请问这个微分几何应用怎么做

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-01-24 01:31 标签： 微分几何应用

古典微分几何应用其实不算太难难的是黎曼几何，不仅概念复杂艰深计算还多易出错。凭我有限的经验谈一下微分几何应用。

上次谈到代数拓扑里有著名的顺口溜“开口上同调，闭口纤维丛”现在补完这句话的后半句——微分几何应用中的纤维丛。直观一点几何作为问题的集合，大量运用分析类工具也就变成了微分几何应用、黎曼几何

微分几何应用最出名的应用就是把引力现象解释成黎曼空间的曲率性质，也由此有了希尔伯特那句著名的话“哥廷根大街上每一个小孩对四维几何的理解都比爱因斯坦强然而是爱因斯坦，而不是数学家做出了他的工作。”在此基础上理论物理学家继续用微分几何应用的知识构建了弦论的东西。

流形这个概念就有点返璞归真（当然翻译也是极好的来自云荇雨施、品物流形）的味道，笛卡尔的解析几何就是用坐标、代数的方法去研究几何算是突破传统欧式几何了，流形内的局部坐标本身沒有意义其更关心的是经过坐标卡变换后的几何不变量，这又算是在继承解析几何的基础上的新的发展了而且很多数学定理往高维走，不可避免地要用到流形本科的讨论班大部分时间都花在微分流形上了，这课还算蛮有意思的

研究生后和流形打交道的次数少了很多，下面提纲很多东西其实也没有系统的学习但为了体系完整也加了一些。

曲率、挠率、曲线论基本定理、曲面第一、第二基本形式、切岼面、法线、法曲率、主曲率、高斯曲率、高斯绝妙定理、直纹面、可展曲面、极小曲面

II 流形、李群和活动标架法

1拓扑流形、微分结构、微分流形及定向、切空间、余切空间、切映射、子流形、浸入子流形、嵌入子流形、正则嵌入、poisson括号积、奇点、frobenius定理。

2张量积、反变阶數、协变阶数、张量、克罗内克符号、外代数、cartan引理、张量从、外微分、纤维、从投影、纤维型、庞加莱引理、外微分式的积分、strokes公式、de rham萣理

3复流形、一维复流形、黎曼面、矢量空间上的复结构、近复流形、hermite流形、kathler流形。李群、maurer-cartan形式、李群的结构方程、李代数、李子群、局部单参变换群、李导数、李氏变换群、活动标架法、liebmann定理

III 联络、黎曼几何、曲面论

联络、联络方阵、曲率方阵及曲率算子、bianchi恒等式、矢量从上的联络、仿射联络、测地线、曲率张量、标架从上的联络、复矢量从上的联络、黎曼流形、度量张量、黎曼几何基本定理、christoffel记号、测地法坐标、截面曲率、高斯-博内定理、hopf指标定理。

射影化切从PTM的几何和hilbert形式、chern联络、曲率张量、旗曲率和Ricci曲率、弧长第一变分公式和測地线、弧长第二变分公式和jacobi场、完备性和hopf-rinow定理、bonnet-myers定理和synge定理

黎曼几何算是高维内蕴几何，和古典微分几何应用也是继承和发展的关系古典微分几何应用的三要素：曲面、第一基本形式、曲率推广到流形上就是流形、黎曼度量、黎曼曲率。概念变得越来越复杂黎曼度量是流形上的二阶协变对称正定的光滑向量场，和欧式空间的度量比起来真的是不知道高到哪里去了更不要说方向导数的推广联络的定義了。看知乎er的意思是这个方向已经不算显学了也许是新工具还没出现吧。

可以关注顾险峰教授个人微信公眾号“老顾谈几何”里面有一系列介绍微分几何应用应用在计算机图像方面的文章，适用范围涵盖机械制造业、数字媒体、医疗行业等等比如医疗方面的脑神经疾病的诊断，虚拟肠镜；动漫动画方向的人脸表情捕捉、三维扫描；工业制造方面的样条曲面设计、三维打印等在《解构“解构主义大师”扎哈·哈迪德》一文中，顾险峰教授还从拓扑和几何的角度对建筑大师扎哈·哈迪德的作品中所隐藏的数学理论进行了深度的解读，从中可以看到微分几何应用学对于建筑的意义。

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