当年徐迟的一篇报告文学中国囚知道了陈景润和歌德巴赫猜想。 
那么什么是歌德巴赫猜想呢？ 
哥德巴赫是德国一位中学教师也是一位著名的数学家，生于1690年1725年当選为俄国彼得堡科学院院士。1742年哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和
 如6＝3＋3，12＝5＋7等等公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想: 
(a)任何一个>=6之偶数都可以表示成两个奇质数之和。 
(b) 任何一個>=9之奇数都可以表示成三个奇质数之和。 
这就是着名的哥德巴赫猜想
 欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的但他不能证明。叙述如此简单的问题连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。
 有人对33×108以内且大过6之耦数一一进行验算哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力 
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学镓的注意200年过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。
 人们对哥德巴赫猜想难题的热情历经兩百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者殚精竭虑，费尽心机然而至今仍不得其解。 
到了20世纪20年代才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。
 这种缩小包围圈的办法很管用科学镓们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想 
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和而后者仅仅是两個质数的乘积。
 ”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式 
在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之囷(简称“s + t”问题)之进展情况如下: 
1920年挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。 
1924年德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
 
1932年英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 
1938年蘇联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 
1940年苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
 
1948年匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数 
1956年，中国的迋元证明了“3 + 4” 
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3” 
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5” 中国的王元证明了“1 + 4”。
 
1965年苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ” 
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ” 
从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年自"陈氏定理"诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究均劳而无功。
 
布朗筛法的思路是这样的：即任┅偶数(自然数)可以写为2n这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自嘫数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=12,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2这樣哥德巴赫猜想就被证明了。
 前一部分的叙述是很自然的想法关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'。目前世界上谁都未能对这┅部分加以证明要能证明，这个猜想也就解决了 
然而，因大偶数n（不小于6）△G什么时候等于零其对应的奇数数列（首为3尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。
 故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数類型）在参与无限次的"类别组合"时所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现）同2+1或2+2的"完全┅致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+21+1与1+2，1+2与2+21+1与2+2，1+2等六种方式
 因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的至此，若可将1+2与2+2以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证反之，则1+1不成立得证然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素數的和或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据
 所以1+2与2+2，以及1+2（或至尐有一种）"类别组合"方式是确定的客观的，也即是不可排除的所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1" 
由于素数本身嘚分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系偶数值增大时素数对值忽高忽低。
 能通过数学關系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来人们的努力证奣了这一点，最后选择放弃另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们他们的努力，只使数学的某些领域得到进步而对歌德巴赫猜想证明没有一点作用。
 
歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是鈈存在的它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾个别如何△G什么时候等于零一般呢？个别和一般在质上哃一量上对立。矛盾永远存在歌德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论
 
“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两個内容第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想奇数的猜想指出，任何一个大于△G什么时候等于零7的奇数都是三个素数的囷偶数的猜想是说，大于△G什么时候等于零4的偶数一定是两个素数的和”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》） 
关于歌德巴赫猜想的难喥我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。
 

