mathematica怎么产生服从狄利克雷过程分布的随机数

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核心提示:韩国为了预防朝鲜的军事行动,要求美国在自己本土上部署萨德导弹,因为韩美是军事同盟。萨德导弹属于一种维护韩国自己的安全防御
韩国为了预防朝鲜的军事行动,要求美国在自己本土上部署萨德导弹,因为韩美是军事同盟。萨德导弹属于一种维护韩国自己的安全防御系统。但是萨德的覆盖范围太大了,对中国也同样造成了威胁,所以中方反对韩部署萨德导弹。
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 目前韩国国内分两派,一派要求为了自己领土安全,抵御朝鲜的威胁,支持部署萨德导弹,韩国国民也能得到安全保障。另一派人反对部署萨德,原因是中国因为反对萨德导弹,对韩国进行一些制裁,会对国内经济造成损失,尤其是韩国国内一些跟中国有外贸合作的商人反对部署萨德。目前情况将在这里了
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包进阶模型&&分布
复习一下刚才的切面条模型要点。
1 一次可以生成n个随机数,且总和为1,这样每个数乘以红包总金额就是每个人分得的钱;
2 每个随机数的期望应该均等,即n分之一,这是为了保证大家抢红包机会平等;
现在我们为它增加一个第三条:
3 有一个参数可以用来调节红包的&公平&程度。这里的公平不是指机会公平,而是说每次发红包大家实际拿到手的钱是不是相近,即金额分配的波动性是大还是小。 比如100元的红包发给10个人,如果每人都是10元左右,我们认为这种分配更公平些;如果最少的才0.8元,最多的有20元,显然就有失公允了(不幸的 是作者好几次碰到这种情况&&)。
幸运的是,在众多的随机变量分布中,有一个&狄利克雷分布&非常适合上面列出的这些情况。狄利克雷分布本身有n个参数,但为了满足条件2,我们可以只用一个参数 & 来决定它的具体形式。& 越大,每人分得的金额比例就越倾向于平均,反之则波动性越大。
更幸运的是,我们开始提出的切面条分法,恰恰就是当&=1的时候,狄利克雷分布的最简单状态。
刚才切面条的结果,也就是&=1时的狄利克雷分布生成的随机数0., 0.,0...而下面是&=10时的一组随机数:
0.....1703169可以看出,当&=1时,金额分配的变动性非常大,而在&=10的情形下,金额的分配就平均多了。
模 拟接力游戏,开始有 了这个假想的红包分配机制,我们就可以来模拟红包接力的游戏。首先假设我们有一个50人的群,每人初始手头上的可用金额为50元(这里是为了产生&破产& 现象而故意放低的,土豪们请忽略此设定),根据规则,每次红包的总金额是20元,发放给10个人,其中抢得最大红包金额的人将发出下一轮的红包。如果某人 发完红包后余额变成了负值,就不能再继续抢红包(请原谅这个丧心病狂 的定&&),因为他/她已经发不起下轮红包了,但允许现在其余额为负。ta-bd-imgshare-binded=&1& style=&word-break: break- border-top-style: border-right-style: border-bottom-style: border-left-style: border-width: border-color: border-image: & /&
数据显示,在上周二收盘时,苹果市值大约为5500亿美元,只比谷歌母公司Alphabet多500亿美元。这是自从2010年以来,苹果与谷歌市值最接近的时刻。
同时,美国投行Atlantic Equities数字分析师詹姆斯&考德威尔(James Cordwell)说:&苹果现在之所以比Alphabet价值更高,只是因为其持有的现金更多。如果不计算双方的现金数量,Alphabet的市值已经超过苹果。&
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但是,考德威尔也并未说的过 于决断,他还表示如果苹果和谷歌财报没有太大变化,谷歌市值依然难以超越苹果。他说:&在过去12个月中,苹果产生的自由现金流是谷歌的近5倍。苹果还有 近5亿的庞大用户群,iPhone 7也吸引了很多人关注。因此,苹果与谷歌的市值差距也可能越来越大。过去10年间,谷歌市值曾数次超越苹果,但每次都只持续很短的时间,但那都是购买苹果 股票的好时候。&
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原标题:微信抢红包扫雷避雷控制尾数开挂软件—APP扫雷埋雷工作室再补充一下某匿名用户的回答。他虽然说了丘成桐教授对中国数学界的卓越贡献和突出成就,但却忽略了丘成桐教授在世界数学史上的不朽地位。历史上伟大的数学家很多。但是像丘教授这样利用业余时间研究数学而取得卓越成就的,在世界数学史上可谓绝无仅有。说到业余数学家,有人会说法国的Fermat,但是Fermat的成就远不能和丘教授相比,尤其是在培养数学人才方面,和丘教授相比,可谓天壤之别。而能和丘教授相比的Gauss、Poincare等等,都是职业数学家,虽然学术水平可以和丘教授相比,但作为专业人士,成就和一个业余数学家相比,这丝毫不值得称赞。相比之下,丘教授在繁忙的炒房和经商工作之外,利用业余时间钻研数学,还到处开坛授徒,桃李满天下,这在世界数学史上可谓是绝无仅有,堪称“业余数学之王”。&br&丘教授作为一名成功的房地产投资家和企业家,工作是十分繁忙的。丘教授名下的房产遍及中美两地,除了某匿名用户提到的波士顿的三十多套房产之外,丘教授还在北京、上海、香港、杭州、青岛、威海等地拥有多处房产,比如在北京,单在回龙观,丘教授就有多套房产。丘教授在投资方面,眼光独到,颇具预见性,早在杭州G20峰会举办前的十多年,丘教授就预见到了杭州房地产的升值潜力,通过浙大后勤在杭州购入了多套房产,比如在西湖边上的“东方金座”的房产,又比如,在西溪湿地的“大华·西溪风情”的房产,可谓慧眼如炬。
再补充一下某匿名用户的回答。他虽然说了丘成桐教授对中国数学界的卓越贡献和突出成就,但却忽略了丘成桐教授在世界数学史上的不朽地位。历史上伟大的数学家很多。但是像丘教授这样利用业余时间研究数学而取得卓越成就的,在世界数学史上可谓绝无仅有。说到…
&img src=&/v2-793b56f7f7b39f1b41fe9484_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-793b56f7f7b39f1b41fe9484_r.jpg&&&p&声明:下面都是很软的东西,没有硬分析。&/p&&h2&一.Hopf conjecture&/h2&&img alt=&A little about Hopf conjecture& src=&/v2-aa090fef9a2fca0_b.jpg& class=&content_image&&&p&参考是Peterson的黎曼几何第七章.&/p&&p&某一个著名的Hopf conjecture是说:&/p&&blockquote&一个偶数维(dim=2n)的紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&,如果截面曲率&img src=&/equation?tex=K%3E0& alt=&K&0& eeimg=&1&&,是否有欧拉示性数&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%3E0& alt=&\chi(M) &0& eeimg=&1&&?&/blockquote&&p&这大概是曲率影响拓扑的一个非常好的猜想。我们来简单谈谈它,不妨假设M&b&连通、可定向&/b&(否则考虑连通分支与定向复叠)。&/p&&p&此时Synge's theorem告诉我们M单连通,所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28M%29%3D0& alt=&\pi_1(M)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&1.&br&&/p&&p&&b&dim=2的情况&/b&:&/p&&p&由Gauss-Bonnet定理,我们有&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7BM%7D%5E%7B%7DKdA+%3E0& alt=&\chi(M)=\frac{1}{2\pi}\int_{M}^{}KdA &0& eeimg=&1&&&/p&&p&由闭曲面分类,此时M拓扑上就是&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+S%5E2& alt=&\mathbb S^2& eeimg=&1&&&/p&&p&2.&/p&&p&&b&dim=4的情况:&/b&&/p&&p&M单连通所以&img src=&/equation?tex=H_1%28M%2C%5Cmathbb+R%29%3D0& alt=&H_1(M,\mathbb R)=0& eeimg=&1&&(hurwitz 定理)&/p&&p&由Poincare对偶,&img src=&/equation?tex=H_3%28M%2C%5Cmathbb+R%29%3D0& alt=&H_3(M,\mathbb R)=0& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&而H_0,H_4维数都是1(连通性,可定向)&/p&&p&所以&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B4%7D%7B%28-1%29%5Ei+dim+H_i%28M%2C%5Cmathbb+R%29%7D%3D2%2BdimH_2+%5Cgeq++2%3E0& alt=&\chi(M)=\sum_{i=0}^{4}{(-1)^i dim H_i(M,\mathbb R)}=2+dimH_2 \geq
2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&3.&/p&&p&然而&img src=&/equation?tex=dim+%5Cgeq+6& alt=&dim \geq 6& eeimg=&1&&的一般情况还没有被解决,一个想法是:&br&&b&先解决足够对称的M的情况&/b&&/p&&p&简单来说,如果M是一个有一些对称的流形,那么我们就可以对维数做归纳法,怎么做呢?&/p&&p&考虑M上等距变换群&img src=&/equation?tex=G%3DIso%28M%2Cg%29& alt=&G=Iso(M,g)& eeimg=&1&&,这是一个李群,其李代数&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbf%7Biso%7D%7D%28M%2Cg%29& alt=&{\bf{iso}}(M,g)& eeimg=&1&&每个元素对于一个单参数子群&img src=&/equation?tex=%5C%7B%5Cphi_t+%5C%7D+%28t+%5Cin+%5Cmathbb+R%29& alt=&\{\phi_t \} (t \in \mathbb R)& eeimg=&1&&,对M上一点p,p在单参数子群作用形成一条曲线,曲线在p点的切向量记为X_p&br&&/p&&p&那么我们得到M上一个向量场X,X生成的流就是&img src=&/equation?tex=%5C%7B%5Cphi_t+%5C%7D+%28t+%5Cin+%5Cmathbb+R%29& alt=&\{\phi_t \} (t \in \mathbb R)& eeimg=&1&&&/p&&p&定义:&/p&&p&&b&M上一个Killing field是M上一个生成流全为M上等距变换的向量场&/b&&/p&&p&则Killing field与单参数子群一一对应,所以&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbf%7Biso%7D%7D%28M%2Cg%29& alt=&{\bf{iso}}(M,g)& eeimg=&1&&为M上Killing field全体。&br&&/p&&p&我们有如下性质:&/p&&p&&b&X是M上一个非0的Killing field,X的零点集记为N,则N的每个连通分支都是M的一个全测地子流形&/b&&b&&img src=&/equation?tex=N%3D%5Ccoprod_%7Bi%7D%5E%7B%7DN_i+& alt=&N=\coprod_{i}^{}N_i & eeimg=&1&&,且&/b&&/p&&p&&b&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3D%5Csum_%7Bi%7D%5E%7B%7D%7B%7D+%5Cchi%28N_i%29& alt=&\chi(M)=\sum_{i}^{}{} \chi(N_i)& eeimg=&1&&,&br&&/b&&/p&&p&&b&且&img src=&/equation?tex=dimN_i& alt=&dimN_i& eeimg=&1&&均为偶数,从而&img src=&/equation?tex=codimN_i+%5Cgeq+2& alt=&codimN_i \geq 2& eeimg=&1&&。&/b&&/p&&p&可以把这个结果看成Poincare-Hopf定理的某种推广,而&img src=&/equation?tex=dimN_i& alt=&dimN_i& eeimg=&1&&均为偶数这是因为一个线性代数的结果——反对称矩阵的秩是偶数,而对于Killing fieldX,&img src=&/equation?tex=v+%5Crightarrow+%5Cnabla_vX& alt=&v \rightarrow \nabla_vX& eeimg=&1&&是反称的。