e^x展开成x的幂级数收敛求收敛半径时为什么不能用公式法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-01 11:09 标签： 幂级数收敛

根据2113达朗贝尔审敛法收敛半径R滿足:如果幂级数收敛5261满足，则:ρ是4102正实数时1/ρ；ρ = 0时，+∞；ρ =+∞时1653R= 0。

  1. 根据达朗贝尔审敛法收敛半径R满足：如果幂级数收敛满足，则： ρ是正实数时1/ρ。 ρ = 0时，+∞ρ =+∞时，R= 0

  2. 根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式,或者,复分析中的收敛半径,将一个收敛半径是正数的幂級数收敛的变量取为复数就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：个中心为 a的幂级数收敛 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数收敛方式定义的点的距离,到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘,最近点的取法是在整个复平面中而鈈仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此.

  3. 例如：函数没有复根它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它嘚收敛半径为1。与此相应的函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数收敛：运用审敛法可以知道收敛半径为1。

  4. 考虑如下幂级数收敛展开：其中有理数 Bn是所谓的伯努利数对于上述幂级数收敛，很难运用审敛法来计算收敛半径但運用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当 z=0 时，函数没有奇性因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值即使得e1 = 0的复数 z。设z= x+ iy那么要使之等于1，则虚部必须为零于是有 y= kπ，其中 。同时得到 x= 0回代后发现 k只能为偶数，于是使得分母为零的 z为2kπi的形式其中 。离原点最近距离为 2π，于是收敛半径为 2π。

  5. 收敛圆上的敛散性如果幂级数收敛在 a附近可展并且收敛半径为 r，那么所有滿足 |z a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆称为收敛圆。幂级数收敛在收敛圆上可能收敛也可能发散即使幂级数收敛在收敛圆上收斂，也不一定绝对收敛

  6. 函数： (z) = (1 z) 在z= 0 处展开的幂级数收敛收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散

  7. 幂级数收敛的收敛半径是 1 并在整个收斂圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数那么h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z後的导数。 h(z) 是双对数函数幂级数收敛的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收斂，但是并不在收敛圆上绝对收敛

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你好！幂级数收敛在|x|<R时绝对收敛|x|>R时发散，所以条件收敛只可能出现在|x|=R处所以本题的收敛半径是3。经济数学团队帮你解答请及时采纳。谢谢！

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