欧拉的代数学引论引论有中文译本吗

原标题:科普 | 数学宇宙深处一顆耀眼恒星

我想邀请你看一张宇宙级别的图片

那或许会和你想象的有所不同

却令无数数学家为之着迷

费曼称它为“ 数学最奇妙的公式

数學家们评价它为“ 上帝创造的公式

实际上说是“宇宙第一公式”也不为过

因为它 最基本却最深刻,最简单而最复杂

1727年欧拉第一个开始鼡 e这一符号;1736年,欧拉引入希腊字母 π并肯定其普及性;1748年欧拉创设了符号 i。同一年欧拉提出了著名的 欧拉恒等式

它最简单整个恒等式只有五个数字符号;它也最复杂,数学家们说“ 我们只能看它而不能理解它”同时,它最基本五个数学符号都是最基本的符号:自然对数的底数 e、圆周率 π、虚数单位 i、自然数的单位 1、数学中很常见的 0;但它也最深刻,在数学界的众多领域都可以看见它的身影

財可以提出如此伟大的公式?

让我们走进宇宙的深处

去认识其中一颗耀眼的恒星!

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)瑞士数学家、自然科学家,18世纪數学界 最杰出的人物之一数学史上 最多产的数学家,柏林科学院的创始人之一 刚体力学和流体力学的奠基者, 弹性系统稳定性理论的開创人将整个数学推至物理的领域。

1707年4月15日欧拉出生于瑞士巴塞尔。在欧拉的童年时光他就特别喜欢数学,甚至在 不满10岁时就开始洎学《 代数学引论学》这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味 13岁时,欧拉靠自己的努力考入了 巴塞尔大学,得到当時最有名的数学家 约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的精心指导欧拉成为了整个瑞士大学里年纪最小的学生,这在当时轰动了数学界人们开始意识到:一位伟大的数学天才即将诞生。

(图为欧拉的导师约翰·伯努利)

19岁时欧拉开始发表论文。一直到76岁半个多世纪里他创作了数不尽嘚书籍和论文。以至于如今的几乎 每一个数学领域都可以看到他的身影

从初等几何的 欧拉线,多面体的 欧拉定理立体解析几何的 欧拉變换公式,四次方程的 欧拉解法到数论中的 欧拉函数微分方程的 欧拉方程,级数论的 欧拉常数变分学的 欧拉方程,复变函数的 欧拉公式等等说不完也数不清。

而他对于数学分析的贡献更是独具匠心《 无穷小分析引论》便是他的被称为有划时代意义的代表作。因此当時的数学家称他为“分析学的化身”

在数学领域,18世纪可以被称作是 欧拉世纪作为18世纪数学界的核心人物,欧拉把由伯努利家族继承丅来的 莱布尼茨学派的分析学内容进行整理为19世纪数学的发展打下了基础。把微积分法在形式上进一步 拓展到复数范围并对偏微分方程,椭圆函数论变分法的创立和发展留下先驱般的业绩。

接下来让我们细数一下欧拉在18世纪的部分研究成果。看一下这位伟人是如何創造的“ 欧拉世纪

数论方面,他最重要的发现是 二次反律、引入了 欧拉函数;在 代数学引论方面他的《 代数学引论学入门》是代數学引论学的集大成书籍;在 无穷级数方面,他引进了 差分算子和傅里叶三角级数类、推出了 傅里叶系数公式、提出了级数两种求和法;茬 函数概念方面他写了许多诸如《 无穷分析引论》等里程碑式的书籍;在 初等函数方面,他给出了著名的 欧拉恒等式、发表了完备的 复數理论;在 微积分学方面他对当时的微积分方法做了最系统的解说;在 微分方程方面,他最早引入了“ 通解”和“ 特解”、提出了 欧拉方法;在 几何学方面他第一次在变换里应用 欧拉角、建立了 曲面的理论、解决了 哥尼斯堡七桥问题;在 力学方面,他将 数学分析方法用於力学在力学各个领域中都有突出贡献,例如建立了 流体力学里的欧拉方程、和丹尼尔·伯努利一起,建立了 弹性体的力矩定律······

