数学思维 最后一步怎么出来的

别的我不知道但是根据我浅显嘚人生经验,考完了会说:“这个我真的差一点就想到了!”“本来我写出来又改了QAQ!”的同学,都是喜欢哗众取宠的二流选手他们以為自己和学霸差的是那一点灵感运气,其实学霸已经坐着推站着推倒立推出来过两万多遍了
而学霸遇到这种差一点写出来的题目时,往往会夸赞解题思路的巧妙时至今日,仍然回想的起我的一位高中同桌时常两眼放光:"杨云帆,你看这道题!这就是数学思维之美呀!""

你放的这几道题目都是相对很简單的算不上是竞赛题,

整体结构上就是稍微琢磨以后就能知道整体结构和几种解法的

只是对于长期认为数学思维是死记硬背,缺乏独竝思考能力的同学来说有一定难度

另外,不存在所谓的技巧技巧是基于洞察数学思维结构后的自然创作。

许多同学学习分析会产生一種幻觉接触了一些技巧后,

又遇到同类型的题目然后想起了这些技巧,解决了这个问题

就认为自己的'水平提高了', 实际上让他们去做┅些考察机敏和推理,

并且经验作用很小的需要真正思考的题目他们马上就会原形毕露,

比如说IMO和Putnam的一些许多思考的难题而不是随便使用熟知

的几种代数变形和逻辑关联不强的工具就能导出结论的题目,

提升数学思维思维的最好方法就是做一些构造性很强的题目

许多學生会认为一道题目不会做是哪个技巧我不知道,

代数变形我掌握的不够多他们根本不知道,许多看似复杂

的命题的数学思维结构都昰需要靠人脑想明白,把结构的

精细之处和关联都想明白了创作而出的技巧,他们认为

命题的结构的复杂性是可以回避的,我掌握的悝论的几个

工具性内容我都试了一遍都没用这题我就不会做了,

这样的学生根本就没有掌握思考的方法我认为,

对于这样不具备思考能力只是把数学思维工具化和知识化的人

认为数学思维只是一些理念和技巧的记忆性堆砌的人,

根本做不好数学思维对于他们,许多甚至是博士生甚至是全国初中数学思维

联赛较难的题目或者是AIME中的较简单的题目也是很有难度的,

我见过很多这样的人最极端的是,囿一部分人认为

数学思维就是纯粹的代数变形的记忆型堆砌这是极度的无知,

Putnam以前曾考平面几何一个更合理的方式是,

在数学思维竞賽中应该完全杜绝平面几何不等式这等

弱逻辑性尝试和经验为主的题目,即使是数论较硬的题目(

例如突破点以序结构的估计为主)吔应该尽力避免,

而改成和俄罗斯数学思维奥林匹克风格相似的全智力游戏

风格的代数数论和组合。

数学思维基本功是基本功数学思維洞察力是洞察力,应该完全分离

前者是知识性的,后者是能力型的完全不同,

我也见过中国考研的学生自高自大,整天鼓吹数学思维分析和高等代数的

'考研题'和自己有多么多么厉害

要指点别的考研学生如何如何学习,

,那些都是偏向于基本功的而且是较易的,这嘚确就是学数学思维的

人太多了就像程序员也太多了,连leetcode这种东西都要拿来唏嘘感慨一番

真是让人感觉不踏实又矫情,虽然我很不喜歡高中那些唯MO独尊的小朋友

但是实际上,他们踏踏实实地掌握地很多还是硬的数学思维思维

当然,许多中国人和越南人喜欢捣鼓一些偏重经验的不等式这也是

国情决定的,在数学思维的思维方面的理解有问题

我不排斥数学思维基本功的重要性,你需要阅读大量别人嘚paper

以掌握他人的idea但是这和数学思维思维是两个方面的东西,

特别是一些仅仅是基本功过硬的学生就觉得自己已经天下无敌了,

可以感慨高歌自己当年和现在仿佛已是成功人士一番,

很可惜这是两个方面的内容,这样的人在数学思维思维方面很多

依旧只是原地踏步怹们依旧无法作出技术性的关键一点,

而归结于乱七八糟的东西我再次重申,数学思维技巧是数学思维

洞察力的衍生产物而不是靠不斷无脑尝试或者仅仅是背诵记忆

有许多数学思维工作者,至少心态很健康我之前说过,

拉马努金的数学思维风格在中国是很常见的喜歡捣鼓一些偏重

经验和不断低逻辑尝试出来的数学思维成果,我暂且没有讨论

数学思维理论上的重要性只是以数学思维思维角度来说,這是廉价的

而且意义不大,而且这些人认为这些就是数学思维而且自己已经

是如何的成功人士,认为自己学得不错又或者灌了几篇沝paper,

就更加以为自己‘成功’了,可以絮絮叨叨地说自己曾经是如何不堪

但是又如何走到了现在的'辉煌',

在我看来,在有理性的人看来在價值观纯粹且完全的人看来,

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