&/p&&p&于是我们可以解决dim=6的带对称性的case:&/p&&blockquote&一个6维紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&,如果截面曲率&img src=&/equation?tex=K%3E0& alt=&K&0& eeimg=&1&&,M上存在一个非0的Killing field,那么&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%3E0& alt=&\chi(M) &0& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&&b&证:&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3D%5Csum_%7Bi%7D%5E%7B%7D%7B%7D+%5Cchi%28N_i%29& alt=&\chi(M)=\sum_{i}^{}{} \chi(N_i)& eeimg=&1&&,N_i当然也满足Hopf conjecture的假设,并且维数=0,2,4,这些case我们上面都已经证过,所以&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28N_i%29%3E0& alt=&\chi(N_i)&0& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&所以&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3E0& alt=&\chi(M)&0& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&注意到M上存在一个非0的Killing field等价于&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbf%7Biso%7D%7D%28M%2Cg%29& alt=&{\bf{iso}}(M,g)& eeimg=&1&&不等于0,等价于&img src=&/equation?tex=G%3DIso%28M%2Cg%29& alt=&G=Iso(M,g)& eeimg=&1&&0维,由M紧保证G紧,所以等价于G有限,所以上面的结论可以翻译成:&/p&&br&&blockquote&一个截面曲率&0的等距变换群非有限的6维紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&欧拉示性数&0&/blockquote&&p&注:利用这个套路也可以分析四维流形的情况,我们有:&/p&&p&一个截面曲率&0的等距变换群非有限的4维紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&欧拉示性数&img src=&/equation?tex=%5Cleq+3& alt=&\leq 3& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&推论:&/p&&p&&img src=&/equation?tex=S%5E2+%5Ctimes+S%5E2& alt=&S^2 \times S^2& eeimg=&1&&上如果存在正截面曲率度量,那么其等距同构群一定是有限群。&br&&/p&&br&&br&&p&4.&/p&&p&现在的归纳法已经很清楚了,利用&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3D%5Csum_%7Bi%7D%5E%7B%7D%7B%7D+%5Cchi%28N_i%29& alt=&\chi(M)=\sum_{i}^{}{} \chi(N_i)& eeimg=&1&&&br&&p&而N_i与M维数至少差2,因此可以如果N_i上的Hopf猜想都对,那么M自然也对。&/p&&p&自然要问,N_i从M上继承了什么?如果M上足够对称是不是N_i也足够对称?&/p&&p&我们引入对称秩的概念:&/p&&p&一个紧m维黎曼流形M的等距变换群G(为&img src=&/equation?tex=dim%5Cleq+%5Cfrac%7Bm%28m%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&dim\leq \frac{m(m+1)}{2}& eeimg=&1&&的紧李群)的rank(即G中极大环面的维数,或者说&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbf%7Biso%7D%7D%28M%2Cg%29& alt=&{\bf{iso}}(M,g)& eeimg=&1&&的Cartan子代数的维数)称为M的对称秩.&/p&&br&&p&而G中极大环面等距作用在M上,基本上可以看成一个元素作用在上面,因为每个环面都有一个拓扑生成元(无理流),特别地,作用的不动点集可以看成某个killing field的零点集,所以用上面的结论,每个连通分支都是测地子流形,我们有:&/p&&blockquote&记上面的得到的这些测地子流形的极大者(考虑)为N,则&b&N的对称秩不小于M的对称秩-1&/b&&/blockquote&&p&但我们已经知道其余维数codimN 不小于2.&br&&/p&&p&所以某种意义下N比M要“对称”一些。&/p&&br&&p&我们还需要一个归纳法的利器:&/p&&blockquote&(Connectedness principle with symmetries, Wilking, 2003)&br&M如上(dim=2n),N是M上一个非0的Killing fieldX的零点集的一个连通分支,余维数为k,则&br&嵌入&img src=&/equation?tex=N+%5Crightarrow+M& alt=&N \rightarrow M& eeimg=&1&&为2n-2k+2 connected&/blockquote&&img src=&/v2-382b8ad8c83d0bba9ddad2_b.png& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&/v2-382b8ad8c83d0bba9ddad2_r.png&&&img src=&/v2-697fdb937fab_b.png& data-rawwidth=&727& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&727& data-original=&/v2-697fdb937fab_r.png&&&img src=&/v2-0abb4249e_b.png& data-rawwidth=&731& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&731& data-original=&/v2-0abb4249e_r.png&&&img src=&/v2-b102befa6fdea7b80329ba_b.png& data-rawwidth=&738& data-rawheight=&452& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&738& data-original=&/v2-b102befa6fdea7b80329ba_r.png&&&img src=&/v2-1191ebef64bf17d9aaeafd49fe633672_b.png& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&415& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&/v2-1191ebef64bf17d9aaeafd49fe633672_r.png&&&br&&p&从而由相对版本的hurwitz 定理,嵌入&img src=&/equation?tex=N+%5Crightarrow+M& alt=&N \rightarrow M& eeimg=&1&&诱导了前2n-2k+1个上同调群的同构.&/p&&p&推论:&/p&&blockquote&如果上面的N的余维数是2,那么&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29%3E0& alt=&\chi(M)&0& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&证:&/p&&p&k=2,嵌入&img src=&/equation?tex=N+%5Crightarrow+M& alt=&N \rightarrow M& eeimg=&1&&诱导了前2n-3个上同调群的同构.&br&由M,N的poincare duality有:&/p&&img src=&/equation?tex=H%5E%7Bi%2B2%7D%28M%29+%5Ccong+H%5E%7B2n-i-2%7D%28M%29+%5Ccong+H%5E%7B2n-i-2%7D%28N%29+%5Ccong+H%5E%7Bi%7D%28N%29+%5Ccong+H%5Ei%28M%29%2C+%5Cforall+0%3Ci%3C2n-2& alt=&H^{i+2}(M) \cong H^{2n-i-2}(M) \cong H^{2n-i-2}(N) \cong H^{i}(N) \cong H^i(M), \forall 0&i&2n-2& eeimg=&1&&&br&&p&故由M单连通保证H^1 vanish,推导出所有奇数维上同调都消失,即证。&/p&&br&&p&用上面的归纳法,可以得到&/p&&blockquote&(Püttmann and Searle, 2002 and Rong, 2002).&br&一个偶数维(dim=2n)的紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&,如果截面曲率&img src=&/equation?tex=K%3E0& alt=&K&0& eeimg=&1&&,如果对称秩&img src=&/equation?tex=k%5Cgeq+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D-1& alt=&k\geq \frac{n}{2}-1& eeimg=&1&&&br&那么M欧拉示性数>0&/blockquote&&p&证:&/p&&p&对n归纳。&/p&&p&2n=2,4已证,2n=6时k不小于1,说明存在非0 Killing field,也已经证过。&/p&&p&从n=3开始,我们归纳地证明:&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%7B%5Cbf%7Biso%7D%7D%28M%2Cg%29& alt=&{\bf{iso}}(M,g)& eeimg=&1&&中任何一个维数&img src=&/equation?tex=k%5Cgeq+%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D-1& alt=&k\geq \frac{n}{2}-1& eeimg=&1&&的Abel子代数中的任何一个Killing field零点集的每个分支欧拉示性数都大于0.&br&&/p&&p&由于每个连通分支N_0都含在一个极大连通分支N中,如果N的余维数=2,那么由上M欧拉示性数&0,不需要归纳。&/p&&p&否则N的余维数不小于4,而N的对称秩不小于M的对称秩-1(同理把原来的Abel李子代数限制到N维数是原来-1),所以N满足归纳假设条件,所以N_0欧拉示性数&0.&/p&&p&即证。&/p&&br&&p&注:&/p&&p&这种方法可以被精细化,不过要用到更多代数拓扑知识例如Steenrod algebra,参见&a href=&/?target=https%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ON THE HOPF CONJECTURE WITH SYMMETRY&i class=&icon-external&&&/i&&/a&,其证明了&/p&&blockquote&一个dim=4n的紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&,如果截面曲率&img src=&/equation?tex=K%3E0& alt=&K&0& eeimg=&1&&,并且&img src=&/equation?tex=k+%5Cgeq+2log_2n& alt=&k \geq 2log_2n& eeimg=&1&&则&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%3E0& alt=&\chi(M) &0& eeimg=&1&&&/blockquote&&h2&二.Connected sum and 4 dimensional Einstein manifold&/h2&&p&如何用连通和构造不存在Einstein度量的4维紧流形的例子。&br&&/p&&p&由于奇数维紧流形的欧拉示性数恒等于0,下面只考虑M,N为n维紧流形,其中n是偶数,我们有&/p&&p&①&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%5C%23N%29%3D%5Cchi%28M%29%2B%5Cchi%28N%29-2& alt=&\chi(M\#N)=\chi(M)+\chi(N)-2& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&Pf:根据&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28U%5Ccup+V%29%2B%5Cchi%28U+%5Ccap+V%29%3D+%5Cchi+%28U%29%2B%5Cchi%28V%29& alt=&\chi(U\cup V)+\chi(U \cap V)= \chi (U)+\chi(V)& eeimg=&1&&,可见存在一个与M,N无关的常数k,使得&br&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%5C%23N%29%3D%5Cchi%28M%29%2B%5Cchi%28N%29%2B+k& alt=&\chi(M\#N)=\chi(M)+\chi(N)+ k& eeimg=&1&&&br&&p&取M=N=S^n,由n偶可见 k=-2.&/p&&p&2.&br&&/p&&p&下面考虑n=4m维的紧可定向光滑流形M。&/p&&p&考虑&/p&&img src=&/equation?tex=H%5E%7B2m%7D%28M%2C%5Cmathbb+R%29%5Ctimes+H%5E%7B2m%7D%28M%2C+%5Cmathbb+R%29+%5Crightarrow+%5Cmathbb+R+%5C%5C%0A%28%5B%5Calpha%5D+%2C%5B%5Cbeta%5D+%29+%5Cmapsto+%5Cint_%7BM%7D%5E%7B%7D+%5Calpha+%5Cwedge+%5Cbeta++%0A& alt=&H^{2m}(M,\mathbb R)\times H^{2m}(M, \mathbb R) \rightarrow \mathbb R \\
([\alpha] ,[\beta] ) \mapsto \int_{M}^{} \alpha \wedge \beta
