mod在数学中表示什么意思?
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mod在数学中表示什么意思?
问题解答：
余数 (≡)同余一般来说就是取余数 A≡B(Mod C) 就是说A除以C所的余数和B除以C所得的余数相同,换句话说 A-B能整除C 可以表示C｜A-B
我来回答：
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取模其实就是求余数的意思. 再答： 比如，mod(19，4)=3 就表示19除以4的余数是3 再答： 二十年教学经验，专业值得信赖！ 如果你认可我的回答，敬请及时采纳，在右上角点击“评价”，然后就可以选择“满意，问题已经完美解决”了。 再答： 也可以表示成 19≡3(mod4)再问： WHILE IF是循环吗 再答：
是这样的 向量oa在向量ob的投影就是在A（向量oa上的点）点向向量ob上做垂线,垂足设为D,oA在ob上的投影长度就是求|oD|的长 在三角形oAD中,|oD|=|oA|cos夹角 所以向量a在向量b方向上的投影长度为a向量的模乘以夹角余弦
求余如：(-7 )mod 3=-1 值为-1 我也是找的.
取模 就是取余数 比如 10mod3 余数是1 结果就是1
^是为了说明接下去是某个数的几次方.数学符号数学符号的发明和使用比数字晚,但是数量多得多.现在常用的有200多个,初中数学书里就不下20多种.它们都有一段有趣的经历.例如加号曾经有好几种,现在通用“＋”号.“＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的.十六世纪,意大利科学家塔塔里亚用意大利文“piu”（加的意思
数学中 模 这个字被用于很多个不同领域（但是意义不同）一、C语言中的计算符号%,这个求模在数学中是指属于数论内容的求模（通俗的说就是整数除法求余数）,这种求模在数学的抽象代数中有更一般情况的推广,符号是 a 三 b (mod m) （“三”是三跳横线的等号,因为打不出来我用 三代替了 你自行脑补）.这个符号的等价意义是
数学中 模 这个字被用于很多个不同领域（但是意义不同）一、C语言中的计算符号%,这个求模在数学中是指属于数论内容的求模（通俗的说就是整数除法求余数）,这种求模在数学的抽象代数中有更一般情况的推广,符号是 a 三 b (mod m) （“三”是三跳横线的等号,因为打不出来我用 三代替了 你自行脑补）.这个符号的等价意义是
模运算,其实就是取余,可以用mod表示.比如A mod B ,结果就是A/B的余数.5 mod 3 = 2 ,100 mod 2 =0 ,61 mod 7 = 5 等等.模运算的逆运算?没有接触过.
求模就是求余数,比如mod(8,3)=2,mod(9,3)=0
割尾,顾名思义,是指用数的高位形成的数-低位数(常用最后的个位)形成的数的倍数.割,就是减；尾,就是低位形所的数.整除的割尾法,就是用上述方式所得数的整除性来判别原数的整除性.以除数7为例,原理是这样：10a+b==0 mod 7 注：即对于除数(模)7余数为0,亦即整除-2(10a+b)==0==a-2b也就是说,一
威尔逊定理若p为质数,则p可整除(p-1)!+1.证明如下 p=2,命题显然成立； p=3,命题显然成立； 对于奇质数p>=5,令a∈A={2,3,4.p-2},则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,而a|α-
m|(a-b）表示(a-b)被m整除
举个例子吧,今天是星期一 过100天是星期几呢?100 三横 2 （mod 7）那么礼拜一过去两天就是礼拜三~同样的 107 三横 2 (mod 7) 也是礼拜三了~~那么107 三横 100 三横 2 （mod 7）同余就是这么用的~~ 可以把一个很大的量 按照循环的特性分类~
我们知道,数学起源于结绳记数和土地测量.最初,并没有标准数学符号,符号是后来的实践中逐渐产生并进一步完善的.但是,数学符号一旦产生,就能简化数学研究工作,促进数学的发展.所以,学习数学,要从数学符号开始.阿拉伯数字1、2、3、…9、0就是最简单,常用的符号,也就是它们引起了数学上的一场革命. 数学家韦达第一个把符号引入
#1=1.#2=-1.if [#1 EQ10.AND #2 EQ-10.}GOTO999..#1=#1+1#2=#2-1. 再问： MOD和XOR 以及ROUND在宏程序，和NC程序中的用法呢 再答： 这些在特定的条件下需要用到的，比如四舍五入等。
希腊字母的正确读法是什么?1 Α α alpha a:lf 阿尔法 2 Β β beta bet 贝塔 3 Γ γ gamma ga:m 伽马 4 Δ δ delta delt 德尔塔 5 Ε ε epsilon ep`silon 伊普西龙 6 Ζ ζ zeta zat 截塔 7 Η η eta eit 艾塔 8 Θ
加plus,减minus,乘times/multiple,除over/(divided by),矩形rectangle,个位units,十位tens,百位hundreds' digit,千位thousands' digit,万位我问了我们老外,他都没这种说法.十分位tenths' digit,百分位percentile
