基于mathematica做笔记可以做怎样的研究

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基于Mathematica的交互式动态可视化设计及其应用
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基于MATHEMATICA(R)的因次分析程序
第24卷第7期 2007年7月28日计算机与应用化学Computers and Applied ChemistryVol_24.No.7 July,2007基于MATl王EMATICA⑥的因次分析程序王洪泰1,李占勇2,庞金钊1,高蕾3,刘寅利4(1.天津科技大学材料科学与化学工程学院,天津,300457;2.天津科技大学机械工程学院,天津,300457;3.天津中钞纸 业有限公司,天津,300385;4.天津科技大学理学院,天津,300457) 摘要:因次分析是一种重要的数学建模方法,广泛应用于化工原理中与湍流有关的物理现象的无因次数群关联式的建立。经 典化工原理在因次分析过程中采用手算法进行符号运算,非常烦琐;本文基于MATHEMATIcA@软件强大的符号运算功能,给 出了一个因次分析程序,用来进行因次分析中的这些烦琐而重复的计算。本文还给出了该程序的若干应用实例。 关键词:因次分析;MATHEMATICA;化工原理;化学工程 中图分类号:TQ019 文献标识码:A 文章编号:10014160(2007)07-912―914‘AMATHEMATICA@-based programfor dimensional analysisVVang Hongtail,Li Zhanyon92,Pang Jinzha01,Gao Lei3 and Liu Yinl.4(1.SchooI of MateriaI Science and Chemical Engineenng,Tian豇n UniVersity of Scjence and Technology,Tianjin。300457,China;2.School of MechanicaI Enginee ring,Tianjin UniVersity of Science andTechnoIogy,Tianjin,300457,China;of3.TianjinenceZhongchao Paper lndustryCo.Ltd,丁ianjin,300385,China;4.SchooISciences,Tianjin Un{Versjty of Sci?andTechnoIogy,TIanjin,300457,China)anAbstract:Asimport8nt modeljng method,dimen8ional analysis is widely used jn£he derivation of co”elations for lurbulence―related The manual calculation usedinphenomena in chemical engineering un“operations.clas8icalaretextsi8onverycumbersome.touseA MATH-EMATICA.based dimensional analy8i8 progmm is introduced in this anicle.Some examplesgivenhowthe program.Key wOrds:dimensional analysis,MATHEMATICA,unit opemtion8,chemic8l engineeringWang HT,Li ZY,Pang JZ,Gao L and Liu YL.A MATHEMATICA四一basedComputers and Appliedprogramfbr dimensional analysis.Chemistry,2007,24(7):912-914.n),m个基本因次Q,(J=l,2,…,m),用a。表示每个变量中 每个基本因次出现的次数,可得到如下矩阵: [P,]QI Q2aIl在化学工程领域,特别是在单元操作的研究中,许多数 学模型是借助因次分析而得出。比如,对于涉及湍流的现象 的建模,目前普遍采用因次分析方法。虽然因次分析方法的 第一步,即关联函数中变量的选定,是靠经验进行,但是下一[P:]d2l…… …… ……[只]a以步,即无因次量(亦称无因次数群)的获得,却需要烦琐的、 重复性的计算。该计算过程所涉及的不是工程上常见的数 值计算,而是较抽象的符号运算,所以从底层开发因次分析 程序并不容易。MATHEMATIcA数学软件具有内建符号运 算功能,而且具有直观易用的用户界面¨],使得开发基于符 号运算的程序变得容易多了。