& eeimg=&1&&&br&&p&Poincare对偶保证其为非退化对称双线性型,设正特征值有r个,负特征值有s个(记重数),&/p&&p&则&img src=&/equation?tex=r%2Bs%3Ddim_%7B%5Cmathbb+R%7DH%5E%7B2m%7D%28M%2C%5Cmathbb+R%29& alt=&r+s=dim_{\mathbb R}H^{2m}(M,\mathbb R)& eeimg=&1&&,M的号差定义为&img src=&/equation?tex=%5Csigma%28M%29%3Dr-s+%5Cin+%5Cmathbb+Z& alt=&\sigma(M)=r-s \in \mathbb Z& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&号差定义与积分有关,所以其值与M的定向有关,反转定向,则&img src=&/equation?tex=%5Csigma%28%5Cbar+M%29%3D-%5Csigma%28M%29& alt=&\sigma(\bar M)=-\sigma(M)& eeimg=&1&&。&/p&&p&我们有:&/p&&p&②&img src=&/equation?tex=%5Csigma+%28M%5C%23N%29%3D%5Csigma%28M%29%2B%5Csigma%28N%29& alt=&\sigma (M\#N)=\sigma(M)+\sigma(N)& eeimg=&1&&&/p&&p&Pf:&/p&&p&利用MV序列可以得到 &img src=&/equation?tex=H%5E%7B2m%7D%28M%5C%23N%29+%5Ccong+H%5E%7B2m%7D%28M%29+%5Coplus+H%5E%7B2m%7D%28N%29& alt=&H^{2m}(M\#N) \cong H^{2m}(M) \oplus H^{2m}(N)& eeimg=&1&&并且其保持内积.&/p&&p&所以如果M,N的二次型矩阵表示是A,B,那么连通和上二次型矩阵表示就是A,B分块对角阵。&/p&&p&注:&/p&&p&所有4m维紧光滑流形的保持定向微分同胚类全体记为D,连通和给予D上一个加法半群结构,S^4m是单位元,上面的讨论表明:&/p&&img src=&/equation?tex=D+%5Crightarrow+%5Cmathbb+Z+%3A+%5BM%5D+%5Cmapsto+%5Cchi%28M%29-2& alt=&D \rightarrow \mathbb Z : [M] \mapsto \chi(M)-2& eeimg=&1&&&br&&p&与&/p&&img src=&/equation?tex=D+%5Crightarrow+%5Cmathbb+Z+%3A+%5BM%5D+%5Cmapsto+%5Csigma%28M%29& alt=&D \rightarrow \mathbb Z : [M] \mapsto \sigma(M)& eeimg=&1&&&br&&p&都是加法(半)群同态.&/p&&p&3.&br&&/p&&p&现在考虑4维紧可定向光滑流形M,&/p&&p&最先在&a href=&/?target=https%3A//projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.jdg/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&COMPACT FOUR-DIMENSIONAL EINSTEIN MANIFOLDS&i class=&icon-external&&&/i&&/a&中Hitchin证明了如下不等式:&/p&&p&③&/p&&p&如果M上容许一个Einstein度量,那么&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%5Cgeq+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7C%5Csigma%28M%29%7C& alt=&\chi(M) \geq \frac{3}{2} |\sigma(M)|& eeimg=&1&&&br&&p&Pf:&/p&&p&方法是直接计算。&/p&&p&在&img src=&/equation?tex=%5Cwedge+%5E2TM& alt=&\wedge ^2TM& eeimg=&1&&上Hodge星算子将给出一个特征子空间分解&img src=&/equation?tex=%5Cwedge+%5E2TM%3D%5CLambda%5E%7B%2B%7D+%5Coplus+%5CLambda+%5E%7B-%7D& alt=&\wedge ^2TM=\Lambda^{+} \oplus \Lambda ^{-}& eeimg=&1&&&/p&&p&而&img src=&/equation?tex=%5Cwedge+%5E2TM& alt=&\wedge ^2TM& eeimg=&1&&到&img src=&/equation?tex=%5Cwedge+%5E2TM& alt=&\wedge ^2TM& eeimg=&1&&曲率算子R可以写成分块形式:&img src=&/v2-898dddf317a54_b.png& data-rawwidth=&128& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&128&&&/p&&p&由于R对称,所以A,C对称,D为B的 adjoint.&/p&&p&进一步可计算得&/p&&p&&br&&img src=&/v2-f7baa_b.png& data-rawwidth=&227& data-rawheight=&121& class=&content_image& width=&227&&W是Weyl tensor,scal是数量曲率:&img src=&/v2-3b76ac8a2910dbc7e1e71_b.png& data-rawwidth=&213& data-rawheight=&79& class=&content_image& width=&213&&&b&而M是Einstein的,等价于B=D=0&/b&.&/p&&p&4维的Gauss-Bonnet公式为:&br&&/p&&p&&img src=&/v2-faf8cff56cd697f463edb0fe0ca2a5c4_b.png& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&65& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&/v2-faf8cff56cd697f463edb0fe0ca2a5c4_r.png&&故如果M是Einstein的,我们有B=0,代入有:&/p&&p&&img src=&/v2-6fa6a78e074b149f06cc565c_b.png& data-rawwidth=&547& data-rawheight=&154& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&547& data-original=&/v2-6fa6a78e074b149f06cc565c_r.png&&4维时Hirzebruch signature thereom给出:&/p&&p&&img src=&/v2-6cf9c0efa351fd45ef625_b.png& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&69& class=&content_image& width=&403&&由此立见&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%5Cgeq+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7C%5Csigma%28M%29%7C& alt=&\chi(M) \geq \frac{3}{2} |\sigma(M)|& eeimg=&1&&&/p&&p&4.&br&&/p&&p&这一限制将给出不存在Einstein度量的4维紧流形的例子&/p&&p&从&img src=&/equation?tex=M%3D%5Cmathbb+C+%5Cmathbb+P%5E2& alt=&M=\mathbb C \mathbb P^2& eeimg=&1&&开始,其号差为&b&1&/b&(标准定向下),这是因为其第2维上同调群是1维的(所以号差1或-1),不妨由t生成,则t^2生成第4维上同调群.&/p&&p&欧拉示性数是&b&1-0+1-0+1=3&/b&.&br&&/p&&p&由上面的2,3可见&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28%5C%23%5En+%5Cmathbb+C+%5Cmathbb+P%5E2%29%3Dn%2B2& alt=&\chi(\#^n \mathbb C \mathbb P^2)=n+2& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=%5Csigma%28%5C%23%5En+%5Cmathbb+C+%5Cmathbb+P%5E2%29%3Dn& alt=&\sigma(\#^n \mathbb C \mathbb P^2)=n& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&故当n&4时,&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28M%29+%5Cgeq+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7C%5Csigma%28M%29%7C& alt=&\chi(M) \geq \frac{3}{2} |\sigma(M)|& eeimg=&1&&不再对&img src=&/equation?tex=%5C%23%5En+%5Cmathbb+C+%5Cmathbb+P%5E2& alt=&\#^n \mathbb C \mathbb P^2& eeimg=&1&&成立,所以得到:&br&&/p&&p&④&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5C%23%5En+%5Cmathbb+C+%5Cmathbb+P%5E2+%28n%3E4%29& alt=&\#^n \mathbb C \mathbb P^2 (n&4)& eeimg=&1&&上不容许Einstein度量。&/p&&h2&三.Myers–Steenrod定理&/h2&&p&两个黎曼流形的映射&img src=&/equation?tex=f%3A%28M%2Cg%29+%5Crightarrow+%28N%2Ch%29& alt=&f:(M,g) \rightarrow (N,h)& eeimg=&1&&称为等距的,如果其为微分同胚并且切映射处处保持黎曼度量,即&img src=&/equation?tex=f%5E%7B%2A%7Dh%3Dg& alt=&f^{*}h=g& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&特别地,黎曼流形&img src=&/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&&自身的等距成一群,所谓等距变换群&img src=&/equation?tex=I%28M%29& alt=&I(M)& eeimg=&1&&,Myers-Steenrod定理表明此为一个李群,因此自然把李群李代数的一些相关理论纳入到黎曼几何的研究框架中。&/p&&p&等距的定义中切映射的保内积性表明等距局部保持测地线,也就是说f(p)点与p点附近的黎曼度量结构大抵相同。考虑平坦的欧氏空间,则等距即正交变换+平移,其中一点都可用一个等距映射映到任何一点,这反映了欧氏空间的对称性。&/p&&p&回到一般黎曼流形,考虑M中任何两点,连接它们的曲线建立了两点的联系(不妨总假定考虑的流形是连通的),因此我们可以用黎曼度量反映曲线长度,进而引入整体的距离——&b&度量。&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=d%28p%2Cq%29%3DinfL%28%5Cgamma+%29& alt=&d(p,q)=infL(\gamma )& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=%5Cgamma+& alt=&\gamma & eeimg=&1&&是连接p,q的任一条分段光滑曲线,&img src=&/equation?tex=L%28%5Cgamma+%29& alt=&L(\gamma )& eeimg=&1&&即曲线的长度,由切向量的长度积分得到。&br&&/p&&p&于是&img src=&/equation?tex=%28M%2Cd%29& alt=&(M,d)& eeimg=&1&&自然成为一个度量空间,我们得到了一个描述了点之间的“远近”的量。然而积分是否丢掉了较多的局部信息?整体的度量是否能反映黎曼度量、测地线的性质?&/p&&p&Hopf-Rinow定理表明,&img src=&/equation?tex=%28M%2Cd%29& alt=&(M,d)& eeimg=&1&&是完备的度量空间等价于指数映射在M中所有(或某一)点处处可以定义,此时M中任何两点可以用测地线相连,是一种较好的情况,通常我们只考虑完备的黎曼流形。&/p&&p&另外,熟知&img src=&/equation?tex=%28M%2Cd%29& alt=&(M,d)& eeimg=&1&&作为度量空间诱导的拓扑与原拓扑相同,因此可以用&img src=&/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&的大小描述极限。&/p&&br&&p&回到Myers–Steenrod定理,其有两条叙述,我们考虑第一个也是较为简单的一个结果:&br&&/p&&br&&blockquote&给定黎曼流形&img src=&/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=f%3AM+%5Crightarrow+M& alt=&f:M \rightarrow M& eeimg=&1&&是一个保持整体的度量的映射,&br&即&img src=&/equation?tex=d%28f%28x%29%2Cf%28y%29%29%3Dd%28x%2Cy%29%2C%5Cforall+x%2Cy+%5Cin+M& alt=&d(f(x),f(y))=d(x,y),\forall x,y \in M& eeimg=&1&&&br&那么&img src=&/equation?tex=f%3AM+%5Crightarrow+M& alt=&f:M \rightarrow M& eeimg=&1&&如果是满射,那么就一定是等距,特别地,一定是&b&光滑的&/b&。