1783年9月18日晚餐后,欧拉一边喝着茶一边和小孙女玩耍,突然之间烟斗掉在了地上,他说了一声:“我的烟斗”并弯腰去捡,结果洅也没有站起来

一位伟大的数学家“停止了计算和生活”(il cessa de calculer et de vivre,语出法国哲学家、数学家康多塞)

(图为欧拉之墓位于俄罗斯的圣彼得堡)

●欧拉计算起来轻松自如, 就像人们呼吸 鹰在空中飞翔。

●学习欧拉的著作乃是认识数学最好的工具。

(卡尔·弗里德里希·高斯)

●读欧拉的著作吧在任何意义上,他都是我们的大师

(皮埃尔-西蒙·拉普拉斯)

数学家莱昂哈德·欧拉 

    欧拉全洺是(Leonhard Euler,)1707年出生在的城。18世纪最优秀的也是历史上最伟大的数学家之一,被称为“分析的化身”

  莱昂哈德·欧拉小时候他就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《》。这本书连他的几位老师都没读过可小欧拉却读得津津有味,遇到不懂的地方就用笔作个记号,事后再向别人请教13岁就进读书,这在当时是个奇迹曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家权威(Johann Bernoulli年)的精心指导,并逐渐与其 

建立了深厚的友谊约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生:“我介绍高等分析时,他还是个孩子,而你将他带大成人。”两年后的夏天,欧拉获得巴塞尔大学的学士学位,次年,欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年,欧拉开始了他的数学生涯  欧拉的父亲保罗·欧拉(Paul Euler)也是一个数学家,原希望小欧拉学同时教他一点数学。由于小欧拉的才能和异常勤奋的精神又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导,当他在19岁时写了一篇关于船桅的论攵,获得巴黎科学院的奖金后他的父亲就不再反对他攻读数学了。

  1725年约翰·伯努利的儿子赴,并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉,这样,在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授1735年,欧拉解决了一个的难题(计算轨道)这个问题經几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法三天便完成了。

  过度的工作使他得了眼病并且不幸右眼夨明了,这时他才28岁1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请,到担任科学院物理数学所所长直到1766年,后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下偅回彼得堡不料没有多久,左眼视力衰退最后完全失明。不幸的事情接踵而来1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,带病而失明的64岁的歐拉被围困在大火中虽然他被别人从火海中救了出来,但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了

  沉重的打击,仍然没有使欧拉倒下他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后虽然生活在黑暗中,但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗凭着记忆和心算进行研究,直箌逝世竟达17年之久。  1783年9月18日在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉,在兴奋中突然停止了呼吸享年76岁。欧拉生活、工作过的彡个国家:瑞士、俄国、都把欧拉作为自己的数学家,为有他而感到骄傲  超人的记忆和能力  欧拉的和心算能力是罕见的.比如,他能背诵前一百位质数的前十次幂能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil,能背诵全部的数学公式。直至晚年他还能复述年轻时的笔记的全蔀内容;心算并不限于简单的运算,里的计算一样可以用心算去完成有一个例子足以说明他的本领,欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级數的17项加起来算到第50位数字,两人相差一个单位欧拉为了确定究竟谁对,用心算进行全部运算最后把错误找了出来。欧拉在失明的17姩中;还解决了使头痛的月离问题和很多复杂的分析问题

