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数列极限的求法探讨
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你可能喜欢点上方超级数学建模可加关注传播数学干货，学会理性的方式去思考问题Plateau's problem（普拉托问题）这个问题看上去非常简单，就是问在边界固定的情况下，什么样子的曲面面积最小。这在物理上是一个很显然的问题。根据普拉托定律，你拿个铁丝弯成边界，然后吹肥皂泡就好了。但是这个在数学上来说，是一门学科，几何测度论（Geometric measure theory）的核心问题。为什么说这个问题难呢？我们考虑一个简单的情形，即在三维空间中边界为圆弧的曲面。这个问题答案很显然，就是圆盘。但是从数学角度而言，这个不简单。通常的想法就是，我们可以把曲面视为一个从二维圆盘到三维空间的映射，然后利用变分法去考虑这个问题。但是这个方法有着很多毛病，其中最大的问题就是缺乏紧性。我们不妨试着跟着这个思路走一下，看看会出怎样的问题。1. 遍历所有可能的曲面，然后取一个面积趋近于最小（infimum）的序列；2. 找出一个收敛子序列；3. 证明极限就是我们想要的曲面，即最小曲面。在这三步计划中，第二步就会出现很大的问题。比如：【我是一个有理想的曲面，我的目标是要成为极小曲面】【嗯，我的面积缩小了。感觉好棒！】【我的面积又缩小了。可是为什么我感觉怪怪的呢……】【啊……肯定有……有什么不对……啊……怎么回事……我的面积明明缩小了啊……为什么……我感觉好奇怪啊……不行啊……为什么会变得这么奇怪呢……啊……】【图片来源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】【请绅士们严肃看待这些图片，不要想歪了！也不要“我好兴奋啊”！】换句话说，即使是曲面的面积在趋近于，你所取得序列也可能长得非常奇怪，有很多很多的触手（马猴烧酒的好朋友），甚至于这些触手可以触及空间中所有的有理点。换句话说，你最后得到的东西的闭包是整个看看，物理中多么显然的东西，在数学中就是这么的让人纠结。存在性就已经够难了，更别说正则性（即最小曲面是否光滑等等）……这个问题直到20世纪中期才有解决方法。具体方法涉及专业知识较多，我自己也不是很熟悉，就不细说了。其实这种问题很多。比如在给定条件（比如边值）下的拉普拉斯方程的解的问题。这个问题在物理上也是几乎显然的，因为电势就是解。但是在数学上这个问题并不简单，一般而言需要Sobolev空间等知识进行解决。【其实我真的不是来黑物理的 表打我(╯^╰)】请你们仔细思考一下：普拉托定律仅仅是经验性定律，根本无法保证在所有的情况下结论都成立。而数学就是将特殊到一般的过程。数学上关于曲面面积的定义，在上面第二步中，我说找到一族收敛子序列，其实是很不严谨的。因为我没有说是什么收敛，也没有说收敛极限在哪儿。事实上我们需要的极限必须是可求面积的曲面（请跟可求长度的曲线比较起来理解）。所以如何保证极限不会很奇怪，就是存在性的主要工作。via:等待飞翔（知乎）客官，欢迎您给作者打赏！有稿就来投：
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就是假设这个极限是存在为M（在取x.时）,在取极限的的去心邻域（X-ξ,X+ξ）内函数取值为f(x).若是成立则当取值x→x.则|M-f(x)|的值无限趋近于零（ξ为大于的实数）即证明|M-f(x)|
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乞丐, 积分 -1074, 距离下一级还需 1074 积分
金币3426 威望-90
19:15 上传
在线时间183 小时性别男最后登录注册时间帖子精华0阅读权限30UID105882
硕士, 积分 1298, 距离下一级还需 1702 积分
金币1298 威望0
第一行最后一个字母看不清啊
在线时间1185 小时性别保密最后登录注册时间帖子精华0阅读权限0UID20574
