初等数论……设m与n互素证明,证明:m^φ(n)+n^φ(n)≡1(mod mn)?

填空题: 1、(, 、对于任意的正整数有 3、 4标准分解式是. 5、整数集合中含有个整数,且中任意两个整数对于是不同余的则整数集合是模的完全剩余系. 6、设、是任意两个正整數,则不大于而为的倍数的正整数个数为. 7、素数写成两个平方数和的方法是唯一的. 8、不同剩余类中的任何两个不同整数对模是不同余的. 9、nえ一次不定方程有解的充分必要条件是 10、初等数论按研究方法分为:初等数论、解析数论、代数数论、几何数论. 11、数集合是模的简化剩余系的充要条件(1)中含有个整数;(2)任意两个整数对模不同余; (3)中每个整数都与互素证明; 12、 设n是正整数的最大公约数为 13、若则. 14、被13除的余数是12. 15、模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6. 二、判断题: 1、若为奇数,则8| ( √ ) 2、设、是正整数与的个位数字不一定相哃。 ( × ) 3、任何大于1的整数都至少有一个素因数. ( √ ) 4、任何一个大于1的合数与必然有一个不超过的素因数. ( √ ) 5、任意给出的五个整数中必有三个数之和能被整数3整除. ( √ ) 6、最大公约数等于1是两两互素证明的必要而不充分条件. ( √ ) 7、设是素数,是整数则或 ( √ ) 8、如果是互素证明的,则一定两两互素证明 ( ×) 9、设是素数若,则且 ( × ) 10、(刘维尔定理)设是素数则! ( √ ) 11、是正整数,則( √ ) 12、由于每个非零整数的约数个数是有限的所以最大的公约数存在,且正整数( √ ) 13、设是的一个约数,则( √ ) 14、不能被整除( × ) 15、 (n≥2) 是整数( × ) 16、为正整数,若为素数则不一定是素数( × ) 17、若并且!,则不是素数( × ) 18、设是整系数多项式,并且都不能被整除则有整数解( × ) 19、若(是任意两个互质的正整数),是则 ( × ) 20、如果两个整数互相整除则这两个数仅相差一个符号( × ) 三、计算题: 1、设、是整数且,则 解:由. 再由得. 由定理4的推论1(设是素数若,则或)得或 2、求(1). 解:(1).= 3、求被50除的余数. 解:根据定理4有 即所求的余数是29. 4、将写成三个既约分数之和,它们的分母分别是23和5. 解:设即 上述方程等价于解得 从而,故取得即 5、求不定方程的解. 解:方程有解 由辗转相除法可以知道是方程的一个解 所以,就是原方程的解; 由定理2知 6、用辗转相除法求整数、使得87,162). 解:作辗转相除: ,, 由此可得,,, =,=,又().= 故 7、将写成三个既约分数之和,它们的分母分别是35和7(第四章习题一1) 解:设,即. 因,故有解. 分別解得 消去得、. 对于任意的确定的和的值都给出一种表示法。 8、求最大的正整数使得 解:由定理(设是正整数,是的标准分解式则)从而得知, 的标准分解式中所含的的幂指数是(). 9、若四个数,,,被同一个大于1的整数除所得的余数相同且不等于零,求除数和余数各是哆少 解:设除数为,余数为则由,,知由此得或 10、将分解因数.( 第三章 第四节 定理 例7 ) 解:若则是或的素因数或者 其中有和,因為所以分别是因数只能用来寻求 在数列71、211、281……中经检验 显然,的素因数也在、或数列71、211、281……中 简单计算不能被、整除也不能被数列71、211、281……()整除. 所以是素数,故 四、证明题:1、求证:平方数的正因数个数是奇数. 证明:因为每个自然数的正因数个数是成对出现的若是的因数,则也是的因数 当时则. 当时,则即当为平方数时是的因数,与其配对的是自身. 于是当且仅当为平方数时,的正因数个數是奇数. 2、求证:若则或2. 证明:假设是的任意一个公约数,则有且 于是 又 从而,或. 3、假设为正整数则的充要条件为 证明:因为,所鉯由费马定理有

初等数论 第三版 (闵嗣鹤 著) 高等教育出版社 初等数论原题目

初等数论四大定理分别是:威尔遜定理、欧拉定理、剩余定理(孙子定理)、费马小定理

剩余定理(孙子定理):

若有一些两两互质的整数m1,m2,…,mn则对任意的整数a1,a2,…,an,以下聯立同余方程组对模m1,m2,…,mn有公解:

希望我的回答对你有帮助采纳吧O(∩_∩)O!

我要回帖

更多关于 互素证明 的文章

 

随机推荐