没有生化改造技术做不到吧，里面无论多快的速度小朋友们都能跟着一直跑。不改造跟不上命令什么的都下不了了。(我记着动画里控制四驱车是声控+一定的人工智能？)
没有生化改造技术做不到吧，里面无论多快的速度小朋友们都能跟着一直跑。不改造跟不上命令什么的都下不了了。(我记着动画里控制四驱车是声控+一定的人工智能？)
肯定要玩喷涂。最好找个师傅，如果没有就上网找教程，下面是我看过的教程&br&&p&两个视频 教喷笔和喷泵操作，比较详细，很多实际操作中遇到的问题都有提到，特别是提到选购喷笔和喷泵的导购&a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XNzYzMDc3NDQw.html%3Ffrom%3Dy1.7-1.2& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/v_show/id_X&/span&&span class=&invisible&&NzYzMDc3NDQw.html?from=y1.7-1.2&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a href=&///?target=http%3A///v_show/id_XODM3OTUyNzcy.html%3Ffrom%3Dy1.7-1.2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&喷涂篇 下篇&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&视频录制者相关视频&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///u/UMTQxNDMyNzEzNg%3D%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&优酷网-中国第一视频网,提供视频播放,视频发布,视频搜索&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&这个视频作者教喷漆的比较少，主要教喷漆前的处理（基叔陪你玩模型） &a href=&///?target=http%3A///u/UMTgyMjgwMTMwOA%3D%3D& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&优酷网-中国第一视频网,提供视频播放,视频发布,视频搜索&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&这个每月都会更新 &a href=&///?target=http%3A///playlist_show/id_.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&涂装革命系列模型制作视频&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&以下日本的视频，没字幕，但是教得很好 选高达的看就好&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///video/av2346457/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&日本模型制作系列节目第一季&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///video/av2347389/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&日本模型制作系列节目第二季&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///video/av2355234/index_21.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&日本模型制作系列节目第三季(21)_野生技术协会&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&另外优酷搜模魂志 也有很多视频&a href=&///?target=http%3A///search_video/q_%25E6%25A8%25A1%25E9%25AD%%25BF%2597_orderby_1%3Fsite%3D14%26page%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&模魂志 搜库-专找视频&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
肯定要玩喷涂。最好找个师傅，如果没有就上网找教程，下面是我看过的教程 两个视频 教喷笔和喷泵操作，比较详细，很多实际操作中遇到的问题都有提到，特别是提到选购喷笔和喷泵的导购视频录制者相关视频
&p&即时国内生产的，只要是外国品牌都会贵，如合资汽车，都是市场保护。&/p&&p&涉及进口就要有进口商，进口商又要做经销商太累，所以还要成立个经销商。又不是直销模式，必须有分销商和门店……开了网店又不能冲击实体店，要做价格统一。比汇率换算后高出的部分，乐高中国其实能拿到的部分很少，主要都在经销商、分销商手里。而且海关这边还对乐高这种玩具要收不少税呢，这样保护国内同类玩具厂商的价格更有竞争力。&/p&&img src=&/v2-ef11baff2448afceb410a_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&661& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-ef11baff2448afceb410a_r.jpg&&&p&海淘为啥便宜，因为税低又没有代理商。有时感觉国内乐高玩具是从国外经销商手里买的似的……理论上全球同价没有太大的阻力。&/p&&p&以42055套装为例，一下价格均为零售价（未参与优惠活动），基本都包邮，汇率以今日汇率为准：&/p&&p&美国：279.99美元 约和1887.02元&/p&&p&英国：189.99英镑 约和1681.62元&/p&&p&德国：229.99欧元 约和1819.59元&/p&&p&澳大利亚：399.99澳元 约和2166.31元&/p&&p&某猫旗舰店：2699元&/p&&p&某猫全球购：1998元+237.76元税款=2335.76元&/p&&p&某宝均价：元&/p&&p&某宝德国海淘包邮不包税：1699元&/p&&p&也就是说哪怕我从美国商店里买回来，除去税款还能赚六百左右，运费刨去后也能赚。&/p&&p&而国内乐高总经销拿货的价格肯定要低很多……也有可能是人民币不值钱所以乐高集团就跟诸如星巴克等外企一样提高的零售价？不得而知。&/p&&p&至于海淘靠谱吗，首先海淘要看价格，得赶上亚马逊大优惠才合适。另外就是最近被税的几率很大，特别是买大盒子的旗舰套装，开箱率也很高。就是说，当你打开外包装会发现盒子都被拆过了，而且有的盒子还是破的，零件散落得到处都是。你也只能吃哑巴亏，无处维权。有的网友还被要求本人去某地海关提交自用证明才给放行……&/p&&p&人肉背回来其实是很靠谱的，因为放心，哪怕遇到开箱检查，也是自己在现场自己来开，心里有数。&/p&&p&某宝上为啥便宜，我推测也是在特备优惠的时候海淘回来的，也会分为好盒、瑕疵盒、破盒，价格不同，但差价不大。另外很多货源也在香港，通过水客带回来。&/p&&p&其实不管什么渠道买的乐高，有质量问题都可以联系乐高集团进行补件、换件等服务。只要认准包装盒上的LEGO的商标99%都是真货。如果怕内装零件调包，还可以看盒内零件的包装袋、零件上的LEGO商标等，把一些零件与自己已有的零件进行对比，虽然有批次不同模具不同等产生的一些差异，但该有的细节都应该有。&/p&&p&国内制假贩假是有很大风险的，凡是国内有公司的品牌，国家都帮你打假。你只会看见“康帅博”绝不会有假的“康师傅”。高仿奢饰品皮具都转小作坊了，开厂子的没人敢冒这个风险。销售渠道也就是摆地摊，微商，实体店不敢卖。只能说制假贩假根本轮不到乐高，利润率太低，消费群体小，主力都是网购，&b&网购这种带牌子的，没有网店敢卖假的！&/b&&/p&&p&另外，也不需要用乐高的牌子。看看人家乐拼相关品牌就知道了。肯定有工人去乐高嘉兴工厂偷师后又跑乐拼了。&/p&&h2&&b&认准LEGO(R)假不了！认准LEGO(R)假不了！认准LEGO(R)假不了！&/b&&/h2&&p&&b&重要的事情说三遍。&/b&&/p&
即时国内生产的，只要是外国品牌都会贵，如合资汽车，都是市场保护。涉及进口就要有进口商，进口商又要做经销商太累，所以还要成立个经销商。又不是直销模式，必须有分销商和门店……开了网店又不能冲击实体店，要做价格统一。比汇率换算后高出的部分，乐高…
先简单回应下，改日再来详细补充。&br&影响力比较大的比赛:&br&&高教社杯&全国大学生数学建模竞赛（本科生）&br&美国大学生数学建模竞赛（本科生）&br&&深圳杯&数学建模挑战赛（本科生，研究生）&br&&华为杯&中国研究生数学建模竞赛（研究生）&br&其他的比赛，要么是商业比赛，要么含金量较低，除非以练兵为目的，不建议参加。
先简单回应下，改日再来详细补充。 影响力比较大的比赛: "高教社杯"全国大学生数学建模竞赛（本科生） 美国大学生数学建模竞赛（本科生） "深圳杯"数学建模挑战赛（本科生，研究生） "华为杯"中国研究生数学建模竞赛（研究生） 其他的比赛，要么是商业比赛…
今天值夜班，下午早点出门特意寻找带红包单车准备骑去上班……&br&第一辆红包车在家楼下不远，扫了几次二维码都扫不开，旁边一位店里的大叔特别热情的过来告诉我说这辆车已经停在这里很久了，是坏的。于是我点了举报。&br&又去寻找了地图上的另一辆，找了好久终于在一条小巷子的角落里找到了，然后成功骑走。我骑到了地铁站旁边，也是城市主干道的旁边，锁上去买吃的，想着这路边车多。&br&买了吃的回来发现这附近虽然很多车也就一辆红包还是在小巷子里，去找到后发现车座被调整的超级高，我矮没法骑呃。&br&又换了个地方找了找，找到一辆和两辆不是红包的在一起，看编号发现旁边两辆都在，红包车却不在，后来我在旁边一个住家的小院子门口的里面看到了一辆电瓶车正好挡着一辆摩拜，想了想也许就是那辆红包车吧。院子里有人没敢拍照举报，现在想想有点后悔该趁其不备！&br&最后又走了一段路找到一辆红包车，在一个小区里面，找到它时已经积了很厚的灰咯，幸运的是能开锁，擦干净一口气骑到了单位。&br&一共得了10多块的红包。个人觉得摩拜这样的想法还不错，正好让我这种暂时有时间的人帮他们找到那些利用率过低或者违规停放的车辆，还给咯报酬，哈哈。
今天值夜班，下午早点出门特意寻找带红包单车准备骑去上班…… 第一辆红包车在家楼下不远，扫了几次二维码都扫不开，旁边一位店里的大叔特别热情的过来告诉我说这辆车已经停在这里很久了，是坏的。于是我点了举报。 又去寻找了地图上的另一辆，找了好久终于…
&p&先给些基础概念。&/p&&p&1、得益于老B先进的开模技术，大部分近当代高达，都是理论上可以不用粘贴剂（诸如模型胶水、502类）、不用其他工具（螺丝刀），不用额外上色，就可以组装成一台不错的高达-----素组党板载！&/p&&p&P.S：90年代前的HG和早期MG都或多或少需要用到粘贴剂和螺丝刀，典型例子就是元祖高达 1.0，近代高达也不是没有不用胶水的，例如独角兽版狙击扎古。&/p&&p&2、因为高达类板件已经预分色和免胶，所以和军模民用模型有个很大区别就是，高达可以简单素组，而不需要上色。&/p&&p&所以题主这个问题。其实可以分成两部。&/p&&p&1、如何素组一台MG？&/p&&p&2、如何对一台MG进行改色？包括但不限简单补色，改色，或者更多特殊效果。&/p&&br&&p&1、先以&b&完美素组&/b&为例&/p&&p&比较简单流程大致是这样。&/p&&p&剪取零件→&b&打磨平整水口→按照说明书顺序组合&/b&→全机完成→喷涂一层亮光保护漆→贴标示(水贴&挂贴&胶贴）→珐琅渗线液渗线→消光保护漆（完工）&/p&&p&PS:&/p&&p&1、这只是比较常规的流程，并非绝对不变,例如喷涂一层亮光保护漆视实际情况，主要作用其一让水贴更平整贴在表面，其二防止珐琅渗线液腐蚀板件，当然你偷懒完全可以无视。&/p&&p&2、熟手之后，根据实际情况调整，例如&/p&&p&珐琅渗线液渗线→剪取零件→打磨平整水口→（不）按照说明书组合→全机完成→贴标示→保护漆（完工）&/p&&br&&p&2、如何对一台MG进行改色？包括但不限简单补色，改色，或者更多特殊效果。&/p&&p&1、简单补色：马克笔或者用水性漆手涂，简单方便快捷，适合小面积补色。&/p&&p&2、大范围改色：&/p&&p&2-1.喷灌喷涂：&/p&&p&优点：简单快捷，适合一两个模型改色；&/p&&p&缺点：长期使用成本高昂，气压不稳影响效果&/p&&p&2-2喷笔喷涂&/p&&p&优点：可以做出多样效果（熟练练习下）&/p&&p&缺点：初期投入较大，对场地要求高&/p&&p&以上给两个建议喷涂流程：&/p&&p&剪取零件→打磨平整水口→按照说明书顺序组合→上水补土→骨架喷色→外甲喷色→再全机组合&/p&&p&优点：简单快捷