用智能ABC出现软键盘时把光标放在小键盘上右击,选择数学符号,里面就有根号√或者左手按住换档键（Alt键）不放,右手依次按41420(不要按键盘上方的,要按右边的),松开双手,根号（√）就出来了.同样：按178是平方号（²） 按179是立方号（³） 215是乘号（×） 247是除号（÷） 176是度
sine [sain] function ['fʌŋkʃәn]（函数）cosine ['kәusain] tangent ['tændʒәnt]cotangent [,kәu'tændʒәn
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机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&
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求一份机械制造工艺课程设计(左曲杆)工艺规程我有一份扣我细谈我可以做机械方面的设计,并且提供相关的帮助。这数控铣床就可以做啊求机械制造课程设计:"左摆动杠杆"的工艺设计过程及其夹具设计...专业代做工艺夹具设计急求机械制造工艺学的课程设计应该采用调整法加工,因此计算最大与最小余量时应按调整法加工方式予以确定。毛坯与零件不同的尺寸有:(具体见零件图与毛坯图)故台阶已被铸出,根据《机械制造工艺设计...机械制造工艺夹具设计误差分析切削力夹紧力的计算限制3个自由度左端面用固定V型块右端面用活动机械制造工艺连接座专用夹具零件图和专用夹具装配工作图!邮...连接座全套已发送,请在邮件下载后及时采纳下我的回答为最佳!仅供参考,如果参数不对,请稍作修改机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图2)机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图4)机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图6)机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图8)机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图10)机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&(图12)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:机械制造工艺,请问左上方这个长方形的方框,三个符号代表什么,右下角圆圈里面一个a什么意思&机械制造工艺连接座专用夹具零件图和专用夹具装配工作图!邮...连接座全套已发送,请在邮件下载后及时采纳下我的回答为最佳!仅供参考,如果参数不对,请稍作修改防抓取，学路网提供内容。学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 求机械制造尾座体加工工艺及夹具设计的毕业论文&4夹具设计&为了提高劳动生产率,保证加工质量,降低劳动强度,需要设计专用夹具。经过与指导老师协商,决定设计孔的加工夹具、设计主视图孔加防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:求机械系课程设计"左摆动杠杆"的夹具设计过程(工序卡,工艺卡...左摆动杠杆"的夹具设计过程(工序卡,工艺卡),夹具设计、夹具装配图我有啊防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:左支座的机械加工工艺及夹具设计兄弟,实话告诉你,这个产品应该从毛坯设计开始,到最终成品要好多的工装和卡具,你要是给钱的话可能有人帮你做,但这个不是一两句话可以搞定的。防抓取，学路网提供内容。以A为基准,同轴度0.02mm机械制造课程设计内齿轮工艺,找到的请发...可在插齿机上加工,以550h8外径与左端面定位,尽量采用大齿数的插齿刀,以保证刀具可伸进直径421孔内并可加工到零件中心线另防抓取，学路网提供内容。求机械制造尾座体加工工艺及夹具设计的毕业论文&4夹具设计&为了提高劳动生产率,保证加工质量,降低劳动强度,需要设计专用夹具。经过与指导老师协商,决定设计孔的加工夹具、设计主视图孔加工夹具、...求机械系课程设计"左摆动杠杆"的夹具设计过程(工序卡,工艺卡...左摆动杠杆"的夹具设计过程(工序卡,工艺卡),夹具设计、夹具装配图我有啊左支座的机械加工工艺及夹具设计兄弟,实话告诉你,这个产品应该从毛坯设计开始,到最终成品要好多的工装和卡具,你要是给钱的话可能有人帮你做,但这个不是一两句话可以搞定的。机械制造课程设计内齿轮工艺,找到的请发...可在插齿机上加工,以550h8外径与左端面定位,尽量采用大齿数的插齿刀,以保证刀具可伸进直径421孔内并可加工到零件中心线另一侧的孔壁面(这样让刀方向即与插外齿轮一样...
