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微积分练习指数对数1
Miscellaneous Exercise 3 1、Given that y = 3(4)x+2, find, without using a calculator, the value of (a) y when x = -0.5, (b) x when y = 6. 2、Given that y = axb + 2 and that y = 5 when x = 2 and
y = 29 when x = 4, find the value of a and of b. 3、Given that log32 = 0.631, use the substitution y = 3x to solve the following equations: (a) 3x + 10 = 2(3x+1) (b) 9x + 2(3x) = 3x+2 - 12 4、Find x such that (a) 2ex = 3 - ex+1 (b) e-x(2e-x + 1) = 155、(a) Given that log3 (x-1) = 2, evaluate lg x. (b) Solve the equation lg (3x+2) + 6 lg 2 = 2 + lg (2x + 1) (c) Find the value of x which satisfies the equation equation e2x - ex -6 = 0. 6、(a) Given that 2x4y = 128 and that ln (4x - y) = ln 2 + ln 5, calculate the value of x and of y. (b) Solve the equation (i) lg (1 - 2x) - 2 lg x = 1 - lg (2 - 5x), (ii) 3y+1 = 4y. 7、(a) If log2 k = 2 log2 6 + log2 10 - 3, find k. (b) Solve the simultaneous equations 8*4y = 22x-1, 3y 3x= 81.8、Without using a calculator, solve the following equations: (a) (5x+1)2 = 0.2 5x(b) logx 27 = 1.5(c) log9(3x+1) = x2(d) log2 (logx 9) =1(e) log2 x log8 x = 12 (f) e4-x = e2*ex2-4 (i) log2 x2 - log2 (2x + 5) = 2 9、Solve the following equations: (a) 3x+1 = 8 (b) e3/x = 4 (c) logx 5 = 3(g) log3 (x-2) = 3 - log3 (x+4) (h) 43x + log2 (1/8) = 5 (j) log2 x = 4 logx 2 (d) lg (lnx) = 0.1 (e) 5x= e2x+1 (f) ln (e2x - 5) = 210、Given that log2 x = a and log8 y = b, express x2y and x/y as powers of 2. Given further that x2y = 32 and x/y = 0.5, find the value of a and of b. 11、Given that log3 2 = 0.631, evaluate log3 6, log3 (2.25) and log36.12、Given that log2 a = p, express log2 (4a3) and log8 a in terms of p. 13、Given that log2 x = p and log4 y = q, express the following in terms of p and q: (a) log2 xy (b) log4 x/y (c) logx 4y (d) x2y 14、Given that ln 2 = a and ln 5 = b, express ln310e in terms of a and b. Find also the number x such that ln x =b ? 2a . 215、Given that logb (xy2) = m and logb (x3y) = n, express logb y/x and logb xy in terms of m and n. 16、(a) Solve the equation 2 lg 5 + lg (x+1) = 1 + lg (2x+7). (b) A liquid cools from its original temperature of 90 ℃ to a temperature T ℃ in x minutes. Given that T = 90(0.98)x, find the value of (i) T when x = 10, (ii) x when T = 27. (c) The curves y = ex+1 and y = e4-2x meet at P. Find the coordinates of P. 17、(a) The mass, m grams, of a radioactive substance, present at time t days after first being observed, is given by the formula m = 24 e-0.02t. Find (i) the value of m where t = 30, (ii) the value of t when the mass is half of its value at t = 0. (b) Solve the equation lg (20+5x) - lg (10-x) = 1. (c) Given that x = lg a is a solution of the equation 102x+1 - 7(10x) = 26,find the value of a. 18、(a) Use a spreadsheet program such as Microsoft Excel to complete the following table:x y = 3+e-2x-20-15-10-505101520What is the value that y approaches as x becomes very large? Does y approach any value when x is very small? (b) Repeat (a) with y = 5+ 2e-x and y = 4 + e-x. (c) If y = 3 + 2ex, does y approach any value as x becomes very large? Does y approach any value as x becomes very small? (d) State the value that y = 5 - e3x approaches as x becomes very small. (e) If y = a + becx, how do the values of a, band c affect the value of y as x becomes (i) very large? (ii) very small? 19、(a) An object is heated in an oven until it reaches a temperature of X degrees Celsius. It is then allowed to cool. Its temperature, @ degrees Celsius, when it has been cooling for time t minutes, is given by the equation @ = 18 + 62e-1/8 . Find (i) the value of X, (ii) the value of @ when t = 16, (iii) the value of t when @ = 48. State the value which @ approaches as t becomes very large. (b) Solve the equation (i) lg x + lg [5(x+1)] = 2, (ii) 3y+1 = 0.45. 20、The equation 22x+p - 2x+p = 9(2x) - 2 has a solution x = 1. Find (a) the value of p, (b) the other solution of the equation. 21、(a) Solve the following equations: (i) logx-2 (2x2 - 10x + 13) = 1 (ii) 2 logy 5 - logy 10 + logy 40 = 4 (b) Given that lg (xy) - 2 = 3 lg y - lg x + lg 4, express y in terms of x. *22、(a) Find the positive values of x for which 9x2/3 + 4x-2/3 = 37. (b) If lg 2 = m, express log8 5 in terms of m. *23、(a) Solve the equation lg (3x - 24-x) = 2 +1/3 lg 8 - x/4 lg 16. (b) Without using a calculator, evaluate (lg 5)2 + lg 2 lg 50. 24、(a) Given that pn = 16 p, express log2 p in terms of n. (b) Without using a calculator, solve 4x - 3x+1/2 = 3x-1/2 - 22x-1. *25、(a) Given that ln y = 2 ln (x-1) + c and that y = 20 when x = 3, find the value of x when y = 45. (b) Given that a&b&1 and 2 loga b + 4 logb a = 9, find b in terms of a. *26、(a) Solve for x in terms of a given that loga 5 + 2 = loga (x+a) +loga (x-3a). (b) Find the exact value of x if (3x)lg 3 = (4x)lg 4. 27、(a) The result ' lg xy = lg x + lg y ' is not always true! Give a pair of values of x and y such that the result will not hold. (Hint: Notice that, under 2(c) in the ' Important Notes ' ,we state the result with a certain qualification! ) Similarly, give values of x, y and r such that the following results fail: (i) lg (x/y) = lg x - lg y (ii) lg xr = r lg x (b) Are the following results true for any real value of a, m and n? If not,give a counter example (i.e. Give values of a, m and n which cause the result to fail ). (i) ma = na → m = n (ii) am = an → m=n 28、Use a graph plotter to plot the graph of (a) y = 10x, (b) y = ex, (c) y = 2x, (d) u = lg x, (e) y = ln x, (f) y = log2 x. Note the shapes of the graphs in (a) to (c) and (d) to (f). Do you notice any relationship between the graphs of (a) and (d), (b) and (e)? (We shall examine the graphs of exponential and logarithmic functions and their relationship more closely in Chapter 19.)
