没有人给他们提供援助；大量的作业又会剥夺他们宝贵的睡眠时间；第二天进教室时，学生们或者把昨天晚上遇到的困难给抛到脑后了，无法及时弥补漏洞；就算单元考试反映出问题，也来不及填补，因为老师又要带着所有学生进入下一阶段学习了。如果在课堂上作业，老师由于无需讲课，有时间和精力对困难学生进行辅导，学得快的学生也可以帮助困难学生，师生交流还可以建立感情，更真实了解学生理解情况。
还有，还有，我看可汗老师这本书，还发现了两个更牛逼的理念：“浑元一体，精熟学习”。
什么叫“浑元一体”？
他认为，人类知识是一个浑然一体的整体，完全不可割裂，尤其是中小学数学知识，它的每一个定理、每一个公式、每一个推导细节和都是与其他部分密切联系，密不可分的。从理论上说，一个对中小学数学很精通的孩子，他应该可以象马云路演阿里巴巴公司的诞生发展一样，把整个数学体系整体演绎出来，可以滔滔不绝如黄河之泛滥讲几个钟头。
这才叫融会贯通，这才叫知识体系。
孩子们能做到吗？——他认为应该做到，而且应该轻松做到。举个例子，你去买一个西瓜，请问你是拿一整个西瓜回家，还是把西瓜大卸八块，切成无数小丁后再拿回家，哪个容易一点？答案是显而易见的嘛，知识成了整体，成了体系之后，在脑子里打包带走，绝对是远远超过了东一榔头西一棒子的零碎知识点。
其实记忆有个奥秘，那就是“有勾子”，很多记不住的东西，稍有“提示”立马就想起来了。如果是一个整体的知识，每一次新的知识都是从旧的知识身上派生、推理、演绎出来的，就象滚雪球一样越滚越大，而层层雪球之间又有无数个“连接点”和“勾子”，这又怎么可能记不住呢？我觉得啊，如果真把数学知识象浑元一体的内核一样放进大脑，就象是武林高手吃了道家“内丹”一样，有内功了哦。就算重新投入到高考前的题海战术中，咱也不怕了。
但为什么绝大多数孩子做不到呢？——那是因为教师本身自己就做不到，尤其是我们的中小学老师做不到，说句残酷点的话，很多中小学老师之所以去当中小学老师，恐怕就是因为自己本来就不擅长于知识学习，对数学知识也没有什么兴趣（否则早就上名校、读硕博、当教授去了），自然也无法掌握透彻，大概也就懂个皮毛，就象我们大多数人一样，然后就照本宣科把公式定理开始灌输，他们做不到融会贯通。
但可汗老师却做到了，他凭什么做到了呢？因为他天生大牛啊，因为他是数学天才啊，他是哈佛大学高材生，他是智商高达160的对冲基金投资银行家。——正因为他是完完全全的教育“外行”，所以他做到了，一个从来没有涉及过教学任务，一个从来没有学过什么“教育心理学”，一个从来没有考过什么“教师资格证”的人，他却做到了，因为他就是能把这一整套数学知识理解得那么透彻，那么清澈见底。
有时我在想，当年如果有这样一位高人，引领着少年时的我在数学的神奇大草原上奔跑，我也不至于后来对高等数学那么发愁，也不至于报考研究生时数学考个耻辱分数结果最终没考上啦。——所以我要妒忌现在的小孩，在现在网络时代，他们可以零距离接触这个世界上真正的天才，可以让他们沐浴在真正的教育之中，把知识的条块分割打破，把代数和几何之间的沟壑填平，把数学课堂从痛苦的做题煎熬，转变成刺激的探险之旅。
什么叫“精熟学习”呢？
定义很简单：学生在进入更高难度学习阶段，应充分理解之前所学习的概念。——换一种说法就是：真正搞懂了这一课，再开始学下一课；或者说，在没搞懂这一课之前，绝对不开始进入下一课。
有很道理吧？！然而，我们的学校无法真正落实精熟学习法，可怜。这种学习方式，除了对老师素质的极高要求外，还有对学习时间的弹性要求，这在学校里是做不到的。