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- Copyright & 2017 www.xue63.com All Rights Reserved你还记得线性代数里面学过的“特征值”吗？&br&设T是线性空间V上的一个线性变换，如果有V中的向量x满足：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Tx%3D%5Clambda+x& alt=&Tx=\lambda x& eeimg=&1&&&br&那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&就叫T的特征值，x叫做T关于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&的特征向量。所有T关于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&的特征向量构成了V的一个子空间，叫做&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&的特征子空间。&br&本征和特征都是一样的，都是英文eigen的不同翻译：&br&eigenvalue 特征值
本征值&br&eigenvecter 特征向量 本征矢（量）&br&eigenspace 特征（本征）子空间&br&operator 算子 算符&br&下面我们来看一个微分方程：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7Df%28x%29%3D%5Clambda+f%28x%29& alt=&-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)& eeimg=&1&&&br&这个地方微分算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D& alt=&-\frac{d^2}{dx^2}& eeimg=&1&&就好比一个线性变换，而函数f(x)就好比一个向量，而&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&就是微分算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D& alt=&-\frac{d^2}{dx^2}& eeimg=&1&&的特征值。&br&&br&进一步地，函数构成的线性空间和之前我看到的不太一样，它一般是无穷维的，有很多有限维线性空间的事情是不能推广到无限维空间，同时很多新的东西也在无限维空间中生存着。&br&首先是线性算子和线性变换的区别，线性算子的定义域不必是全空间，比如不是所有函数都有2阶导数，所以微分算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D& alt=&-\frac{d^2}{dx^2}& eeimg=&1&&的定义域必然是所有有二阶导数的函数（当然二阶导数连续，还是平方可积都将给出不同的空间），但经过微分算子作用后，这个函数的二阶导数不一定再需要有二阶导数，甚至还可以不连续。而线性变换必须要求定义于全空间。&br&我们从全体连续函数中抓出很少的，有二阶连续导数的函数，经过一个微分算子的作用，我们居然把很少的一部分子空间转换为了全空间，无穷维就是这么神奇！&br&&br&讨论微分方程的解的过程中，确立一个基本的函数线性空间是非常有必要的，通常我们会选取：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%5En%0A& alt=&C^n
& eeimg=&1&&系列，表示有n阶连续导数的函数，其中n=0表示连续函数。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L%5Ep%2Cp%3E%3D1& alt=&L^p,p&=1& eeimg=&1&&，绝对值的p次方可积的函数，p为无穷表示几乎处处有界。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%5En%0A& alt=&H^n
& eeimg=&1&&索伯列夫空间，可以简单理解为n阶“导数”平方可积的空间。&br&此外，方程的边界条件，也是解方程所需的基本空间的重要条件之一。&br&就2阶常微分方程而言，一般是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C%5E2& alt=&C^2& eeimg=&1&&或者&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%5E2& alt=&H^2& eeimg=&1&&配上边界条件构成的线性空间，但注意，如果你要去要求不同特征值的解构成正交归一基，必须在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=H%5E2& alt=&H^2& eeimg=&1&&下讨论，因为它是希尔伯特空间。另外你还有祈祷微分算子的性质比较好，因为通常无限维空间特征值要推广为谱，特征向量无法构成完备正交基，好在边界足够光滑的有界闭区域上的微分算子，满足这个条件。
你还记得线性代数里面学过的“特征值”吗？ 设T是线性空间V上的一个线性变换，如果有V中的向量x满足： Tx=\lambda x 那么\lambda就叫T的特征值，x叫做T关于\lambda的特征向量。所有T关于\lambda的特征向量构成了V的一个子空间，叫做\lambda的特征子空间。 …
&p&----&/p&&p&原文转载自人人网，原作者不详，请见谅，向原作者致敬&/p&&p&__&/p&&p&第一课 什么是卷积 卷积有什么用 什么是傅利叶变换 什么是拉普拉斯变换 &/p&&p&引子&/p&&p&很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。&/p&&p&先说”卷积有什么用”这个问题。(有人抢答，”卷积”是为了学习”信号与系统”这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！)&/p&&p&讲一个故事:&/p&&p&张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过”信号与系统”这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。&/p&&p&然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t&1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。&/p&&p&“很好！”经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: “这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！”&/p&&p&这下张三懵了，他在心理想”上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?”&/p&&p&于是上帝出现了: “张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形”。&/p&&p&上帝接着说:”给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！”&/p&&p&张三照办了，”然后呢?”&/p&&p&上帝又说，”对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。”&/p&&p&张三领悟了:” 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?”&/p&&p&上帝说:”叫卷积！”&/p&&p&从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！&/p&&p&—————————————-&/p&&p&张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。&/p&&p&经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: “看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！”&/p&&p&张三摆摆手:”输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?”&/p&&p&经理怒了:”反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！”&/p&&p&张三心想:”这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?”&/p&&p&及时地，上帝又出现了:”把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来”&/p&&p&“宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。”&/p&&p&“我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了”&/p&&p&“同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看”&/p&&p&“计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！”&/p&&p&张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么… …&/p&&p&—————————————-&/p&&p&再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了……&/p&&p&后记:&/p&&p&不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。&/p&&p&很欣赏Google的面试题: 用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答”为什么要这样”。做大学老师的做不到”把厚书读薄”这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲 ppt，做着枯燥的数学证明，然后责怪”现在的学生一代不如一代”，有什么意义吗?&br&第二课 到底什么是频率 什么是系统?&br&这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F。