缺点：骨架部分效果一般，有些活动位置会被遮盖&/p&&p&剪取零件→打磨平整水口→修正零件→上水补土→喷涂上色→组合零件…………&/p&&p&优点：效果好
缺点：比较麻烦&/p&&p&上色时先补土是必须的吗？&/p&&p&我所知道B社在推出PG W （掉毛）高达 就吧可以直接喷涂作为一大卖点，所以由此推断大约那个时候起的高达都可以直接喷涂，不过喷水补土还是墙裂推荐，能上就上只有好处没有坏处。&/p&&p&3、特殊效果：在2的基础上再加入不同步骤，此处略过、&/p&&br&&p&see also，安利一下自己的回答，哈哈，希望能对你有所帮助。&/p&&p&&a href=&/question/& class=&internal&&求教船模水补土的问题？ - 模型 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&请问高达模型制作高手关于光油，渗线和消光的问题，望赐教？ - 腹黑的人间五十年的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&求教高达模型制作工具? - 腹黑的人间五十年的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&高达喷漆方法？材料、颜色、工具、技巧？ - 腹黑的人间五十年的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&请问模型上色的基本步骤是什么？ 可以先喷ts29，再贴水贴再喷水性的消光漆吗？&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&请问如何正确的给高达或军事模型笔涂上色？ - 腹黑的人间五十年的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&喷涂模型需要注意哪些问题，什价位的喷笔比较好？ - 腹黑的人间五十年的回答 - 知乎&/a&&/p&
先给些基础概念。1、得益于老B先进的开模技术，大部分近当代高达，都是理论上可以不用粘贴剂（诸如模型胶水、502类）、不用其他工具（螺丝刀），不用额外上色，就可以组装成一台不错的高达-----素组党板载！P.S：90年代前的HG和早期MG都或多或少需要用到粘…
手机码字，不贴图了，简单说下各款。只说缺点和问题。&br&造型这种见仁见智的东西不予评价。&br&1号78:把玩就开始噼里啪啦掉件，贴纸不服帖。&br&2号红有三:掉件情况比78好那么点儿，贴纸基本没有改进。&br&3号强袭:比前两款略有改进，贴纸稍好那么一丢丢。&br&4号绿扎:夏亚少校你等等我╮(╯▽╰)╭&br&5号自由:断腰断炮断翅膀，外甲零件倒是不掉了╮(╯▽╰)╭，然而开始犯软骨病并且开始需要整容。&br&6号空霸:就一配件包就不说了吧。&br&7&8号马克兔:RG巅峰你们懂的。从这里开始RG的掉件问题已经基本上得到了解决。&br&9号正义:额...软骨病继续，挂上背包别想站稳，强行增加的刻线细节（咦，不是说好不吐槽造型外观的嘛）&br&10号ZETA:唉，要是不变形他就是个大美人。要是变形...请随时准备去骨科挂号。&br&11号命运:除了造型这货槽点不算多╮(╯▽╰)╭ 哦对了，光束盾牌的贴纸你看了就知道。没有光之翼叫什么命运！（咦？不拆卖还叫财团？）&br&12&13号GP01:核心战机毁了这货的整体性，但是相对的纯站尸他俩还是很棒的。&br&14号最帅最强:财团祖传X黄金，祖传种系通用骨架，祖传光束盾贴纸。&br&15号EXIA:RG蛋系第一弹。哎呀脸没崩呢！哦，这货没有雪铁龙╮(╯▽╰)╭&br&大腿关节受到前裙甲影响会扯到蛋；肩部粒子传送带影响手臂可动，莫名其妙的盾牌设计。&br&16号大螃蟹:魔蟹主打什么？鬼畜pose啊！但是你骨架这么松让我怎么摩擦滑板鞋？？&br&17号掉毛:奇怪的膝盖外甲，歪脸，双枪合并无法双手持握。&br&18号00R:脸崩稍有缓解，手臂可动有点小问题，其他方面属于财团难得的良心发现。&br&19号武士刀高达:脸又崩回来了！如果这不是RG，如果发售前的宣传PV没有把这货的可动吹的这么狂霸酷拽吊炸天，那么这货不至于受到这么多差评╮(╯▽╰)╭&br&20号飞翼EW:为了套用骨架改设定这事儿吧，习惯了也就好了╮(╯▽╰)╭不过飞翼ew居然可以单手持枪了，感动的我热泪盈眶T^T&br&21号00Q:为了套用骨架老b也是蛮拼的...这货总体表现还算不错的，没什么特别的槽点，因为是小猴子脸所以连雪铁龙都没办法吐槽了。&br&22号新安洲:财团你告诉我马克兔的骨架到底是有多成功昂？连设定差了十万八千里的小新你不惜硬加件都要强行套？腰部问题像一个诅咒一样一直困扰着新安洲，各级别各心态的小新没有一个逃脱这个诅咒，弗朗托大尉我有肾宝免费给你两瓶可好？&br&23号创制强袭:我在纠结我的RG制霸之路是不是该停了...对男朋友我是毫无兴趣（小姐姐的话我们可以私下联系(*?????ω???*)??????）&br&24号异端金 天 蜜纳:还未发售不予评价，不过呢，祖传那啥金、兼容卡骨架必须是没跑的。&br&&br&通病:一体成型骨架虽然高大上，但是软是真没办法，肾宝都救不回来，要不试试三十六味地黄丸？&br&我一直不喜欢RG的肩甲连接设计，单侧圆形卡扣，极其容易掉。&br&脸！脸！！脸！！！&br&&br&所以，要说RG哪款最好？我觉得，应该是下一款╮(╯▽╰)╭
手机码字，不贴图了，简单说下各款。只说缺点和问题。 造型这种见仁见智的东西不予评价。 1号78:把玩就开始噼里啪啦掉件，贴纸不服帖。 2号红有三:掉件情况比78好那么点儿，贴纸基本没有改进。 3号强袭:比前两款略有改进，贴纸稍好那么一丢丢。 4号绿扎:夏…
建议去实习
建议去实习
这个总决赛一方面是一次比赛，同时也更像是一场活动。从两个方面回答一下这个问题。&br&一，比赛层面&br&比赛含金量与级别不高，原本要邀请各大比赛特等奖队伍参赛，但最终实际邀请到的符合要求的队伍只有两支，其他几十只队伍均为一般队伍。比赛竞争不算激烈，获奖作品水平也一般（可能与企业评委不懂数学建模有关）。颁发的奖项的含金量显然是配不上“总决赛”的称呼。&br&二，活动层面&br&其实这个总决赛名为比赛，实际更像是一场企业人才见面会，给广大做数学建模的学生和有相关需求的企业之间搭建起了桥梁。一方面向企业推荐人才，一方面让学生了解企业需求。从这个角度来说，这个比赛是一次有益的尝试，数学建模不能只停留在学校层面，学到的知识必须有所应用（风控是一个比较大的应用领域）。不过想要做好这件事还是有很长的路要走，但愿以后能做得更好。
这个总决赛一方面是一次比赛，同时也更像是一场活动。从两个方面回答一下这个问题。 一，比赛层面 比赛含金量与级别不高，原本要邀请各大比赛特等奖队伍参赛，但最终实际邀请到的符合要求的队伍只有两支，其他几十只队伍均为一般队伍。比赛竞争不算激烈，获…
&p&谢邀。&/p&&p&感觉很幸运，数学建模就是这样，成绩出来之前，永远无法预测到自己拿什么奖。&/p&&p&以上。&/p&
谢邀。感觉很幸运，数学建模就是这样，成绩出来之前，永远无法预测到自己拿什么奖。以上。
首先你需要这些：&br&&img data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& src=&/v2-a97fdc1c4cf927c1baadff2_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-a97fdc1c4cf927c1baadff2_r.jpg&&&br&十万级无尘间，生物安全柜，超速离心机，医疗级冰箱，液氮罐，垃圾箱和生物安全废料处理阿姨&br&背景是繁华的中关村创业大街，所以你还需要好多程序猿分析数据，听说程序猿会激发娘化态&br&然后是这些&br&全套Eppendorf移液枪，PCR仪，全套QIAGEN克隆构建试剂盒&br&&img data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& src=&/v2-9f2dcd78f813c86c8e7ad8a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-9f2dcd78f813c86c8e7ad8a_r.jpg&&&br&最好还有这些&br&&img data-rawwidth=&960& data-rawheight=&720& src=&/v2-f45f94c59d04ea9ca340b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&/v2-f45f94c59d04ea9ca340b_r.jpg&&&br&&br&恒温培养箱，普通光学显微镜，还可以升级成超分辨！双光子！全反射！共聚焦！飞秒激光！荧光显微镜！拉曼光谱显微镜！扫描隧道显微镜！超低温冷冻电子显微镜！这样换各种姿势拍图都美美的～&br&然后去atcc买个菌株，顺便买了培养基&br&什么？灭菌锅？&br&我们需要灭菌锅？&br&培养基是出厂无菌的，枪头是整盒无菌的，水是超纯去离子水，ep管？不是Eppendorf的敢叫自己是ep管吗？&br&然后就可以接种了，每天拍拍图玩。&br&&br&娘化的话，去掉y染色体和加雌激素是不管用的，这可是粘菌??&br&所以只能大规模筛选喽！喜欢还可以搞个crispr/cas9编辑一下基因组，转基因成功了吗？娘化基因表达了吗？不用pcr，直接上流式单细胞再测个序，对，测他个100乘！转录组基因组表观遗传甲基化组，通通跑一遍，丢给程序猿去分析&br&&br&&br&如果学生物打断腿的箴言没有吓退你，那么欢迎报考????阿弥陀佛??&br&劝退一人胜发7篇nature??天灭伪化生，跳坑保平安??&br&期待着答主发一篇nature封面文章了！&br&&br&&br&Nature&br&The Nianglization of Slime Mould Colony&br&(Zhu Da
et al, nat, 2048)&br&&br&然后要请&a href=&///people/ecc0ec035f& data-hash=&ecc0ec035f& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$ecc0ec035f&&@vczh&/a& 来搞大新闻了！&br&&br&还有，要记得戴♂粉色♂口罩，穿上一身帅气白色西装，摆出中二模样&br&&img data-rawwidth=&720& data-rawheight=&960& src=&/v2-65482fcdf94cada4ee48d1e_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/v2-65482fcdf94cada4ee48d1e_r.jpg&&
首先你需要这些： 十万级无尘间，生物安全柜，超速离心机，医疗级冰箱，液氮罐，垃圾箱和生物安全废料处理阿姨 背景是繁华的中关村创业大街，所以你还需要好多程序猿分析数据，听说程序猿会激发娘化态 然后是这些 全套Eppendorf移液枪，PCR仪，全套QIAGEN克…
大一还要去参加高中生的建模竞赛?&br&当然有可能，并且很轻松，每年都有吹水的题目。
大一还要去参加高中生的建模竞赛? 当然有可能，并且很轻松，每年都有吹水的题目。