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函数f（x）=（x-1）（log3a）2-6（log3a）x+5x+7在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则a的取值范围是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
当a=1时，f（x）=5x+7在区间[0，1]上的函数值恒为正实数当a≠1时，要使函数f（x）=（x-1）（log3a）2-6（log3a）x+5x+7在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则有f(0)＞0f(1)＞0，即-(log3a)2+7＞0-6log3a+12＞0，解得a∈(3-7，9)故答案为(3-7，9)
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f（x）=（x-1）（log3a）2-6（log3a）x+5x+7在区间[0，1]上的函数值恒..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性对数函数的图象与性质
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
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高一数学：精品教案(全套打包)(新人教必修一)[1]
-1-人教版高中数学必修 1 精品教案(整套) 课题：集合的含义与表示(1) 课 型：新授课 教学目标： （1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3） 掌握常用数集及其记法； 教学重点：掌握集合的基本概念； 教学难点：元素与集合的关系； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月 15 日 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个 新的概念――集合（宣布课题） ，即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element） ，一些元素组成的总体叫 集合（set） ，也简称集。 3. 思考 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1） 大于 3 小于 11 的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数； （4） 方程 x2 ? 1 ? 0 的解； （5） 某校 2007 级新生； （6） 血压很高的人； （7） 著名的数学家； （8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9） 全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个 体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系； （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）A，记作：a∈A-1--2-（2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to）A，记作： a?A 例如，我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合，则有 3∈A 4 ? A，等等。 6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C?表示，集合的 元素用小写的拉丁字母 a,b,c,?表示。 ７．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集） ，记作 N； * 正整数集，记作 N 或 N+； 整数集，记作 Z； 有理数集，记作 Q； 实数集，记作 R； （二）例题讲解： 例 1．用“∈”或“ ? ”符号填空： （1）8 （3）-3 N； Z； （2）0 （4） 2 N； Q； A，美国 A，印（5）设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 度 A，英国 A。 例 2． 已知集合 P 的元素为 1, m, m2 ? 3m ? 3 ,若 3∈P 且-1 ? P， 求实数 m 的值。（三）课堂练习： 课本 P5 练习 1； 归纳小结： 本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对 集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。 作业布置： 1．习题 1.1，第 1- 2 题； 2．预习集合的表示方法。 课后记:-2--3-课题：集合的含义与表示(2) 课 型：新授课 教学目标： （1）了解集合的表示方法； （2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同 的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：掌握集合的表示方法； 教学难点：选择恰当的表示方法； 教学过程： 一、复习回顾： １．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及 表示。 ２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系 二、新课教学 （一） ．集合的表示方法 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多 不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。 (1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ?? ”括起来表示集合的方法叫列举法。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?； 说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考 虑元素的顺序。 2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复； 4．集合中的元素可以数，点，代数式等； 5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的 规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为?1, 2,3, 4,5,......?-3--4-例 1． （课本例 1）用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合； （2）方程 x2=x 的所有实数根组成的集合； （3）由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合；? x ? 2 y ? 0; （4）方程组 ? 的解组成的集合。 ?2 x ? y ? 0.思考 2： （课本 P4 的思考题）得出描述法的定义： （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变 化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 征。 一般格式： ? x ? A p ( x )?如：{x|x-3&2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x直角三角形}，?； 说明： 1．课本 P5 最后一段话； 2 ．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如 {(x,y)|y= x2+3x+2} 与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例 如：{x整数}，即代表整数集 Z。 辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法 {实数集}，{R}也是错误的。 例 2． （课本例 2）试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程 x2―2=0 的所有实数根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合；? x ? y ? 3; （3）方程组 ? 的解。 ? x ? y ? ?1.思考 3： （课本 P6 思考） 说明： 列举法与描述法各有优点， 应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。-4--5-（二） ．课堂练习： １．课本 P6 练习 2； ２．用适当的方法表示集合：大于 0 的所有奇数 ３．集合 A＝{x|4 ∈Z，x∈N}，则它的元素是 x?3。４．已知集合 A＝{x|-3&x&3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x 2 +1，x∈A}，则集 合 B 用列举法表示是 归纳小结： 本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。 作业布置： 1． 习题 1.1，第３．4 题； 2． 课后预习集合间的基本关系. 课后记:课题：集合间的基本关系 课 型：新授课 教学目标： （1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用 Venn 图表达集合间的关系； （4）了解空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；能利用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清楚属于与包含的关系。 教学过程： 一、复习回顾： 1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？ （1）10 以内 3 的倍数； （2）1000 以内 3 的倍数 2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。 思考 1：类比实数的大小关系，如 5&7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小” 关系呢？ 二、新课教学 （一）. 子集、空集等概念的教学： 比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1） A ? {1, 2,3} ， B ? {1, 2,3, 4,5} ； （2） C ? {汝城一中高一 班全体女生} ， D ? {汝城一中高一 班全体学生} ；-5--6-（3） E ? {x | x是两条边相等的三角形} ， F ? {x x是等腰三角形} 由学生通过观察得结论。 1． 子集的定义： 对于两个集合 A，B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（subset） 。 记作：A ? B(或B ? A)读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含（contains）A 当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：BA如： （1）中 A ? B 2． 集合相等定义： 如果 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，则集合 A 与集合 B 中的元 素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，即若 A ? B且B ? A ，则 A ? B 。 如（3）中的两集合 E ? F 。 3． 真子集定义： 若集合 A ? B ， 但存在元素 x ? B, 且x ? A ， 则称集合 A 是集合 B 的真子集 （proper subset） 。记作： A B（或 B A） 读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A） 如： （1）和（2）中 A B，C D； 4． 空集定义： 不含有任何元素的集合称为空集（empty set） ，记作： ? 。 用适当的符号填空： ? ?； ? ?0? ； 0 ??? ； ?0? ??? 思考 2：课本 P7 的思考题 5． 几个重要的结论： （1） 空集是任何集合的子集； （2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一个集合是它本身的子集； （4） 对于集合 A，B，C，如果 A ? B ，且 B ? C ，那么 A ? C 。 说明： 1． 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系，集合与集合是“包含于” “不 包含于”的关系； 2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。 （二）例题讲解： 例 1．填空：-6--7-（1） ．2N；{2}2N；?A;（2） ．已知集合 A＝{x|x －3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x&8,x∈N}，则 A B； A C； {2} C； 2 C 例 2． （课本例 3）写出集合 {a, b} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。例 3．若集合 A ? x x 2 ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x mx ? 1 ? 0? , B1 1 （m=0 或 或- ） 3 2??A，求 m 的值。例 4．已知集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 且 A ? B ， 求实数 m 的取值范围。 （m ?3）（三）课堂练习： 课本 P7 练习 1，2，3-7--8-归纳小结： 本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及 符号；并用 Venn 图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。 作业布置： 1． 习题 1.1，第 5 题； 2． 预习集合的运算。 课后记:课题：集合的基本运算㈠ 课 型：新授课 教学目标： （1）理解交集与并集的概念； （2）掌握交集与并集的区别与联系； （3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。 教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。 教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 教学过程： 一、复习回顾： 1．已知 A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则 A S；{x|x∈S 且 x ?A}= 。 2．用适当符号填空： 0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x 2 ＋1＝0,x∈R} {0} {x|x&3 且 x&5}； {x|x&6} {x|x&－2 或 x&5} ； {x|x&－3} {x&2} 二、新课教学 （一）. 交集、并集概念及性质的教学： 思考 1．考察下列集合，说出集合 C 与集合 A，B 之间的关系： （1） A ? {1,3,5} ， B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ； （2） A ? {x x是有理数} ， B ? {x x是无理数},C ? ?x x 是实数? ；由学生通过观察得结论。 6． 并集的定义： 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 集合 B 的并集（union set） 。记作：A∪B（读作： “A 并 B” ） ，即 A ? B ?? x x? , 或 Ax ? B? 用 Venn 图表示：这样，在问题（1） （2）中，集合 A，B 的并集是 C，即 A? B = C 说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。-8--9-讨论：A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系？ A∪A＝ , A∪Ф ＝ , A∪BB∪AA∪B＝A ? , A∪B＝B ? . 巩固练习（口答） ： ①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则 A∪B＝ ; ②．设 A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则 A∪B＝ ; ③．A＝{x|x&3}，B＝{x|x&6}，则 A∪B＝ 。 7． 交集的定义： 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫作集合 A、B 的交集（intersection set） ，记作 A∩B（读“A 交 B” ）即： A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B} 用 Venn 图表示： （阴影部分即为 A 与 B 的交集）常见的五种交集的情况：B AA(B)ABABAB讨论： A∩B 与 A、B、B∩A 的关系？ A∩A＝A∩Ф ＝A∩BB∩AA∩B＝A ? A∩B＝B ? 巩固练习（口答） ： ①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则 A∩B＝ ; ②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则 A∩B＝ ; ③．A＝{x|x&3}，B＝{x|x&6}，则 A∩B＝ 。 （二）例题讲解： 例 1． （课本例 5）设集合 A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? ? x 1 ? x ? 3? ，求 A∪B． 变式：A＝{x|-5≤x≤8}例 2． （课本例 7）设平面内直线 l1 上点的集合为 L1，直线 l2 上点的集合为 L2，试用 集合的运算表示 l1 ， l2 的位置关系。-9-- 10 -例 3．已知集合 A ? x x 2 ? mx ? m2 ? 19 ? 0 ,C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m，同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ？????B ? y y2 ? 5 y ? 6 ? 0??（m=-2）（三）课堂练习： 课本 P11 练习 1，2，3 归纳小结： 本节课从实例入手，引出交集、并集的概念及符号；并用 Venn 图直观地把两 个集合之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用。 作业布置： 3． 习题 1.1，第 6，7； 4． 预习补集的概念。 课后记:课题：集合的基本运算㈡ 课 型：新授课 教学目标： （1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义， （2）正确理解补集的概念，正确理解符号“ CU A ”的涵义； （3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。 教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点：补集的概念。- 10 -- 11 -教学过程： 一、复习回顾： 1． 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？ 2． 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？ 3． 交集和补集的有关运算结论有哪些？ 4． 讨论：已知 A＝{x|x＋3&0}，B＝{x|x≤－3}，则 A、B 与 R 有何关系？ 二、新课教学 思考 1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学}，则 U、A、B 有何关系？ 由学生通过讨论得出结论： 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质的教学： 8． 全集的定义： 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个 集合为全集（universe set）,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 9． 补集的定义： 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集（complementary set） ，记作： CU A ， 读作： “A 在 U 中的补集” ，即CU A ? ?x x ?U , 且x ? A?用 Venn 图表示： （阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集）讨论：集合 A 与 CU A 之间有什么关系？→借助 Venn 图分析A? C , A? U C A? , U U ( C UC ) A ? A U A? ? CUU ? ?, CU ? ? U 巩固练习（口答） ： ①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ ，则 CU A = ， CU B = ； ②．设 U＝{x|x&8，且 x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则 CU A ＝ ③．设 U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则 CU A ＝ 。；（二）例题讲解： 2， 3?，B ? ?3， 4， 5， 6? ， 例 1． （课本例 8） 设集 U ? ? x x是小于9的正整数? , A ? ?1， 求 CU A ，CU B ．- 11 -- 12 -例 2．设全集 U ? ? x x ? 4? , 集合A ? ? x ?2 ? x ? 3? , B ? ? x ?3 ? x ? 3? ，求 CU A ，A ? B ， A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。（结论： CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ）例 3．设全集 U 为 R， A ? x x 2 ? px ? 12 ? 0 ,??B ? x x 2 ? 5x ? q ? 0 ，若??(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ，求 A ? B 。 （答案： ?2,3,4? ）- 12 -- 13 -（三）课堂练习： 课本 P11 练习 4 归纳小结： 补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn 图） 。 作业布置： 习题 1.1A 组，第 9，10；B 组第 4 题。 课后记:课题：集合复习课 课 型：新授课 教学目标： （1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质； （2）掌握集合的有关术语和符号； （3）运用性质解决一些简单的问题。 教学重点：集合的相关运算。 教学难点：集合知识的综合运用。 教学过程： 一、复习回顾： 1． 提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？ 2． 提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？ 3． 提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？ 3． 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？ 4． 集合问题的解决方法：Venn 图示法、数轴分析法。 二、讲授新课： （一） 集合的基本运算： 例 1：设 U=R，A={x|-5&x&5},B={x|0≤x&7},求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B)。 （学生画图→在草稿上写出答案→订正）- 13 -- 14 -说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。 例 2： 全集 U={x|x&10， x∈N ? }， A ? U， B ? U， 且 （C U B） ∩A={1,9}， A∩B={3}， （C U A) ∩(C U B)={4,6,7}，求 A、B。说明：列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 （二）集合性质的运用： 例 3：A={x|x 2 +4x=0}，B={x|x 2 +2(a+1)x＋a 2 －1=0}, 若 A∪B=A，求实数 a 的值。- 14 -- 15 -说明：注意 B 为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要 注意判别式。 例 4：已知集合 A={x|x&6 或 x&-3}，B={x|a&x&a+3}，若 A∪B=A，求实数 a 的取值范 围。（三）巩固练习： 1．已知 A={x|-2&x&-1 或 x&1}，A∪B={x|x＋2&0}，A∩B={x|1&xQ3}，求集合 B。 2．P={0,1}，M={x|x ? P}，则 P 与 M 的关系是 。3．已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为 40、31 人，两项均 不及格的为 4 人，那么两项都及格的为 人。 4．满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 个。5．已知集合 A∪B＝{x|x&8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则 B 的子集的集合 一共有多少个元素？ 6．已知 A＝{1,2,a}，B＝{1,a 2 }，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的 a 值。 7．设 A＝{x|x 2 －ax＋6＝0}，B＝{x|x 2 －x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求 A∪B。 8．集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2，0，1}，求 p、q。 9． A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且 A ? B ={3，7}，求 B。 10．已知 A={x|x&-2 或 x&3}，B={x|4x+m&0}，当 A ? B 时，求实数 m 的取值范围。 归纳小结： 本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其有 关运算，并进一步巩固了 Venn 图法和数轴分析法。 作业布置：- 15 -- 16 -5． 课本 P14 习题 1.1 B 组题； 6． 阅读 P14～15 材料。 课后记:课题：函数的概念（一） 课 型：新授课 教学目标： （1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻 画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的三要素； （3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、复习准备： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关 系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有 唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的概念： 思考 1： （课本 P15）给出三个实例： A．