注意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x-&y的问题都可以用x-&f(x)-&f-1(x)-&y来得到。&/p&&p&1. 到底什么是频率?&/p&&p&一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这个。&/p&&p&那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式&/p&&p&(a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为”圆周运动”的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。&/p&&p&(b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。&/p&&p&2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗?&/p&&p&解释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。&/p&&p&3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么?&/p&&p&对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?—-这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。&/p&&p&当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。&/p&&p&4. 如何设计系统?&/p&&p&设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。&/p&&p&那么系统有那些种类呢?&/p&&p&(a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统—-你可以画出系统流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。&/p&&p&(b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。&/p&&p&5. 最好的教材?&/p&&p&符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义—-你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是&&Structure and Interpretation of Signals and Systems&&，作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and Pravin Varaiya—-先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。&br&第三课 抽样定理是干什么的&/p&&p&1. 举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。&/p&&p&那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢?&/p&&p&对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样)，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽样保存信息，可以看为: 对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应，互相等价。&/p&&p&对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢? 首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。&/p&&p&2. 再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率—-抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混叠—-网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露—-因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低)，高频分量失真被混入了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F变化，对应的是空间频率。&/p&&p&话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。&/p&&p&什么信号不能理想抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。&/p&&p&3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。&/p&&p&入门第四课 傅立叶变换的复数 小波&/p&&p&说的广义一点，”复数”是一个”概念”，不是一种客观存在。&/p&&p&什么是”概念”? 一张纸有几个面? 两个，这里”面”是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像”大”和”小”的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成”莫比乌斯圈”，这个纸条就只剩下一个”面”了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。&/p&&p&数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间为”复数域”。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向，-1就是”向后，转!”这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间里面被统一了。&/p&&p&因此，(-1)*(-1)=1可以解释为”向后转”+”向后转”=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单，”向左转”，”向左转”两次相当于”向后转”。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示–平面。很明显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识)，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质)，是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。&/p&&p&因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便—-虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。&/p&&p&那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数—-所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个”权”值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)，只有一个频率范围内的”频谱”才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。&/p&&p&因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有”负数”的部分，还是那句话，是数轴的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究”振幅”因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。&/p&&p&我们从实数(三角函数分解)-&复数(e和Pi)-&复数变换(F)-&复数反变换(F-1)-&复数(取幅度分量)-& 实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果—-这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。&/p&&p&复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:&/p&&p&1. 画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。&/p&&p&2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。&/p&&p&3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!&/p&&p&上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。&/p&&p&傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成 sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算。&/p&&p&————————————————————————-&/p&&p&但是，F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用”域”变换的思想来表示一种”广义”的频率信息，我们就发明出了拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解—- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。&/p&&p&两者的区别：FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a&0）做域变换。&/p&&p&而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把 (1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之 1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因子&/p&&p&离散傅立叶变换到快速傅立叶变换—-由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。&/p&&p&再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。&/p&&p&什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的”波函数”，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的”波”因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的 2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。&/p&&p&我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制—所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好。&/p&&p&用中文说了这么多，基本的思想已经表达清楚了，为了”研究方便”，从实数傅立叶级数展开，到创造了复数域的傅立叶级数展开，再到傅立叶变换，再扩展到拉式变换，再为了时频都离散的情况简化为Z变换，全部都用一根主线联系起来了。&/p&
