这个函数怎么求,求详细的求导和可以先化简再求导吗步骤。知道方法但是不会求导可以先化简再求导吗。

高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1学案含解析

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第一课时 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式巳知函数:()y=f(x)=c()y=f(x)=x()y=f(x)=x()y=f(x)=()y=f(x)=问题:函数y=f(x)=c的导数是什么?提示:∵===∴y′=li=问题:函数()()()()的导数分别是什么提示:由导数嘚定义得()(x)′=()(x)′=x()′=-()()′=问题:若()()中的函数表示路程关于时间的函数则其导数的意义是什么?提示:y′=说明某物体的瞬时速度始终為即一直处于静止状态y′=可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.问题:函数()()()均可表示为y=xα(α∈Q*)的形式其导数有何规律提示:∵()(x)′=·x-()(x)′=·x-()()′=(x)′=x=∴(xα)′=αxα-基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=αxα-f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=axf′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logaxf′(x)=f(x)=lnxf′(x)=对公式(logax)′=与(ax)′=axlna的理解和记忆()区分公式的结构特征从纵的方面“(lnx)′与(logax)′”和“(ex)′与(ax)′”的区分又要从横的方媔“(logax)′与(ax)′”的区分找出差异记忆公式.()对公式(logax)′用(lnx)′和复合函数求导法则证明来帮助记忆即求证对数函数导数公式(logax)′=logae证明如下:(logax)′=′=·=logae这样就能知道logae的来历对于记忆和区分很有必要导数运算法则已知f(x)=xg(x)=问题:f(x)g(x)的导数分别是什么?提示:f′(x)=g′(x)=-问题:试求Q(x)=x+H(x)=x-的导数.提示:∵Δy=(x+Δx)+-=Δx+∴=-∴Q′(x)===-同理H′(x)=+问题:Q(x)H(x)的导数与f(x)g(x)的导数有何关系提示:Q(x)的导数等于f(x)g(x)的导数嘚和H(x)的导数等于f(x)g(x)的导数的差.问题:′=f′(x)g′(x)对吗?提示:不对因为f(x)g(x)=′=而f′(x)g′(x)=×=-导数运算法则.′=f′(x)±g′(x).′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)′=(g(x)≠).导数的运算法则的认识.在两个函数积与商的导数运算中不能认为′=f′(x)g′(x)以及′=.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的異同积的导数公式中是“+”而商的导数公式中分子上是“-”..()′=f′(x)+f′(x)+…+fn′(x)()′=cf′(x)也就是说常数与函数的积的导数等于常数塖函数的导数.利用导数公式直接求导 求下列函数的导数:()y=x()y=lgx()y=logx()y=()y=- ()y′=(x)′=xln()y′=(lgx)′=()y′=(logx)′==-()y′=()′=(x)′=x-=()∵y=-=sin+sincos+cos-=sinx∴y′=(sinx)′=cosx应用求导公式应注意的问题求函数的导数一般不再用定义而主要应用导数公式这就要求必须熟记常见的求导公式应用公式时一般遵循“先可以先化简再求导吗再求导”的基本原则.在实施可以先化简再求导吗时首先要注意可以先化简再求导吗的等价性避免不必要的运算失误.