在我们的学校里，老师和学生们必须在固定的课时内完成对某个知识点或章节的讨论和讲授，只要时间一到，师生们就必须进入下个话题或知识点。这种教育方式，忽略了一个严重的事实：每个孩子对知识点的掌握程度是不一样的。
学得快的，或基础好的，也许就跟上去了；但那些学得稍慢一点，或基础稍差一点，或者因某件事走个神，或因某些问题一时未理解，就卡在半路上了。即使后面再赶上进度，但前面那个没有理解透彻的部分，可能就永远留在那儿了，学生自己没有留意，老师更不可能折回来细细讲解，于是那个漏洞就成了永远的缺口。
也许，经过后面的学习、习题和考试，那个缺口能补上；但也许，如同马太效应一样，因为前面的不懂，所以后面的更不懂，越学越吃力，越学越苦恼，于是，就形成了“数学差生”。
其实，我们这些成年人，回过头来想一想，中小学、尤其是小学那些数学知识，有什么值得可怕的呢，有什么值得拼命想也想不透的呢（哎，在网上流传的那些奇葩小学数学题可不算啊，那些是变态脑筋急转弯，除了出题的那家伙，估计谁也答不出）。如果能够实施精熟学习法，顺顺畅畅地一路学下去，又怎么可能会出现“数学差生”呢？
看看可汗这本书，我觉得这个问题可以解决了。因为他的课程是连绵不绝而又层层递进的，上完一课，系统就会针对这一课的知识点，随机产生许多个题目给你，要求“连续做对10道题目”，就算是认为你真正掌握了这个知识点（考80分？不行！考90分？也不行！一定要100分，才行！）。然后就进入下一课。每一课大约10分钟左右，大概讲解一至三个知识点；整个中小学的课程，大约全都包含在2000多个视频课程中了。
这很象魂斗罗的打通关的游戏啊，总共2000多个关，你要打通一个关卡，才能打下一关；你要是打不通，就回来好好想想，或者再看一遍或几遍视频（如果是老师，才没那么多时间理你呢），然后再打、再打。反正小学6年，中学6年，有大把的时间给你去玩这个通关游戏，而且我相信，玩得兴起，没准在三、五年内就全部搞掂了（我们的中小学，其实在课堂上发呆的时间是大多数，思考的时间是极少数，效率极低）。
好了，咱们把时间省下来了，把知识学到了，在课堂上把作业做完了，然后我们在课堂上还做什么呢？
玩游戏啊！！！
看过雷夫的《第56号教室的奇迹》么？这个号称是全美最佳的教师（虽然有报道说他名不副实，但书中的数学游戏还是很有趣的），厌恶的就是“题海战术”，这么说：“如果10个算术题他都会算，那么再做500题有何意义？如果10个算术题他都不会算，那么再做500题又怎么可能？”他只是通过有趣的游戏和规范的思维训练，就让他的每届学生个个优秀，还发现了不少天才。他的课堂上，经常玩的是三个游戏：
第一个是“喊buzz”游戏，其实就是咱们酒桌上的小游戏，比如选定数学“3”，一群人“1、2、3、4”一路喊下去，喊到“3”或“3的倍数”或“有3的数学”，就喊“buzz”（在咱们的酒桌上，一般就是喊“过”）。这个游戏从可以从最基础的找“倍数”，一直到比较复杂的找“质数”——可以让学生们站着玩这个游戏，答错的就坐下来，数到100时，看谁还在站着，非常刺激和好玩。
第二个是“数学砖”游戏，就是上面刻着“0、1、2、……9”的10个数字块。这个做什么用呢？用来玩心算。看这个场景：雷夫老师说：“好，孩子们，现在你们的心里想着7，乘以4（28），再加倍（56），减去50（6），好，现在举起砖块，给我看答案。”然后孩子们会刷的一下把自己手里的数学块“6”举起来，谁会了，谁需要帮助，也是一目了然的。这个游戏也可以一直玩到高年级，甚至公制、分数、几何和三角函数。
第三个是“任务卡”游戏，就是精心设计的一组小卡片（如下图所示），用“0、1、2、3……9”这10个数字来填空，不得重复。如果填得不对，孩子们可以自己就知道，反复练习、尝试、思考、甚至小组合作、分组讨论，各种基础能力自然飞速发展。