----原文转载自人人网，原作者不详，请见谅，向原作者致敬__第一课 什么是卷积 卷积有什么用 什么是傅利叶变换 什么是拉普拉斯变换 引子很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。先说”卷积有…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/d86a52caeaa909e86ee9_b.jpg& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic2.zhimg.com/d86a52caeaa909e86ee9_r.jpg&&&/figure&&p&作
昊&/p&&p&知
乎：Heinrich&/p&&p&微
博：@花生油工人 &/p&&p&知乎专栏：与时间无关的故事&/p&&p&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&/p&&p&&b&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&/b&&/p&&br&&p&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————&/p&&p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&/p&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&p&p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。&/p&&h2&一、什么是频域&/h2&&p&从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&世界是永恒不变的&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&p&先举一个&u&&b&公式上并非很恰当&/b&&/u&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/2caa1b75825_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&270& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/2caa1b75825_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&272& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_r.jpg&&&/figure&&br&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d4fa1de41ac84a56e432_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d4fa1de41ac84a56e432_r.jpg&&&/figure&&br&频域：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&br&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所以&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/055bf33bbc5dbeb75dd9_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/055bf33bbc5dbeb75dd9_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加&/p&&p&随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？&/p&&p&（只要努力，弯的都能掰直！）&/p&&p&随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）&/p&&p&不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没&br&有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。&/p&&p&还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/563deb4aba_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/563deb4aba_r.jpg&&&/figure&&br&&p&在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。&br&&/p&&p&这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。&/p&&p&好了，关键的地方来了！！&/p&&p&如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。&/p&&p&对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。&/p&&p&时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&的正弦波cos（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&t）看作基础，那么频域的基本单元就是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&。&/p&&p&有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。&/p&&p&接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&201& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_r.jpg&&&/figure&&br&&p&正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e15e1db741930_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&/figure&&br&&/p&&p&知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……&/p&&p&想看动图的同学请戳这里：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_square_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series square wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&以及这里：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。&/p&&p&介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_r.jpg&&&/figure&&br&这是什么奇怪的东西？&/p&&p&这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&再清楚一点：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_r.jpg&&&/figure&可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。&br&&/p&&p&动图请戳：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_and_transform.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series and transform.gif&/a&&/p&&p&老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。&/p&&p&但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？&/p&&br&&p&我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……&/p&&h2&三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱&/h2&&p&&u&上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。&/u&&/p&&p&在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。&/p&&p&先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：&/p&&p&先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。&/p&&p&好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。