如图CD若M为线段AB的三等分点上两点,M为BC的中点,AD等于1,DB+DC等于8.求AM的长.

  作为一位无私奉献的人民教师,常常要写一份优秀的教案,借助教案可以更好地组织教学活动。那么你有了解过教案吗?下面是小编收集整理的数学勾股定理教案,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

  1、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)

  2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

  3、勾股定理的证明 常见方法如下:

  方法一: , ,化简可证.

  四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

  四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

  大正方形面积为 所以

  方法三: , ,化简得证

  1. 下列说法正确的是( )

  2. △ABC的三条边长分别是 、 、 ,则下列各式成立的是( )

  3.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )

  5.斜边的边长为 ,一条直角边长为 的直角三角形的面积是 .

  6.假如有一个三角形是直角三角形,那么三边 、 、 之间应满足 ,其中 边是直角所对的边;如果一个三角形的三边 、 、 满足 ,那么这个三角形是 三角形,其中 边是 边, 边所对的角是 .

  7.一个三角形三边之比是 ,则按角分类它是 三角形.

  8. 若三角形的三个内角的比是 ,最短边长为 ,最长边长为 ,则这个三角形三个角度数分别是 ,另外一边的平方是 .

  9.如图,已知 中, , , ,以直角边 为直径作半圆,则这个半圆的面积是 .

  10. 一长方形的一边长为 ,面积为 ,那么它的一条对角线长是 .

  11.如图,一个高 、宽 的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.

  12.一个三角形三条边的长分别为 , , ,这个三角形最长边上的高是多少?

  13.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.

  14.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?

  15.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点 离点 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ,需要爬行的最短距离是多少?

  16.中华人民共和国道路交通管理条例规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过 km/h.如图,,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为 m,这辆小汽车超速了吗?

  1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理.

  2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.

  3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

  1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明.

  2.难点:勾股定理的逆定理的证明.

  3.难点的突破方法:

  先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受.

  为学生搭好台阶,扫清障碍.

  ⑴如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角.

  ⑵利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决.

  ⑶先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.

  创设情境:⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?

  ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角形的判定进行对比,从勾股定理的逆命题进行猜想.

  例1(补充)说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?

  ⑴同旁内角互补,两条直线平行.

  ⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等.

  ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

  ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.

  分析:⑴每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用.

  ⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假.

  本题意图在于使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间的关系.

  例2(P82探究)证明:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

  分析:⑴注意命题证明的格式,首先要根据题意画出图形,然后写已知求证.

  ⑵如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角.

  ⑶利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决.

  ⑷先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.

  ⑸先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受.

  通过让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,锻炼学生的动手操作能力,再通过探究理论证明方法,使实践上升到理论,提高学生的理性思维.

  例3(补充)已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)

  求证:∠C=90°.

  分析:⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大.②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值.③判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形.

  ⑵要证∠C=90°,只要证△ABC是直角三角形,并且c边最大.根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可.

  本题目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大.②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值.③判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形.

  勾股定理是揭示三角形三条边数量关系的一条非常重要的性质,也是几何中最重要的定理之一。它是解直角三角形的主要依据之一,同时在实际生活中具有广泛的用途,“数学源于生活,又用于生活”正是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际操作,使学生获得较为直观的印象;通过联系比较、探索、归纳,帮助学生理解勾股定理,以利于进行正确的应用。

  本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起,让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系,发现两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积,从而发现勾股定理,这时教科书以命题的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多,教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。之后,通过三个探究栏目,研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题中的应用,使学生对勾股定理的作用有一定的认识。

  1、探索直角三角形三边关系,掌握勾股定理,发展几何思维。

  2、应用勾股定理解决简单的实际问题

  3学会简单的合情推理与数学说理

  引入两段中西关于勾股定理的史料,激发同学们的兴趣,引发同学们的思考。通过动手操作探索与发现直角三角形三边关系,经历小组协作与讨论,进一步发展合作交流能力和数学表达能力,并感受勾股定理的应用知识。

  三、 情感与态度目标

  通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习兴趣;在探究活动中,学生亲自动手对勾股定理进行探索与验证,培养学生的合作交流意识和探索精神,以及自主学习的能力。

  1、探索和证明勾股定理

  2熟练运用勾股定理

  一、创设情景,揭示课题

  1、教师展示图片并介绍第一情景

  以中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头为引,介绍周公向商高请教数学知识时的对话,为勾股定理的出现埋下伏笔。

  周公问:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高答:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出九九八十一,故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘.得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”

  2、教师展示图片并介绍第二情景

  毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

  二、师生协作,探究问题

  1、现在请你也动手数一下格子,你能有什么发现吗?