一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高 度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 。 B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是 南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。 （见课本 P15 图） C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生 活质量的高低。 “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。 （见课 本 P16 表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之 间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集 A 中的每一个 x，按 照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f : A? B函数的定义：- 16 -- 17 -设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function） ，记作：y ? f ( x), x ? A其中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作定义域（domain） ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域（range） 。显然，值域是集合 B 的 子集。 （1）一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R，值域也是 R； （2）二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的定义域是 R，值域是 B；当 a&0 时，值域? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ? ? ? ? B ? ?y y ? ? ；当 a0 时，值域 B ? ? y y ? ?。 4a ? 4a ? ? ? ? ? ? ? k （3）反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ，值域是 ? y y ? 0? 。 x （二）区间及写法： 设 a、b 是两个实数，且 a&b，则： （1） 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a,b） ； （3） 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，表示为 ?a, b? , ? a, b? ；这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 （数轴表示见课本 P17 表格） 符号“∞”读“无穷大” ； “－∞”读“负无穷大” ； “+∞”读“正无穷大” 。我 们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? ,? ??, b?, ? ??, b? 。巩固练习： 用区间表示 R、{x|x≥1}、{x|x&5}、{x|x≤-1}、{x|x&0} （学生做，教师订正） （三）例题讲解： 例 1．已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ，求 f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。变式：求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3,x ?{?1,0,1,2} 的值域- 17 -- 18 -例 2．已知函数 f ( x) ? x ? 3 ?1 ， x?22 （1） 求 f (?3), f ( ), f ? f ? ?3? ? 的值； 3 （2） 当 a&0 时，求 f (a), f (a ? 1) 的值。（四）课堂练习： 1． 用区间表示下列集合： ? x x ? 4? , ? x x ? 4且x ? 0? , ?x x ? 4且x ? 0, x ? ?1? , ?x x ? 0或x ? 2? 2． 已知函数 f(x)=3x 2 ＋5x－2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本 P19 练习 2。 归纳小结： 函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 作业布置： 习题 1.2A 组，第 4，5，6； 课后记:课题：函数的概念（二） 课 型：新授课- 18 -- 19 -教学目标： （1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示； （2）掌握复合函数定义域的求法； （3）掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点：复合函数定义域的求法。 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数 y＝ 数？为什么？ 2. 用区间表示函数 y＝ax＋b（a≠0） 、y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0） 、y＝ (k≠0)的定 义域与值域。 二、讲授新课： （一）函数定义域的求法： 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式 y=f(x)，而没 有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集 合。 例 1：求下列函数的定义域（用区间表示） ⑴ f(x)=x ?3 x ?223x 2 与 y＝3x 是不是同一个函 xk x；⑵ f(x)= 2x ? 9 ；⑶ f(x)= x ? 1 －x ； 2? x学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组） *复合函数的定义域求法： （1）已知 f(x)的定义域为（a,b） ，求 f(g(x))的定义域； 求法：由 a&x&b，知 a&g(x)&b，解得的 x 的取值范围即是 f(g(x))的定义域。 （2）已知 f(g(x))的定义域为（a,b） ，求 f(x)的定义域； 求法：由 a&x&b，得 g(x)的取值范围即是 f(x)的定义域。 例 2．已知 f(x)的定义域为[0,1]，求 f(x＋1)的定义域。- 19 -- 20 -例 3．已知 f(x-1)的定义域为[-1,0]，求 f(x+1)的定义域。巩固练习： 1．求下列函数定义域： （1） f ( x) ? 1 ? x ?1 ； x?4（2 ） f ( x ) ?1 1? 1 x2． （1）已知函数 f(x)的定义域为[0，1]，求 f ( x 2 ? 1) 的定义域； （2）已知函数 f(2x-1)的定义域为[0，1]，求 f(1-3x)的定义域。 （二）函数相同的判别方法： 函数是否相同，看定义域和对应法则。 例 5． （课本 P18 例 2）下列函数中哪个与函数 y=x 相等？ （1） y ? ( x )2 ； （3） y ? x 2 ； （2） y ? 3 x3 ； x2 （4） y ? 。 x（三）课堂练习： 1．课本 P19 练习 1，3； 2．求函数 y＝－x 2 ＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。 归纳小结： 本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。 作业布置： 习题 1.2A 组，第 1，2；- 20 -- 21 -课后记:课题：函数的表示法（一） 课 型：新授课 教学目标： （1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法） ，了解三种表示方法 各自的优点； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。- 21 -- 22 -教学难点：分段函数的表示及其图象。 教学过程： 一、复习准备： 1．提问：函数的概念？函数的三要素？ 2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课： （一）函数的三种表示方法： 结合课本 P15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点： 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 1.2.1 的实例（1） ； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如 1.2.1 的实例（2） ； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如 1.2.1 的实例（3） ； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。 例 1． （课本 P19 例 3）某种笔记本的单价是 2 元，买 x (x∈{1，2，3，4，5})个笔 记本需要 y 元．试用三种表示法表示函数 y=f(x) ．例 2： （课本 P20 例 4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测 试的成绩及班级平均分表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 87 91 92 88 95 甲 90 76 88 75 86 80 乙 68 65 73 72 75 82 丙 班平均 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 分 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．- 22 -- 23 -（二）分段函数的教学： 分段函数的定义： 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这 样的函数通常叫做分段函数，如以下的例 3 的函数就是分段函数。 说明： （1） ．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定 自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象 时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出； （2） ．分段函数只是一个函数，只不过 x 的取值范围不同时，对应法则不相同。 例 3： （课本 P21 例 6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5 公里以内（含 5 公里） ，票价 2 元； （2）5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里的俺公里计算） 。 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数 解析式，并画出函数的图象。例 4．已知 f(x)＝ ??2 x ? 3, x ? ( ??,0)2 ?2 x ? 1, x ? [0,??)，求 f(0)、f[f(-1)]的值- 23 -- 24 -（三）课堂练习： 1．课本 P23 练习 1，2； 2．作业本每本 0.3 元，买 x 个作业本的钱数 y（元） 。试用三种方法表示此实例中 的函数。 3．某水果批发店，100kg 内单价 1 元／kg，500kg 内、100kg 及以上 0.8 元／kg， 500kg 及以上 0.6 元／kg。试用三种方法表示批发 x 千克与应付的钱数 y（元） 之间的函数 y=f(x)。 归纳小结： 本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函 数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。 作业布置： 课本 P24 习题 1.2 A 组第 8，9 题； 课后记:课题：函数的表示法（二） 课 型：新授课 教学目标： （1）了解映射的概念及表示方法； （2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段 函数的解析式。 教学重点：求函数的解析式。 教学难点：对函数解析式方法的掌握。 教学过程： 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？- 24 -- 25 -3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集” 弱化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间 的对应关系，即映射（mapping） 。 二、讲授新课： （一） 映射的概念教学： 定义： 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对 于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么 就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（mapping） 。记作：f : A?B讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？ 例 1． （课本 P22 例 7）以下给出的对应是不是从 A 到集合 B 的映射？ （1） 集合 A={P | P 是数轴上的点}，集合 B=R，对应关系 f：数轴上的点与它所代 表的实数对应； （2） 集合 A={P | P 是平面直角坐标系中的点}，B= ?( x, y ) x ? R, y ? R? ，对应关 系 f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3） 集合 A={x | x 是三角形}，集合 B={x | x 是圆}，对应关系 f：每一个三角形都 对应它的内切圆； （4） 集合 A={x | x 是新华中学的班级}，集合 B={x | x 是新华中学的学生}，对应 关系：每一个班级都对应班里的学生。