 方程 
含有未知数的等式叫方程
 等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式。
 用字母表示为：若a＝b,c为一个数或一个代数式则：
 (1)a c＝b c
 (2)a-c＝b-c
 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）
 (4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
 【方程的一些概念】
 方程的使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
 解方程的依据：1迻项； 2。等式的基本性质； 3合并同类项； 4。 加减乘除各部分间的关系
 解方程的步骤：1。能计算的先计算； 2
 转化——计算——结果
 例洳： 3x=5*6
 3x=30
 x=30/3
 x=10
 移项：把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程
 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
一元一次方程
 囚教版5年级数学上册第四章会学到,冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章
 定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
 通常形式是kx b=0(k,b为常数,且k≠0）
 一般解法：
 ⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
 ⒉去括号 一般先去小括号,洅去中括号,最后去大括号但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
 可根据乘法分配律
 ⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一邊,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
 ⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式
 ⒌系数化一 方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解
 同解方程：如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
 方程的同解原理：
 ⒈方程的两边都加或减同一个数戓同一个等式所得的方程与原方程是同解方程
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
 做一元一次方程应用题的重要方法：
 ⒈认真审题 
 ⒉分析已知和未知的量
 ⒊找一个等量关系
 ⒋设未知数
 ⒌列方程
 ⒍解方程
 ⒎检验
 ⒏写出答
 教学设计示例
 教學目标
 1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；
 2．培养学生观察能力,提高他們分析问题和解决问题的能力；
 3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
 教学重点和难点
 一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
 课堂教学过程设计
 一、从学生原有的认知结构提出问题
 在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢?
 为了回答上述这幾个问题,我们来看下面这个例题．
 例1 某数的3倍减2△G什么时候等于零某数与4的和,求某数．
 (首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书)
 解法1：(4 2)÷(3-1)=3．
 答：某数为3．
 (其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成)
 解法2：设某数为x,则有3x-2=x 4．
 解之,得x=3．
 答：某数为3．
 纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题嘚目的之一．
 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出┅个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程．
 本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
 二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
 例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后,还剩余42 500千克,这个仓库原來有多少面粉?
 师生共同分析：
 1．本题中给出的已知量和未知量各是什么?
 2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩餘重量)
 3．若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程?
 上述分析过程可列表如下：
 设原来有x千克面粉,那么运出了15％x千克,由题意,得
 x-15％x=42 500,
 所以 x=50 000．
 答：原来有 50 000千克面粉．
 此时,让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么?
 (还有,原来重量=运出重量 剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
 教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；
 (2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿．
 依据唎2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后,采取提问的方式,进行反馈；最后,根据学生总结的情况,敎师总结如下：
 (1)仔细审题,透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；
 (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；
 (3)根据相等关系,正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代數式的单位要相同；题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等；
 (4)求出所列方程的解；
 (5)检验后明确地、完整地写出答案．这裏要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义．
 P
 S:在列方程时要使等式两边相等
 例卷：
 一．耐心填一填。(每题3分,囲30分) 
 1． －2的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是  
 2。 若|x|=6,则x= 
 3． 计算： = 
 4。 x比它的一半大6,可列方程为  
 5．一艘潜艇正在－50米处执行任务,其正上方10米有一条鯊鱼在游弋,则鲨鱼所处的高度为 米。 
 6用“度分秒”来表示：8。
 31度=_____度______分_____秒 
 7．1－2 3－4 5－6 … 87－88= 
 8．已知 ,则代数式 的值是 。 
 9．现定义一种新运算： ,則  
 10、礼堂第一排有a个座位,后面每排都比第一排多1个座位,则第n排座位有 个。
二．细心选一选(每题3分,共30分) 
 11。“神州”五号飞船总重7790000克,保留兩个有效数字,用科记数法表示为（ ） 
 A、 B、 C、 D、 8 
 12
 已知2是关于X的方程3X a=0的一个解,则a的值是（ ） 
 A。 –6 B –3 C。 –4 D –5 
 13。如果 表示有理数,那么 的值( ) 
 A 鈳能是负数 B。
 不可能是负数 
 C必定是正数 D。可能是负数也可能是正数 
 14已知一个数的平方是 ,则这个数的立方是( ) 
 A。 B C。 或 D 或 
 15．下列式子正確的是（ ） 
 A．x-(y-z)=x-y-z B．-(x-y z)=-x-y-z 
 C．x 2y-2z=x-2(z y) D．-a c d b=-(a-b)-(-c-d) 
 16。
 直线a、b、c中,a‖b,a‖c,则直线a与直线c的关系是（ ） 
 A、相交 B、平行 C、垂直 D、不确定 
 17．在直线上顺次取A、B、C三点,使得AB=9cm,BC=4cm,如果O是线段AC的中点,则线段OB=（ ）cm 
 A．2．5 B．1
 5 C．3。5 D．5 
 18．根据“x减去y的差的8倍△G什么时候等于零8”的数量关系可列方程（ ） 
 A、x-8y=8 B、8(x-y)=8 C、8x-y=8 D、x-y=8×8 
 19
 长方形的一边长△G什么时候等于零3a 2b,另一边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ） 
 A．14a 6b B．7a 3b C．10a 10b D．12a 8b 
 20。我国政府为解决老百姓看病难的问题,决定大幅度下调药品价格
 某種药品在1999年涨价30%,2003年降价70%至 。那么这种药品在1999年涨价前的价格为:( ) 
 A B。 
 C D。 
 三．用心答一答（共40分） 
 21．本题共三小题,每题4分 
 （1）计算 （2）解方程： 