  2、等腰直角三角形是特殊的直角三角形,一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?

  3、你能得到什么结论吗?

  勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。解释: 由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的边称为股,斜边称为弦,所以,把它叫做勾股定理。

  四、勾股定理的证明

  赵爽弦图的证法(图2)

  第一种方法:边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、 ,斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为 的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式 ,化简得 。

  第二种方法:边长为 的正方形可以看作是由4个直角边分别为 、 ,斜边为 的

  角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为 的正方形“小洞”。

  因为边长为 的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式 ,化简得 。

  这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。

  五、应用举例,拓展训练,巩固反馈。

  勾股定理的灵活运用勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题,今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,你可以吗?试一试。

  例题:小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机,小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

  六、归纳总结1、内容总结:探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,利于勾股定理,解决实际问题

  2、方法归纳:数方格看图找关系,利用面积不变的方法。用直角三角形三边表示正方形的面积观察归纳注意画一个直角三角形表示正方形面积,再次验证自己的发现。

  让学生发表自己的意见,提出他们模糊不清的概念,给他们一个梳理知识的机会,通过提示性的引导,让学生对勾股定理的概念豁然开朗,为后面勾股定理的应用打下基础。

  我们班的同学很聪明。大家很快就通过数格子发现了勾股定理的规律。还有什么地方不懂的吗?跟大家一起来交流一下。请同学们课后在反思天地中都发表一下自己的学习心得。

  勾股定理的有关计算

  例1:(20xx年甘肃省定西市中考题)下图阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为.

  析解:图中阴影是一个正方形,面积正好是直角三角形一条直角边的平方,因此由勾股定理得正方形边长平方为:172-152=64,故正方形面积为6

  勾股定理解实际问题

  例2.(20xx年吉林省中考试题)图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm).其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图②.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.

  析解:彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

  的对角线DE的长度,连接DE,在Rt△DEF中,根据勾股定理,

  所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm

  与展开图有关的计算

  例3、(20xx年青岛市中考试题)如图,在棱长为1的正方体ABCD―A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离.

  析解:正方体是由平面图形折叠而成,反之,一个正方体也可以把它展开成平面图形,如图是正方体展开成平面图形的一部分,在矩形ACC’A’中,线段AC’是点A到点C’的最短距离.而在正方体中,线段AC’变成了折线,但长度没有改变,所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度.

  在矩形ACC’A’中,因为AC=2,CC’=1

  所以由勾股定理得AC’=.

  ∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

  1.易错点:本节同学们的易错点是:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.

  例4:在Rt△ABC中,a,b,c分别是三条边,∠B=90°,已知a=6,b=10,求边长c.

  错解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得c=剖析:上面解法,由于审题不仔细,忽视了∠B=90°,这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边,错把c当成了斜边.

  正解:因为a=6,b=10,根据勾股定理得,c=温馨提示:运用勾股定理时,一定分清斜边和直角边,不能机械套用c2=a2+b2

  例5:已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是

  错解:因为Rt△ABC的两边长分别为3和4,根据勾股定理得:第三边长的`平方是32+42=25

  剖析:此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边,而4有可能是斜边,因此要分类讨论.

  正解:当4为直角边时,根据勾股定理第三边长的平方是25;当4为斜边时,第三边长的平方为:42-32=7,因此第三边长的平方为:25或7.

  温馨提示:在用勾股定理时,当斜边没有确定时,应进行分类讨论.

  例6:已知a,b,c为

1、观察课本中的图片,你能找出它们的共同特征吗?

2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗?

3、动手做一做:把一张纸对折,然后从折叠处剪出一个图形,展开后会是一个什么样的图形?它有什么特征?

4、如果一个图形沿一条__________折叠,________两旁的部分能够完全________.这个图形就叫做轴对称图形,这条________就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条_________(成轴) 对称.

做下面的题,检验你预习的结果

7、下面的图形是轴对称图形吗?如果是,指出对称轴。

例1.我国的文字非常讲究对称美,分析图中的四个图案,图案( )有别于其余三个图案.

例2.如图是我国几家银行的标志,在这几个图案中是轴对称图形的有哪些?它们各有几

条对称轴,你能画出来吗?(小组讨论完成)

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