例 2．设集合 A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从 A 到 B 的映射一共有几个？并将它们 分别表示出来。（二）求函数的解析式： 常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。 例 3．已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数 f(x)的解析式。 （待定系数法）- 25 -- 26 -例 4．已知 f(2x+1)=3x-2，求函数 f(x)的解析式。 （配凑法或换元法）1 例 5．已知函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ，求函数 f(x)的解析式。 （消去法） x例 6．已知 f ( x) ? x ? 1 ，求函数 f(x)的解析式。（三）课堂练习： 1．课本 P23 练习 4； 1 ? x 1 ? x2 )? 2．已知 f ( ，求函数 f(x)的解析式。 1 ? x 1 ? x2- 26 -- 27 -1 1 3．已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ，求函数 f(x)的解析式。 x x 4．已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ?1 ，求函数 f(x)的解析式。 归纳小结： 本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。 作业布置： 7． 课本 P24 习题 1.2B 组题 3，4； 8． 阅读 P26 材料。 课后记:课题：函数的表示法（三） 课 型：新授课 教学目标： （1）进一步了解分段函数的求法； （2）掌握函数图象的画法。 教学重点：函数图象的画法。 教学难点：掌握函数图象的画法。 。 教学过程： 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数 的图象，并在黑板上演示它们的画法。 2. 讨论：函数图象有什么特点？ 二、讲授新课： 例 1．画出下列各函数的图象： (?2 ? x ? 2) （1） f ( x) ? 2 x ? 2　　 （2） f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 3　　 (0 ? x ? 3) ；- 27 -- 28 -例 2． （课本 P21 例 5）画出函数 f ( x) ? x 的图象。例 3．设 x ? ? ??, ??? ，求函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 x 的解析式，并画出它的图象。变式 1：求函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 x 的最大值。变式 2：解不等式 2 x ?1 ? 3 x ? ?1。例 4．当 m 为何值时，方程 x2 ? 4 x ? 5 ? m 有 4 个互不相等的实数根。- 28 -- 29 -变式：不等式 x2 ? 4 x ? 5 ? m 对 x ? R 恒成立，求 m 的取值范围。（三）课堂练习： 1．课本 P23 练习 3； ?1 (0 ? x ? 1) ? ，　 2．画出函数 f ( x) ? ? x 的图象。 ? ( x ? 1) ? x，　 归纳小结： 函数图象的画法。 作业布置： 课本 P24 习题 1.2A 组题 7，B 组题 2； 课后记:- 29 -- 30 -课题：函数及其表示复习课 课 型：复习课 教学目标： （1）会求一些简单函数的定义域和值域； （2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法； （3）会解决一些函数记号的问题． 教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。 教学难点：对函数记号的理解。 教学过程： 一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法） 1．说出下列函数的定义域与值域： y ? 2．已知 f ( x) ?8 ； y ? x2 ? 4x ? 3 ； 3x ? 5 y? 1 ； x ? 4x ? 321 ，求 f ( 2) ， f ( f (3)) ， f ( f ( x)) ； x ?1 ? 0 ( x ? 0) ? 3．已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ， ? x ? 1( x ? 0) ?（１）作出 f ( x) 的图象； （２）求 f (1), 　f (?1), 　f (0), 　f { f [ f (?1)]} 的值 二、讲授典型例题： 例１．已知函数 f ( x) =4x+3，g(x)=x 2 , 求 f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．例 2．求下列函数的定义域： （１） y ?( x ? 1) 0 x ?x；（２） y ?x2 ? 4 ； x2 ? 2 x ? 3- 30 -- 31 -例３．若函数 y ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 围． （ a ??1,9? ）2 的定义域为Ｒ，求实数 a 的取值范 a ?1例４． 中山移动公司开展了两种通讯业务： “全球通” ，月租 50 元，每通话 1 分 钟，付费 0.4 元； “神州行”不缴月租，每通话 1 分钟，付费 0.6 元. 若一个月内通 话 x 分钟，两种通讯方式的费用分别为 y1 , y2 （元） ． （１） ．写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式？ （２） ．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ （３） ．若某人预计一个月内使用话费 200 元，应选择哪种通讯方式？- 31 -- 32 -三．巩固练习：1 1．已知 f ( x) =x 2 ?x+3 ，求：f(x+1)， f( )的值； x 2．若 f ( x ? 1 的解析式； ） ? x ? 2 x ,求函数 f ( x） 3．设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10，图象过 点(0,3)，求 f ( x) 的解析式．４．已知函数 f ( x) ?3x ? 1 的定义域为Ｒ，求实数 a 的取值范围． ax ? ax ? 33 2归纳小结： 本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法． 作业布置： 9． 课本 P２４习题 1.２ B 组题１，３； 10． 预习函数的基本性质。 课后记:课题：单调性与最大（小）值 （一） 课 型：新授课 教学目标： 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明 和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变 的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨 下列 变化规律：- 32 -- 33 -①随 x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数 f(x)= x＋2、f(x)= x 2 的图像。 （小结描点法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据 f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x 2 (x&0)的图象进行讨论： 随 x 的增大，函数值怎样变化？ 当 x 1 &x 2 时，f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性 质？ ③定义增函数： 设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1，x2，当 x1&x2 时，都有 f(x1)&f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数（increasing function） ④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义：如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上 具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？ 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 2.教学增函数、减函数的证明： 例 1．将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时，能卖出 500 个，若此商品每个 涨价 1 元，其销售量减少 10 个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？1、 例题讲解 例 1（P29 例 1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数 的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？- 33 -- 34 -例 2： （P29 例 2）物理学中的玻意耳定律 p ?k （k 为正常数） ，告诉我们对于一定 V量的气体，当其体积 V 增大时，压强 p 如何变化？试用单调性定义证明.例 3．判断函数 y ?2 在区间[2，6] 上的单调性 x ?1三、巩固练习： 1.求证 f(x)＝x＋ 的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。1 x2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。3.讨论 f(x)=x 2 －2x 的单调性。推广：二次函数的单调性- 34 -- 35 -4.课堂作业：书 P32、 2、3、4、5 题。四、小结： 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤：设 x 1 、x 2 ∈给定区间，且 x 1 &x 2 ； →计算 f(x 1 )－f(x 2 )至最简 →判断差的符号→下结论。 五、作业：P39、1―3 题 课后记：课题： 单调性与最大（小）值 （二） 课 型：新授课 教学目标： 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、 判别方法， 理解函数的最大 （小） 值及其几何意义. 教学重点：熟练求函数的最大（小）值。 教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。 教学过程： 一、复习准备： 1.指出函数 f(x)＝ax 2 ＋bx＋c (a&0)的单调区间及单调性，并进行证明。 2. f(x)＝ax 2 ＋bx＋c 的最小值的情况是怎样的？ 3.知识回顾：增函数、减函数的定义。 二、讲授新课： 1.教学函数最大（小）值的概念： ① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？ f ( x) ? ?2 x ? 3 ， f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? [ ?1, 2] ； f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ， f ( x) ? x2 ? 2x ? 1x ?[?2, 2]- 35 -- 36 -② 定义最大值：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x ∈I，都有 f(x)≤M；存在 x0∈I，使得 f(x0) = M. 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值 （Maximum Value） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义． → 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试 举例说明方法. 2、 例题讲解： 例 1（学生自学 P30 页例 3）例 2． （P31 例 4）求函数 y ?2 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． x ?1例 3．求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值探究： y ?3 3 的图象与 y ? 的关系？ x?2 x（解法一：单调法；解法二：换元法）三、巩固练习： 1. 求下列函数的最大值和最小值： （1） y ? 3 ? 2x ? x2 , x ?[? , ] ； （2） y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |5 3 2 2- 36 -- 37 -2.一个星级旅馆有 150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房 率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立 函数模型→求解最大值） 房价 住房率（%） （元） 160 55 140 65 120 75 100 853、 求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值.四、小结： 求函数最值的常用方法有： （1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变 量的取值范围确定函数的最值． （2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． （3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值． 