数学导数零点问题问题

解析高考中的导数热点问题--《数学学习与研究》2014年17期
解析高考中的导数热点问题
【摘要】:导数是高中数学新教材的一个亮点,导数问题也是近年高考的热点.本文拟对高考中的导数考点作出系统的归纳,然后通过一些实例较集中地介绍导数在高考数学解题中的应用,以期探寻解答高考中导数热点问题的一般途径.
【作者单位】:
【分类号】:G634.6
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400-819-99932013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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2013高考数学导数与函数的综合问题试题解析汇编
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y k J.cOM 课时作业(十六) [第16讲 导数与函数的综合问题]
[时间:45分钟 分值:100分] 基础热身1.若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________.3.方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为________.4.下列不等式在(0,+∞)上恒成立的是________.(填序号)①lnx&x;②sinx&x;③tanx&x;④ex&x+1.能力提升5.当x≠0时,a=ex,b=1+x,则a,b的大小关系是________.6.方程x3-6x2+9x-4=0的实根的个数为________.7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是________.&图K16-18.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是________.9.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是________.10.[;镇江统考]& 已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)&f(3x),则实数x的取值范围是________.11.[;南通模拟]& 已知函数g(x)=1sinθ•x+lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),则θ的值为________.12.[;海安检测]& 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)&0成立,若a=30.3•f(30.3),b=logπ3•f(logπ3),c=log319•flog319,则a,b,c的大小关系是________.
13.(8分)已知函数f(x)=14x4+x3-92x2+cx有三个极值点.证明:-27&c&5. 14.(8分)已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x&0且x≠1时,f(x)&lnxx-1.&
15.(12分)[;苏南联考]& 已知函数f(x)=lnx+1x-1.(1)求函数的定义域,并证明f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数;
(2)若x∈[2,6],f(x)&lnmx-17-x恒成立,求实数m的取值范围.
16.(12分)已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x.(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;(3)若方程f(x)=g(x)+m有惟一解,试求实数m的值.&&课时作业(十六)【基础热身】1.(0,+∞) [解析] y′=-4x2+b,函数有三个单调区间,即y′值有正、有负,则b&0.2.13,+∞ [解析] y′=3x2+2x+m,因为函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,故Δ=4-4×3m≤0,从而m≥13.3.1 [解析] 设f(x)=2x3-6x2+7,则f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为x∈(0,2),所以有f′(x)&0,所以f(x)在(0,2)内单调递减,又f(0)=7&0,f(2)=-1&0,所以在(0,2)内存在惟一的x0,使f(x0)=0,因此,方程2x3+7=6x2在(0,2)内的实根个数为1.4.③④ [解析] 当x=1时,①,②不成立;对于③,设f(x)=tanx-x,则f′(x)=1cos2x-1=1-cos2xcos2x=sin2xcos2x≥0,因此f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)min&f(0)=0,符合题意;对于④,令f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,在(0,+∞)上f(x)是增函数,故f(x)min&f(0)=0,符合题意.【能力提升】5.a&b [解析] 设y=ex-1-x,∴y′=ex-1,∴x&0时,函数y=ex-1-x是递增的;x&0时,函数y=ex-1-x是递减的,∴x=0时,y有最小值0.故x≠0时,y&0,即a&b.6.2 [解析] 令f(x)=x3-6x2+9x-4,则f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).由f′(x)&0得x&3或x&1;由f′(x)&0得1&x&3.∴f(x)的单调增区间为(3,+∞),(-∞,1),单调减区间为(1,3),∴f(x)在x=1处取极大值,在x=3处取极小值,又∵f(1)=0,f(3)=-4&0,∴函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即方程x3-6x2+9x-4=0有两个实根.7.③④ [解析] 导函数的图象为抛物线,其变号零点为函数的极值点,因此③、④不正确.8.m&0 [解析] y′=ex+m,由条件知ex+m=0有实数解,∴m=-ex&0.9.-2&a&2 [解析] f′(x)=3x2-3,f(x)极大=f(-1)=2+a,f(x)极小=f(1)=-2+a,函数f(x)有3个不同零点,则2+a&0且-2+a&0,因此-2&a&2.10.(1,2) [解析] 由f(x)=lnx+2x⇒f′(x)=1x+2xln2&0(x∈(0,+∞)),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x2+2)&f(3x)&#+2&3x⇒x∈(1,2).11.