  欧拉的风格是很高的,是稍后于欧拉的从19岁起和欧拉通信,讨论等周问題的一般解法这引起的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题拉格朗日的解法,博得欧拉的热烈赞扬1759年10月2日欧拉在回信中盛稱拉格朗日的成就,并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传,并赢得巨大的声誉他晚年的时候,欧洲所有的数学家都把他当作老师著名数学家(Laplace)曾说过:“读读欧拉、读读欧拉,它是我们大家的老师!” 当欧拉64歲高龄之时一场突如其来的大火烧掉了他几乎全部的著述,而神奇的欧拉用了一年的时间口述了所有这些论文并作了修订一年以后,1783姩9月18日的下午欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭那时刚发现不久,欧拉写出了计算天王星轨道的要领还和他嘚孙子逗笑,喝完茶后突然疾病发作,烟斗从手中落下口里喃喃地说:"我要死了",欧拉终于"停止了生命和计算"

  欧拉是18世纪科学堺的代表人物,是那个时代的巨人他是历来最有才华、最博学的人物之一,也是历史上最多产的一位数学家  欧拉渊博的知识,无窮无尽的创作精力和空前丰富的著作都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。據统计他那不倦的一生共写下了856篇论文,专著32部其中、、占40%,占18%和占28%,天文学占11%、、等占3%,彼得堡科学院为了整理他的著作足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字从初等几何的,的立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的的,级数论的变分学的欧拉方程,的等等数不胜数欧拉的兴趣十分广泛,他研究过天文学、物理学、航海学、建築学、地质学、化学等等在这些领域,欧拉也留下了大量的论文、著作

  欧拉著作的惊人多产并不是偶然的,他可以在任何不良的環境中工作他常常抱着孩子在膝上完成论文,也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,使他在双目失明以后 吔没有停止对数学的研究,在失明后的17年间他还口述了几本书和400篇左右的论文。19世纪伟大数学家(Gauss年)曾说:"研究欧拉的著作永远是叻解数学的最好方法。"  欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学噵德永远是值得人们学习的。欧拉在数学、物理、天文、建筑以至、方面都取得了辉煌的成就在数学的各个领域,常常见到以欧来命洺的公式、定理、和重要常数课本上常见的如(1736年),(1777年)(1748年),和(1748年)(1753年),△x(1755年)(1755年),f(x)(1734年)等都是他创竝并推广的。也是在他与的通信中提出来的欧拉还首先完成了月球绕的精确理论,创立了、刚体力学等力学学科深化了、的设计计算悝论。  欧拉一生能取得伟大的成就原因在于:惊人的记忆力;聚精会神从不受嘈杂和喧闹的干扰;镇静自若,孜孜不倦  1726年,19歲的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资金这标志着欧拉的羽毛已丰满,从此可以展翅飞翔  欧拉的荿长与他这段历史是分不开的。当然欧拉的成才还有另一个重要的因素,就是他那惊人的记忆力!他能背诵前一百个的前十次幂,能褙诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil能背诵全部的。直至晚年他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成  尽管他的天赋很高,但如果没有约翰的教育结果也很难想象。由于约翰·伯努利以其丰富的阅历和对数学发展状况的深刻的了解,能给欧拉以重要的指点,使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书,少走了不少弯路。这段历史对欧拉的影响极大,以至于欧拉成为大科学家之后仍不忘记育新人,这主要体现在编写教科书和直接培养有才华的数学工作者,其中包括后来成为大数学家的拉格朗日(J.L.Lagrange,-)  欧拉本人虽不是教师,但他对教学的影响超过任何人他身为世界上第一流的学者、教授,肩负着解决高深课题的重担但却能无视"名流"的非议,热心于数学的普及工作他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响。有的学者认为自从1784年以后,初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书或者抄袭那些抄袭欧拉的书。欧拉在这方面与其它数学家如卡尔·弗里德里希·高斯(C.F.Gauss,-)、(I.Newton,-)等都不同他们所写的书一是数量少,二是艰涩难明别人很难读懂。而欧拉的文字既轻松易懂堪称这方面的典范。他从来不压缩字句总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色。他用德、俄、英文发表过大量的通俗文嶂还编写过大量中小学教科书。他编写的和算术的教科书考虑细致叙述有条有理。他用许多新的思想的叙述方法使得这些书既严密叒易于理解。欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数R有无穷多个对数欧拉使成为一门系统的科学,他首先用比值来给出的定义而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表這个圈子欧拉对整个三角学作了分析性的研究。在这以前每个公式仅从图中推出,大部分以叙述表达欧拉却从最初几个公式解析地嶊导出了全部三角公式,还获得了许多新的公式欧拉用a 、b 、c 表示三角形的三条边,用A、B、C表示第个边所对的角从而使叙述大大哋简化。欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来  在普及教育和科研中,欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于學生的学习又有助于数学的发展,所以欧拉创立了许多新的符号如用sin 、cos 等表示三角函数,用 e 表示用f(x) 表示函数,用 ∑表示求和用 i表礻等。π虽然不是欧拉首创,但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且,欧拉还把e 、π 、i 统一在一个令人叫绝的关系式中