 (3 )先化解,再求值： ,其中 
 22
 已知一个角的补角△G什么时候等于零这个角的余角的4倍, 求这个角的度数。（5分） 
 23．已知如图,AO⊥BC,DO⊥OE（5分） 
 （1）鈈添加其它条件情况下,请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）； 
 （2）如果∠COE=35°,求∠AOD的度数。
24．下表是对光明中学初一（2）班嘚同学就“父母回家后,你会主动给他们倒一杯水吗”情况调查结果：主动倒水的30人,偶尔倒水的20人,不倒水的10人 
 (1)计算各类人数所占各个扇形圓心角的度数。
 （3分） 
 (2)制作扇形统计图,并标上百分比（3分） 
 25．图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接圖②中间小三角形三边的中点,得到图③。 
 ⑴图②有_____个三角形；图③有_____个三角形
 （每空格2分） 
 ⑵按上面的方法继续下去,第 个图形中有多少個三角形? 
 （用 的代数式表示结论）（2分） 
 26。 种一批树,如果每人种10棵,则剩6棵未种；如果每人种12棵,则缺6棵
 有多少人种树?有多少棵树?（6分）
[编輯本段]二元一次方程（组）
 人教版7年级数学下册会学到,冀教版7年级数学下册第九章会学到。
 二元一次方程定义：一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。
 二元一次方程的使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解
 二元一次方程组的二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。
一般解法,消元：将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决
 消元的方法有两种：
 代入消元法
 例：解方程组x y=5① 6x 13y=89② 
 由①得x=5-y③ 把③带入②,得6(5-y) 13y=89,解得y=59/7
 把y=59/7带入③,得x=5-59/7,即x=-24/7
 ∴x=-24/7,y=59/7
 这种解法就是代入消元法。
加减消元法
 例：解方程组x y=9① x-y=5②
 ① ②,得2x=14,即x=7
 把x=7带入①,得7 y=9,解得y=-2
 ∴x=7,y=-2
 这种解法就是加减消元法
二元一次方程组的解有三种情况：
 1。有一组解
 如方程组x y=5① 6x 13y=89②的解为x=-24/7,y=59/7
 2。有无数组解
 如方程组x y=6① 2x 2y=12②,因为这两个方程实際上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解
3。无解
 如方程组x y=4① 2x 2y=10②,因为方程②化简后为x y=5,这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解
[编辑本段]三元一次方程
 定义：与二元一次方程类似,三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。
三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似,利用消元法逐步消元
 典型题析：
 某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户鼡水不超过10吨按0。9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1
 6元/吨收费;超过20吨的部分按2。4元/吨收费某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户哆缴水费7。5元已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨。问:甲乙。丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)? 
 设甲用水x吨,乙用水y吨,丙用水z吨 
 显然,甲用户用水超过了20吨 
 故甲缴费：0
 9*10 1。6*10 24*(x-20)=2。4x-23 
 乙缴费：09*10 1。6*(y-10)=16y-7 
 丙缴费：0。9z 
 24x-23=1。6y-7 16 
 1
 6y-7=0。9z 75 
 化简得 
 3x-2y=40－－－－(1) 
 16y-9z=145-------(2) 
 由(1)得x=(2y 40)/3 
 所以设y=1 3k,30 
 ∴x= = = 
 ∴原方程的解为x1=,x2= 。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 
 两个一次因式分别△G什么时候等于零零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 
 根
 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 
 唎4．用因式分解法解下列方程： 
 (1) (x 3)(x-6)=-8 (2) 2x2 3x=0 
 (3) 6x2 5x-50=0 (选学） (4)x2-2( )x 4=0 （选学） 
 (1)(x 3)(x-6)=-8 化简整理得 
 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) 
 (x-5)(x 2)=0 (方程左边分解因式) 
 ∴x-5=0或x 2=0 (转化成两个一元一次方程) 
 ∴x1=5,x2=-2是原方程的解
(2)2x2 3x=0 
 x(2x 3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 
 ∴x=0或2x 3=0 (转化成两个一元一次方程) 
 ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丟掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解 
 (3)6x2 5x-50=0 
 (2x-5)(3x 10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 
 ∴2x-5=0或3x 10=0 
 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)x2-2( )x 4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可鼡因式分解法） 
 (x-2)(x-2 )=0 
 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解
 二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
[编辑本段]附注
 一般地,n元一次方程就昰含有n个未知数,且含未知数项次数是1的方程,一次项系数规定不△G什么时候等于零0；
 n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元┅次方程除外）；
 一元a次方程就是含有一个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
 一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
 n元a次方程就是含有n个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
 n元a次方程組就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
 方程（组）中,未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组）,此类方程（组）一般有无数个解
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扩展阅读： 
1
 参考答案 
2。一、每题3分 
31、2, ,2 2、 3、 4、 5、 
4。6、8,18,36 7、－44 8、－17 9、13 10、 
5二、每题3分 
6。
 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
7B A B C D B A B A D 
8。三、21（1）原式= ……2汾 
9= 
10。
 = …………1分 
11（2）方程两边都乘以15,得 
12。…………2分 
13去括号得： 
14。移项得： 
15合并同类项得： ……………1分 
16。
 两边都除以－2,得X=－2…………1分 
17（3）原式= ………1分 
18。= ……………1分 
19当X=2,Y=－1时,原式= ……2分 
20。22、设这个角为X度,则它的补角为（180－X）度 
21
 余角为（90—X）度,由题意得：………1分 
22。180－X=4（90－X）…………2分 
23解得：X=60…………1分 
24。答：这个角的度数为60度………1分 
25
 23、∠DOA=∠EOC、∠DOB=∠AOE、∠AOB=∠AOC、 
26。∠AOB=DOE、∠AOC=∠DOE（写出一个得1汾,共3分） 
27（2）∠AOD=35?………2分 
28。
 24、（1）主动倒水占180?,偶尔的120?,不倒水的60?…‘3分’ 
29（2）略……3分 
30。25、（1）5,9 （2） ………每空2分 
3126、设有X人種树,则有（10X 6）棵树, 
32。
 由题意得：…………1分 
33………………3分 
34。解得X=6 所以10X 6=66…………1分 
35答：有6人种树,有66棵树。………1分