更新：&br&我已经委托我的同学 &a data-hash=&b326f0a9d1b949& href=&///people/b326f0a9d1b949& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@李欣宜& data-tip=&p$b$b326f0a9d1b949& data-hovercard=&p$b$b326f0a9d1b949&&@李欣宜&/a&重写按照我的思路写了篇更详细更科普性质的博客，充要性的证明都在里面，再加上知乎本身的排版不太友好，大家可以移步她的文章&a href=&///?target=https%3A/////& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这么早就说Hessian矩阵是半正定的，会不会给人一种凸函数的感觉？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&------------------------------------------&br&数分教材基本都会有关于凸性（1st-order condition和2nd-order condition)的严格证明吧，我现在寒假在家手上没有教科书，回校以后我再确认一下。&br&&br&&a class=&member_mention& href=&///people/2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-editable=&true& data-hash=&2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-title=&@grapeot& data-tip=&p$b$2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-hovercard=&p$b$2c261f1c1ea50cdec6c7f&&@grapeot&/a& 写的非常非常好，深入浅出，直观易懂。但是在1st-order condition到定义的部分的证明有点太简略了，也就是为什么&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+y+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%2B+%5Cleft%28+%7B%7B%5Cnabla+_x%7Df%5Cleft%28+x+%5Cright%29%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7By+-+x%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( y \right) \ge f\left( x \right) + \left( {{\nabla _x}f\left( x \right)} \right)\left( {y - x} \right)& eeimg=&1&&是函数为凸的充要条件。&br&&br&为方便起见我们首先假设&br&&ul&&li&函数在定义域上连续&/li&&li&函数在定义域上二阶可导&/li&&/ul&&br&现在要证明的是：&br&&ol&&li&definition &img src=&///equation?tex=+%5CRightarrow+& alt=& \Rightarrow & eeimg=&1&&1st-order condition&/li&&li&1st-order condition &img src=&///equation?tex=+%5CRightarrow+& alt=& \Rightarrow & eeimg=&1&&2nd-order condition &/li&&/ol&实际上这些都是充要关系，但是因为题主的问题并没有要求证明必要性我这里就偷懒只证明充分性了。&br&&br&首先凸函数（一元）的定义是：&br&任意属于定义域的两个自变量&img src=&///equation?tex=x_1& alt=&x_1& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=x_2& alt=&x_2& eeimg=&1&&，且对于任意&img src=&///equation?tex=%5C%5B0+%5Cle+%5Ctheta++%5Cle+1%5C%5D& alt=&\[0 \le \theta
\le 1\]& eeimg=&1&&，如果函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&满足&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Ctheta+%7Bx_1%7D+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29%7Bx_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Cle+%5Ctheta+f%5Cleft%28+%7B%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29f%5Cleft%28+%7B%7Bx_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\theta {x_1} + \left( {1 - \theta } \right){x_2}} \right) \le \theta f\left( {{x_1}} \right) + \left( {1 - \theta } \right)f\left( {{x_2}} \right)& eeimg=&1&&，那么函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&是凸函数。&br&&img src=&/4bedc2e9db2d1_b.png& data-rawwidth=&509& data-rawheight=&165& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&509& data-original=&/4bedc2e9db2d1_r.png&&直观的理解就是函数曲线上任意两点为短点的线段一定在函数曲线的上方。&br&多变量函数可以把自变量写成一个向量&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%3D+%7B%5Cleft%5B+%7B%7Bx_1%7D%2C%7Bx_2%7D%2C+%5Cldots+%2C%7Bx_n%7D%7D+%5Cright%5D%7D%5ET& alt=&{\bf{x}} = {\left[ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right]}^T& eeimg=&1&&，同理对于定义域的任意两个自变量&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1& alt=&{\bf{x}}_1& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2& alt=&{\bf{x}}_2& eeimg=&1&&，以及任意&img src=&///equation?tex=0+%5Cle+%5Ctheta++%5Cle+1& alt=&0 \le \theta
\le 1& eeimg=&1&&，如果函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&满足&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Ctheta+%7B%5Cbf%7Bx_1%7D%7D+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29%7B%5Cbf%7Bx_2%7D%7D%7D+%5Cright%29+%5Cle+%5Ctheta+f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7B%7Bx_1%7D%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\theta {\bf{x_1}} + \left( {1 - \theta } \right){\bf{x_2}}} \right) \le \theta f\left( {\bf{{x_1}}} \right) + \left( {1 - \theta } \right)f\left( {\bf{x_2}} \right)& eeimg=&1&&，那么函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&是凸函数。&br&&br&1st-order condition 一阶条件，还是以一元函数为例：&br&对于定义域内任意两个自变量&img src=&///equation?tex=x_1& alt=&x_1& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=x_2& alt=&x_2& eeimg=&1&&，函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&满足则函&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7Bx_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29+%2B+f%27%5Cleft%28+%7B%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7Bx_2%7D+-+%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right) + f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)& eeimg=&1&&数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&为凸函数。&br&&img src=&/50f7e89aa1bdbb3554780_b.png& data-rawwidth=&587& data-rawheight=&162& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&587& data-original=&/50f7e89aa1bdbb3554780_r.png&&直观的理解就是函数曲线始终位于任意一点的切线的上方。类似于 &a class=&member_mention& href=&///people/2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-editable=&true& data-hash=&2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-title=&@grapeot& data-tip=&p$b$2c261f1c1ea50cdec6c7f& data-hovercard=&p$b$2c261f1c1ea50cdec6c7f&&@grapeot&/a& 提到的二阶Taylor展开中必须保证二次项非负。推广到多变量函数同理可以写为&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Ccdot+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) \cdot \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)& eeimg=&1&&，其中梯度向量&img src=&///equation?tex=%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%3D+%5Cleft%28+%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_1%7D%7D%7D%2C%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_2%7D%7D%7D%2C+%5Cldots+%2C%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial+f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_n%7D%7D%7D%7D+%5Cright%29& alt=&\nabla f\left( {\bf{x}} \right) = \left( {\frac{{\partial f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_1}}},\frac{{\partial f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_2}}}, \ldots ,\frac{{\partial f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_n}}}} \right)& eeimg=&1&&也就是在该点对各个变量求偏导构成的向量。&br&&br&现在要证明的凸函数有&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7Bx_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29+%2B+f%27%5Cleft%28+%7B%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7Bx_2%7D+-+%7Bx_1%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right) + f'\left( {{x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)& eeimg=&1&&的性质。&br&&br&假设函数&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28++%5Ccdot++%5Cright%29& alt=&f\left(
