数学，数列极限的求法，极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-07-05 23:43 标签： 数列极限的求法
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数列极限的定义
教材：数列极限的定义
目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地
“趋近”，然后初步学会用?
? N 语言来说明数列的极限，从而使学生在学
习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
一、实例：1?当
n 无限增大时，圆的内接正
n 边形周长无限趋近于圆周长
2?在双曲线
xy ? 1中，当
?? 时曲线与
x 轴的距离无限趋近于
二、提出课题：数列的极限
考察下面的极限
10 102 103
①“项”随
n 的增大而减少
②但都大于
n 无限增大时，相应的项
可以“无限趋近于”常数
①“项”随
n 的增大而增大
②但都小于
n 无限增大时，相应的项
可以“无限趋近于”常数
?1, ,? ,?,
①“项”的正负交错地排列，并且随
n 的增大其绝对值减小
n 无限增大时，相应的项
可以“无限趋近于”常数
引导观察并小结，最后抽象出定义：
一般地，当项数
n 无限增大时，无穷数列?an
an 无限地趋近于
an ? a 无限地接近于
0），那么就说数列?an
a 为极限，
a 是数列?an
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷
数列才有极限）
1 的极限为
2 的极限为
3 的极限为
（见教材）略
练习：（见教材）
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四、有些数列为必存在极限，例如：
a ? (?1) n ? 或a
? n 都没有极限。
下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？
3． a ? a n (a ? R)
? (?1) n?1 ? ．
解：1．?an
?：0,1,0,1,0,1,……
不存在极限
?： 2,0, ,0, ,0,??
3．?an ?： a,a ,a ,??
不存在极限
5．?an ?：先考察
无限趋近于
五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限
六、作业：
补充：写出下列数列的极限：1? 0.9,0.99,0.999,……
3? ?(?1) ? ?
5? an ? 1? ?中国最具影响力高考资源门户
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上海市历年高考数学试题汇编：数列与极限
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资料概述与简介
上海市03-08年高考数学试题汇编
　　　　　　　　崇明县教研室　　龚为民
数列与极限
（一）填空题
1、计算：=__________。（05上海理）
2、计算：=
.（07上海春）
4、 计算：
.(06上海春)
. （05上海春）
6、计算：＝
．（06上海理）
.（08上海春）
8、在等差数列中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10=
. (03上海理)
9、已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则
.（08上海春）
10、已知无穷数列前项和，则数列的各项和为
（08上海春）
11、若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=
. (03上海理)
12、设等比数列{an}(n∈N)的公比q＝－，且(a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1)＝，则a1＝
.（04上海理）
13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第
组. (写出所有符合要求的组号)
其中n为大于1的整数， Sn为{an}的前n项和.（04上海理）
14、已知点其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面
. (03上海理)
15、在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则_____________.（04上海春季）
16、用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。（05上海理）对第行，记，。（05上海理）例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，14，5形成的数阵中，=__________。（05上海理）
17、在等差数列中，当时，必定是常数数列。然而在等比数列中，对某些正整数、，当时，非常数数列的一个例子是____________.（04上海春季）
18、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有___________个点. （04上海春季）
19、 设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是
. （05上海春）
20、 已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时，
. （05上海春）
（二）选择题
21、设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误的是 （
）(03上海春季)
　　　(D)S6和S7均为Sn的最大值.
22、（08上海理）若数列｛an｝是首项为l，公比为a的无穷等比数列，且｛an｝各项的和为a，则a的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答]（　　　）
(三)解答题
23、(03上海理) 已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
24、（07上海春）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
(1) 设第2行的数依次为，试用表示的值；
(2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
25、（08上海春）直角坐标平面上一列点
，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.
（1） 判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，
判断△的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数满足，求证：
26、 (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分, 第2小题满分7分.
设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n, an+ Sn=4096.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{log2an}的前n项和为Tn.对数列{Tn},从第几项起Tn<－509? （06上海文）
(06上海春)
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
28、（06上海理）已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；
（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
29、 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01
30、（05上海理）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
31、（07上海理）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
32、(08上海理)已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝， an≥3))
⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式；
⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100 ；
⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比数列当且仅当d＝3m。
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