半角公式对任意角适用吗的适用范围

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  精选-新人教版必修四高中数学精讲优练课型第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换一课件


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3.2 倍角公式和半角公式对任意角适鼡吗 3.2.1 倍角公式 学习目标1.理解二倍角公式的推导过程知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.重点2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换.重点、难点 [自 主 预 习探 新 知] 二倍角公式 S2αsin 2α=2sin_αcos_α . C2αcos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α . T2αtan 2α= . 思考你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的 [提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2α是α的二倍角,8α是4α的二倍角,是的二倍角等等. [基础自测] 1.判断正确的打“√”错误的打“” 1二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. 2存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. 3对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立. [解析] 1.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式要求α≠+kπk∈Z且α≠+kπk∈Z,故此说法错误. 2√.当α=kπk∈Z时sin 2α=2sin α. 3.当cos 1cos4 -sin4 = =cos α. 2原式=cos =sin cos = =sin =, ∴原式=. 3原式=cos2750=cos 1500 =cos4360+60=cos 60= ∴原式=. 4原式= == == =-=-, ∴原式=-. [规律方法] 二倍角公式的灵活运用 1公式的逆用逆用公式这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有 2因为sin=sin =cos, 则已知条件可化为sincos= 即sin=, 所以sin= 所以cos 2α=.因为α∈,所以2α∈π,2π, 从而sin 2α=-=-, 所以tan 2α==-2 故tan 4α==-=. 利用二倍角公式证明 求证=sin 2α. 【导学号】 [思路探究] 可先化简左边,切化弦再利用二倍角公式化简出右边. 证明法┅ 左边== == =sin cos cos α=sin αcos α=sin 2α=右边. ∴原式成立. 法二 左边==cos2α= cos2αtan α=cos αsin α=sin 2α=右边. [规律方法] 证明问题的原则及一般步骤 1观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单如果两端都比较复杂,就将两端都化简即采用“两头凑”的思想. 2证明的一般步骤是先觀察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异达到證明的目的. [跟踪训练] 3.求证cos2A+B-sin2A-B=cos 2Acos 2B; [解] 左边=- = =cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B=cos 2Acos 2B=右边,∴等式成立. 倍角公式的灵活运用 [探究问题] 1.在化简+时如何靈活使用倍角公式 [提示] 在化简时,如果只是从α的关系去整理,化简可能感觉无从下手,但如果将α看成的倍角,可能会有另一种思路 原式=+ =+ ==. 2.如何求函数fx=2cos2x-1-2sin xcos xx∈R的最小正周期 [提示] =3+4sin=3-4sin, ∵≤x≤∴≤2x-≤, ∴sin∈ 所以当2x-=,即x=时 fx取最小值为3-2. 因为y=sin在上单调递增, 所以fx在上单调递减. [规律方法] 本题考查二倍角公式辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函數表达式化成形如y=Asinωx+φ的形式,再利用函数图象解决问题. [跟踪训练]

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