\right)& eeimg=&1&&在定义域上是凸函数，那么有：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0Af%5Cleft%28+%7B%5Ctheta+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%26+%5Cle+%5Ctheta+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cleft%28+%7B1+-+%5Ctheta+%7D+%5Cright%29f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%5C%5C%0Af%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+%26%5Cle+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+%5C%5C%0Af%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%26%5Cle+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%7Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%5Ctheta+%7D+%26%5Cle+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
f\left( {\theta {{\bf{x}}_1} + \left( {1 - \theta } \right){{\bf{x}}_2}} \right) & \le \theta f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) + \left( {1 - \theta } \right)f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) \\
f\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right) &\le f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) + \theta \left( {f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)} \right) \\
f\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) &\le \theta \left( {f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)} \right) \\
\frac{{f\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)}}{\theta } &\le f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)
\end{align}& eeimg=&1&&&br&然后稍微变形可以得到&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B%7Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+-+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%5Ctheta+%7D& alt=&f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) + \frac{{f\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right) - f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)}}{\theta }& eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=g%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29& alt=&g\left( \theta
\right) = f\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right)& eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=g%5Cleft%28+0+%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&g\left( 0 \right) = f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)& eeimg=&1&&，那么有&br&&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B%7Bg%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29+-+g%5Cleft%28+0+%5Cright%29%7D%7D%7B%5Ctheta+%7D& alt=&f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) + \frac{{g\left( \theta
\right) - g\left( 0 \right)}}{\theta }& eeimg=&1&&，当&img src=&///equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&趋近于0时，有&img src=&///equation?tex=%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7B%5Ctheta++%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7Bg%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29+-+g%5Cleft%28+0+%5Cright%29%7D%7D%7B%5Ctheta+%7D+%3D+g%27%280%29& alt=&\mathop {\lim }\limits_{\theta
\to 0} \frac{{g\left( \theta
\right) - g\left( 0 \right)}}{\theta } = g'(0)& eeimg=&1&&这一项也就是函数&img src=&///equation?tex=%7Bg%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29%7D& alt=&{g\left( \theta
\right)}& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Ctheta%3D0& alt=&\theta=0& eeimg=&1&&处的导数值，&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Bg%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29%7D%5C%5D& alt=&\[{g\left( \theta
\right)}\]& eeimg=&1&&实际是&img src=&///equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D& alt=&\[f\left( {{{\bf{x}}}} \right)\]& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%3D+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&{\bf{x}} = {{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)& eeimg=&1&&的复合函数，容易求导得&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%7Bdg%7D%7D%7B%7Bd%5Ctheta+%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%5Cfrac%7B%7Bdf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D+%2B+%5Ctheta+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7Bd%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D%7D& alt=&\frac{{dg}}{{d\theta }} = \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)\frac{{df\left( {{{\bf{x}}_2} + \theta \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)} \right)}}{{d{\bf{x}}}}& eeimg=&1&&，由于只要求在&img src=&///equation?tex=%5Ctheta%3D0& alt=&\theta=0& eeimg=&1&&处的导数值所以容易得&img src=&///equation?tex=%7B%5Cleft.+%7B%5Cfrac%7B%7Bdg%7D%7D%7B%7Bd%5Ctheta+%7D%7D%7D+%5Cright%7C_%7B%5Ctheta++%3D+0%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%5Cfrac%7B%7Bdf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7Bd%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D%7D+%3D+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Ccdot+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&{\left. {\frac{{dg}}{{d\theta }}} \right|_{\theta