π2 [解析] 由题意,g′(x)=-1sinθ&#x≥0在[1,+∞)上恒成立,即sinθ•x-1sinθ&#.∵θ∈(0,π),∴sinθ&0.故sinθ•x-1≥0在[1,+∞)上恒成立,只需sinθ&#≥0,即sinθ≥1,只有sinθ=1.结合θ∈(0,π),得θ=π2.12.c&a&b [解析] 令g(x)=xf(x),则由于f(x)是R上的奇函数,所以g(x)为R上的偶函数,又当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)&0成立,即g′(x)=f(x)+xf′(x)&0,故当x∈(-∞,0)时,g(x)单调递减,从而g(x)在(0,+∞)上单调递增.又由于2&30.3&1,logπ3∈(0,1),log319=-2,所以g(-2)=g(2)&g(30.3)&g(logπ3),即c&a&b.13.[解答] 证明:因为函数f(x)=14x4+x3-92x2+cx有三个极值点,所以f′(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),当x&-3时,g′(x)&0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数;当-3&x&1时,g′(x)&0,g(x)在(-3,1)上为减函数;当x&1时,g′(x)&0,g(x)在(1,+∞)上为增函数.所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)&0且g(1)&0.即-27+27+27+c&0且1+3-9+c&0,解得c&-27且c&5,故-27&c&5.14.[解答] (1)∵f′(x)=ax+1x-lnxx+12-bx2,由题意知:fǡ=1,f′ǡ=-12,即b=1,a2-b=-12,∴a=b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=lnxx+1+1x,所以f(x)-lnxx-1=11-x22lnx-x2-1x.设h(x)=2lnx-x2-1x(x&0),则h′(x)=-x-1&#.当x≠1时,h′(x)&0,而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)&0,当x∈(1,+∞)时,h(x)&0.得11-x2h(x)&0,从而,当x&0且x≠1时,f(x)-lnxx-1&0,即f(x)&lnxx-1.15.[解答] (1)由x+1x-1&0,解得x&-1或x&1,∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=ln-x+1-x-1=lnx-1x+1=lnx+1x-1-1=-lnx+1x-1=-f(x),∴f(x)=lnx+1x-1在定义域上是奇函数.(2)由x∈[2,6]时,f(x)&lnmx-17-x恒成立,∴x+1x-1&mx-17-x&0,x∈[2,6],∴0&m&(x+1)(7-x)在x∈[2,6]上恒成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-x2+6x+7,x∈[2,6],令g′(x)≥0,即-2x+6≥0,得x≤3;令g′(x)&0,即-2x+6&0,得x&3.故x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,∴0&m&7.16.[解答] (1)因为f′(x)=2x-8x,所以切线的斜率k=f′(1)=-6,又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1),即y=-6x+7.(2)因为f′(x)=2x+2x-2x,又x&0,所以当x&2时,f′(x)&0;当0&x&2时,f′(x)&0.即f(x)在(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,又g(x)=-(x-7)2+49,所以g(x)在(-∞,7)上递增,在(7,+∞)上递减,欲f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则a≥2,a+1≤7,解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2-8lnx-14x=m,令h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为h(x)=m.因为当x&0时原方程有惟一解,所以函数y=h(x)与y=m的图象在y轴右侧有惟一的交点.又h′(x)=4x-8x-14=2x-42x+1x,且x&0,所以当x&4时,h′(x)&0;当0&x&4时,h′(x)&0.即h(x)在(4,+∞)上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值,从而当x&0时原方程有惟一解的充要条件是m=h(4)=-16ln2-24. 文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y k J.cOM
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看每年的高考大题压轴题,大家会发现解法还是学过的解法,知识也是学过的知识,可是有的题就是解不出来,这是为什么呢?解数学题首先是审题,读懂题目意思也就是理解题意,很多题目有生活背景,有高数背景等,学生对导数问题的解答,大致会分4个阶段,分析题目,构造函数,研究函数,解决问题,下题也正是由这样一个过程来求解
微积分中的泰勒展开式定理,给出了用多项式函数近似表达复杂函数的理论,在近似计算和数值分析中具有十分重要的意义,上题的编制就源于上述理论
第一问大多同学都会求解,求导注意别出错,不然就可能导致满盘皆输
解法1就是把研究函数研究的很透彻,分别构造了两个函数来细分,不等式的转化恒成立问题,再自然想到求导去判断函数的单调性从而求函数最值,一般对0的处理要格外小心,有的时候感觉缺少条件,其实都是转化的思想,灵活运用,M(0)=0为什么不是等于别的数字呢?大家可以考虑下,留言区评论回复哦
方法2较上法就更直接,通过题目分析,构造函数法,求导,判断单调性,带入端点值,得出结果,看起来水到渠成,实则考了很强的导数计算能力和综合应用能力
第三问与第二问的相似度很高,自然能想到他们之间必定存在某种联系,就是需要找到这个联系的桥梁,解题思路大致同上构造函数求导单调性最值,这些都是基础考点,问题是参数问题的计算难度又加大,这些都是需要同学们平时课下加强,否则很难在考场算出完整过程,得出正确结果
上法用了洛必达法则,都是高数知识背景,学有余力的同学可以试一试,没有坏处,而会更加拓宽你的思路和方法
其实无论再多的方法,再好的方法,不试着去做,那永远是别人的方法,拿出纸笔,做一做吧,加油哦
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