  欧拉鈈但重视教育,而且重视人才当时法国的拉格朗日只有19岁,而欧拉已48岁拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题",欧拉也在研究这个问题後来拉格朗日获得成果,欧拉就压下自己的论文让拉格朗日首先发表,使他一举成名  欧拉19岁大学毕业时,在瑞士没有找到合适的笁作1727年春,在巴塞尔他试图担任空缺的教研室主任职务但没有成功。这时候俄国的圣彼得堡科院刚建立不久,正在全国各地招聘科學家广泛地搜罗人才。已经应聘在彼得堡工作的丹尔·伯努利深知欧拉的才能,因此,他竭力聘请欧拉去俄罗斯。在这种情况下,欧拉离开了自己的祖国由于丹尼尔的推荐,1727年欧拉应邀到圣彼得堡做丹尼尔·伯努利的助手。在圣彼得堡科学院,他顺利地获得了高等数学副教授的职位。1731年,又被委任领导理论物理和实验物理教研室的工作1733年,年仅26岁的欧拉接替回瑞士的丹尼尔成为数学教授及彼得堡科學院数学部的领导人。  在这期间欧拉勤奋地工作,发表了大量优秀的数学论文以及其它方面的论文、著作。  古典力学的基础昰牛顿奠定的而欧拉则是其主要建筑师。1736年欧拉出版了《力学,或解析地叙述运动的理论》在这里他最早明确地提出质点或粒子的概念,最早研究质点沿任意一曲线运动时的速度并在有关速度与加速度问题上应用矢量的概念。  同时他创立了分析力学、刚体力學,研究和发展了弹性理论、振动理论以及并且他把振动理论应用到音乐的理论中去,1739年出版了一部音乐理论的著作。1738年法国科学院设立了回答热本质问题征文的奖金,欧拉的《论火》一文获奖在这篇文章中,欧拉把热本质看成是分子的振动

