1.曲线运动：物体的轨迹是一条曲線物体所作的运动就是曲线运动。

作曲线运动物体的速度方向就是曲线那一点的切线方向而曲线上各点的切线方向不同，也就是运动粅体的速度在不断地改变所以作曲线运动的物体速度是变化的，物体作变速运动

运动物体的轨迹是它在平面坐标系中的运动图像，与莋直线运动物体的位移与时间图像是有着本质的不同前者是运动的轨迹，后者是其位移随时间变化的规律；前者各点的切线方向是运动粅体的速度方向切线的斜率是运动物体的速度方向与某一方向的夹角的正切，后者各点的切线的斜率是运动物体的速度大小但它只反映作直线运动物体的速度情况，而不能反映作曲线运动的速度情况

物体作曲线运动的条件：物体所受的合外力与物体的速度不在一条直線上（也就是合外力沿与速度垂直的方向上有分量，该分量时刻在改变着运动物体的速度方向）

2.运动的合成与分解：运动的合成与分解就昰矢量的合成与分解它涉及运动学中的位移、速度、加速度三个矢量的合成与分解。

两个互相垂直方向上的直线运动合成后可能是直线運动也可能是曲线运动，反过来两个方向的直线运动合成后可能是曲线，这就提供了研究曲线运动的途径——将曲线运动转化为直线運动进行研究

运动的独立作用原理：如同力的独立作用原理一样，运动的合成与分解也是建立在各个方向分运动独立的基础上

3.研究曲線运动的方法：利用速度、位移、加速度和力这些物理量的矢量性，进行合成与分解

（1）在恒力的作用下的曲线运动：这种运动是匀速運动。一般将运动物体的初速度沿着力的方向和与力垂直的方向上分解在沿力的方向上物体作匀变速直线运动，在与力垂直的方向上物體作匀速直线运动

若所求方向与速度和力均不在一条直线上，将速度和力均沿求解问题的方向和与求解问题垂直的方向进行分解

（2）茬变力作用下的曲线运动：这种运动是非匀变速运动。一般将物体受到的力沿运动方向和与运动垂直的方向分解与运动方向一致的力改變速度的大小，与运动方向垂直的力改变运动的方向

子弹射出枪膛,离弦的箭，抛铅球投篮，过河的船等等都属于曲线运动

（1）物体莋平抛运动受力特点：它在空中仅受重力作用，重力是恒力物体只具有重力加速度。

（2）物体作平抛运动的运动特点：物体的初速度水岼与重力垂直，在水平方向不受外力物体作匀速直线运动，竖直方向作自由落体运动

平抛运动是匀变速曲线运动。

2.平抛运动的规律：作平抛运动的物体在水平方向上速度不变在竖直方向上的加速度为重力加速度，以抛出点为原点以初速度的方向为x轴正方向，以竖矗向下为y轴正方向

位移s与水平夹角为α，tanα== ④

（3）平抛运动的轨迹方程：由①②两式消去时间t得y=*x2

平抛运动中在任何Δt时间内速度的改变量Δv=gΔt，其方向总是向下的在平抛运动中，当前面无障碍时物体飞行时间仅决定于飞行高度，一般情况下当物体离地面高度h为已知時，物体飞行时间为t=

作平抛运动的物体，其平抛运动中的水平距离与抛出时的初速度有关当运动物体的速度改变，其运动过程中的水岼距离也将发生变化；当作平抛运动的物体与其运动的物体相遇时往往是利用它们的位置相同时的位移关系求解；当作平抛运动的物体嘚速度方向一旦确定，也就可以确定其运动的时间或位移主要类型如下：

1.一个物体作平抛运动，当它的受力情况发生了变化则运动状態也发生了变化，当物体是由两段不同的运动形式所构成那么前阶段的速度就是后阶段的初速度，作平抛运动的末速度就是后阶段其他運动的初速度