五、作业：P39 页 A 组 5、B 组 1、2 后记：- 37 -- 38 -课题：奇偶性 课 型：新授课 教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点：熟练判别函数的奇偶性。 教学难点：理解奇偶性。 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：什么叫增函数、减函数？ 2.指出 f(x)＝2x 2 －1 的单调区间及单调性。 →变题：|2x 2 －1|的单调区间 3.对于 f(x)＝x、f(x)＝x 2 、f(x)＝x 3 、f(x)＝x 4 ，分别比较 f(x)与 f(－x)。 二、讲授新课： 1.教学奇函数、偶函数的概念： ①给出两组图象： f ( x) ? x 、 f ( x) ? 、 f ( x) ? x3 ； f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | . 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征 ② 定义偶函数：一般地，对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x，都有 f (? x) ? f ( x) ， 那么函数 f ( x) 叫偶函数（even function）. ③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义. （如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f (? x) ? ? f ( x) ） ，那么函数 f ( x) 叫 奇函数。 ④ 讨论： 定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？ （定义域关于原点对称； 整体性） ⑤ 练习：已知 f(x)是偶函数，它在 y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。 （假如 f(x)是奇函数呢？） 1. 教学奇偶性判别： 例 1．判断下列函数是否是偶函数． （1） f ( x) ? x21 xx ?[?1, 2]- 38 -- 39 -（2） f ( x) ?x3 ? x 2 x ?1例 2．判断下列函数的奇偶性 （1） f ( x) ? x4 （2） f ( x) ? x5 （3） f ( x) ? x ?1 x（4） f ( x ) ?1 ． x2?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 （5） g ( x) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2（6） y ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 14、教学奇偶性与单调性综合的问题： ①出示例： 已知 f(x)是奇函数， 且在(0,+∞)上是减函数， 问 f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已 知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论） ③变题： 已知 f(x)是偶函数， 且在[a,b]上是减函数，试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性， 并给出证明。 三、巩固练习： 1、判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝3 x2、f(x)＝x＋ 、 f(x)＝1 xx 、f(x)＝x 2 ,x∈[-2,3] 2 1? x2.设 f(x)＝ax 7 ＋bx＋5，已知 f(－7)＝－17,求 f(7)的值。- 39 -- 40 -3.已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x)－g(x)＝1 ，求 f(x)、g(x)。 x ?14.已知函数 f(x)， 对任意实数 x、 y， 都有 f(x+y)＝f(x)＋f(y)， 试判别 f(x)的奇偶性。 (特 值代入) 5.已知 f(x)是奇函数， 且在[3,7]是增函数且最大值为 4， 那么 f(x)在[-7,-3]上是 （ 函数，且最 值是 。 ）四、小结 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义 法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是 否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合 函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质． 五、作业 P39 页 A 组 6、B 组 3 后记：- 40 -- 41 -课题：函数的基本性质运用 课 型：练习课 教学目标： 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性） ，能应用函数的基 本性质解决一些问题。 教学重点：掌握函数的基本性质。 教学难点：应用性质解决问题。 教学过程： 一、复习准备： 1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小 值？ 2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的 定义？ 二、教学典型习例: 1.函数性质综合题型： ①出示例 1：作出函数 y＝x 2 －2|x|－3 的图像，指出单调区间和单调性。 分析作法：利用偶函数性质，先作 y 轴右边的，再对称作。→学生作 →口答 → 思考：y＝|x 2 －2x－3|的图像的图像如何作？→ ②讨论推广：如何由 f ( x) 的图象，得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象？ ③出示例 2：已知 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0) 上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练 ④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？ （偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致） 2. 教学函数性质的应用： 1 ①出示例 ：求函数 f(x)＝x＋ (x&0)的值域。 x 分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机 作图与结论推广 ②出示例：某产品单价是 120 元，可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件，写出销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式，并求当降价多少 个元时，销售金额最大？最大是多少？ 分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？ 小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。- 41 -- 42 -2.基本练习题： 1、判别下列函数的奇偶性：y＝ 1 ? x ＋ 1 ? x 、 y＝ ? ??? x 2 ? x( x ? 0)2 ? ? x ? x( x ? 0)（变式训练：f(x)偶函数，当 x&0 时，f(x)=….，则 x&0 时，f(x)=? ）2、求函数 y＝x＋ 2 x ? 1 的值域。x?2 单调区间并证明。 x ?1 cx ? d （定义法、图象法； 推广： 的单调性） ax ? b3、判断函数 y=4、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。（思路：先计算差，再讨论符号情况。 ）- 42 -- 43 -三、巩固练习： 1.求函数 y=ax 2 ? b 为奇函数的时，a、b、c 所满足的条件。 （c=0） x?c2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何 f(2－a)－f(a－3)&0。求 a 的范围。4. 求二次函数 f(x)=x 2 －2ax＋2 在[2,4]上的最大值与最小值。四、小结： 本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质 解题 五、作业 P44 页 A 组 9、10 题 B 组 6 题 后记：课题：指数与指数幂的运算(一) 课 型：新授课 教学目标： 了解指数函数模型背景及实用性必要性 ,了解根式的概念及表示方法 . 理解根 式的概念 教学重点：掌握 n 次方根的求解. 教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景- 43 -- 44 -教学过程： 一、复习准备： 1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（ a 2 、 a3 ） 2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根. → 记法： a ,3a二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景： ① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25G，1990 年人口数为 a 万，则 x 年后人口 数为多少万？ 实例 2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8 次） 计算：若报纸长 50cm，宽 34cm，厚 0.01mm，进行对折 x 次后，问对折后的面积 与厚度？ ② 书 P52 问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析，我国未来 20 年 GDP（国 内生产总值）年平均增长率达 7.3G， 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍？ 书 P52 问题 2. 生物死亡后，体内碳 14 每过 5730 年衰减一半（半衰期） ，则死 亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时碳 14 的关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义？ ③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物 变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算： ① 复习实例蕴含的概念：(?2)2 ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根；33 ? 27 ，3 就叫 27 的立方 根. 探究：(?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的？次方根, 依此类推,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根：一般地，若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? 简记： n a . 例如： 23 ? 8 ，则 3 8 ? 2 ③ 讨论：当 n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3 27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 , 记： x ? n a 当 n 为偶数时， 正数的 n 次方根情况？ 例如: (?3)4 ? 81 , 81 的 4 次方根就是 ?3 , 记： ? n a 强调：负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④ 练习： b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ； b3 ? a , 则 a 的 3 次方根为 . n ⑤ 定义根式：像 a 的式子就叫做根式（ radical）, 这里 n 叫做根指数（ radical exponent）, a 叫做被开方数（radicand）. ⑥ 计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2)n → 探究： ( n a )n 、 n a n 的意义及结果？ （特殊到 一般） 结 论 ： ( n a )n ? a . 当 n 是 奇 数 时 ，nn1 2tan ? a ； 当 n 是 偶 数 时 ，?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)- 44 -- 45 -3、例题讲解 （P5O 例题 1） ：求下列各式的值(1)3( ?8)3(2)2 ?( 1 0)(3)4(?3 ?4)(4)a(? b2)三、巩固练习： 1. 计算或化简： 5 ?32 ； 3 a6 （推广： amp ? n am ， a ? 0）.np2、 化简： 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2； 2 3 ? 3 1.5 ? 6 123、求值化简：3( ? a )3 ；4(? 7 4) ；6( 3? ? 6) ；2( a ? b) 2 （ a ? b ）四、小结： 1．根式的概念：若 n＞1 且 n ? N * ，则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,n 为偶数时， x ? ? n a ；?a (a ? 0) 2．掌握两个公式： n为奇数时,( n a )n , n为偶数时,n a n ?| a |? ? ??a (a ? 0) 五、 作业：书 P59 、 1 题.六，后记- 45 -- 46 -课题：指数与指数幂的运算(二) 课 型：新授课 教学目标： 使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有 理数指数幂的运算. 教学重点：有理数指数幂的运算. 教学难点：有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质： ( n a )n =？