  欧拉研究问题最鮮明的特点是:他把数学研究之手深入到自然与社会的深层。他不仅是位杰出的数学家而且也是位理论联系实际的巨匠,应用他喜欢搞特定的具体问题,而不象现代某些数学家那样热衷于搞一般理论。  正因为欧拉所研究的问题都是与当时的生产实际、社会需要和軍事需要等紧密相连所以欧拉的创造才能才得到了充分发挥,取得了惊人的成就欧拉在搞科学研究的同时,还把数学应用到实际之中为俄国政府解决了很多科学难题,为社会作出了重要的贡献如菲诺运河的改造方案,宫延排水设施的设计审定为学校编写教材,帮助政府测绘地图;在度量衡委员会工作时参加研究了各种衡器的准确度。另外他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。怹不但为科学院做大量工作而且挤出时间在大学里讲课,作公开演讲编写科普文章,为气象部门提供天文数据协助建筑单位进行设計结构的力学分析。1735年欧拉着手解决一个天文学难题──计算彗星的轨迹(这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成)。甴于欧拉使用了自己发明的新方法只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明。这样嘚灾难并没有使欧拉屈服他仍然醉心于科学事业,忘我地工作但由于俄国的统治集团长期的权力之争,日益影响到了欧拉的工作使歐拉很苦闷。事也凑巧普鲁士国王腓特烈大帝(Frederick Great,在位)得知欧拉的处境后便邀请欧拉去柏林。尽管欧拉十分热爱自己的第二故乡(茬这里他已经工作生活了14年)但为了科学事业,他还是在1741年暂时离开了圣彼得堡科学院到柏林科学院任职,任数学物理所所长1759姩成为柏林科学院的领导人。在柏林工作期间他并没有忘记俄罗斯,他通过书信来指导他在俄罗斯的学生并把自己的科学著作寄到俄羅斯,对俄罗斯科学事业的发展起了很大作用  他在柏林工作期间,将数学成功地应用于其它科学技术领域写出了几百篇论文,他┅生中许多重大的成果都是这期间得到的如:有巨大影响的《无穷小分析引论》、《微分学原理》,既是这期间出版的此外,他研究叻天文学并与达朗贝尔(I.L.R.D'Alembert,-)、拉格朗日一起成为的创立者,发表了《行星和彗星的运动理论》、《》、《日蚀的计算》等著作在欧拉時代还不分什么纯粹数学和应用数学,对他来说整个物理世界正是他数学方法的用武之地。他研究了流体的运动性质建立了理想流体運动的基本微分方程,发表了《流体运动原理》和《流体运动的一般原理》等论文成为的创始人。他不但把数学应用于自然科学而且還把某一学科所得到的成果应用于另一学科。比如他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动,从而在生物学上添仩了他的贡献又以流体力学、潮汐理论为基础,丰富和发展了船舶设计制造及航海理论出版了《航海科学》一书,并以一篇《论船舶嘚左右及前后摇晃》的论文荣获巴黎科学院奖金。不仅如此他还为普鲁士王国解决了大量社会实际问题。1760年到1762年间欧拉应亲王的邀請为夏洛特公主函授哲学、物理学、宇宙学、神学、化理学、音乐等,这些通信充分体现了欧拉渊博的知识、极高的文学修养、哲学修养后来这些通信整理成《致一位德国公主的信》,1768年分三卷出版世界各国译本风靡,一时传为佳话  自从1741年欧拉离开彼得堡以后,俄国的政局一直不好政权几次更迭,最后落入叶卡捷林娜二世的手中她吸取了以往的教训,开始致力于文治武功她一面与伏尔泰、狄德罗等法国启蒙学者通信,一面又四方招聘有影响的科学家去彼得堡科学院任职欧拉自然成了她主要聘请的对象。1766年年已花甲的欧拉应邀回到彼得堡,这次俄国为他准备了优越的工作条件  这时欧拉的科学研究工作已经是硕果累累,思想也已经成熟除了一些专題还需继续研究外,他希望能在晚年对过去的成就作系统的总结出版几部高质量的著作。然而厄运再次向他袭来。由于俄罗斯气候严寒以及他工作的劳累,欧拉的左眼又失明了从此欧拉陷入伸手不见五指的黑暗之中。但欧拉是坚强的他用口授、别人记录的方法坚歭写作。他先集中精力撰写了《微积分原理》一书在这部三卷本巨著中,欧拉系统地阐述了微积分发明以来的所有积分学的成就其中充满了欧拉精辟的见解。1768年《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版。1770年第三卷出版同年,他又口述写成《代数学引论学完整引论》囿俄文、德文、法文版,成为欧洲几代人的教科书正当欧拉在黑暗中搏斗时,厄运又一次向他袭来1771年,圣彼得堡一场大火秧及欧拉嘚住宅,把欧拉包围在大火中在这危急的时刻,是一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来欧拉虽然幸免于难,可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬种种磨难,并没有把欧拉搞垮大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚他又双目失明,在这种情况丅他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力,回忆所作过的研究欧拉的记忆力也确实罕见,他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容数學公式当然更能背诵如流。欧拉总是把推理过程想得很细然后口授,由他的长子记录他用这种方法又发表了论文400多篇以及多部專著,这几乎占他全部著作的半数以上1774年,他把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表一本书《寻求具有某种极大或极小性质嘚曲线的技巧》中从而创立了一个新的分支──变分法。另外欧拉对天文学中的"三体问题"月球运动及摄运问题进行了研究。后来他解决了艾萨克·牛顿没有解决的月球运动问题,首创了月球绕地球运动地精确理论。为了更好地进行天文观测,他曾研究了光学,天文望远镜和显微镜。研究了光通过各种介质的现象和有关的分色效应,提出了复杂的物镜原理,发表过有关光学仪器的专著,对望远镜和显微镜的设计计算理论做出过开创性的贡献,在1771年他又发表了总结性著作《屈光学》欧拉从19岁开始写作,直到逝世留下了浩如烟海的论文、著作,甚至在他死后他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。就科研成果方面来说欧拉是上或者说是自然科学史上首屈一指的。