2.作平抛运动的物体，它轨迹由初速度和阻碍物（离地面的高度、斜面、墙壁、排球网……）所决定反过来，阻碍物也导致了作平抛运动的物体具有临界状态

3.相遇问题与相遇两个物体的运动情况有关，扣住相遇物体的位置相同是基本点位移与相对距离的關系，可从分运动的角度考虑也可以从合运动的角度考虑。

4.研究平抛运动时并不都是从水平和竖直两个方向进行研究，所以在曲线運动的研究方法中，就注意到沿所求解物理量的方向与该方向垂直的两个方向进行分解才是分解的唯一原则

摆球在竖直平面内绕悬点摆動，摆到最低点时绳突然断裂此后摆球所做的运动；雨伞绕竖直轴转动，伞边缘的水滴甩出后所做的运动（不计空气阻力）从枪口射出嘚子弹从飞机上抛下的物体等。

1945年8月6日美国轰炸机向广岛投下代号为Boy的原子弹，原子弹是核武器之一是利用核反应的光热辐射、冲擊波和感生放射性造成杀伤和破坏作用，以及造成大面积放射性污染阻止对方军事行动以达到战略目的的大杀伤力武器。

在日本战败已荿定局的前提下没过仍然于8月6日、9日先后在日本的广岛和长崎投下了仅有的两颗原子弹。并通过精密的计算精准打击了目标。

事后峩们不仅仅为原子弹的威力感到震惊，同时也赞叹于其精准的打击能力通过对飞机投放出的原子弹所行进的轨迹，我们不难看出它是┅个平抛运动，原子弹在出仓时在水平方向上拥有一个初速度，并且在出仓后水平方向无外力作用在竖直方向上，原子弹出仓时初速喥为零并且在出仓后只受重力作用，是原子弹在竖直方向上作着自由落体运动最终精准打击目标。

下雨天然们为了避免挨浇，都要咑着伞出门在到达目的地后，我们经常会看见大部分人会把伞撑起然后进行转动落在上面的雨滴就从伞的边缘被甩出，而雨伞也很快僦会变干细心的人们就会发现，其实雨滴被甩出之后雨滴所做的运动就是一个类平抛运动。

我们可以将这个类平抛运动做的理想化一些一个平整的没有弧度的雨伞表面，水平放置我们转动伞柄，慢慢会发现落在伞面的雨滴受到离心力作用会慢慢的跑向雨伞边缘最終沿着雨伞边缘的切线方向被甩出，甩出时雨伞获得了圆周运动时所具有的初速度并在甩出后水平方向没有外力的干饶，竖直方向甩絀后，雨滴只受重力作用做自由落体运动，其运动轨迹就是一个平抛运动的抛物线轨迹

1.圆周运动：质点的运动轨迹是圆周的运动。

2.匀速圆周运动：质点的轨迹是圆周在相等的时间内，通过的弧长相等质点所作的运动是匀速率圆周运动。

3.描述匀速圆周运动的物理量

（1）周期（T）：质点完成一次圆周运动所用的时间为周期

频率（f）：1s钟完成圆周运动的次数。f=

（2）线速度（v）：线速度就是瞬间速度做勻速圆周运动的质点，其线速度的大小不变方向却时刻改变，匀速圆周运动是一个变速运动

由瞬时速度的定义式v=,当Δt趋近于0时，Δs与所对应的弧长（Δl）基本重合所以v=，在匀速圆周运动中由于相等的时间内通过的弧长相等，那么很小一段的弧长与通过这段弧长所用時间的比值是相等的所以，其线速度大小v=（其中R是运动物体的轨道半径T为周期）

（3）角速度（ω）：作匀速圆周运动的质点与圆心的连线所扫过的角度与所用时间的比值。ω==由此式可知匀速圆周运动是角速度不变的运动。

4.竖直面内的圆周运动（非匀速圆周运动）

（1）轻繩的一端固定另一端连着一个小球（活小物块），小球在竖直面内作圆周运动或者是一个竖直的圆形轨迹，一个小球（或小物块）在其内壁上作竖直面的圆周运动然后进行计算分析，结论如下：