&/blockquote&&p&等距性表明整体的度量可以刻画局部的黎曼度量,而光滑性表明整体的度量可以反映微分结构,后者在Richard Palais (1957) &a class=& wrap external& href=&/?target=http%3A//dx.doi.org/10.-88000-X& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&On the differentiability of isometries&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&有一个更深刻的结果,其表明黎曼流形的微分结构可以从整体度量恢复出来。&br&&/p&&p&而光滑性这点是不容易的,其某种意义下是“刚性”的体现——另一个类似的结果是李群的连续群同态一定是光滑的从而是李群同态。&/p&&p&我们来勾勒证明的概要:&/p&&p&&b&1.&/b&&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是单射,并且是连续同胚&/p&&p&证:&img src=&/equation?tex=d%28f%28x%29%2Cf%28y%29%29%3Dd%28x%2Cy%29& alt=&d(f(x),f(y))=d(x,y)& eeimg=&1&&,因此&img src=&/equation?tex=f%28x%29%3Df%28y%29& alt=&f(x)=f(y)& eeimg=&1&&表明x,y距离=0,即x=y,由度量诱导原拓扑,连续性是显然的。由于已经加上了满射的条件,所以f有逆映射,而逆映射也保持整体度量,因此连续。&/p&&p&&b&2.&/b&f把测地线映成测地线&/p&&p&证:只需局部考虑,p固定,q离p充分近,那么可以用测地线&img src=&/equation?tex=+%5Cgamma+& alt=& \gamma & eeimg=&1&&相连,因此&/p&&p&&img src=&/equation?tex=d%28p%2Cq%29+%3D+d%28%5Cgamma%28t%29%2Cp%29+%2B+d%28%5Cgamma%28t%29%2C+q%29& alt=&d(p,q) = d(\gamma(t),p) + d(\gamma(t), q)& eeimg=&1&&对弧长参数t成立,两边作用f,有&br&&/p&&img src=&/equation?tex=d%28f%28p%29%2Cf%28q%29%29+%3D+d%28f%28%5Cgamma%28t%29%29%2Cf%28p%29%29+%2B+d%28f%28%5Cgamma%28t%29%29%2C+f%28q%29%29+.& alt=&d(f(p),f(q)) = d(f(\gamma(t)),f(p)) + d(f(\gamma(t)), f(q)) .& eeimg=&1&&&br&&p&这表明严格三角不等式等号成立,在p,q充分近的时候,这表明&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+& alt=&f \circ \gamma & eeimg=&1&&是测地线(我们事先取最短测地线连接&img src=&/equation?tex=f%28p%29%2Cf+%5Ccirc+%5Cgamma+%28t%29& alt=&f(p),f \circ \gamma (t)& eeimg=&1&&,再取最短测地线连接&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+%28t%29%2Cf%28q%29& alt=&f \circ \gamma (t),f(q)& eeimg=&1&&,这两条复合后长度恰好=起点、终点距离,因此是一条测地线,这样我们得到f(p),f(q)之间的最短测地线经过&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+%28t%29& alt=&f \circ \gamma (t)& eeimg=&1&&,而不难看出&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+& alt=&f \circ \gamma & eeimg=&1&&也是弧长参数的,所以&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+& alt=&f \circ \gamma & eeimg=&1&&就是那条测地线)&/p&&p&&b&3.&/b&&/p&&br&2的观察是证明光滑性的Key idea——测地线自然是光滑的。&p&现在取M中任何一点p,设&img src=&/equation?tex=q%3Df%28p%29& alt=&q=f(p)& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&取开集&img src=&/equation?tex=U+%5Csubset+T_p%28M%29%2CV+%5Csubset+T_q%28M%29& alt=&U \subset T_p(M),V \subset T_q(M)& eeimg=&1&&使得这两点的指数映射分别把U,V映成半径为&img src=&/equation?tex=%5Cdelta+& alt=&\delta & eeimg=&1&&的p,q附近测地球。(半径取充分小)&/p&&p&我们定义一个映射:&/p&&p&取U中任何一个向量v,有一条唯一的测地线从p出发,初始切向量是v,我们用f作用这条测地线,由2得到的&img src=&/equation?tex=f+%5Ccirc+%5Cgamma+& alt=&f \circ \gamma & eeimg=&1&&还是测地线,我们把这条测地线的初始切向量记为&img src=&/equation?tex=%5Cphi+%28v%29& alt=&\phi (v)& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&我们齐性定义&img src=&/equation?tex=%5Cphi+%28%5Clambda+v%29%3D%5Clambda+%5Cphi+%28v%29%2C%5Cforall+%5Clambda+%5Cin+%5Cmathbb+R& alt=&\phi (\lambda v)=\lambda \phi (v),\forall \lambda \in \mathbb R& eeimg=&1&&,从而得到&img src=&/equation?tex=%5Cphi+%3AT_%7Bp%7DM+%5Crightarrow+T_%7Bq%7DM& alt=&\phi :T_{p}M \rightarrow T_{q}M& eeimg=&1&&&/p&&p&U,V相当于用指数映射得到的p,q的局部坐标系,所以&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&其实就是f的局部坐标表达,我们只要证明&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&是光滑的。&/p&&p&事实上,&img src=&/equation?tex=%5Cphi+& alt=&\phi & eeimg=&1&&是线性的,这就保证了光滑性。下面来说明这一事实。&/p&&p&4.&/p&&p&我们注意到一个基本的等式是:&/p&&img src=&/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Cto+0+%2CA%2CB+%5Cin+T_p%28M%29%7D+%5Cfrac%7Bd%28%5Cexp_p%28tA%29%2C%5Cexp_p%28tB%29%29+%7D%7Bt%7CA-B%7C%7D++%3D+1.& alt=&\lim_{t \to 0 ,A,B \in T_p(M)} \frac{d(\exp_p(tA),\exp_p(tB)) }{t|A-B|}
= 1.& eeimg=&1&&&br&&p&这个成立的原因是指数映射在原点的切映射=恒等映射,所以对c为切空间中一条光滑曲线,当c的长度充分小时,由&/p&&p&&img src=&/equation?tex=l%28%5Cexp_p%28c%29%29+%3D+%5Cint+%7C+%28%5Cexp_p%29_%7B%2Ac%28t%29%7D+c%27%28t%29+%7C_%7B%5Cexp_p%28c%28t%29%29%7D& alt=&l(\exp_p(c)) = \int | (\exp_p)_{*c(t)} c'(t) |_{\exp_p(c(t))}& eeimg=&1&&,&/p&&img src=&/equation?tex=l%28c%29+%3D+%5Cint+%7Cc%27%7C& alt=&l(c) = \int |c'|& eeimg=&1&&&br&&p&所以当c充分小时,&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B+l%28%5Cexp_p%28c%29%29%7D%7Bl%28c%29%7D+%5Crightarrow+1.& alt=&\frac{ l(\exp_p(c))}{l(c)} \rightarrow 1.& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&保持两个切空间之间的度量(由黎曼度量在切空间的限制得到)&/p&&p&所以如果取&img src=&/equation?tex=T_%7Bp%7DM& alt=&T_{p}M& eeimg=&1&&中的切向量A,B,以它们为切向量的测地线其实就是&img src=&/equation?tex=y_A%28t%29%3D%5Cexp_p%28tA%29%2Cy_B%28t%29%3D%5Cexp_p%28tB%29& alt=&y_A(t)=\exp_p(tA),y_B(t)=\exp_p(tB)& eeimg=&1&&,用f复合后得到两条新的测地线,分别记为&/p&&p&&img src=&/equation?tex=y_1%28t%29%3D%5Cexp_q%28t+A%27%29%2Cy_2%28t%29%3D%5Cexp_q%28t+B%27%29& alt=&y_1(t)=\exp_q(t A'),y_2(t)=\exp_q(t B')& eeimg=&1&&,那么&br&&/p&&img src=&/equation?tex=1%3D++%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bd%28%5Cexp_p%28t+A%29%2C%5Cexp_p%28t+B%29%29+%7D%7Bt%7CA-B%7C%7D+%0A%3D++%5Clim_%7Bt+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bd%28%5Cexp_q%28t+A%27%29%2C%5Cexp_q%28t+B%27%29%29+%7D%7Bt%7CA-B%7C%7D++%3D+%5Cfrac%7B%7CA%27-B%27%7C%7D%7B%7CA-B%7C%7D.& alt=&1=
\lim_{t \to 0} \frac{d(\exp_p(t A),\exp_p(t B)) }{t|A-B|}
\lim_{t \to 0} \frac{d(\exp_q(t A'),\exp_q(t B')) }{t|A-B|}
= \frac{|A'-B'|}{|A-B|}.& eeimg=&1&&&br&&p&第二个等号是因为f保持度量。&/p&&p&而A',B'就是A,B在&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&下的像,所以我们得到&br&&/p&&blockquote&&img src=&/equation?tex=%5Cphi+%3AT_%7Bp%7DM+%5Crightarrow+T_%7Bq%7DM& alt=&\phi :T_{p}M \rightarrow T_{q}M& eeimg=&1&&满足&img src=&/equation?tex=%7C%5Cphi%28A%29-%5Cphi%28B%29%7C%3D%7CA-B%7C& alt=&|\phi(A)-\phi(B)|=|A-B|& eeimg=&1&&,且&img src=&/equation?tex=%5Cphi+%28%5Clambda+v%29%3D%5Clambda+%5Cphi+%28v%29& alt=&\phi (\lambda v)=\lambda \phi (v)& eeimg=&1&&,特别&img src=&/equation?tex=%5Cphi%280%29%3D0& alt=&\phi(0)=0& eeimg=&1&&&/blockquote&希望证明&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&是一个线性映射,那么基本上就是简单的线性代数+三角不等式等号成立的条件,略。&p&至此,我们已经证明了f的光滑性,有了这一点,不难看出&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&其实是切映射,所以f是等距,把f换成f的逆,重复上面的讨论,我们得到了逆也光滑,证毕。&/p&&p&事实上&img src=&/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Cto+0+%2CA%2CB+%5Cin+T_p%28M%29%7D+%5Cfrac%7Bd%28%5Cexp_p%28tA%29%2C%5Cexp_p%28tB%29%29+%7D%7Bt%7CA-B%7C%7D++%3D+1.& alt=&\lim_{t \to 0 ,A,B \in T_p(M)} \frac{d(\exp_p(tA),\exp_p(tB)) }{t|A-B|}