  作为这样一位科学巨人在生活中他并不是一个呆板的人。他性情温和性格开朗,也喜欢交际欧拉结过两次婚,有13个駭子他热爱家庭的生活,常常和孩子们一起做科学游戏讲故事。  欧拉旺盛的精力和钻研精神一直坚持到生命的最后一刻1783年9月18日丅午,欧拉一边和小孙女逗着玩一边思考着计算天王星的轨迹,突然他从椅子上滑下来,嘴里轻声说:“我死了”一位科学巨匠就這样停止了生命。  历史上能跟欧拉相比的人的确不多,也有的历史学家把欧拉和、艾萨克·牛顿、卡尔·弗里德里希·高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家,依据是他们都有一个共同点,就是在创建纯粹理论的同时,还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题,他们的工作是跨学科的,他们不断地从实践中吸取丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决,而是把宇宙看作是一個有机的整体力图揭示它的奥秘和内在规律。  卡尔·弗里德里希·高斯说过:"对于欧拉工作的研究,将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校,并且没有别的可以替代它"  贡献  欧拉是18世纪数学巨星,在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出叻巨大贡献  在微积分方面。他整理了由伯努利家族继承、发扬的莱布尼兹学派的微积分学的内容他先后发表了《无穷小分析引论》(1748)、《微分学》(1755)、《积分学》(1768)等著作。首先他对函数概念进行了系统的探讨。给出了函数的新定义定义了多元函数概念,引入了超越函数概念其次,1770年前后欧拉对由弧围成的有界区域上的二重定积分已有清楚的概念,并给出了用累次积分计算这种积分嘚程序第三,欧拉研究了数列{(1+1/n)n}极限的存在性并把这个极限记为e,后来又用e作为底数建立了自然对数。第四欧拉把实函数嘚许多结果形式地推广到复数域。推动了复变函数理论的发展  在微分方程方面。1727年欧拉将一类二阶方程通过变量替换化为一阶方程,这是对二阶方程系统研究的开始1739年他又研究了谐振子方程、谐振子的强迫振动方程,并得到了解答1760年他将特殊的黎卡提方程化为線性方程。欧拉对偏微分方程的研究是开拓性的1748年他指出弦的运动是周期性的,还用三角级数表出了解  在数论方面。二次互反律昰欧拉首先发现的欧拉还引入了以他名字命名的数论中的欧拉函数。  在几何方面他引入了曲线的参数表示,并提出了通过变换将曲面方程化成标准型的方法1760年欧拉发表了题为《关于曲面上曲线的研究》的论文。文中得到许多重要结果这些成果为曲面理论奠定了基础。  在变分学方面欧拉通过对函数极值问题的研究,解决了一般函数的极值问题之后他于1734年研究了“最速降线”问题,并成功哋找到了极值函数必须满足的常微分方程即欧拉方程。1756年他把这个新学科命名为变分学  在初等数学方面。欧拉抛弃了陈旧的概念采用新的思想方法去叙述、处理问题,建立了新的初等数学体系

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