、 n a n =？、 a mp =？ 2. 计算下列各式的值： ( 2 ?b )2 ； ( 3 ?5)3 ； 2 34 ， 5 a10 ， 3 79 二、讲授新课： 1. 教学分数指数幂概念及运算性质: ① 引例：a&0 时， 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5a ??.10np→3a12 ? ? ；3a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3 →322② 定义分数指数幂：n m * 规定 a n ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) ； a m? m n?1 am n?1nam(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式： n am (a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ； 2 35 ；3 5422B. 求值27 3 ；55 ；6?4 3； a 2.?5- 46 -- 47 -④ 讨论：0 的正分数指数幂？ 0 的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂 的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运 算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 指数幂的运算性质： a ? 0, b ? 0, r , s ? Qa r ? a r ? a r ?s ； 2. 教学例题： （1） 、 （P51，例 2）(a r ) s ? a rs ； (ab) r ? a r a s ．解：① 8 ? (2 ) ? 2 ② 25? 1 22 32 3 33?2 3? 22 ? 41 2?( ? ) 2? (52 )?1 2?5? 5?1 ?1 51 ③ ( ) ?5 ? (2?1 ) ?5 ? 2?1?( ?5) ? 32 216 ? 3 2 4?( ? 3 ) 2 27 ④ ( ) 4 ? ( ) 4 ? ( ) ?3 ? 81 3 3 8（2） 、 （P51，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ a ＞0） 解： a . a ? a ? a ? a3 3 2 1 2 3? 1 2?a27 2 8a 2 ? 3 a 2 ? a 2 ? 3a ? a3a3 1 3 4 32?? 3a41 32 2 3a ? a ? a ? a ? (a ) ? a 3、无理指数幂的教学 3 2 的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材 P58 利用逼近的思想理解无理指数幂 意义） 无理数指数幂 a? (a ? 0, ?是无理数) 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 三、巩固练习：1、练习：书 P54 1、2、3 题.22、求值: 27 3 ;16 3 ;?43 ( )?3 ; 5(25 ? 3 ) 492211115133、化简： (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ； (m 4 n 8 )16- 47 -- 48 -1 (2n?1 )2 ? ( )2 n?1 2 4. 计算： 的结果 4n8?25. 若 a3 ? 3, a10 ? 384, 求a3 ? [(a10 1 ) 7 ]n?3的值 a3四. 小结： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.五、作业：书 P59 2、4 题. 后记：- 48 -- 49 -课题 指数与指数幂的运算（三） 课 型：练习课 教学目标： n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点：掌握根式与指数幂的运算. 教学难点：准确运用性质进行计算. 教学过程： 一、复习提问: （学生回答,老师板演） 1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？ 2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？ 3. 基础习题练习： （口答下列基础题） ① n为 时， n x n ?| x |? ?...........? ? ( x ? 0) . ( x ? 0)46 4 16 ; ② 求下列各式的值： 3 26 ; 81 ； 6 (?2) 2 ； 15 ? 32 ； 二、教学典型例题： 例 1． （P52，例 4）计算下列各式（式中字母都是正数）x8 ；6a 2b 4（1） (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )1211115（2） (m 4 n 8 )8?3例 2． （P52 例 5）计算下列各式 （1） ( 3 25 ? 125) ? 4 25 （2）a2 a. 3 a2(a ＞0）1例 3．.已知 a 2 ? a?1 2=3，求下列各式的值: ； （２） a 2 ? a ?2 ； （３）3 a2 1 a2（１） a ? a ?1?a ?a? ?3 2 1 2．- 49 -- 50 -三、巩固练习： 1. 化简： ( x ? y ) ? ( x ? y ) .1 2 1 2 1 4 1 42. 已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ，试求f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值3.2 1 ? 4 用根式表示 (m n 3 ) ，其中 m, n ? 0 .4. 已知 x+x =3,求下列各式的值： (1) x ? x , (2) x ? x .-11 2?1 23 2?3 2325. 求值： 252 ; 27 3 ;(36 2 ) ; 493(25 ? 2 ) ; 434381 ? 9 2 ; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 126. 已知 x ? a ?3 ? b?2 , 求 4 x2 ? 2a?3 x ? a?6 的值.1 1 7．从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 升，然后用水填满，再倒出 升，又用水填 3 3 满，这样进行 5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？四、小结： 1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.- 50 -- 51 -2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 五，作业 化简： （1） ( 9) 3 ( 3 102 ) 2 ? 1002 （2） 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 （3）a a?295a a后记：课题： 指数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联 系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数 的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质． 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念： ① 探究两个实例： A．细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次 由 4 个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y- 51 -- 52 -与次数 x 的函数关系式是什么？ B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84％， 那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？ ② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ ③ 定义：一般地，函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数（exponential function） ， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. ④讨论：为什么规定 a ＞0 且 a ≠1 呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中 其它指数模型？ 2. 教学指数函数的图象和性质： ① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和 方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： y ? ( ) x ， y ? 2x （师生共作→小 结作法） ④ 探讨：函数 y ? 2x 与 y ? ( ) x 的图 象有什么关系？如何由 y ? 2x 的图象画出1 y ? ( ) x 的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 2 1 2 1 2→ 变底数为 3 或 1/3 等后？ ⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书 P56) 3、例题讲解 例 1： （P56 例 6）已知指数函数 f ( x) ? a x （ a ＞0 且 a ≠1）的图象过点（3， π） ，求 f (0), f (1), f (?3)的值.例 2： （P56 例 7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2 ( 3 ) 1.70.3 与 0 . 9 3. 1例 3：求下列函数的定义域：- 52 -- 53 -（1） y ? 2 x ?442 （2） y ? ( )| x| 3三、巩固练习： 4、 P58 1、2 题5、 函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数，则 a 的值为.3、 比较大小： a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ；2 . 5 ?0 . 2 2 10 , 0 . ? 4 , , 2.51.6 .4、探究：在[m，n]上， f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域？四、小结 1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0), 注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨 论的数学思想 . 五、作业 P59 习题 2.1 A 组第 5、7、8 题 后记：- 53 -- 54 -课题：指数函数及其性质（二） 课 型：新授课 教学目标： 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域， 判断其单调性；培养学生数学应用意识 教学重点：掌握指数函数的性质及应用． 教学难点：理解指数函数的简单应用模型． 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 指数函数的定义？底数 a 可否为负值？为什么？为什么不取 a=1？指数王新敞奎屯 新疆函数的图象是 2. 在同一坐标系中， 作出函数图象的草图：y ? 2x ，y ? ( ) x ，y ? 5x ，1 1 y ? ( ) x , y ? 10 x , y ? ( ) x 10 51 23. 提问：指数函数具有哪些性质？ 二、讲授新课： 1.教学指数函数的应用模型： ① 出示例 1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育 着 22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000 年第五次人 口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%．为了有效地控制人口过快增 长，实行计划生育成为我国一项基本国策． (Ⅰ)按照上述材料中的 1%的增长率， 从 2000 年起， x 年后我国的人口将达到 2000- 54 -- 55 -年的多少倍？ (Ⅱ)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少？ （师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳 法） ② 练习： 2005 年某镇工业总产值为 100 亿，计划今后每年平均增长率为 8%, 经 过 x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到 120 亿？ ③ 小结指数函数增长模型： 原有量 N， 平均最长率 p， 则经过时间 x 后的总量 y=？ →一般形式： 2. 教学指数形式的函数定义域、值域： ① 讨论：在[m，n]上， f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域？ ② 出示例 1. 求下列函数的定义域、值域： y ? 2 x ? 1 ; y ? 3 5 x ?1 ; y ? 0.4 x ?1 . 讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察 法） ② 出示例 2. 求函数 y ? 2? x ? 的定义域和值域. 讨论：求定义域如何列式？ 3、例题讲解 例 1 求函数 y ?2x ? 1 的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 111 2求值域先从那里开始研究？例 2（P57 例 8）截止到 1999 年底，我们人口哟 13 亿，如果今后，能将人口 年平均均增长率控制在 1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少（精确到 亿）？