= 1.& eeimg=&1&&我们只需要其不小于1或者不大于1一边的估计即可,然后就得到&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&缩短距离或增加距离,对于f的逆做同样讨论,我们得到&img src=&/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&还是等距。&/p&&br&&p&注:&/p&&p&上面的讨论基于&a href=&/?target=https%3A//ncatlab.org/nlab/show/Myers-Steenrod%2Btheorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ncatlab&i class=&icon-external&&&/i&&/a&上的证明。&/p&&p&注:&/p&&p&关于f是满射这个先验的假设,似乎不太自然,实际上不能够去掉,考虑正实轴的右平移算子即可。&/p&&p&但是,我们可以在好的情况做一个简化:&/p&&p&假定黎曼流形&img src=&/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&&是紧的,那么自然是完备的,现在我们有一个&/p&&p&&img src=&/equation?tex=f%3AM+%5Crightarrow+M& alt=&f:M \rightarrow M& eeimg=&1&& 使得&img src=&/equation?tex=d%28f%28x%29%2Cf%28y%29%29%3Dd%28x%2Cy%29%2C%5Cforall+x%2Cy+%5Cin+M& alt=&d(f(x),f(y))=d(x,y),\forall x,y \in M& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&仔细的研究表明,f必须是一个满射。&/p&&p&(引理)&/p&&blockquote&&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&紧度量空间,&img src=&/equation?tex=d%28f%28x%29%2Cf%28y%29%29%3Dd%28x%2Cy%29%2C%5Cforall+x%2Cy+%5Cin+X& alt=&d(f(x),f(y))=d(x,y),\forall x,y \in X& eeimg=&1&&,则&br&f一定是满的&/blockquote&&p&证:由于f保持度量,从而f连续,所以&img src=&/equation?tex=f%28X%29& alt=&f(X)& eeimg=&1&&紧,若&img src=&/equation?tex=f%28X%29%5Cne+X& alt=&f(X)\ne X& eeimg=&1&&,取f的像之外一点x,则&br&&/p&&p&x与&img src=&/equation?tex=f%28X%29& alt=&f(X)& eeimg=&1&&有正距离&img src=&/equation?tex=d%3E0& alt=&d&0& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&考虑迭代&img src=&/equation?tex=x_0%3Dx%2C& alt=&x_0=x,& eeimg=&1&&&img src=&/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3Df%28x_n%29& alt=&x_{n+1}=f(x_n)& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&img src=&/equation?tex=d%28x_%7Bn%2Bk%7D%2Cx_%7Bn%7D%29%3Dd%28x_%7Bk%7D%2Cx_0%29%3Ed& alt=&d(x_{n+k},x_{n})=d(x_{k},x_0)&d& eeimg=&1&&,k&1&/p&&p&第一个等号是f的保度量性,第二个是x_k属于&img src=&/equation?tex=f%28X%29& alt=&f(X)& eeimg=&1&&。&/p&&p&所以x_n没有收敛子列,这与紧性矛盾!&/p&&br&&p&作为一个推论,我们得到一个满意的结果:&/p&&blockquote&给定紧黎曼流形&img src=&/equation?tex=%28M%2Cg%29& alt=&(M,g)& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=f%3AM+%5Crightarrow+M& alt=&f:M \rightarrow M& eeimg=&1&&是一个保持整体的度量的映射,&br&即&img src=&/equation?tex=d%28f%28x%29%2Cf%28y%29%29%3Dd%28x%2Cy%29%2C%5Cforall+x%2Cy+%5Cin+M& alt=&d(f(x),f(y))=d(x,y),\forall x,y \in M& eeimg=&1&&&br&&br&那么我们有:&br&f是一个满射,是光滑映射,并且是一个等距。&/blockquote&&h2&四.李群的拓扑&/h2&&img src=&/7aa4a9f0fd_b.png& alt=&李群的拓扑(一)—基本群& class=&content_image&&&p&李群作为高度对称的对象,自然拓扑上会有一些限制。&br&&/p&&p&一个著名的结果是:任何一个连通李群可以形变收缩成其极大紧子群,所以我们只考虑紧李群(通常假定连通)。&/p&&p&&b&1.&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&连通李群,则&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&为Abel群。&br&&/p&&p&&b&Pf:&/b&&/p&&p&&b&法一:&/b&&/p&&p&连通拓扑群的基本群都是交换的,因为&/p&&p&f*g同伦于fg同伦于gf同伦于g*f&br&第一个乘积为基本群运算,第二个为拓扑群运算&br&第一个同伦:&img src=&/equation?tex=H%28s%2Ct%29& alt=&H(s,t)& eeimg=&1&&在&img src=&/equation?tex=s%3C%5Cfrac%7B%281-t%29%7D%7B2%7D& alt=&s&\frac{(1-t)}{2}& eeimg=&1&&上为&img src=&/equation?tex=f%28%5Cfrac%7B2s%7D%7B1%2Bt%7D%29& alt=&f(\frac{2s}{1+t})& eeimg=&1&&,在&img src=&/equation?tex=s%3E%281%2Bt%29%2F2& alt=&s&(1+t)/2& eeimg=&1&&上为&img src=&/equation?tex=g%28%5Cfrac%7B2s%7D%7B1%2Bt%7D-%5Cfrac%7B1-t%7D%7B1%2Bt%7D%29& alt=&g(\frac{2s}{1+t}-\frac{1-t}{1+t})& eeimg=&1&&,在其他地方为&img src=&/equation?tex=f%28%5Cfrac%7B2s%7D%7B1%2Bt%7D%29g%28%5Cfrac%7B2s%7D%7B1%2Bt%7D-%5Cfrac%7B1-t%7D%7B1%2Bt%7D%29& alt=&f(\frac{2s}{1+t})g(\frac{2s}{1+t}-\frac{1-t}{1+t})& eeimg=&1&&&br&第二个同伦:&img src=&/equation?tex=H%28s%2Ct%29%3Df%5E%7B-1%7D%28st%29f%28s%29g%28s%29f%28st%29& alt=&H(s,t)=f^{-1}(st)f(s)g(s)f(st)& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&法二:&/b&&/p&&p&一般地,有&a href=&/?target=https%3A//ncatlab.org/nlab/show/Eckmann-Hilton%2Bargument& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Eckmann–Hilton argument&i class=&icon-external&&&/i&&/a&,上面的结果可以推广到H-space。&/p&&p&&br&&b&2.&/b&&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&紧连通李群,则&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&是有限生成Abel群。&br&&/p&&p&&b&Pf:&/b&&/p&&p&&b&法一:&/b&&/p&&p&任何一个紧光滑流形都有一个三角剖分,使得每个维数的cell有限。而基本群即所有1维闭链生成的Abel群(有限生成)商掉边缘链所得群。&/p&&p&&br&&b&法二:&/b&&/p&&p&见&b&5.&/b&&br&&/p&&p&&b&3.&/b&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&紧连通李群,中心&img src=&/equation?tex=Z%28G%29& alt=&Z(G)& eeimg=&1&&平凡(即G中与所有元交换的元只能是单位元),则&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&有限Abel群。&/p&&p&&b&Pf:&/b&&/p&&p&因为G连通,&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的中心的李代数是&img src=&/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&的李代数&img src=&/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&&的中心&img src=&/equation?tex=Z%28g%29& alt=&Z(g)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=dim+Z%28g%29+%3Ddim+Z%28G%29%3D0& alt=&dim Z(g) =dim Z(G)=0& eeimg=&1&&,即&img src=&/equation?tex=Z%28g%29%3D0& alt=&Z(g)=0& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&&b&法一:&/b&&/p&&p&G是紧李群,可以附一个双不变的黎曼度量,此时&/p&&p&&img src=&/equation?tex=D_XY%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5BX%2CY%5D& alt=&D_XY=\frac{1}{2}[X,Y]& eeimg=&1&&,从而&img src=&/equation?tex=R%28X%2C+Y%2C+X%2C+Y%29+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%7C%5BX%2C+Y%5D%7C%5E2%0A& alt=&R(X, Y, X, Y) =\frac{1}{4}|[X, Y]|^2
& eeimg=&1&&,故截面曲率处处非负,注意到&img src=&/equation?tex=Z%28g%29%3D0& alt=&Z(g)=0& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&所以Ricc曲率处处严格正(其为n-1个不同方向的截面曲率之和,若&img src=&/equation?tex=Ric%28X%29%3D0& alt=&Ric(X)=0& eeimg=&1&&,则这些截面曲率均=0,从而X与所有的Y的李括号均为0,从而X属于g的中心,g中心平凡所以X=0)&/p&&p&因为G是紧的,正值连续函数一定有正的最小值,所以Ricc曲率有严格正下界,&/p&&p&而由&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Myers%2527s_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Bonnet–Myers theorem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&,Ricc曲率有严格正下界的黎曼流形的基本群是有限群。&/p&&p&&b&法二:&/b&&/p&&p&由李代数上同调与李群上同调的关系可知,&img src=&/equation?tex=H%5E1%28G%2C%5Cmathbb+R%29+%5Ccong+%28Z%28g%29%29%5E%2A%3D0& alt=&H^1(G,\mathbb R) \cong (Z(g))^*=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由Hurwitz定理,&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&的交换化即&img src=&/equation?tex=H_1%28M%2C%5Cmathbb+Z%29& alt=&H_1(M,\mathbb Z)& eeimg=&1&&,但是&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&本身就是Abel群,因此&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29+%5Ccong+H_1%28G%2C%5Cmathbb+Z%29& alt=&\pi_1(G) \cong H_1(G,\mathbb Z)& eeimg=&1&&&br&&br&&p&而&img src=&/equation?tex=H_1%28G%2C%5Cmathbb+Z%29+%5Cotimes+%5Cmathbb+R+%3DH_1%28G%2C%5Cmathbb+R%29%5Ccong+H%5E1%28G%2C+%5Cmathbb+R%29%3D0& alt=&H_1(G,\mathbb Z) \otimes \mathbb R =H_1(G,\mathbb R)\cong H^1(G, \mathbb R)=0& eeimg=&1&&(前一个是万有系数,后一个是Poincare对偶)&/p&&p&但是&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&是有限生成的,其tensor掉挠元后是0,所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&中全是挠元,rank是0,所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&是有限Abel群。&/p&&p&注:&/p&&p&一个重要的例子是&img src=&/equation?tex=SO%28n%29& alt=&SO(n)& eeimg=&1&&(n不小于3),其基本群是&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+Z%2F2+%5Cmathbb+Z& alt=&\mathbb Z/2 \mathbb Z& eeimg=&1&&&/p&&p&由证明可见,条件可放宽为:G的中心是有限的(即G的中心是0维的)。