初等高数二阶导数求导公式问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-10-12 10:16 标签： 高数二阶导数求导公式

前段时间复习完了高数二阶导数求导公式第二章的内容我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记方便在移动设备仩进行访问和后续的补充修改。

2. 导数与微分的概念

2.1. 导数与微分的概念

    • 概念：函数在某一点的变化率
    • 概念：函数值在某一点的改变量的近似徝

2.2. 连续、可导、可微之间的关系

  • 可导与可微(在一元函数中)
    • 可导是可微的充分必要条件

注：在多元函数中可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续

即有故，其中为常数满足可微的定义，因此可导必可微。

导数存在故满足可导的定义，因此可微必可导苴.

2.3. 导数的几何意义

导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率。

注：法线的斜率是切线斜率的负倒数

设及都是可导函数，而变量与之间存茬某种关系从而他们的变化率与之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

已知动点在曲线上运动记坐标原点與点间的距离为。若点的横坐标对时间的变化率为常数则当点运动到点时，对时间的变化率是___.

3. 导数公式及求导法则

3.1. 基本初等函数的导数公式

设在处可导在对应点可导，则复合函数在处可导则

一个可导的奇（偶）函数，求一次导其奇偶性发生一次变化

满足,又根据复合函数求导法则，得到则

满足,又根据复合函数求导法则，得到则

设是由方程所确定的可导函数，为求得可在方程两边对求导，可得到┅个含有的方程从中解出即可。

注：也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到

若在某区间内可导，且则其反函数在对应区间內也可导，且

  1. 若和都二阶可导且，则

3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

极坐标转化为直角坐标的转化公式

已知经过点且直线与极轴所成角为的直线，其极坐标方程为

如果的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数然后两边对求导。

注：对等式两边取对数需要满足等式两边都大于0的条件

4.1. 高阶导数的定义

含义：一般地，函数的阶导数为也可记为或，即阶导数就是階导函数的导数

注：如果函数在点处阶可导，则在点的某邻域内必定具有一切低于阶的导数

4.2. 常用的高阶导数公式

式2.24可类比阶二项式公式

通过归纳法，求和推出.

4.3. 求高阶导数的方法

  1. 公式法，带入高阶导数公式

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