= 0}} = \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)\frac{{df\left( {{{\bf{x}}_2}} \right)}}{{d{\bf{x}}}} = \nabla f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) \cdot \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)& eeimg=&1&&，代入回不等式即可得到&br&&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29+%5Ccdot+%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_1%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {{{\bf{x}}_1}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_2}} \right) \cdot \left( {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right)& eeimg=&1&&&br&&br&从图形上也可以直观去理解这个推导结果，取函数曲线上两点作直线，被函数图像截断的那部分始终在曲线上方，而其他部分始终在曲线下方，那么这两个点取的无限接近，也就是通常我们说的“割线逼近切线”，那么切线就始终在曲线下方了，曲线不知道高到哪里去了。&br&&br&现在我们来做第二部分也就是用1st-order condition推导2nd-order condition的部分的证明了。&br&&br&2nd-order condition的内容就是凸函数的Hessian矩阵半正定。多元Taylor展开如果不熟悉的话可以参考&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Taylor%2527s_theorem%23Taylor.27s_theorem_for_multivariate_functions& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Taylor's theorem的公式自己理解，我这里就不详细展开了，直接写在&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bx_0%7D& alt=&\bf{x_0}& eeimg=&1&&点处二阶展开形式：&br&&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5ET%7D%7B%5Cbf%7BH%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\bf{x}} \right) = f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)^T}{\bf{H}}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)& eeimg=&1&&，这里的&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7BH%7D& alt=&\bf{H}& eeimg=&1&&即&img src=&///equation?tex=f%28%5Cbf%7Bx%7D%29& alt=&f(\bf{x})& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bx_0%7D& alt=&\bf{x_0}& eeimg=&1&&点处的Hessian矩阵，也可以写作&img src=&///equation?tex=%7B%5Cnabla+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D_0%7D+%5Cright%29& alt=&{\nabla ^2}f\left( {\bf{x}_0} \right)& eeimg=&1&&，&b&可以理解为把梯度向量推广为二阶形式，梯度向量本身也是Jacobian矩阵的一种特例。&/b&&br&&img src=&///equation?tex=f%28%5Cbf%7Bx%7D%29& alt=&f(\bf{x})& eeimg=&1&&的Hessian矩阵第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&行第&img src=&///equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&个元素为&img src=&///equation?tex=f%28%5Cbf%7Bx%7D%29& alt=&f(\bf{x})& eeimg=&1&&对第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个变量先求导，对第&img src=&///equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&个变量后求导的二阶导数，也就是&img src=&///equation?tex=%7B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D_%7Bij%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_i%7D%5Cpartial+%7Bx_j%7D%7D%7D& alt=&{{\bf{H}}_{ij}} = \frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}& eeimg=&1&&，写成矩阵形式就是：&br&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D+%3D+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+x_1%5E2%7D%7D%7D%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_1%7D%5Cpartial+%7Bx_2%7D%7D%7D%7D%26+%5Ccdots+%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_1%7D%5Cpartial+%7Bx_n%7D%7D%7D%7D%5C%5C%0A%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_2%7D%5Cpartial+%7Bx_1%7D%7D%7D%7D%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+x_2%5E2%7D%7D%7D%26+%5Ccdots+%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_2%7D%5Cpartial+%7Bx_n%7D%7D%7D%7D%5C%5C%0A+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%26+%5Cddots+%26+%5Cvdots+%5C%5C%0A%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_n%7D%5Cpartial+%7Bx_1%7D%7D%7D%7D%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+%7Bx_n%7D%5Cpartial+%7Bx_2%7D%7D%7D%7D%26+%5Cldots+%26%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cpartial+%5E2%7Df%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cpartial+x_2%5E2%7D%7D%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D%5C%5D& alt=&\[{\bf{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial x_1^2}}}&{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_1}\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_1}\partial {x_n}}}}\\
{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_2}\partial {x_1}}}}&{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial x_2^2}}}& \cdots &{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_2}\partial {x_n}}}}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_n}\partial {x_1}}}}&{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial {x_n}\partial {x_2}}}}& \ldots &{\frac{{{\partial ^2}f\left( {\bf{x}} \right)}}{{\partial x_2^2}}}
\end{array}} \right]\]& eeimg=&1&&&br&回到上面那个Taylor展开式，对于一个凸函数，我们可以试用1st-order condition得到&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\bf{x}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)& eeimg=&1&&对于任意的&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bx%7D& alt=&\bf{x}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D& alt=&{{{\bf{x}}_0}}& eeimg=&1&&都成立，那么二次项&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5ET%7D%7B%5Cbf%7BH%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+0& alt=&\frac{1}{2}{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)^T}{\bf{H}}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) \ge 0& eeimg=&1&&必须对于任意的两个自变量&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bx%7D& alt=&\bf{x}& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D& alt=&{{{\bf{x}}_0}}& eeimg=&1&&恒成立，我们这里以增量简写&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%3D+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D& alt=&\Delta {\bf{x}} = {\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}& eeimg=&1&&，这个增量可以任意取值，那么需要&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BH%7D%7D%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cge+0& alt=&\Delta {{\bf{x}}^T}{\bf{H}}\Delta {\bf{x}} \ge 0& eeimg=&1&&对于任意一个&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D& alt=&\Delta {\bf{x}}& eeimg=&1&&恒成立，而这就是&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7BH%7D& alt=&\bf{H}& eeimg=&1&&是半正定的充要条件。