&/p&&p&作为一个推论,基本群有限,所以G的万有复叠一定还是紧李群,且复叠次数有限。&/p&&p&(这仍可以由Myers定理得到)&/p&&p&事实上我们给出了以下结论的部分证明:&/p&&blockquote&&p&G是一个紧连通李群,则下面5条等价:&br&&/p&&ul&&li&G 半单&/li&&li&G中心有限&/li&&li&G的基本群有限&/li&&li&G的万有复叠紧&/li&&li&G的killing形式非退化&/li&&/ul&&/blockquote&&br&&p&&b&4.&/b&G连通紧李群,则&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%29%3D0& alt=&\pi_2(G)=0& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&Pf:&/b&&/p&&p&&b&法一:&/b&&/p&&p&采用Milnor的《 Morse Theory 》中的证明:&br&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=PG+%3D+%5C%7B+f%3A%5B0%2C1%5D%5Crightarrow+G+%7C+f%280%29+%3D+e%5C%7D& alt=&PG = \{ f:[0,1]\rightarrow G | f(0) = e\}& eeimg=&1&&即所有从单位元出发的连续道路,其作为拓扑空间是可缩的。&/p&&p&定义投影&img src=&/equation?tex=%5Cpi+%3APG+%5Crightarrow+G& alt=&\pi :PG \rightarrow G& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=%5Cpi+%28f%29%3Df%281%29& alt=&\pi (f)=f(1)& eeimg=&1&&,定义&img src=&/equation?tex=%5COmega+G+%3D%5C%7Bf%5Cin+PG+%7C+f%281%29+%3D+e+%5C%7D& alt=&\Omega G =\{f\in PG | f(1) = e \}& eeimg=&1&&为以单位元为基点的闭回路(loop space)&/p&&p&自然有一个纤维丛&img src=&/equation?tex=%5COmega+G+%5Crightarrow+PG+%5Coverset%7B%5Cpi%7D%5Crightarrow+G& alt=&\Omega G \rightarrow PG \overset{\pi}\rightarrow G& eeimg=&1&&(&img src=&/equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&的fiber都同伦于&img src=&/equation?tex=%5COmega+G& alt=&\Omega G& eeimg=&1&&)由于中间是可缩的,由纤维丛的长正合列有&img src=&/equation?tex=%5Cpi_k%28%5COmega+G%29+%5Ccong+%5Cpi_%7Bk%2B1%7D%28G%29& alt=&\pi_k(\Omega G) \cong \pi_{k+1}(G)& eeimg=&1&&,只需研究&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28%5COmega+G%29& alt=&\pi_1(\Omega G)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&而G附上双不变度量,任意一条闭回路均可用测地多边形逼近,而足够短的测地线由其起点终点唯一决定,所以这样的测地多边形(每段充分短)可以用其每段的终点和起点确定,因此可以用&img src=&/equation?tex=G+%5Ctimes+%5Chdots+%5Ctimes+G& alt=&G \times \hdots \times G& eeimg=&1&&的某个开子集&img src=&/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&来逼近&img src=&/equation?tex=%5COmega+G& alt=&\Omega G& eeimg=&1&&,定义S上的弧长能量变分作为Morse函数,其临界点即测地线,其指标即测地线的指标,而G中测地线即单参数子群,因此可以证明共轭点指标均为偶数。利用Morse函数给出的胞腔剖分,得到&img src=&/equation?tex=%5COmega+G& alt=&\Omega G& eeimg=&1&&的胞腔全是偶数维,所以奇数维同调全vanish,偶数维同调全是自由Abel群。&/p&&p&所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%29+%3D+%5Cpi_1%28%5COmega+G%29+%3D+0& alt=&\pi_2(G) = \pi_1(\Omega G) = 0& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&&b&顺便得到,&img src=&/equation?tex=%5Cpi_3%28G%29+%3D+%5Cpi_2%28%5COmega+G%29+%3D+H_2%28+%5COmega+G%29& alt=&\pi_3(G) = \pi_2(\Omega G) = H_2( \Omega G)& eeimg=&1&&有限生成自由Abel群。&/b&&br&&/p&&p&(&img src=&/equation?tex=%5Cpi_4& alt=&\pi_4& eeimg=&1&&不一定自由Abel,如&img src=&/equation?tex=%5Cpi_4%28SO%283%29%29%3D%5Cmathbb+Z%2F2& alt=&\pi_4(SO(3))=\mathbb Z/2& eeimg=&1&&)&/p&&p&&b&法二:&/b&&/p&&p&G是一个紧连通Lie群,只需证明单连通的情况。此时&img src=&/equation?tex=H%5E1%28G%29%3D0& alt=&H^1(G)=0& eeimg=&1&&,所以&img src=&/equation?tex=H%5E1%28g%29%3D0& alt=&H^1(g)=0& eeimg=&1&&,g半单李代数,由whitehead lemma &img src=&/equation?tex=H%5E2%28g%29%3D0& alt=&H^2(g)=0& eeimg=&1&&,所以&img src=&/equation?tex=H%5E2%28G%29%3D0& alt=&H^2(G)=0& eeimg=&1&&,由Hurwitz定理给出结果。&/p&&br&&p&注:&/p&&p&作为一个推论,得到&img src=&/equation?tex=S%5E2& alt=&S^2& eeimg=&1&&不是李群,事实上,球面&img src=&/equation?tex=S%5En& alt=&S^n& eeimg=&1&&能够成为李群当且仅当n=0,1,3,这也可以利用李代数的上同调证明。&/p&&p&&b&法三:&/b&&/p&&p&,这个事实也可以这么看出:&/p&&p&考虑&img src=&/equation?tex=q%3AG%2FT+%5Ctimes+T_r+%5Crightarrow+G_r+%5C%5C%0A%28gT%2Ct%29+%5Crightarrow+gtg%5E%7B-1%7D& alt=&q:G/T \times T_r \rightarrow G_r \\
(gT,t) \rightarrow gtg^{-1}& eeimg=&1&&这个复叠映射(下标r表示去掉非正则点,其为&img src=&/equation?tex=%7CW%7C& alt=&|W|& eeimg=&1&&重复叠,&img src=&/equation?tex=W& alt=&W& eeimg=&1&&是Weyl群)&/p&&p&其诱导2阶同伦群的同构,又&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G_r%29+%5Ctwoheadrightarrow+%5Cpi_2%28G%29& alt=&\pi_2(G_r) \twoheadrightarrow \pi_2(G)& eeimg=&1&&满射(因为非正则点在G中比例很小,通常余维数不小于3),所以每个S^2到G的映射都factor through &img src=&/equation?tex=q%3AG%2FT%5Ctimes+T+%5Ctwoheadrightarrow+G& alt=&q:G/T\times T \twoheadrightarrow G& eeimg=&1&&(同伦意义下),但是T的2阶同伦平凡,因此&img src=&/equation?tex=S%5E2+%5Crightarrow+G%2FT+%5Ctimes+T& alt=&S^2 \rightarrow G/T \times T& eeimg=&1&&第二个分量平凡,这导致其被q映到G后为常值1,所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%29%3D0& alt=&\pi_2(G)=0& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&&b&5.&/b&&/p&&p&G是一个紧连通李群,自然考虑其极大环面T,T是G的一个子群,因此有主T丛:&/p&&img src=&/equation?tex=T+%5Crightarrow+G+%5Ctwoheadrightarrow+G%2FT& alt=&T \rightarrow G \twoheadrightarrow G/T& eeimg=&1&&&br&&p&例:&/p&&p&&img src=&/equation?tex=G%3DSU%282%29+%5Ccong+S%5E3& alt=&G=SU(2) \cong S^3& eeimg=&1&&,G中所有对角阵成极大环面&img src=&/equation?tex=T+%5Ccong+S%5E1& alt=&T \cong S^1& eeimg=&1&&,&img src=&/equation?tex=G%2FT+%5Ccong+S%5E2& alt=&G/T \cong S^2& eeimg=&1&&,上面的纤维丛即hopf fibration&/p&&img src=&/7a3dae8ddad22ddde5bffd_b.jpg& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&250& class=&content_image& width=&250&&&p&回到一般的G,由纤维丛的长正合列我们有:&/p&&img src=&/equation?tex=%5Chdots+%5Crightarrow+%5Cpi_n%28T%29+%5Crightarrow++%5Cpi_n%28G%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7Bn%7D%28G%2FT%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7Bn-1%7D%28T%29+%5Crightarrow+%5Chdots& alt=&\hdots \rightarrow \pi_n(T) \rightarrow
\pi_n(G) \rightarrow \pi_{n}(G/T) \rightarrow \pi_{n-1}(T) \rightarrow \hdots& eeimg=&1&&&br&&p&由于环面&img src=&/equation?tex=T%3D%28S%5E1%29%5Er& alt=&T=(S^1)^r& eeimg=&1&&的万有复叠是&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+R%5Er& alt=&\mathbb R^r& eeimg=&1&&,1阶以上同伦群全为0,而&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28T%5Er%29%3D%5Cmathbb+Z%5Er& alt=&\pi_1(T^r)=\mathbb Z^r& eeimg=&1&&,我们有&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_n%28G%29+%5Ccong+%5Cpi_n%28G%2FT%29+%28n%5Cgeq+3%29& alt=&\pi_n(G) \cong \pi_n(G/T) (n\geq 3)& eeimg=&1&&&br&&p&剩下的正合列为&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28T%29%3D0+%5Crightarrow++%5Cpi_2%28G%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B2%7D%28G%2FT%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B1%7D%28T%29+%5Crightarrow++%5Cpi_1%28G%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B1%7D%28G%2FT%29+%5Crightarrow+0& alt=&\pi_2(T)=0 \rightarrow
\pi_2(G) \rightarrow \pi_{2}(G/T) \rightarrow \pi_{1}(T) \rightarrow
\pi_1(G) \rightarrow \pi_{1}(G/T) \rightarrow 0& eeimg=&1&&&br&&p&再注意到包含映射&img src=&/equation?tex=%5Cpi_%7B1%7D%28T%29+%5Crightarrow++%5Cpi_1%28G%29+& alt=&\pi_{1}(T) \rightarrow