&/p&&p&别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？&/p&&p&好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。&/p&&p&但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。&/p&&p&所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。&/p&&p&再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。&/p&&p&傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。&/p&&p&————————————————————————————————————&/p&&p&下面我们继续说相位谱：&/p&&p&通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/01dc098e26a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&856& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/01dc098e26a_r.jpg&&&/figure&&br&&p&鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ea7b14d1fc7e11d322fcb_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&758& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ea7b14d1fc7e11d322fcb_r.jpg&&&/figure&&br&这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。&/p&&p&在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”&/p&&p&注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。&br&&/p&&p&最后来一张大集合：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/77bab880cd55b6846f12_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&663& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/77bab880cd55b6846f12_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&四、傅里叶变换（Fourier Transformation）&/b&&/h2&&p&相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？&br&&/p&&p&傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：&/p&&h3&往昔连续非周期，&/h3&&h3&回忆周期不连续，&/h3&&h3&任你ZT、DFT，&/h3&&h3&还原不回去。&/h3&&p&（请无视我渣一样的文学水平……）&/p&&p&在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。&/p&&p&是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。&/p&&br&&p&比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。&/p&&p&而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。&/p&&p&算了，还是上一张图方便大家理解吧：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_r.jpg&&&/figure&&br&或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。&/p&&p&所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。&/p&&p&因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？&/p&&h2&&b&你见过大海么？&/b&&/h2&&p&为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/a185beacc5372_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/a185beacc5372_r.jpg&&&/figure&&br&以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？&/p&&p&尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……&/p&&p&直到变得像波涛起伏的大海：&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_r.jpg&&&/figure&&br&&p&很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。&/p&&p&不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。&/p&&p&不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——&/p&&h2&五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式&/h2&&p&虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/42e1f6dc43eba389a5df4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/42e1f6dc43eba389a5df4_r.jpg&&&/figure&这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。&br&&/p&&p&我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3e88eebdda51dee88358_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3e88eebdda51dee88358_r.jpg&&&/figure&&br&同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。&/p&&p&现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/ac148a3bb2_b.jpg& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&161&&&/figure&这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于Pi的时候。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/57aabba66d545ab5a864cd_b.jpg& data-rawwidth=&93& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&93&&&/figure&经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数1和0，虚数i还有圆周率pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“&/p&&p&这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/974efc6a99e06dcdccbe93_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/974efc6a99e06dcdccbe93_r.jpg&&&/figure&&br&欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。&/p&&p&关于复数更深的理解，大家可以参考：&/p&&p&&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&复数的物理意义是什么？&/a&&br&&/p&&p&这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。&/p&&h2&&b&六、指数形式的傅里叶变换&/b&&/h2&&p&有了欧拉公式的帮助，我们便知道：&b&正弦波的叠加&/b&，也可以理解为&b&螺旋线的叠加&/b&在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？&/p&&p&&b&光波&/b&&/p&&p&高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c2d7bfc819ebcbea8d6f2cd_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&174& class=&content_image& width=&277&&&/figure&&br&所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。&/p&&p&但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷所有频率的组合。&/p&&br&&p&这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：&/p&&p&第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。