&br&&br&证毕。&br&&br&这个证明主要的就是三件事，弄清定义，弄清1st-order condition的推导，弄清2nd-order condition的推导。当然熟练求导也是很重要的。一个上/下凸函数的极值啊，一阶导数固然重要，但也要考虑二阶导数的行程。&br&&br&后记：&br&&ol&&li&如果Hessian矩阵是正定的（不是半正定），那么函数是严格的凸函数。&/li&&li&实际上我们说的问题可以扩展到广义函数，也就是定义域内函数值依然是函数值，而定义域外的自变量对应的函数值规定为正无穷，那么这些证明和推导依然是成立的。&/li&&li&对于凸性的要求并没有那么严格，这些定理中1st-order规定的只需要一阶可导，2nd-order只要求二阶可导。&/li&&li&因为我个人的书写习惯原因，自变量构成的向量空间我使用的列向量，也就是说变量很多的时候，&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D& alt=&{\bf{x}}& eeimg=&1&&是个高高的向量，其他地方可能会把它写成一个宽宽的行矩阵，注意对应矩阵都需要转置一下就行了，对于这个证明的本质没有太大的不同。&/li&&li&我认为一个做机器学习的学生没有必要对证明的每个细节了解清楚，计算机系开的数学类课程能听明白就行，数分不用太深入学，非要说ML和数学相关我也觉得只能算应用数学的分支，没必要对自己那么苛刻，会搬砖就行。&/li&&li&很惭愧，只做了一些微小的工作。&/li&&/ol&&br&&a class=&member_mention& href=&///people/bebfbd530d0a8b& data-editable=&true& data-hash=&bebfbd530d0a8b& data-title=&@木柄& data-tip=&p$b$bebfbd530d0a8b& data-hovercard=&p$b$bebfbd530d0a8b&&@木柄&/a& 题主在评论中提到：&br&&blockquote&还有一个问题是为什么不用考虑泰勒二阶以上的值，有没有可能二阶非正定，但是后面项把值“加回来了”，使得1st-order condition成立？&br&&/blockquote&这是一个很好的问题。&br&&br&完整的带Peano余项的二阶Taylor展开应该是：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0Af%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%26+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5ET%7D%7B%5Cbf%7BH%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+o%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%7D%5ET%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+%5C%5C%0A%26+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CDelta+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BH%7D%7D%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%2B+o%5Cleft%28+%7B%5CDelta+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%5ET%7D%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D+%5Cright%29%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
f\left( {\bf{x}} \right) & = f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)^T}{\bf{H}}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) + o\left( {{{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)}^T}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)} \right) \\
& = f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\Delta {\bf{x}} + \frac{1}{2}\Delta {{\bf{x}}^T}{\bf{H}}\Delta {\bf{x}} + o\left( {\Delta {{\bf{x}}^T}\Delta {\bf{x}}} \right)
\end{align}& eeimg=&1&&&br&但是这里不使用这个余项，因为这个余项在&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7C+%7B%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D+%5Cright%5C%7C+%5Cto+0& alt=&\left\| {\Delta {\bf{x}}} \right\| \to 0& eeimg=&1&&时相对于&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7C+%7B%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%7D+%5Cright%5C%7C+& alt=&\left\| {\Delta {\bf{x}}} \right\| & eeimg=&1&&是更高阶的无穷小，而一阶条件必须对于任意小的增量成立。大概是我的书写习惯让你产生了困惑，是我的不对我道歉，那我用&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%3D+t%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D& alt=&\Delta {\bf{x}} = t{\bf{d}}& eeimg=&1&&，这里抽象的说&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&表示长度，而&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bd%7D& alt=&\bf{d}& eeimg=&1&&可以近似于一个只有方向的向量。&br&&img src=&///equation?tex=%5C%5Bf%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_o%7D+%2B+t%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%7D+%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+t%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7Bt%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D%7B%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BHd%7D%7D+%2B+o%5Cleft%28+%7B%7Bt%5E2%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D& alt=&\[f\left( {{{\bf{x}}_o} + t{\bf{d}}} \right) = f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + t\nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right){\bf{d}} + \frac{{{t^2}}}{2}{{\bf{d}}^T}{\bf{Hd}} + o\left( {{t^2}} \right)\]& eeimg=&1&&根据1st-order condition &img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_o%7D+%2B+t%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+t%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D& alt=&f\left( {{{\bf{x}}_o} + t{\bf{d}}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + t\nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right){\bf{d}}& eeimg=&1&&可得&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%7B%7Bt%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D%7B%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BHd%7D%7D+%2B+o%5Cleft%28+%7B%7Bt%5E2%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+0%5C%5D& alt=&\[\frac{{{t^2}}}{2}{{\bf{d}}^T}{\bf{Hd}} + o\left( {{t^2}} \right) \ge 0\]& eeimg=&1&&，对于任意一个不为0的&img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&,可以写成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BHd%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B%7Bo%5Cleft%28+%7B%7Bt%5E2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%7Bt%5E2%7D%7D%7D+%5Cge+0& alt=&\frac{1}{2}{{\bf{d}}^T}{\bf{Hd}} + \frac{{o\left( {{t^2}} \right)}}{{{t^2}}} \ge 0& eeimg=&1&&，这个关系在&img src=&///equation?tex=%5C%5Bt+%5Cto+0%5C%5D& alt=&\[t \to 0\]& eeimg=&1&&的时候依然成立（注意1st-order condition 的限定词“任意”），此时&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7Bo%5Cleft%28+%7B%7Bt%5E2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%7Bt%5E2%7D%7D%7D+%3D+0%5C%5D& alt=&\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{o\left( {{t^2}} \right)}}{{{t^2}}} = 0\]& eeimg=&1&&，那么必须满足的条件就是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%7B%5Cbf%7Bd%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BHd%7D%7D+%5Cge+0& alt=&\frac{1}{2}{{\bf{d}}^T}{\bf{Hd}} \ge 0& eeimg=&1&&&br&&br&&b&关于一阶条件的必要性&/b&&br&&blockquote&“因为在每个很小的&x-x0&局部可以从hessian矩阵半正定推出1st-order condition成立，那么在整体的大范围上也是。