总之，在我的理想中，小学生们在教室里玩着游戏唱着歌就把数学给学会了，而且刺激又开心（但绝不轻松），不管怎么样，总比题海战术好。在我的理想中，小学数学老师用半节课辅导作业，半节课玩数学游戏（在网上书店随便一搜索，数学游戏的书籍大把大把），最后再布置半小时的“任务卡”之类的作业，就是很完美的一天了。
我们有理由相信，既然“打好地基”都可以轻松达到小学三年级的水平，那么“翻转课堂”应该随随便便都可以学完小学6年甚至初中、高中的课程和知识吧。因为，孩子们的兴趣、玩心、好奇心、好胜心一旦被调动起来，按部就班的6年教学大纲又怎么可能挡得住他们呢？又有何必要去挡呢？只要创造一个环境让他们尽情去玩就行了。
接下来的最后一个阶段，就是“准备应试”。
怎么准备？——自然是研究考试题！研究所谓的“初考”原题。不要去看所谓的模拟题，不要去看所谓的全真仿题（仿题的质量太差，再怎么好也好不过原题啊），不要去看任何书上的练习题（游戏已经玩过了），直接就把历年考过的“小学升初中”原题拿过来研究就行了。
数学考试这玩艺，其实有两个潜伏的秘密：
第一个秘密，就是能够出题的知识点是有限的，并不是所有的知识点都能出题，那种既能测出知识能力，又能设计出考题和合适的答案，其实占你学到知识的比重估计也就20%-30%，这部分知识就是重点之重点。如果你能集中精力攻克这20%-30%的重点，自然是事半而功倍。这一点，其实在单位做过培训和命题的朋友可能都清楚。
第二个秘密，就是一切考题都是有规律可循的，摸清了命题规律，掌握了解题套路，一切数学考试都不在话下，哪怕是高大上的“高考”。
北大教授郑也夫在他的《吾国教育病理》提到过这样的事，大概是这样，他探访北京也许最牛逼收费最高的高考补习班，就问那个培训老师，说如果是一个真没有什么数学天赋，也没有什么数学思维的学生，在你手里，你能帮他拿到高考数学的高分么？那培训老师一点儿都不含糊，说绝对没问题，然后举出一堆有名有姓的例子。鉴于这个老师跟郑教授是好朋友，不可能拿出广告忽悠那一套来，这就意味着：这就是真的现实。
然后郑也夫就在书里感叹着，我靠啊，这什么公平的高考，这什么有选拔性的高考，都是假的，至少在这些人面前，都白废啊，然后他就论述如果丧失了公平性和选拔性，高考还有啥意义？当然，我们没必要跟郑郑教授去感叹，咱们只要明白这个道理，然后想办法利用这个规则，让我们的孩子拿到高分就行了。
所以“应试准备”的第一步，就是把考题搞懂、搞透。
第一步：搞懂搞透——啥叫“搞懂搞透”？我认为仅仅是把题目做出来，把答案对上了，那是远远都不够的。
真正的搞懂搞透，个人觉得至少要达到以下三点：
1．搞懂思路，即“你怎么想出来的，思路和方法是什么？”孩子们必须解释他的答案，并进一步说明为什么不选其他答案，这样一来，小孩就被迫检查、考虑、分析该考题的所有选项。这是有效的独立思考，这种魄力将成为他们能力的一部分。
2．搞懂考点，即“命题者是怎么想的，他想考察什么知识点？”孩子们必须转换身份，换位思考，想象命题者出这道题的目的是什么，考察的考点在哪里，这样一来，小孩就被迫跳出应试者的角度，转而以命题者的更高的视野去看考题。
3．搞懂陷阱，即“命题者设计了哪些错误选项，这些错误选项错在哪里，哪个环节错了会导致这些错误？”孩子们必须知道选择题是精心设计的结果，那些“错误选项”是有道理的，命题者都是预测学生会在哪里犯错的专家，当学生们在解题过程中出了错，然后看到选项中有他算的答案（不正确），就会以为自己一定没错。所以，让同学们扮演侦探，“找出”以及“回避”这种陷阱，反而可以让大家乐在其中。