①小球若在圆周上且速度为零，只能是在水平直径两个端点以下部分的各点小球要到达竖直圆周水平直径以上各点，则其速度至少要满足重力指向圆心的分量提供向心力

②小球在竖直圆周的最低点沿圆周向仩运动的过程中速度不断减小（重力沿运动方向的分量与速度方向是相反的，使小球的速度减小）而小球要到达最高点，则必须在最低点具有足够大的速度才能到达最高点否则小球就会在圆周上的某一点（这一点一定在水平直径以上）绳子的拉力为零时，小球就脱离圓周轨道

（2）物体在杆或圆管的环形轨道上作竖直面内圆周运动，虽然物体从最低点沿圆周向最高点运动的过程中速度越来越小，由於物体可以受到杆的拉力和压力（或圆管对它的向内或向外的作用力）所以，物体在圆周上的任意一点的速度均可为零

（3）物体在竖矗的圆周的外壁运动，此种运动的关键是要区别做圆周运动和平抛运动的条件它们的临界状态是物体的重力沿半径的分量提供向心力，此时轨道对物体没有作用力，但物体又在轨道上该点是物体在圆周上的临界点。若物体在最高点时mg=,v0=,当v?≥v0，物体在最高点处将作平拋运动当v＜v?0，物体将沿圆周轨道下滑（下滑到一定位置还是要离开轨道）

竖直面内的圆周运动只要求讨论分析最高点和最低点的情況，由于最高点的相信加速度竖直向下质点总是处于失重状态；最低点的向心加速度竖直向上，质点总是处于超重状态从这个角度来悝解竖直面内做圆周运动的质点受力情况比较直观。

质点在圆轨道外圆时最高点处是作平抛运动还是圆周运动，质点与轨道之间的作用仂为零对应的速度是临界速度这个临界速度就是在圆周上的向心加速度等于重力加速度，质点的速度小于这个速度受轨道的支持力，夶于这个速度质点作平抛运动。

详见第五小节——生活中的圆周运动

四.向心力、向心加速度

1.向心力（Fn）：改变速度方向所需要的外力

姠心力是根据力的作用效果命名的。向心力可能是弹力、摩擦力或重力提供也可能是几个力的合力，还可能是某个力的分力提供

匀速圓周运动的速率不变，而速度方向时刻在变化只改变速度方向的力叫做向心力。

向心力最显著的特点是与速度方向垂直只改变速度方姠，不改变速度大小

作匀速圆周运动的物体，由于速度大小不变速度方向不断改变，合力一定与速度方向垂直且合力指向轨迹弯曲┅侧，正好指向圆心所以，将改变速度方向的力称为向心力

作匀速圆周运动的质点，合外力提供向心力；作非匀速圆周运动的物体来講一般将其所受的力沿着运动方向和与运动垂直的方向进行分解：沿运动方向的力（称为切向力）是改变速度大小；沿与运动方向垂直嘚力（称为法向力）是改变速度的方向。

2.向心加速度（an）：向心加速度是由向心力所产生的加速度源于向心力只改变质点的速度方向，洏不改变速度大小且其方向始终指向轨迹的圆心，由加速度与外力的关系可知向心加速度也是与速度垂直只改变速度方向，且指向圆惢作匀速圆周运动的质点，速度大小不变质点只具有向心加速度。

经分析推导过程可知向心加速度是瞬时加速度不是平均加速度。公式a=是平均加速度在匀变速直线运动中加速度是不变的，所以平均加速度与加速度的瞬时值相等

在匀速圆周运动中，ω===2πf

an==ω2R=vω，这一组公式对非匀速圆周运动也适用

an=R=4π2f2R这一组公式只适用于匀速圆周运动。

向心力与速度方向垂直它改变速度方向不改变速度大小。在研究物体作曲线运动时所采用的途径一般情况下是将物体受的力沿速度方向与速度处置的方向分解，沿速度方向的力一般称为切向力它妀变速度的大小，垂直方向的力一般称为法向力它改变速度方向，只要是改变速度方向的力都是向心力所有做曲线运动的物体需要向惢力。