\pi_1(G) & eeimg=&1&&诱导了满射&/p&&p&(这是因为:&/p&&p&给G附双不变度量,选原点为基点,那么G的每个道路类都可以取一条过原点的测地线作为代表元,而测地线即单参数子群,每个单参数子群都会包含在某个极大环面内,而极大环面两两共轭,且共轭的道路同伦,因此G的每个道路类都可以选T中一条道路作为代表元)&/p&&p&所以&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%2FT%29%3D0& alt=&\pi_1(G/T)=0& eeimg=&1&&,上面的正合列化为:&/p&&img src=&/equation?tex=0+%5Crightarrow++%5Cpi_2%28G%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B2%7D%28G%2FT%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B1%7D%28T%29+%5Crightarrow++%5Cpi_1%28G%29+%5Crightarrow++0& alt=&0 \rightarrow
\pi_2(G) \rightarrow \pi_{2}(G/T) \rightarrow \pi_{1}(T) \rightarrow
\pi_1(G) \rightarrow
0& eeimg=&1&&&br&&p&4中已经证明&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%29%3D0& alt=&\pi_2(G)=0& eeimg=&1&&,这个正合列进一步化为:&/p&&img src=&/equation?tex=0+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B2%7D%28G%2FT%29+%5Crightarrow+%5Cpi_%7B1%7D%28T%29+%5Crightarrow++%5Cpi_1%28G%29+%5Crightarrow++0& alt=&0 \rightarrow \pi_{2}(G/T) \rightarrow \pi_{1}(T) \rightarrow
\pi_1(G) \rightarrow
0& eeimg=&1&&&br&&p&由此可见,&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28G%29& alt=&\pi_1(G)& eeimg=&1&&是&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28T%5Er%29%3D%5Cmathbb+Z%5Er& alt=&\pi_1(T^r)=\mathbb Z^r& eeimg=&1&&的商模,所以是&b&有限生成&/b&的,且秩小于等于r。&/p&&p&顺便,我们还得到:&/p&&blockquote&&p&&b&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%2FT%29& alt=&\pi_2(G/T)& eeimg=&1&&是自由Abel群&/b&&/p&&/blockquote&&p&G的3阶及以上同伦群的计算等价于计算齐次空间&img src=&/equation?tex=G%2FT& alt=&G/T& eeimg=&1&&的同伦群,这引起我们对&img src=&/equation?tex=G%2FT& alt=&G/T& eeimg=&1&&的兴趣。&/p&&br&&p&&img src=&/equation?tex=G%2FT& alt=&G/T& eeimg=&1&&是一个紧无边可定向流形,通过计算G在其上的左乘作用的Lefschetz数(即Cartan环面定理的证明)可知&/p&&p&&b&欧拉示性数&/b&&img src=&/equation?tex=%5Cchi%28G%2FT%29%3D%7CW%7C%5Cgeq+1& alt=&\chi(G/T)=|W|\geq 1& eeimg=&1&&,W是G的Weyl群。&br&&/p&&p&由于奇数维紧无边可定向流形的欧拉示性数总是0(Poincare对偶),所以&img src=&/equation?tex=G%2FT& alt=&G/T& eeimg=&1&&是偶数维的流形。偶数维,可定向,欧拉示性数非负,这与复流形的表现相仿。&/p&&p&回到&img src=&/equation?tex=G%3DSU%282%29+%5Ccong+S%5E3& alt=&G=SU(2) \cong S^3& eeimg=&1&&的例子,此时&img src=&/equation?tex=G%2FT+%5Ccong+S%5E2& alt=&G/T \cong S^2& eeimg=&1&&,而&img src=&/equation?tex=S%5E2& alt=&S^2& eeimg=&1&&可以有唯一的一个复结构成为Kahler流形(即黎曼球面)。&/p&&p&一般地有:&/p&&p&&b&设G半单紧连通,则&img src=&/equation?tex=G%2FT& alt=&G/T& eeimg=&1&&是一个Kahler流形。&/b&&/p&&br&&p&&b&6.&/b&&br&&/p&&p&作为补充,下面是一些具体的实例:&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28GL%5E%7B%2B%7D%28n%2C%5Cmathbb+R%29%29%3D%5Cpi_1%28SL%28n%2C%5Cmathbb+R+%29%29%3D%5Cpi_1%28SO%28n%29%29%3D%5Cmathbb+Z%2F2+%5Cmathbb+Z+%28n%3E2%29+%2C%5Cmathbb++Z%28n%3D2%29& alt=&\pi_1(GL^{+}(n,\mathbb R))=\pi_1(SL(n,\mathbb R ))=\pi_1(SO(n))=\mathbb Z/2 \mathbb Z (n&2) ,\mathbb
Z(n=2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28U%28n%29%29%3D%5Cmathbb+Z& alt=&\pi_1(U(n))=\mathbb Z& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_1%28SU%28n%29%29%3D%5Cpi_1%28Sp%28n%29%29%3D0& alt=&\pi_1(SU(n))=\pi_1(Sp(n))=0& eeimg=&1&&&br&&p&上面的基本群可用纤维丛的长正合列算出。&/p&&p&至于2阶同伦群,上面的证明表明&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28G%29%3D0& alt=&\pi_2(G)=0& eeimg=&1&&(对G 紧连通),因此我们有&img src=&/equation?tex=%5Cpi_2%28SO%28n%29%29%3D0& alt=&\pi_2(SO(n))=0& eeimg=&1&&等等结果。&/p&&p&至于3阶同伦群,&b&4中第一个证明表明&img src=&/equation?tex=%5Cpi_3%28G%29& alt=&\pi_3(G)& eeimg=&1&&都是自由Abel群。&/b&&/p&&p&另一个有用的工具是典范的&b&纤维丛&/b&:&/p&&p&例如:&/p&&p&&img src=&/equation?tex=SO%28n%29%5Crightarrow+SO%28n%2B1%29+%5Crightarrow+S%5En& alt=&SO(n)\rightarrow SO(n+1) \rightarrow S^n& eeimg=&1&&给出&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Cpi_r%28SO%28n%29%29+%5Ccong+%5Cpi_r%28SO%28n%2B1%29+%29%2Cn+%3E+r%2B1& alt=&\pi_r(SO(n)) \cong \pi_r(SO(n+1) ),n & r+1& eeimg=&1&&(用到S^n的低于n阶的同伦群全vanish)&/p&&p&所以固定某个阶数r,我们只用计算前面有限个&img src=&/equation?tex=n%3D1%2C%5Chdots%2Cr%2B1& alt=&n=1,\hdots,r+1& eeimg=&1&&对应的&img src=&/equation?tex=SO%28n%29& alt=&SO(n)& eeimg=&1&&的r阶同伦群,更大的n将给出同样的同伦群,即“稳定性”。&/p&&p&利用&img src=&/equation?tex=SO%281%29%3D%5Cmathbb+Z%2F2%5Cmathbb+Z+%2CSO%282%29+%5Ccong+S%5E1+%2CSO%283%29+%5Ccong+%5Cmathbb+RP%5E3+%2CSO%284%29+%5Ccong+%5Cmathbb+RP%5E3+%5Ctimes+S%5E3& alt=&SO(1)=\mathbb Z/2\mathbb Z ,SO(2) \cong S^1 ,SO(3) \cong \mathbb RP^3 ,SO(4) \cong \mathbb RP^3 \times S^3& eeimg=&1&&&/p&&p&得到&img src=&/equation?tex=%5Cpi_3%28SO%282%29%29%3D0%2C%5Cpi_3%28SO%283%29%29%3D%5Cmathbb+Z%2C%5Cpi_3%28SO%284%29%29%3D%5Cmathbb+Z+%5Coplus+%5Cmathbb+Z& alt=&\pi_3(SO(2))=0,\pi_3(SO(3))=\mathbb Z,\pi_3(SO(4))=\mathbb Z \oplus \mathbb Z& eeimg=&1&&&/p&&p&最后&img src=&/equation?tex=%5Cpi_3%28SO%285%29%29%3D%5Cmathbb+Z& alt=&\pi_3(SO(5))=\mathbb Z& eeimg=&1&&(在长正合列中可以看出其为SO(4)的3阶同伦群商掉某个非0的循环子群,又因为它是自由Abel群,所以为Z)&br&&/p&&p&由稳定性,&img src=&/equation?tex=%5Cpi_3%28SO%28n%29%29%3D%5Cmathbb+Z+%28n+%3E4%29& alt=&\pi_3(SO(n))=\mathbb Z (n &4)& eeimg=&1&&&/p&&p&另一个有用的工具是&b&Bott周期性定理&/b&:&/p&&p&如&img src=&/equation?tex=%5Cpi_i%28SO%28n%29%29%3D%5Cpi_%7Bi%2B8%7D%28SO%28n%2B8%29%29%2Ci+%5Cleq+n-2& alt=&\pi_i(SO(n))=\pi_{i+8}(SO(n+8)),i \leq n-2& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&让n趋于无穷,我们得到无穷正交群&img src=&/equation?tex=SO& alt=&SO& eeimg=&1&&的同伦群具有周期关系(8为周期),类似的对U(n),Sp(n)有其他周期规律,它们的同伦群从而可以完全算出来:&/p&&p&&img src=&/f9132c1fcec367e518b19_b.png& data-rawwidth=&423& data-rawheight=&186& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&423& data-original=&/f9132c1fcec367e518b19_r.png&&纤维丛给出“稳定性”表明,同伦群阶数r确定,那么n充分大同伦群不变,如果n远大于r,我们可以先把n减少到r+2级别,再进行计算。&/p&&p&Bott周期性定理表明,要计算&img src=&/equation?tex=SO%28n%29& alt=&SO(n)& eeimg=&1&&的不大于n-2阶同伦群(n较大),可以同时减8再减8降低次数再计算。(可以用来决定低阶同伦群)&/p&&p&然而,n较小而r较大的情况并没有一个周期性,比如说&img src=&/equation?tex=%5Cpi_%7B2n%7D%28U%28n%29%29+%3D+%5Cmathbb+Z%2F%7Bn%21%7D%5Cmathbb+Z& alt=&\pi_{2n}(U(n)) = \mathbb Z/{n!}\mathbb Z& eeimg=&1&&&/p&&p&更多的结果如下表(上面的性质也可以在此表验证):&/p&&p&&img src=&/6ccbe5fe7596_b.png& data-rawwidth=&801& data-rawheight=&307& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&801& data-original=&/6ccbe5fe7596_r.png&&(来自&a href=&/?target=https%3A//ncatlab.org/nlab/show/orthogonal%2Bgroup& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ncatlab&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)&/p&&p&&b&7.&/b&&/p&&p&更精确来说,Iwasawa证明了任何一个连通李群同胚于其某个极大紧李子群与某个欧氏空间的直积,并且极大紧子群都彼此共轭。&/p&&p&上面说过,紧李群作为流形可定向,切丛平凡从而欧拉示性数是0,基本群有限生成交换群,二阶同伦群消失,三阶自由。&br&&/p&&p&另外一阶Betti数=G的中心的维数&/p&&p&现在来看上同调结构,我们可以计算出所有紧单李群的Poincare polynomial如下:&/p&&p&&img src=&/v2-77cb3e0de3fece0d12979ff_b.jpg& data-rawwidth=&1511& data-rawheight=&525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1511& data-original=&/v2-77cb3e0de3fece0d12979ff_r.jpg&&对一般的G,计算Betti数bi其实是一个纯代数问题:&/p&&p&首先单纯上同调可用derham上同调计算,其中的微分形式可设都左不变,而bi等于i次双不变形式的维数。用李代数语言,左不变微分形式全体保次数的对应李代数g的外代数A,G右乘作用在A上,不动元即双不变形式。