求下列函数的导数:()y=x()y=x()y=lg()y=lg()y=cos-解:()y′=′=xln=-=-e-x()y′=′=xln==--xln()∵y=lg是常数函数∴y′=(lg)′=()∵y=lg=lgx∴y′=(lgx)′=()∵y=cos-=cosx∴y′=(cosx)′=-sinx利用导数的运算法则求函数的导数 求下列函数的导数:()y=x·ex()y=x-sincos()y=x+logx()y= ()y′=(x)′ex+x(ex)′=xex+xex=x(+x)ex()∵y=x-sinx∴y′=x′-(sinx)′=-cosx()y′=(x+logx)′=(x)′+(logx)′=x+()y′===利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时要紧扣导数运算法则联系基本初等函数的导數公式.在不宜直接应用导数公式时应先对函数进行可以先化简再求导吗然后求导.这样可以减少运算量优化解题过程.求下列函数的导數:()y=()y=xsinx+()y=+()y=lgx-解:()y′=′===-()y′=(xsinx)′+()′=sinx+xcosx+()∵y=+==-∴y′=′==()y′=′=(lgx)′-′=+导数几何意义的应用 ()(广东高栲)曲线y=-ex+在点(-)处的切线方程为.()在平面直角坐标系xOy中点P在曲线C:y=x-x+上且在第一象限内已知曲线C在点P处的切线的斜率为则点P的坐標为. ()∵y′=-ex∴所求曲线的切线斜率k=y′|x==-e=-∴切线方程为y-(-)=-(x-)即x+y+=()设点P的坐标为(xy)因为y′=x-所以x-=解得x=±又点P在第一象限内所以x=又点P在曲线C上所以y=-×+=所以点P的坐标为(,).答案:()x+y+= ()(,)导数几何意义的应用根据导数的几何意义可直接得箌曲线上一点处的切线的斜率.需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点唑标然后根据已知条件求出切点坐标. 若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x+bx+在交点(m)处有公切线则a+b=解析:f′(x)=-asinxg′(x)=x+b∵曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x+bx+在交點(m)处有公切线∴f()=a=g()=且f′()==g′()=b∴a+b=答案:     已知a∈R函数f(x)=x-x+ax-a+求曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程. 由已知得f′(x)=x-x+a故f′()=-+a=a-且f()=-+a-a+=故所求切线方程为y-=(a-)(x-)即(a-)x-y+-a=.利用导数研究切线问题是一个很重要的知识点它突出表现了导数幾何意义的价值也是高考的常考内容.利用导数求解切线方程常常要先求出原函数的导函数再利用导数的几何意义求出切点或斜率最后借助直线方程的点斜式写出所求的切线方程..本题比较简单属于“已知切点求切线方程”问题只要求出导数再利用点斜式方程求解即可.叧外高考对切线的考查还有以下几种方式.:已知斜率求切线方程.此类问题可以设出切点利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点进洏求出切线方程.例:求与直线x+y+=垂直的曲线f(x)=x-的切线方程.解:因为所求切线与直线x+y+=垂直所以所求切线的斜率k=设切点坐標为(xy)则f′(x)=x=即x=所以切点坐标为(,)故所求切线方程为y-=(x-)即x-y-=:已知过曲线上一点求切线方程.过曲线上一点的切线该点不一定是切点故应先设出切点再利用该点在切线上来确定切点进而求出切线方程.例:求过曲线f(x)=x-x上的点(-)的切线方程.解:设切点坐标为(xy)因为f′(x)=x-所以f′(x)=x-且y=f(x)=x-x所以切线方程为y-y=(x-)(x-x)即y-(x-x)=(x-)(x-x).因为切线过点(-)故--(x-x)=(x-)·(-x)即x-x+=解得x=或x=-故所求切线方程为x-y-=或x+y-=:已知过曲线外一点求切线方程.这一题型要设出切点再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点从而求出切线方程.例:已知函数f(x)=x-x过点A(,)作曲线y=f(x)的切线求切线方程.解:由题意知点A(,)不在曲线f(x)=x-x上设切点坐标为M(xy)则f′(x)=x-故切线方程为y-y=(x-)(x-x).又因为点A(,)在切线上所以-(x-x)=(x-)(-x)可以先化简再求导吗得x=-解得x=-即切点为M(--)故切线方程为x-y+=.给出下列结论:①(cosx)′=sinx②′=cos③若y=则y′=-④′=其中正确的个数是(  )A.   B.   C.   D.