&从直观感觉上来说显然是成立的,因为在切点附近切平面的点都在下方，那么切平面也就在下方了，所以1st-order condition成立&br&&/blockquote&我想了一下，这个思路应该是不可行的。只能保证在切线附近函数高于切线，而这个性质是无法累加到全局的。举个不太恰当的例子，函数&img src=&///equation?tex=y%3Dx%5E3& alt=&y=x^3& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%280%2C0%29& alt=&(0,0)& eeimg=&1&&处的切线是与函数曲线相交的，函数曲线上任意一点作切线也会和函数曲线相交。这最多只能证明某个点附近的凸性，不能证明1st-order condition所表达的一个区间或者整个定义域上的凸性。&br&&br&我这里简单的写一种必要性证明思路。现在已知在定义域内Hessian矩阵都是半正定的。那么在&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0& alt=&{\bf{x}}_0& eeimg=&1&&使用带有Lagrange余项的一阶Taylor展开式为&br&&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5ET%7D%7B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D_%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\bf{x}} \right) = f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)^T}{{\bf{H}}_{\bf{\xi }}}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)& eeimg=&1&&&br&其中&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D_%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{H}}_{\bf{\xi }}}\]& eeimg=&1&&为&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%3D+%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{\bf{x}} = {\bf{\xi }}\]& eeimg=&1&&点处的Hessian矩阵，&img src=&///equation?tex=%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D& alt=&{\bf{\xi }}& eeimg=&1&&为&img src=&///equation?tex=%5Cbf%7Bx%7D& alt=&\bf{x}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D& alt=&{{{\bf{x}}_0}}& eeimg=&1&&之间的一个值（闭区间），且因为&img src=&///equation?tex=%7B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D_%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D%7D& alt=&{{\bf{H}}_{\bf{\xi }}}& eeimg=&1&&是半正定的，所以必然有&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5ET%7D%7B%7B%5Cbf%7BH%7D%7D_%7B%5Cbf%7B%5Cxi+%7D%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+0%5C%5D& alt=&\[\frac{1}{2}{\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)^T}{{\bf{H}}_{\bf{\xi }}}\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right) \ge 0\]& eeimg=&1&&，因此对于任意的在定义域内的&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{\bf{x}}\]& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{{{\bf{x}}_0}}\]& eeimg=&1&&都有&img src=&///equation?tex=f%5Cleft%28+%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+%5Cright%29+%5Cge+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cnabla+f%5Cleft%28+%7B%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D+-+%7B%7B%5Cbf%7Bx%7D%7D_0%7D%7D+%5Cright%29& alt=&f\left( {\bf{x}} \right) \ge f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right) + \nabla f\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)\left( {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right)& eeimg=&1&&&br&&br&本来应该提供一下这个证明的直观解释，但是我今天有点累，懒得开作图包和打公式了，就放一张刚刚写的草稿权当解释了。以下为方便起见全部以一阶为例。且假设&img src=&///equation?tex=x_0%3Cx& alt=&x_0&x& eeimg=&1&&&br&我们可以类比0阶的带Lagrange余项Taylor展开，区间上必然有一个点的切线斜率正好是增长的方向。对于增函数来说，这个点的切线斜率始终大于0，所以函数的值必然是增大的。&br&函数的增量也就是红框中的部分，显然两部分应该是相等的，若这个等式成立那么说明&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&处的导数值必然小于区间&img src=&///equation?tex=%28x_0%2Cx%29& alt=&(x_0,x)& eeimg=&1&&内某个&img src=&///equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&&处的导数值，如果导函数单调减那这个条件就始终成立，反之如果始终成立也就是说这个区间内导函数始终单调减。&br&（以上说法非常不严谨，仅仅是为了给证明过程提供一个直观的解释）
更新： 我已经委托我的同学 重写按照我的思路写了篇更详细更科普性质的博客，充要性的证明都在里面，再加上知乎本身的排版不太友好，大家可以移步她的文章 -------------------------…
&p&短时间内解决问题的能力，包括文献检索、模型建立、编程求解和论文撰写，得到了大大的提升。。。&/p&&p&至于捏造作假现象，在所难免，相比而言，数学建模竞赛已经是大学竞赛中比较干净的比赛了，相比于其他类型的大学生竞赛。呵呵。。。&/p&
短时间内解决问题的能力，包括文献检索、模型建立、编程求解和论文撰写，得到了大大的提升。。。至于捏造作假现象，在所难免，相比而言，数学建模竞赛已经是大学竞赛中比较干净的比赛了，相比于其他类型的大学生竞赛。呵呵。。。
干货！&br&&br&&br&1、文件管理：&br&包括文件夹管理和文件名管理。&br&如果你认为自己终有一天不会在同期只打理一个项目，就不要让“1111.skp”、“asdfds.dwg”成为习惯。&br&&br&2、模型内层级管理：&br&管理好你的图层、组和组件。&br&不必精致到让每个人打开你的文件都能明白你的分组意图，但起码别因此而让自己为难。好的逻辑关系在任何领域都适用。&br&我亲眼见过包含几百个无效图层的dwg，导入su后手动封面儿的时候真的是分分钟想宰了那个画图的。&br&&br&3、模型内数据管理：&br&设置好合理的公差，和网格。让你的每一次落笔都有据可循。&br&别让不该重合的内容重合，别让永远看不到的面存在，别让模型有破洞。&br&10000个人里有9998个所建的模型原点落在世界坐标的数值能一直飙到小数点后9位，而这些人都在骂破软件怎么存个文件这么大这么慢……&br&不骂街的2个人里有一个是我，希望另一个是你。&br&&br&4、合理利用autosave+手动勤存盘&br&&br&5、无休止地学习，发现有帮助的学习资料及时点赞。
干货！ 1、文件管理： 包括文件夹管理和文件名管理。 如果你认为自己终有一天不会在同期只打理一个项目，就不要让“1111.skp”、“asdfds.dwg”成为习惯。 2、模型内层级管理： 管理好你的图层、组和组件。 不必精致到让每个人打开你的文件都能明白你的分组…
并不是。&br&&br&一方面，梯度并不是在任何时候都可以计算的。实际中很多问题的目标函数并不是可导的，这时梯度下降并不适用，这种情况下一般需要利用问题的结构信息进行优化，比如说Proximal gradient方法。甚至有些问题中目标函数的具体形式都不知道，更别谈求梯度，比如说Bayesian Optimization。&br&&br&另一方面，即使问题可导，梯度下降有时并不是最佳选择。梯度下降的性能跟问题的条件数相关，在条件数比较大时问题中梯度下降可能会非常慢。相对来说，以拟牛顿法为代表的二阶方法没有这个问题，虽然拟牛顿法在高维问题中会有计算量偏大的问题，但在很多场景还是比梯度下降有优势。再比如，在梯度计算代价比较大时，SGD及其变种会远比普通的梯度下降快。&br&&br&当然，总体来说，在机器学习的各种教科书中梯度下降是最常见的优化方法。主要因为它非常简单易懂，而且大多数情况下效率比较高，但同时也是因为机器学习中大多数问题的惩罚函数是比较smooth的。
并不是。 一方面，梯度并不是在任何时候都可以计算的。实际中很多问题的目标函数并不是可导的，这时梯度下降并不适用，这种情况下一般需要利用问题的结构信息进行优化，比如说Proximal gradient方法。甚至有些问题中目标函数的具体形式都不知道，更别谈求梯…