本文基于MATHEMATIcA,给 出了简洁的因次分析程序,并通过实例说明了该程序的有效 性和易用性。 1Ⅱ12a22an口。aI_a2m……an_根据该矩阵,变量P。的因次可表示为:[Pj]=兀口yJ 5l基本因次的个数m小于变量的个数n,而该矩阵的秩为r= m;于是可选择r=m个变量{P。}作为基变量,用它们表示其 余p=乃一r个变量(这里称为导出变量),从而得到p个无因 次量。这样就将原来的n个变量的关系简化为p个无因次 量的关系。因次分析概述‘2,31通过因次分析可以减少描述一个现象的函数关联式中变量的个数。假设一个关联式涉及n个变量P。(i=1,2,…,收稿日期:2006一lo-2l;修回日期:2007旬5瑚作者简介:王洪泰(1966一),天津人。硕士,讲师,化学工程专业万方数据   2007,24(7)王洪泰等:基于MATHEMATICA@的因次分析程序9132基于MATHEMATICA的因次分析程序根据上面的理论,p个无因次量的得出实质上可归结为前4项分别转换为纯数l。为此,必须列方程组求 出这样的各c。很容易验证,上面的Solve语句生 成的方程组正是文献[5]所给出的方程组。●,适于计算机求解的线性方程组。需要说明的是:文献[4] [5]中,方程组的未知量出现在指数上,但对方程两边取对 数后就可转化成有普遍解法的线性方程组;然而这些文献实 际上未进行这种“线性化”,而是针对每个具体问题的方程 组的特点对各个方程“巧妙地”进行乘、除消元法,显然这种 “一题一法”的思路,并不具有普遍性,事实上对于本文3.1 部分中的那种稍微复杂一些的方程组,用这种思路解方程组 就不那么容易一眼看出怎样用乘、除法进行消元。若从底层 编写计算机程序,不但要将问题方程组转化为线性方程组, 而且必须保证程序的输入和输出要符合人的习惯。例如,如 果告诉程序“粘度且”这一变量的因次,程序必须同时接受 “Pa?s”或“N/(m2?s)”等可能的输入。无因次数的输出 也应该符合人的习惯。可以想象,这样的程序会相当复杂。 本文巧妙地利用MATHEMATICA的功能编写了相当简洁的 因次分析程序。该程序直接对自然的输入进行符号运算,指 数方程组的解法由MATHMATIcA内建的功能直接求解,而 且输出也是直观的符号形式,这样就不需要由编程者进行 上述烦琐的方程组“线性化”。结果,基于MATHEMATICA 的因次分析程序非常简洁。 以下针对管内对流传热问题,将问题描述和因次分析的 源程序列出。为增加可读性,在源程序中分段插入了注释。 问题描述: 经分析,管内对流传热系数的关联式是: ,(d,u,p,≈,c。,p,a);O(2)m=l/(cI/.鼯)’。s=1/(c2/。gg) 幻=1/(c3/.gg) 鬈=l/(c4/.gg){志。击,南}目的是使末行得出无因次准数?/ EMATICA的保留字。l J/(kg?K)’kg/m3’w/(m2?K)j/?这五行也很重要。其中,前4行把基本因次根据前面求出的各c值进行重新赋值。这样进行重新赋值的程序中用Ne代替N表示。牛顿”,因为N是MATH―该程序的使用方法非常简单:在程序第9行输入基变量 及其因次(输入格式为“基变量==其因次”);在第14行输 入导出变量及其因次(格式:“导出变量/其因次);输入完成 后,选择MATHEMATIcA的菜单命令“Kemelvaluate Note Evaluation E―Book”即可得出下列因次分析结果:{{竿),{半),{宰))中(Pr,Re,Ⅳu)=O㈤.显然,该结果实际上就是经典的关联式h纠:(4)3因次分析程序的几个应用实例式中:d为圆管内径,m;Ⅱ为流俸流速,In/s;&为导热系数, w/(m?K);c。为定压比热,J/(kg?K);p为密度,kg/m3;a 为对流传热系数,W/(m2?K)。 因次分析源程序: 结合文献[5]的推理过程,可写出因次分析计算的 MATHEMATIcA程序如下(/?和?/之间的是注释): 肌=kg?m/82 P包=Ne/o.,=Ne?m形=J/83.1凝结传热模型的因次分析对于凝结放热,Nusselt用解析法得到了传热系数的计 算公式。该公式是在假设冷凝液膜为层流的假设下推导出 的。对于湍流液膜的情况,原则上需要使用因次分析的方 法。下面试对该同题进行因次分析: 通过对该物理过程的分析知道,垂直管外的凝结传热的 关联式可表示为: ,(^,p,p,g,肘,d)=O 其中,JIf为冷凝负荷,kg/(8 m)。 不失一般性,将式(3)中的前4个变量选为基变量,即(5)/?以上四行是用基本因次来定义所用到的导出单位卑,将上面程序的第9行修改为 gg=[{后==谚-/(m?K),弘==Pa?8,p==kg/m3,g== m/B2},{cI,c2,c3,c4}]m=1/。