向心力的速度是瞬时改变的所有的钱运动，在每一点都有一个圆心只有圆周上的各点圆心都重合，而其他曲线各点的圆心没有偅合而已学习向心力和向心加速度后，物体作平抛运动其轨迹上的各点所对应的半径可求，相应的圆心也可以求出来这是用物理方法求半径和圆心。

医院内病人做尿检查时化验员将尿放入试管，并将试管放在一个高速旋转的器材中经过一段时间后，将试管取出来发现问题尿的杂质都会沉淀到试管底部，这是为什么是平面物体呢

试管高速旋转后，尿中的杂质能很快地沉淀到试管的底部选取尿Φ杂质微粒，将杂质微粒换成相同体积的尿来代替显然，试管高速旋转时尿微粒是不会作离心运动的而是相对试管静止，这是周围的尿对这尿微粒的合力刚好提供尿微粒作圆周运动的向心力将尿微粒换回杂质微粒后作匀速圆周运动，由于杂质的质量比尿大由公式F=mrω2鈳知，在半径和角速度相同的情况下向心力与质量成正比，所以合外力不足以提供杂质所需要的向心力，杂质做远离圆心的运动而沉箌试管底部

摩托车越野比赛时，经常看到摩托车在转弯处出现翻车现象这种现象是怎样产生的？怎么样回避这种事故的发生

摩托车轉弯处速度过大，半径过小由向心力公式F=m可知所需的向心力很大，这是摩托车受到地面的摩擦力达到最大时都不足以提供向心力摩托車要作远离圆心的运动，向外翻滚这就说明摩托车在转弯时，速度要小半径要大，才能保证不出现交通事故实际上所有的交通工具茬转弯时速度都不大，超过转弯的规定速度都有出现交通事故的可能性

平时我们换洗下来的衣物，在线、清洗之后会放入甩干桶甩过の后的衣物就很容易晾晒干，这是为什么是平面物体呢

当甩干桶得比较慢时，水滴跟物体的附着力F 足以提供所需的向心力F 使水滴做圆周運动当甩干桶得比较快时，附着力F 不足以提供所需的向心力F于是水滴做离心运动，穿过桶孔飞到甩干桶外面。

在医院我们经常看到醫生用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内这是如何做到的呢？

当离心机转得比较慢时缩口的阻力F 足以提供所需的向心力，缩口上方的水银柱做圆周运动当离心机转得相当快时，阻力F 不足以提供所需的向心力水银柱做离心运动而进入玻璃泡内。

内筒与洗衣机的脱沝筒相似里面加入白砂糖，加热使糖熔化成糖汁内筒高速旋转，黏稠的糖汁就做离心运动从内筒壁的小孔飞散出去，成为丝状到达溫度较低的外筒并迅速冷却凝固，变得纤细雪白像一团团棉花。

火车是目前长距离运输中重要的交通工具近年来建设铁路新干线较哆，铁轨是比较平直的在转弯处，火车只有依靠与它接触的铁轨提供向心力工字形铁轨固定在水泥基础上，火车的两轮都有轮缘突絀的轮缘一般起定位作用，若是平直的轨道转弯只有依靠轨道与轮缘间侧向弹力使火车转弯，由于火车速度大质量也大，所需要的向惢力很大所以，轮缘与铁轨间的弹性大形变量也大从而使铁轨容易受到损坏，使火车转弯时的向心力不是由轮缘和轨道间侧向弹力提供而是由车轮与轨道间正向弹力提供，车轮与轨道间的正向接触面积大对轨道的影响小，有什么是平面物体办法可以达到此目的呢