有一些现成的植物建模软件[1]。&br&&br&另外，建模要考虑其用途，如果只是作为记录，可使用三维扫瞄工具和软件，或是以图片生成模型的软件如 Agisoft PhotoScan [2]。&br&&br&&img src=&/b4bcb05e05a360c802dea_b.png& data-rawwidth=&770& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&770& data-original=&/b4bcb05e05a360c802dea_r.png&&图片来源：&a href=&///?target=https%3A///blog/imperfection-for-perfection& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Imperfection for Perfection: How To Create Photogrammetric Game-Ready Assets in UE4&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&如果想了解程序生成的植物，我再三推荐经典著作 [3]（可下载全文）。&br&&br&[1] &a href=&///?target=http%3A//vterrain.org/Plants/plantsw.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Plant Software Tools&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] &a href=&///?target=http%3A///& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Agisoft PhotoScan&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[3] Prusinkiewicz, Przemyslaw, and Aristid Lindenmayer. &i&The algorithmic beauty of plants&/i&. Springer Science & Business Media, 2012. &a href=&///?target=http%3A//algorithmicbotany.org/papers/%23abop& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Algorithmic Botany: Publications&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
有一些现成的植物建模软件[1]。 另外，建模要考虑其用途，如果只是作为记录，可使用三维扫瞄工具和软件，或是以图片生成模型的软件如 Agisoft PhotoScan [2]。 图片来源：
方案一（适用于准备时间紧迫的modeler）：&br&如果准备时间紧迫，而你们又零基础的话。。。&br&技术层面：首先买一本matlab的书，三名队员中至少有一人要会使用matlab进行简单的科学图表绘制，掌握基本数据处理技能和运筹优化功底。&br&模型层面：美赛相对比较开放，偶然性也比较大，高中生都有拿过O奖的历史，这也就说明美赛其实不需要用很多高大上的模型，当然，你用低端模型就要看运气了，如果你的思路和评委很契合的话，没准拿一个很高的奖项。建议浏览一下《数学模型》，姜启源写的，不要深究，看几个案例，知道什么题目需要使用什么模型即可，具体内容到比赛期间现学现卖。&br&论文写作层面：论文写作是重中之重，如果队伍里英文没有好的，也没必要再纠结英文水平了，看几篇优秀论文（不一定是O奖论文，O奖论文其实也有比较水的），主要是格式好的论文，学一下他们的写作格式。Word排版即可，Latex不熟悉尽量不要用，最终论文要转成pdf，注意格式转化后公式不要出现乱码。&br&=========================================================&br&方案二（适用于准备时间充分的modeler）：&br&技术层面：除了掌握matlab以外，建议学习Lingo，SAS，Python等，学会数据挖掘（美赛有可能有数据类问题）。&br&模型层面：除了掌握基本模型以外，对每一个模型都要有深刻的理解。建议多了解一些时下比较热门的算法。&br&论文写作层面：强烈建议参加1-2次训练赛，比如数学中国办的小美赛等，可以不报名，只是用他们的题目，全真模拟一次。
方案一（适用于准备时间紧迫的modeler）： 如果准备时间紧迫，而你们又零基础的话。。。 技术层面：首先买一本matlab的书，三名队员中至少有一人要会使用matlab进行简单的科学图表绘制，掌握基本数据处理技能和运筹优化功底。 模型层面：美赛相对比较开放，…
单身狗们一定无法体会这种被女朋友嫌（崇）弃（拜）的感受……&br&&img src=&/24f0edc0d904_b.jpg& data-rawwidth=&1640& data-rawheight=&464& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1640& data-original=&/24f0edc0d904_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/d22efefda3cd9b030083d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/d22efefda3cd9b030083d_r.jpg&&&img src=&/ee9fad06db_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&388& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/ee9fad06db_r.jpg&&&img src=&/c447d67edcb14b7f24540_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&170& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/c447d67edcb14b7f24540_r.jpg&&&img src=&/aabfcfe835c5_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&390& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/aabfcfe835c5_r.jpg&&&img src=&/2cabddb0a78a1be21bf8057f_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/2cabddb0a78a1be21bf8057f_r.jpg&&&img src=&/7cab5ced97fe46_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&173& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/7cab5ced97fe46_r.jpg&&&img src=&/0d7e3ce5f9fd1806e9bca_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&412& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/0d7e3ce5f9fd1806e9bca_r.jpg&&&img src=&/5adce5b61a32c_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/5adce5b61a32c_r.jpg&&&img src=&/36e02a7eeaf12e28c7de8a8176e7ecf9_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&174& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/36e02a7eeaf12e28c7de8a8176e7ecf9_r.jpg&&&img src=&/1a50dafeda_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/1a50dafeda_r.jpg&&&img src=&/a4bd3e6629758fef27e5958e2bdaff72_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&388& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/a4bd3e6629758fef27e5958e2bdaff72_r.jpg&&&img src=&/d6d463f81c966d8be70adc863caf7c74_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&173& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/d6d463f81c966d8be70adc863caf7c74_r.jpg&&&img src=&/8d4d8ffa9d4bebc6dd6777_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/8d4d8ffa9d4bebc6dd6777_r.jpg&&&img src=&/fe83a5d4ddc3d7f85afac8_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/fe83a5d4ddc3d7f85afac8_r.jpg&&&img src=&/99414cccc81fd1a30a120_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&170& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/99414cccc81fd1a30a120_r.jpg&&&img src=&/e48818c5cda5446ddb0a39b168d4dfe3_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&393& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/e48818c5cda5446ddb0a39b168d4dfe3_r.jpg&&　顺便提一句，玩无人机是吸引妹子目光的最佳途径，有图为证↓↓&br&&img src=&/a791609ace5ebcbf60546_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/a791609ace5ebcbf60546_r.jpg&&
单身狗们一定无法体会这种被女朋友嫌（崇）弃（拜）的感受…… 顺便提一句，玩无人机是吸引妹子目光的最佳途径，有图为证↓↓
这是我存的电子书，有几百本图形学相关的。建议下载到本地，谁知道啥时会被百度和谐了。&br&&a href=&///?target=http%3A///share/link%3Fshareid%3Duk%3D& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/share/lin&/span&&span class=&invisible&&k?shareid=&uk=&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
这是我存的电子书，有几百本图形学相关的。建议下载到本地，谁知道啥时会被百度和谐了。
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