l j=l/c2。其余两个变量就是导出变量,即将第14行修改成堡培:1/c3X=l/c。lEVaIuation EValuatekg/(8?m)’∥ (m2?K)』输入完成后,选择菜单命令“KemellNotegg=solve[{d==m,Ⅱ==,n/5,p==P8?8,矗==wr/ (m?置)},{cl;c2,c3,c4}] /?这关键的五行解释如下: 根据文献[5]222页,需要将长度m,时间s,质量 kg,温度K等4个基本因次改变成新的度量单位 m/cl,s/c2,kg/c3,K/c4,从而将式(2)括号中的Book”,即可得出下列因次分析结果:I【MM M、I ti’i’ij’,竺:篚L91力?后?p2/3’91/3?五?p2/3 剔除无意义的解,得:l=!坐些:些:竺【=!坐堡:些3.1 J’91/3?后?P2刀J万方数据   914中(蔫,詈)=o弘计算机与应用化学㈤,土壁程序给出的结果则为:垒1l。一’kg/m3’W(m2?K)J这和文献[5]中由层流解析解逆构、外推出的结果是一样的。式(6)中丝乘以4就是雷诺数R。。 3.2球型颗粒沉降速度公式的因次分析通过对该物理现象的分析知道,球在流体中沉降的最终 速度u(m/8)与颗粒直径d(m)、流体的粘度口(Pa?s)、密度 p(kg/m3)和颗粒的净重量(仃/6)矿(p.一p)g有关,即: F[d,p,p,d3(p。一p)g,“]=o (7){{去】,{半),{舞))(3)或式(4)相同。㈩乍一看,式(9)和式(3)不相同;但稍加分析可知,式(9)的首、末两项其实分别是击和警,所以结果式(9)实质上和式另外,虽然基变量的选择对因次分析的结果并无实质的 影响,但对结果的形式却有影响。类似于式(3)的形式,实 际上可以通过选择不同的基变量,进行反复试算得到,利用 本程序可以很容易地实现这种试算。这里问题涉及3个基本因次(本文其他问题涉及4个基本因 次),将式(7)中前3个变量定为基变量,即将第9行和第14 行分别替换成 gg=Solve[{d==m,灿==Pa?s, p==kg/m3},{cl,c2,c3}]和 『d3?(p。一p)?gu4结论基于MATHEMATIcA强大的符号运算功能,本文十分1简洁地给出了一个因次分析辅助程序。实例表明了该程序 对于各种因次分析问题的易用性,以及在科研、教学方面的E-【m3.k∥m3.Ⅱ∥s2’m/s J 选择MATHEMATICA的菜单命令“Kemelf Eyalu8tionv8luate Note双重效果。Referencesl Hong CABook”即可得出下列因次分析结果:』! :兰:2:!二!±竺!!生:兰:巳l【’p2pJWei’en.MathematicalCompu诅tionM踮ter―MATHEMATI―这实际上可看作文献[5]中的公式4.Be叫ng:P08£B蛐d 1锁ec蛳Pregs。2002.RH.Pe。ry’B2PerryChemical Enginee鹅’Handbook。7thediⅡon.Re:―――旦L一 18+0.6厕,Arkimedes数o3.3(8)3V01.3.NewYork:McGmH?Hill.1997.M0delB,3rdJiangQiyIIan.Mathematicaledition.Be玎ing:Higller的基础。上面结果和公式中的Ar=矿p(pJ―P)g饥2为4Education PresB.2003. MccaheWL.Un“Oper:ationsofChemicalEngineering.6thedition.管内湍流公式:基变量的不同选择方法5Be玎i“g:Chemic8lIndu8hyTanPre8B,2003. Ding Huihua.PrincipIe8Tian’en,MaiBenxiandof Chemical作为因次分析程序的最后一个例子,现在回到管内湍流 公式的因次分析。选择与文献[4]文献[5]中不同的变量作 为基变量进行分析,讨论基变量的不同选择对因次分析结果lEngineering.2nd edition.Be巧ing:Chemical Indu8tryPreBB,1990.中文参考文献洪维恩.数学运算大师MatIlematica 4.北京:人民邮电出版社,2002. 3 5的影响。 如果选择式(2)中的d,u,p,c。四者作为基变量,即将程 序的第9行和第14行分别修改成rL姜启源.数学模型.第三版.北京:高等教育出版社.2003. 谭天思,麦本熙,丁惠华.化工原理<上),第二版.北京:化学 工业出版社。1990.dC=;m 勺“m/Sp==hS勺==∥ ,Lkg掰硒 =;,,C2q=¨ =和万方数据  
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