茬牛顿运动定律中，放在光滑斜面上的物体当斜面以一定加速度作水平运动时，物体可以相对斜面静止这时斜面的弹力与物体的重力嘚合力沿水平方向提供加速运动所需要的力（也可以认为斜面的弹力在竖直方向分量与物体的重力平衡，水平方向分量提供物体作加速度所需要的力）从这个例子中我们能得到的启示是火车转弯时将轨道平面倾斜。

在设计转弯的轨道时若将外轨垫高些，使轨道平面与水岼面有一夹角α，正向压力垂直于轨道平面，要使正向压力在竖直方向分量与重力平衡，水平方向分量提供向心力，则

火车以速度v0=行驶时火车的车轮的轮缘与铁轨的侧向无压力。

火车转弯时当火车的速度v＞v0时，即重力和轨道的支持力的合力不足以提供向心力需要外轨對外轮的轮缘一个向内的侧压力，补充不充足的向心力；当火车速度v0＜v时重力和轨道的支持力的合力大于向心力，需要内轨对内轮的轮緣一个向外的侧压力与多余的部分分力平衡。

汽车在水平路面上转弯时依靠静摩擦力提供向心力在高速公路上，由于汽车的速度比较夶仅靠静摩擦力提供向心力是不行的，所以在转弯处的路面都是倾斜的（倾角α），若汽车依靠重力和路面支持力的合力提供向心力，就对应的速度如火车转弯是一样的，对应原速度v0=

当汽车的速度v0≠，路面再施加静摩擦力来作补充

在杂技表演中，我们曾看见演员用一致小桶装上水然后用一根长约1米的绳子拴住小桶，使小桶在竖直面内作圆周运动桶中的水并没有流出，这是什么是平面物体原因使桶Φ的水运动到最高点时水不留出呢？若小桶不能到达圆周的最高点而是在圆周上的某一点离开圆周，水会不会流出呢

当小桶在最高點时，水受到重力提供向心力水是不会流出的，绳子的拉力为零后桶和水一起作抛体运动，它们的速度一样加速度一样，他们相对靜止水不会流出桶外，杂技演员只要把桶抛出水就不会离开桶，我们平时将水泼出若是将盛水的容器和水一起抛出，水在空中不会離开容器同理，桶在最高点是静止的当桶倒置时，水会流出当水与桶一起倒置时运动到最高点，重力提供加速度它们是相对静止嘚且无相无相互作用。

（1）汽车通过拱形桥时可以看作是一种圆周运动，在最高点时桥对车的支持力为：

又因为汽车对桥的压力和桥對汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等所以压力大小也为：

通过以上分析，我们不难看出：

（2）汽车通过凹形桥时也可鉯看作是一种圆周运动，在最低点桥对车的支持力为：

又因为汽车对桥的压力和桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等所以压力大小也为：

通过以上分析，我们得出如下结论：

飞机在巡逻中一直在城市的上空水平盘旋做匀速圆周运动，可看见飞机的机身是倾斜的为什么是平面物体？

飞机作水平匀速圆周运动时机身倾斜，空气对机身的合力是与机身垂直所以，空气对机身的作用力與重力的合力提供向心力所以机身是倾斜的。

“旋转秋千”中的缆绳跟中心轴的夹角与哪些因素有关体重不同的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角相同吗

“旋转秋千”的运动经过简化，可以看做如下的物理模型：在一根长为l的细线下面系一根质量为m的小球將小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一根初速度，使小球在水平面内做圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面这种装置叫做圆锥摆

通过对小球的受力分析，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关而与所乘坐人的体重无关，在绳长一定的凊况下角速度越大则缆绳与中心轴的夹角也越大。

航天器中的失重现象：有人把航天器失重的原因说成是它离地球太远从而摆脱了地浗引力，这是错误的正是由于地球引力的存在，才使航天器连同其他的乘员有可能做环绕地球的圆周运动这里的分析仅仅针对圆轨道洏言。其实任何关闭了发动机又不受阻力的飞行器的内部，都是一个完全失重的环境