&/p&&p&另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bit%7D%3Dcos%28t%29%2Bi.sin%28t%29& alt=&e^{it}=cos(t)+i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-it%7D%3Dcos%28t%29-i.sin%28t%29& alt=&e^{-it}=cos(t)-i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&p&将以上两式相加再除2，得到：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cos%28t%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bit%7D%2Be%5E%7B-it%7D%7D%7B2%7D+& alt=&cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2} & eeimg=&1&&&br&&p&这个式子可以怎么理解呢？&/p&&p&我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！&/p&&p&举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。&/p&&p&这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。&/p&&br&&p&好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：&/p&&p&想象一下再往下翻：&/p&&p&|&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_r.jpg&&&/figure&&br&是不是很漂亮？&/p&&p&你猜猜，这个图形在时域是什么样子？&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/0fdfa0a9b6eeac_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&628& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/0fdfa0a9b6eeac_r.jpg&&&/figure&&br&哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。&/p&&p&顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。&/p&&p&如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。&/p&&br&&p&好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/097cf436a72_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&980& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/097cf436a72_r.jpg&&&/figure&&p&好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：&/p&&br&&p&这篇文章第一次被写下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。&/p&&p&你们猜我的了多少分？&/p&&p&6分&/p&&p&没错，就是这个数字。而这6分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的6分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。&/p&&p&那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？&/p&&p&45分&/p&&p&没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。&/p&&p&在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。&/p&&p&后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。&/p&&p&这次，我考了满分，而及格率只有一半。&/p&&p&老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？&/p&&p&缺少了目标的教育是彻底的失败。&/p&&p&在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！&/p&&p&好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先讲本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！&/p&&p&这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。&/p&&p&最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。&/p&&p&本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。&/p&&p&最后，祝大家都能在学习中找到乐趣。…&/p&
作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于，…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/03fb9e129ffb71f38c91da60cff71159_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&738& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/03fb9e129ffb71f38c91da60cff71159_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/968dd0fed3b6aa7fe62b_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/968dd0fed3b6aa7fe62b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/5c41df6e9f880b64afd5005ccb54ed16_b.jpg& data-rawwidth=&984& data-rawheight=&1312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&984& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/5c41df6e9f880b64afd5005ccb54ed16_r.jpg&&&/figure&一型:归结为由密度函数(各点质量分布函数)求总体质量&br&&br&&br&研究三维空间(三元函数)，只不过是在拆开研究三个二维空间(二元函数);研究二维空间(二元函数)，只不过是在拆开研究两个一维空间(一元函数)之所以无法研究四维，&br&就是因为人只能感知到一个，而非四个独立三维空间&br&之后剩下的就是利用递推和归纳得到相似结论&br&&br&*
*&br&二型曲线积分:
[背景:变力做功]&br&把空间曲线投影到&br&x轴(方向向量在x轴投影，密度函数p)，&br&y轴(方向向量在y轴投影，密度函数q)，&br&z轴(方向向量在z轴投影，密度函数r)&br&然后再求三个一型曲线积分的代数和&br&&br&二型曲面积分:
[背景:非恒稳流的流量]&br&把空间曲面投影到&br&oyz(法向量与x的单位向量做投影，密度函数p)&br&ozx(法向量与y的单位向量做投影,密度函数q)&br&oxy(法向量与z的单位向量做投影,密度函数r)&br&然后求三个一型曲面积分的代数和&br&&br&向量的优点:确定单元储存着确定量的效应，按照特有的规律相互干扰(做内积或外积)&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&****刚学完的一点体悟&br&有更好的想法望补充
一型:归结为由密度函数(各点质量分布函数)求总体质量 研究三维空间(三元函数)，只不过是在拆开研究三个二维空间(二元函数);研究二维空间(二元函数)，只不过是在拆开研究两个一维空间(一元函数)之所以无法研究四维， 就是因为人只能感知到一个，而非四个独立…
&p&之前做了一张“曲面曲线积分市地铁路线图”，如下，对解题还是蛮有帮助的。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d6f9eb2f277c8b5a7facfbf1_b.jpg& data-rawwidth=&611& data-rawheight=&288& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&611& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d6f9eb2f277c8b5a7facfbf1_r.jpg&&&/figure&
之前做了一张“曲面曲线积分市地铁路线图”，如下，对解题还是蛮有帮助的。