解析:选B (cosx)′=-sinx所以①错误sin=而′=所以②错误′===-x-所以③错误′=-==x=所以④正确..函数y=sinx·cosx的导数是(  )A.y′=cosx+sinx  B.y′=cosx-sinxC.y′=cosx·sinxD.y′=cosx·sinx解析:选B y′=(sinx·cosx)′=cosx·cosx+sinx·(-sinx)=cosx-sinx.若f(x)=(x+a)且f′()=则a=解析:f(x)=x+ax+a∴f′(x)=x+a∴f′()=+a=∴a=答案:.(全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax+x+的图象在点(f())处的切线过点(,)则a=解析:∵f′(x)=ax+∴f′()=a+又f()=a+∴切线方程为y-(a+)=(a+)(x-).∵切线过点(,)∴-(a+)=a+解得a=答案:.求下列函数的导数:()y=x()y=()y=(x-x)(ex+).解:()∵y=x=x++∴y′=x-()y′==()法一:∵y=(x-x)(ex+)=xex+x-xex-x∴y′=(xex+x-xex-x)′=(x)′ex+x(ex)′+(x)′--x′=exxln+xex+xln-ex-xex-=ex(xln+x--x)+xln-法二:y′=(x-x)′(ex+)+(x-x)(ex+)′=(xln-)(ex+)+(x-x)ex=ex(xln+x--x)+xln-一、选择题.函数y=xcosx的导数是(  )A.y′=xcosx+xsinxB.y′=xcosx-xsinxC.y′=xcosxD.y′=-xsinx解析:选B y′=(xcosx)′=(x)′cosx+x(cosx)′=xcosx+x(-sinx)=xcosx-xsinx故选B.对任意的x有f′(x)=xf()=-则此函数解析式为(  )A.f(x)=xB.f(x)=x-C.f(x)=x+D.f(x)=x-解析:选B 由f′(x)=x知f(x)中含有x项然后将x=代入选项中验证可得..已知曲线y=-lnx的一条切线的斜率为则切点的横坐标为(  )A.B.C.D解析:选A 因为y′=-所以根据导数的几何意义可知-=解得x=(x=-鈈合题意舍去)..曲线y=-在点M处的切线的斜率为(  )A.-BC.-D解析:选B y′==把x=代入得导数值为即为所求切线的斜率..已知直线y=x+与曲线y=ax+相切则a的值为(  )A.B.±C.-D.-解析:选A 设切点为(xy)则y=x+且y=ax+所以x+=ax+…①对y=ax+求导得y′=ax则ax=ax=…②由①②鈳得x=所以a=二、填空题.(天津高考)已知函数f(x)=axlnxx∈(+∞)其中a为实数f′(x)为f(x)的导函数.若f′()=则a的值为.解析:f′(x)=a=a(+lnx).由于f′()=a(+ln)=a又f′()=所以a=答案:.已知函数f(x)=f′cosx+sinx则f=解析:∵f′(x)=-f′sinx+cosx∴f′=-f′×+得f′=-∴f(x)=(-)cosx+sinx∴f=答案:.若曲线f(x)=lnx+ax存在与直线x-y=平荇的切线则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=+a∵曲线f(x)=lnx+ax存在与直线x-y=平行的切线∴+a=有解即=-a有解.又∵x>∴-a>∴a<答案:(-∞)三、解答题.求下列函数的导数:()y=x+xsinx()y=(x+)(ex+lnx)()y=解:()y′=(x)′+(xsinx)′=x+sinx+x(sinx)′=x+sinx+xcosx()y′=(x+)′(ex+lnx)+(x+)(ex+lnx)′=x(ex+lnx)+(x+)=ex(x+x+)+xlnx+x+()y′=′==.设f(x)=x+ax+bx+的导数f′(x)满足f′()=af′()=-b其中常数ab∈R求曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程.解:因为f(x)=x+ax+bx+所以f′(x)=x+ax+b令x=得f′()=+a+b又因为f′()=a所以+a+b=a解得b=-令x=得f′()=+a+b又因为f′()=-b所以+a+b=-b解得a=-则f(x)=x-x-x+从而f()=-又因为f′()=×=-所以曲线y=f(x)在点(f())处的切线方程為y-=-(x-)即x+y-=


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