例 3、已知函数 y ? 9 x ? 2 ? 3x ? 2, x ? ?1,2? ，求这个函数的值域- 55 -- 56 -三、巩固练习： 1、P58、3 2、 一片树林中现有木材 30000m3， 如果每年增长 5% ， 经过 x 年树林中有木材 ym3， x y ?b 写出 x， y 间的函数关系式， 并利用图象求约经过多少年， 木材可以增加到 40000m3Y=3. 比较下列各组数的大小： ( ) 2 与（0.4）2 ； （2 5?1?33 0.76 ?0.75 ） 与（ 3） . 3四、小结 本节课研究了指数函数性质的应用， 关键是要记住 a ＞1 或 0＜ a ＜时 y ? a x 的 图象， 在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用， 形如 y ? ka x（a ＞0 且 a ≠1）. 五、作业 6、 P59、9 7、 设 y1 ? a3x?1, y2 ? a?2 x , 其中 a ＞0， a ≠1，确定 x 为何值时，有： ① y1 ? y2 后记： ② y1 ＞ y2- 56 -- 57 -课题：对数与对数运算 （一） 课 型：新授课 教学目标： 理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化． 教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化. 教学难点：对数概念的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1.问题 1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭王新敞奎屯 新疆（1）取 4 次，还有多长？（2）取多少次，还有 0.125 尺？ （得到： ( )4 ＝？，1 ( ) x ＝0.125 ? x=?） 21 22.问题 2：假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么 经过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍？ （ 得到： (1 ? 8%) x =2 ? x=? ） 问题共性： 已知底数和幂的值， 求指数 怎样求呢？例如： 课本实例由 1.01x ? m 求 x 二、讲授新课： 1. 教学对数的概念： ① 定义：一般地，如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 （logarithm）. 记作 x ? log a N ，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 → 探究问题 1、2 的指 化对 ② 定义：我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数（common logarithm） ，并把 常用对数 log10 N 简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的 对数，以 e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数 log e N 简记作 lnN → 认识： lg5 ; lg3.5； ln10； ln3 ③ 讨论：指数与对数间的关系 （ a ? 0, a ? 1 时， a x ? N ? x ? log a N ） 负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N & 0 ） log a 1 ? ? ， log a a ? ?王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆- 57 -- 58 -④：对数公式 aloga Nn ?N， log a a ?n2. 教学指数式与对数式的互化： ① 出示例 1. 将下列指数式写成对数式：53 ? 125 ；2?7 ?1 ；3a ? 27 ； 10?2 ? 0.01 128（学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体） ② 出示例 2. 将下列对数式写成指数式： log 1 32 ? ?5 ； lg0.001=-3； ln100=4.6062（学生试练 → 订正 → 变式： log 1 32 ? ? lg0.001=？ ）23、例题讲解 例 1（P63 例 1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 1 1 （1）54=645 （2） 2 ?6 ? （3） ( ) m ? 5.73 64 3 （4） log 1 16 ? ?4 （5） log10 0.01 ? ?2 （6） loge 10 ? 2.3032例 2： （P63 例 2）求下列各式中 x 的值 2 （1）log 64 x ? ? （2）log x 8 ? 6 3（3）lg100 ? x（4） ? ln e2 ? x三、巩固练习： 1. 课本 64 页练习 1、2、3、4 题2．计算： log9 27 ； log3 243 ； log 3 81 ； log(2? 3) (2 ? 3) ； log43 45625 .- 58 -- 59 -3．求 aloga b?logb c?logc N的值(a,b,c ? R+ , 且不等于 1，N＞0）.4．计算 3log3 5? 3log31 5的值.四. 小结： 对数的定义： ab ? N ? b ? loga N (a ＞0 且 a ≠1） 1 的对数是零，负数和零没有对数 对数的性质 ：log a a ?1 a ＞0 且 a ≠1al五．作业：P74、1、2 后记：o g aN?N课题：对数与对数运算（二） 课 型：新授课- 59 -- 60 -教学目标： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运 用法则解决问题. 教学重点：运用对数运算性质解决问题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学过程： 一、复习准备： 1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化： a x ? N ? x ? log a N 2． 提问：指数幂的运算性质？ 二、讲授新课： 1. 教学对数运算性质及推导：王新敞奎屯 新疆① 引例： 由 a p a q ? a p ? q ，如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系？王新敞奎屯 新疆设 log a M ? p , log a N ? q ，由对数的定义可得：M= a ，N= a q ∴MN= a p a q = a p ? q ∴ loga MN=p+q，即得 loga MN= loga M + loga Np王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a & 0，a ? 1，M & 0， N & 0 ，则loga (MN)= loga M +loga N ; logaM = loga M - loga N ； loga M n = nloga M (n ? R) N③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先 通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根 据对数定义将指数式化成对数式 ）王新敞奎屯 新疆④ 运用换底公式推导下列结论： loga bn ?m1 n loga b ； log a b ? log b a m2. 教学例题： 例 1. 判断下列式子是否正确， （ a ＞0 且 a ≠1，x ＞0 且 a ≠1，x ＞0，x ＞ y ） ， （1） loga x ? loga y ? loga ( x ? y) （3） log a （2） loga x ? loga y ? loga ( x ? y) （4） loga xy ? loga x ? loga y （6） log a x ? ? log a1 xx ? log a x ? log a y y（5） (loga x)n ? n loga x （7） n log a x ?1 log a x n- 60 -- 61 -例 2（ P65 例 3 例 4）：用 log a x ， loga y ， loga z 表示出（1） （2）小题，并求 出（3） 、 （4）小题的值. （1） log axy z（2） log ax2 y38（3） log z (47 ? 25 )（4） lg 5 100三、巩固练习： 1、P681、2、33. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ，试用 a 、 b 表示 log5 12 . 变式：已知 lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求 lg６、lg12、lg 3 的值.3、计算： lg14 ? 2lg ? lg7 ? lg18 ； 4. 试求 lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 的值7 3lg 243 lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 ； . lg 9 lg1.25. 设 a 、 b 、 c 为正数，且 3a ? 4b ? 6c ，求证： ? ?1 c1 a1 2b四 、小结： 对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式. 五、作业：P743、4、5 后记：- 61 -- 62 -课题：对数与对数运算（三） 课 型：新授课 教学目标： 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提 高解决应用问题的能力． 教学重点：用对数运算解决实践问题. 教学难点：如何转化为数学问题 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：对数的运算性质及换底公式？ 2. 已知 log2 3 = a， log3 7 = b, 用 a, b 表示 log42 56 3. 问题：1995 年我国人口总数是 12 亿，如果人口的年自然增长率控制在 1.25G， 问哪一年我国人口总数将超过 14 亿？ （答案： 12 ? (1 ? 0.0125) x ? 14 → 1.0125x ? → x?lg 7 ? lg 6 ? 12.4 ） lg1.01257 6二、讲授新课：- 62 -- 63 -1.教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思考 P67~P68 的例 5，例 6 的题 目，教师点拨思考： ① 出示例 1 20 世纪 30 年代， 查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度， 就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的 振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M，其计算公式为： M ? lg A ? lg A0 ，其 中 A 是被测地震的最大振幅， A0 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为 了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）. （Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振 幅是 20,此时标准地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级（精确到 0.1） ； （Ⅱ）5 级地震给人的振感已比较明显，计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最 大振幅的多少倍？（精确到 1） ② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？ ③ 出示例 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每 经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” ．根据些规律，人们获 得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系．回答下列问题： （Ⅰ）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P，并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （Ⅱ）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求该生物死亡的年数 t，并用函 数的观点来解释 P 和 t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （Ⅲ） 长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%，试推算古墓 的年代？ ④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想 ⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结 论？ 结论：P 和 t 之间的对应关系是一一对应；P 关于 t 的指数函数 P ? (5730 8、 例题选讲 例 1、已知： log18 8 ? a,18b ? 5, 求 log36 45（用含 a，b 的式子表示）1 x ) ； 2例 2、计算 log 21 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9- 63 -- 64 -例 3，已 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) 求 log2x 的值 y三、巩固练习： 1. 计算： 51?log 3 ； log4 3 ? log9 2 ? log 1 4 320.2王新敞奎屯新疆