乞丐, 积分 -1074, 距离下一级还需 1074 积分
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数学张博 发表于
第一行最后一个字母看不清啊
那个字母是i
在线时间1185 小时性别保密最后登录注册时间帖子精华0阅读权限0UID20574
乞丐, 积分 -1074, 距离下一级还需 1074 积分
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jiangjun7116 发表于
裴礼文上面的？反正我答过，很简单的，自已找找。主要考虑方差就行了。
谢惠民上面的
在线时间1187 小时性别保密最后登录注册时间帖子精华0阅读权限30UID10706
硕士, 积分 2379, 距离下一级还需 621 积分
金币1979 威望8
本帖最后由 jiangjun7116 于
12:27 编辑
看了谢的书才知道书上说此题很难,说有很多方法,那我再写一遍证明.首先,我的想法很简单,现在每个k对应n个数,它们的和不变,每个k就当是一次试验,我相信它们的方差会越来越小,为了方便计算,我取平方差,略去1/n.也就是设Yk=∑(Xik-a)^2(a就是那个平均值,i是下标,k是上标,对i求和,下同)。现在我只要证明Yk收敛到0，就完成了证明。假设Yk=δ.Yk-Y(k+1)=(1/4)*∑(X(i+1)k-Xik)^2.Yk的值说明某项(Xik-a)^2≥δ/n.即|Xik-a|≥√δ/n.现在∑|X(i+1)k-Xik|≥max|Xik-Xjk|≥|Xik-a|≥√δ/n则某个i满足|X(i+)k-Xik|≥√δ/n^3.得YK-Y(K+1)≥(X(i+1)k-Xik)^2/4≥δ/4n^3=Yk/4n^3.也就是Y(k+1)≤λYk(λ=1-1/4n^3&1).递归.Yk≤λ^k*Y1/λ.证毕.我觉得,这是个很简单的证明.我是手机党，见谅呀。
在线时间2969 小时性别男专业方向GMT最后登录注册时间帖子精华3阅读权限100UID92627
金币19900 威望57
这是在谢惠民哪一页的？
我能想到的是动用双随机矩阵的理论，或矩阵磨光算子的理论等大型工具。
&思路真广！哥们你看书也好多啊，敬佩敬佩！！！&
在线时间1185 小时性别保密最后登录注册时间帖子精华0阅读权限0UID20574
乞丐, 积分 -1074, 距离下一级还需 1074 积分
金币3426 威望-90
herbertfederer 发表于
这是在谢惠民哪一页的？
我能想到的是动用双随机矩阵的理论，或矩阵磨光算子的理论等大型工具。 ...
谢的书上册第60页！
在线时间2969 小时性别男专业方向GMT最后登录注册时间帖子精华3阅读权限100UID92627
金币19900 威望57
chuangni 发表于
谢的书上册第60页！
我去找找那个题目看看。
提问的时候，最好把你所知道的背景东西都交代清楚，比如是在哪一本书，在哪里的，你已经有的想法等等。
这样可以节省别人的时间，也使得你的提问更有效。
有空看看“提问的智慧”
&我也希望大家在发帖的时候，写明出处，这样也便于大家搜索答案&
在线时间1187 小时性别保密最后登录注册时间帖子精华0阅读权限30UID10706
硕士, 积分 2379, 距离下一级还需 621 积分
金币1979 威望8
楼上的哥们，给个qq
在线时间2969 小时性别男专业方向GMT最后登录注册时间帖子精华3阅读权限100UID92627
金币19900 威望57
本帖最后由 herbertfederer 于
19:59 编辑
jiangjun7116 发表于
楼上的哥们，给个qq
我吗？ QQ 号不记得了，因为我把 QQ 号与
另外，我用的是 Linux 操作系统，不能用 QQ :-)，因为会崩溃，偶尔重启到 Windows 下上一下 :-)
找到 QQ 号了，是
钟家庆勋章
华罗庚勋章
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