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e1c3cdfcd3e_b.jpg& data-rawwidth=&846& data-rawheight=&674& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&846& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e1c3cdfcd3e_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&p&&i&&b&转自我的公众号: 『数据挖掘机养成记』&/b&&/i&&/p&&p&&br&&/p&&h2&引子&/h2&&p&因研究兴趣不在图像处理，所以对图像中的『卷积』操作未做深入思考，直到某天，灵光一闪，我突然意识到&/p&&blockquote&图像『卷积』应该可以和『信号处理』联系起来&/blockquote&&p&更进一步&/p&&blockquote&图像卷积的本质，是提取图像不同『频段』的特征&/blockquote&&p&然而放眼望去，市面上大谈特谈『卷积』的文章，各种雷同，互相『借鉴』，都是在讲解&b&卷积的不同方式、卷积的参数共享、卷积的具体操作、卷积在图像上的效果&/b&，竟鲜有一篇像样的文章，真正触及『卷积』的本质、探索『卷积』和『信号处理』的联系！&/p&&p&作为一个EE科班出生、当年『信号系统』『数字信号处理』课程接近满分的人，我决定剖析卷积本质，弥补市场空白！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cca5e44d5970fbe79c333e7_b.jpg& data-rawwidth=&682& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&682& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cca5e44d5970fbe79c333e7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&所以本文的目的是&/p&&blockquote&从信号系统角度，通俗讲解图像卷积的本质 (&b&&i&不涉及公式&/i&&/b&)&br&&br&&删除线&让你在面试时从容应对诸如『卷积层作用』之类的套路问题，甚至对弱鸡面试官实现反杀！&删除线&&/blockquote&&h2&前言&/h2&&p&因本文偏科普性质，会有失严谨性，所以在这里先补充一些信号处理的基本概念，后面章节为简化起见，将省略这些关键概念。有兴趣的读者可以深究，其他读者请&b&&i&直接跳过本节&/i&&/b&&/p&&p&一般来讲，我们涉及到的系统都是『时不变系统』(time invariant system)，即 输入响应不随激励时间的改变而变化，并且是『线性系统』(linear system)。而我们所处理的时间信号一般分为四种情形：&/p&&ol&&li&连续非周期&/li&&li&连续周期&/li&&li&离散非周期&/li&&li&离散周期&/li&&/ol&&p&这四种信号对应的频谱也是各有特点，时域的『周期』性质对应到频域是频谱『离散』，『非周期』对应『连续』，而时域的『连续』和『离散』对应到频域则是『非周期』和『周期』。图像可以看做是『离散非周期信号』(因为图像的像素点是离散的且大多没有周期性)，更严谨地说，是『有限长离散非周期序列』，其频谱是连续周期性的，且z变换和傅里叶变换都存在。&/p&&p&说到『傅里叶变换』，其实傅里叶变换的本质是实频域分析，但对于某些信号(比如不稳定信号)并不存在这样的变换，所以更通用的做法是『z变换』，映射到复频域进行分析。更多内容，见参考资料[1]和[2]&/p&&h2&一维信号&/h2&&p&我们最常接触到的『信号』是一维时间信号，比如人的声音、乐曲、无线电波等，横坐标是时间t，纵坐标是信号的幅度，代表不同时刻的信号强度。而在教科书上，最常见的是如下正弦波&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-842ce78f3d12e2ebaf133eb8dabb5d72_b.jpg& data-rawwidth=&508& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&508& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-842ce78f3d12e2ebaf133eb8dabb5d72_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&时域频域&/h2&&p&以声音信号为例，女生的声音比男生『尖』，说白了就是『频率』更高，也就是声音信号在t轴上的『震荡』更快。而一个复杂的声音信号，通常包括很多『频段』，最直观的就是录音棚里调节各个分量的旋钮，把低频分量旋钮调高，声音更『浑厚』，有重低音的效果，而把高频分量旋钮调高，则变得尖细。&/p&&p&如果我们把一个信号各个频段的成分也画出来，横坐标是频段的『大小』，纵坐标是对应频段成分的『幅度』，这样一个坐标系，我们把它叫做『频域』。把信号从『时域』映射到『频域』的手段，就是大家耳熟能详的『傅里叶变换』。&/p&&blockquote&不严谨地说，任意信号都可以由一组不同频率不同幅度的正弦信号叠加而成&/blockquote&&p&而这组正弦波，就是我们上面说的，一个信号不同『频段』的成分。更形象的图，如下所示(转载出处见水印)&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_b.png& data-rawwidth=&1324& data-rawheight=&816& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&给大家简单解释下这幅图，时域图像是一个典型的一维信号——一个近似的方形波，它是由一系列正弦信号叠加而成(余弦信号是正弦信号相移产生，所以是广泛意义上的正弦信号)。&/p&&h2&卷积&/h2&&p&卷积的概念我就不多说了，已有大把平庸的博文给大家做铺垫了。这里我只给大家提一个&b&&i&最最最核心的概念&/i&&/b&(也是这么多年过去了，我对信号系统留下的最最最深刻的概念)&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&重要的概念说三遍&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&br&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&这个概念的背后是一个严谨的推导过程，但这里我们略过(有兴趣的读者一定不要错过这个推导，可以阅读参考资料[1])，这里给大家通俗解释一下，假设两个时域信号f1和f2『卷积』的结果是f3，则f3的频谱，是f1的频谱函数和f2的频谱函数，对应频率『相乘』的结果&/p&&p&&i&小小地拓展一下，与本文无关&/i& 这种频域相乘的特性可以用于快速求一些特定函数的积分，因为『卷积』的本质是积分，而很多特定函数存在傅里叶变换和反变换，所以与其直接求解积分函数，不如把他们变换到频域，直接进行频谱函数『相乘』，然后再反变换回来，就得到积分结果了&/p&&h2&滤波器&/h2&&p&滤波器这个名词想必大家也不陌生，比如带有『降噪』功能的麦克风，说白了就是把高频的噪音信号给过滤掉。更专业一点，滤波器是能过滤某些特定频段，留下需要信号的部件，比如低通滤波器(只留下低频分量)、高通滤波器(只留下高频分量)、带通滤波器(只留下特定范围内的分量)。这里就不展开讲了，免得大家回忆起那些年被『电子电路』『信号系统』等专业课所支配的恐惧。&/p&&p&那滤波跟卷积的有什么关系么？别忘了我们刚刚特别强调的概念&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&假设时域信号f1和f2做卷积，从f1的角度看，它的频谱函数要跟f2对应的频谱函数相乘，而如果f1的某些频率分量，在f2上是没有的，那么相乘之后的结果是0，所以得到的f3信号，在这些频率上值为0，于是对f1而言，f2把它的某些分量『过滤』掉了，所以f2是『滤波器』，f1是原始信号，f3是过滤之后的信号。&/p&&p&一个理想的低通滤波器如下所示&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c76d2c7ce11d38d76addf847face35d2_b.png& data-rawwidth=&482& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&482& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c76d2c7ce11d38d76addf847face35d2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&它的横坐标是频率，幅值为1，这是典型的『低通滤波器』，如果有信号跟它做卷积，那这个信号只会留下在0附近的低频信号，其他高频分量都被过滤掉了。&/p&&p&更形象一点，我们再回顾下刚刚的方波信号(注意，这里的方波信号横坐标是时间t，不是上面的低通滤波器)&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_b.png& data-rawwidth=&1324& data-rawheight=&816& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&它是由不同频率、相位、幅度的正弦信号组成。如果我们现在通过某种『低通滤波器』，过滤掉一些高频的正弦信号，则这个方波信号将变成下面的形状&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fcaaeb3c4f23b6538840fe_b.png& data-rawwidth=&1212& data-rawheight=&656& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1212& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fcaaeb3c4f23b6538840fe_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们发现，这个方形信号没那么『方』了，两边尖锐的『棱角』变缓和了，也没有棱角附近小幅度高频振动的波形了。我们继续加大滤波力度，将得到下面结果&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-387fe282ad5db81499d62_b.png& data-rawwidth=&1232& data-rawheight=&746& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1232& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-387fe282ad5db81499d62_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们可以看到，方形波的『棱角』基本被磨平了。所以&/p&&blockquote&波形里的『棱角』其实是一种突变信号，它里面包含了很多高频分量&/blockquote&&p&上面这个发现非常重要，将有助于我们后面理解图像的『卷积』和『滤波』。&/p&&h2&二维空间&/h2&&p&虽然我们一直在强调『时间信号』，但不知大家注意到没有，其实这里的时间t，完全可以换成其他符号比如x，从而所谓的时间信号f(t)，可以写成f(x)，进而，图像可以看成一个离散的二维函数f(x,y)，x 和 y 决定了图像的像素点，f是像素点在该处的取值。更形象地理解，图像就仿佛是一个『水池』，像素点就是『水分子』，像素点的取值大小，从视觉上看代表图像亮度的强弱，而类比到水池里，就是不同位置水分子的运动幅度，在水池里泛起涟漪。&/p&&p&进而，我们很自然地想到，一维函数的『傅里叶变换』，能否扩展到二维呢？&/p&&p&答案是肯定的。不过二维空间的傅里叶变换公式我们就不贴出来了，大家有兴趣可以详细阅读