——搞懂了“思路”、“考点”、“陷阱”，第一步研究才算结束，
第二步：说清楚说明白。
啥叫“说清楚说明白”？就是要求学生拿着自己搞懂了思路、考点和陷阱的考题，当着全班同学（或者学习小组、或者老师家长）的面，从头到尾讲一遍，必须要讲到其他同学听懂了为止。——我认为，这种“学生讲解”，比“题海战术”要好一万倍。
第一是“有成就感”，人类都有一种表达的欲望，孩子也不例外，面对一群人侃侃而谈，那绝对是特有成就感的事情，这种成就感和满足感，又正好有效地让学到的知识更深地刻进了自己的脑海，同时，还锻炼了沟通、交流和表达能力，还激发了数学的兴趣。
第二是“教学相长”，当你给其他人讲解一个考题的时候，你的脑子里必然在紧张活动着，梳理逻辑、组织语言、寻找词汇，从多个角度试图让别人理解，这就是效率最高的学习啊。题海战术经常会让大脑变得麻木和呆滞，但是，当你开始讲解，你的大脑就必然兴奋起来、主动起来、活跃起来——教者比学者的大脑活动更剧烈，所以根本不用担心你教会别人会“超过”你，那是不可能的，因为一个人在跑马拉松，另一个人在小区散步，谁会锻炼成健将呢？
呵呵，这就是悖论，最好的“学”，原来就是“教”。
这也是为什么美国学校里“讨论”式教学，带来的创新和活力，远远超越“满堂灌”式的教学的原因。这种方式，虽然一开始似乎很慢，接受的知识并不是很多，但这是一种有加速度的学习方式，越到后面，越到高级阶段，这种动力就越强。
至此，咱们“应试准备”的第二步就是“说清楚说明白”才算结束。那么，到了这一步，是不是就研究透了呢？我觉得还不行，咱们再进一步，那就是“自己命题、制作试卷”。
第三步：自己命题、互相考试。
——也就是说，“应试准备”的第三步，就是真正把自己摆在考官老师的位置上，学着命题，自己制作出一份难度比真正的“小学升初中”考试题更大的一份试卷。
咱们可以把学生们分成几个小组，每个小组制作一份试卷出来，当然是自己要先有答案，并且能够讲清楚所有的题目。然后，捉对儿厮杀，互相挑战，我们小组制作的试卷来考你们，你们小组制作的试卷来考我们，互相考着玩，看谁来考倒谁？
这些高年级的小学生们，在“搞懂搞透彻”、“说清楚说明白”那些“小升初试卷”的基础之上，难道还不能依葫芦画瓢，学着自己设计一份试卷出来么？我想，这应该是小意思了！——反正，现在的家长资源大把的，每个小小的“命题小组”回到自己小区后，聚集在一起献计献策，拿着IPAD反复试验，搞出一套古灵精怪又符合逻辑的试卷，想着怎么把其他小组考翻，这是一个多么欢乐的场景啊？
好了，我就问你了，经过这种疯狂游戏的学生，还怕你应试教育不成？（其实玩得好的话，没准研究出一张考倒初中生的中考试卷来，也未可知哦）
总之，我所设想的、理想中、或幻想中的小学数学教育，大致就是这么三步：
其一，学前打好基础，疯玩和启蒙，以及培养阅读兴趣。这一步，根本不需要什么数学课。
其二，翻转课堂。自主去学习全世界最优秀老师的课程视频，然后，在课堂上把数学课本上的知识转化成游戏。
其三，应试准备，先搞懂，再讲解，最后自己当命题老师。这一步，只需要认真研究历年来的真题和试卷，也不需要什么传统的数学课。
上面提到的尹建莉的书，雷夫老师的书，郑也夫教授的书，可汗老师的书，他们都是这样的观点，都有许多证据和教育学理论依据。如果能够实施这些方法，可以在保证了征服“应试”教育，在保证了考得“高分”的前提下，仍然还能保证对数学的兴趣，这有什么不好呢？这就是我们读书会的一些狂想，见仁见智，但求对您有一点启发。
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