这一表示给出李代数g的表示,因此最后归为李代数的上同调,只要知道李代数的结构常数,理论上就可算出bi。&/p&&p&仔细的考虑可得&/p&&p&&img src=&/v2-dce7b477e3f68fddf05f79ad_b.jpg& data-rawwidth=&1606& data-rawheight=&447& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1606& data-original=&/v2-dce7b477e3f68fddf05f79ad_r.jpg&&&b&推论:&/b&&/p&&p&&b&G的betti数之和总是2的幂,并且幂次=G的极大环面维数=rankG&/b&&/p&&p&&b&8.&/b&&/p&&p&接下来是一些关于李群结构的一些结果,与之前一样,考虑实李群的拓扑时不妨假设紧连通。&/p&&p&紧连通李群中有基本的两类,即环面与连通半单紧李群,后者万有覆叠仍紧半单且中心有限。&br&&/p&&p&而Cartan和Weyl的分类定理表明由这两类就得到了所有紧连通李群:&/p&&p&&b&任何紧连通实李群都同构于一个环面T与一个单连通紧半单李群G的乘积再商掉一个有限子群D,D包含在T与G的中心Z的乘积中,并且D交T只有恒等元。&/b&&/p&&p&证明的想法是先把李代数拆成中心与换位子的直和,利用半负定的killing form证明后者半单。&br&&/p&&p&而单连通紧半单李群的分类化为紧半单实李代数的分类,复化后可借助复半单李代数的分类,且只需分类所有单李代数,再划归为根系的分类,最后得到A,B,C,D四大类以及几个额外序列,对应紧单连通单李群为SU,Spin,Sp以及几个额外李群,最后只需要计算出中心。&/p&&p&利用这个分类可以得到一些拓扑的结果,例如&b&紧连通实李群的有理系数上同调环一定同构于一些奇数维球面的乘积的上同调环。(这就得到之前的Betti数之和是2的幂这一结果)&/b&&/p&&p&而上面的有限子群D并非随意选取,其取决于紧单连通单李群的中心,后者可由根系读出,因此我们得到:&/p&&p&&b&给定维数n,n维紧连通李群的同构类只有有限多个。&/b&&/p&&p&&b&这就表明,李群的拓扑实际上非常刚性。&/b&&/p&&p&根据Peter-Weyl定理,任何紧李群均可嵌入某个正交群O(n)或U(n),即有忠实酉表示。可以证明任何紧李群的有限维复表示的像都是实代数群,于是我们得到:&/p&&p&&b&任何紧实李群G都是一个实的线性代数群!&/b&&/p&&p&&b&(反之显然,于是可以用代数几何研究紧实李群)&/b&&/p&&p&证明可参见GTM98,chapter 3,想法是考虑G的复值表示函数(即G的某个有限维复表示的矩阵表示中的系数)全体A,其是一个复数域上的有限生成代数,并且是Hopf algebra。考虑A到复数域的代数同态全体G_C,A的Hopf代数结构给出其一个群结构,另外A的有限生成性质给出其一个代数簇结构,可验证此使得G_C成为一个复数域上的线性代数群,称为G的复化。而取值映射给出G到G_C的嵌入(由Peter weyl知其为单射),由此G可看成G_C的real points。&/p&&p&更一般的,我们有&a href=&/?target=https%3A//ncatlab.org/nlab/show/relation%2Bbetween%2Bcompact%2BLie%2Bgroups%2Band%2Breductive%2Balgebraic%2Bgroups& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&relation between compact Lie groups and reductive algebraic groups in nLab&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&img src=&/v2-898fcdc1fc7d6f08489ced_b.jpg& data-rawwidth=&1935& data-rawheight=&1096& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1935& data-original=&/v2-898fcdc1fc7d6f08489ced_r.jpg&&简言之,紧实李群的复化是reductive的复线性代数群,反之亦然。&/p&&a href=&/?target=https%3A///questions/498249/complex-algebraic-group-is-reductive-iff-it-is-the-complexification-of-a-comp& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Complex algebraic group is reductive $\iff$ it is the complexification of a compact Lie group?&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&p&&b&9.&/b&&/p&&p&紧连通李群的有理系数上同调环一定与一些奇数维球面的乘积的上同调环同构,于是一个自然的问题是:&br&&/p&&p&&b&在哪些球面S^n上,可以赋予一个李群结构?&/b&&/p&&p&答案是&b&n=0,1,3,其上结构分别由Z/2Z,SO(2),SU(2)诱导.&/b&&/p&&p&&b&证明:&/b&&/p&&p&&b&基本想法仍然是使用李代数给出交换李群分类,以及使用李代数计算上同调/构造一个典范的3形式,得到非交换李群的3阶上同调一定不消失。&/b&&/p&&p&&b&具体见&/b&&a href=&/?target=https%3A///questions/12453/is-there-an-easy-way-to-show-which-spheres-can-be-lie-groups& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Is there an easy way to show which spheres can be Lie groups?&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&img src=&/v2-e091acf58520e1_b.jpg& data-rawwidth=&1391& data-rawheight=&1214& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1391& data-original=&/v2-e091acf58520e1_r.jpg&&还需要补充证明在n=0,1,3时李群结构唯一。&/p&&p&0维显然,1维其李代数交换故由指数映射可知其结构唯一。3维非交换紧李代数只有su(2),所以3维紧非交换单连通李群只有SU(2).&/p&&p&注:&/p&&p&1.当然也可以使用著名的球面切丛平凡等价于其维数为零,一,三,七。再利用七维紧李代数的分类得到所有七维紧连通李群的同构类,排除掉七维&/p&&p&2.于是可知球面上可以赋一个实代数群结构当且仅当维数为零,一,三,而实代数群结构是否唯一又是一个有趣的问题。&br&&/p&&p&&b&10.&/b&&/p&&p&在最后我们补完之前的关于极大紧子群共轭的结果。&/p&&br&&p&&b&F是一个局部域,则GLn(F)的极大紧子群K彼此共轭。&/b&&/p&&p&Pf:&/p&&p&F阿基米德,则可通过积分取平均得到F^n上K不变内积,从而K包含在某个内积的线性自同构群中,后者共轭于O(n)或U(n).&/p&&p&F非阿基米德,O是其整数环,则GLn(O)是保持格O^n不变的线性自同构群。我们只要证明存在一个格L,K保持L不变,则K包含在保持某个格不变的线性自同构群中,后者与GLn(O)共轭。K交GLn(O)是K的一个开子群,由有限覆盖定理其指标有限,因此令L是K·O^n,即为一个符合要求的格,即证。&/p&&p&而一般地,&/p&&p&&b&半单李群的极大紧子群两两共轭。&/b&&/p&&p&Pf:回忆可用Lefshetz不动点定理证明极大环面两两共轭,这里我们乞灵於Cartan不动点定理(证明可参见Peterson的黎曼几何,也可考虑使用&b&Bruhat–Tits fixed point theorem&/b&):&/p&&p&&b&紧群等距作用于完备单连通非正截面曲率流形上必有公共不动点。&/b&&/p&&p&之后仍然考虑陪集空间的作用,不再赘述:&/p&&img src=&/v2-6f126ae919abc_b.jpg& data-rawwidth=&1416& data-rawheight=&1047& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1416& data-original=&/v2-6f126ae919abc_r.jpg&&&p&见&a href=&/?target=https%3A//mathoverflow.net/questions/177146/maximal-compact-subgroups-of-a-semisimple-lie-group-are-conjugate& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Maximal compact subgroups of a semisimple Lie group are conjugate&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&/p&&p&G/K的单联通性已在上面证明。&/p&&br&&p&Ref:&/p&&p&&b&1.&a href=&/?target=http%3A//www.math.binghamton.edu/somnath/Notes/GSS5.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.binghamton.edu/som&/span&&span class=&invisible&&nath/Notes/GSS5.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&br&&/p&&p&2.&a href=&/?target=http%3A//mathoverflow.net/questions/8957/homotopy-groups-of-lie-groups& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&mathoverflow.net/questi&/span&&span class=&invisible&&ons/8957/homotopy-groups-of-lie-groups&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&3.GTM 98 representation of compact Lie group&/p&&p&4.&a href=&/?target=http%3A//felix.physics.sunysb.edu/%7Eabanov/Teaching/Spring2009/Notes/abanov-cpA1-upload.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&felix.physics.sunysb.edu&/span&&span class=&invisible&&/~abanov/Teaching/Spring2009/Notes/abanov-cpA1-upload.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&5.&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hopf fibration&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&6.&a href=&/?target=http%3A//www.ams.org/journals/bull//S52-02-544-6.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&ams.org/journals/bull/1&/span&&span class=&invisible&&952-58-01/S52-02-544-6.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&7.&a href=&/?target=http%3A//www.mathunion.org/ICM/ICM1950.2/Main/icm1.0024.ocr.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&mathunion.org/ICM/ICM19&/span&&span class=&invisible&&50.2/Main/icm1.0024.ocr.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&8.&a href=&/?target=https%3A//cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm9-0356.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&cms.math.ca/openaccess/&/span&&span class=&invisible&&cjm/v10/cjm9-0356.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
声明:下面都是很软的东西,没有硬分析。一.Hopf conjecture参考是Peterson的黎曼几何第七章.某一个著名的Hopf conjecture是说:一个偶数维(dim=2n)的紧黎曼流形M,如果截面曲率K&0,是否有欧拉示性数\chi(M) &0?这大概是曲率影响拓扑的一个非常好的猜想…
&p&一个能看得到的,正在发生的突破是,辛几何上的leading experts逐渐意识到,辛几何不是孤立的,至少有三个平行的世界:具体的几何,非交换几何,以及微局部分析。为了简单起见,假设这里考虑的辛流形都满足canonical bundle trivial。&/p&&p&具体的几何主要是Lagrangian Floer theory和Fukaya category,以及一些衍生的不变量。这里的不变量都是通过非线性微分方程的解来构造的,涉及到模空间上的一些相交理论。Seidel在这个方向引入了一些代数上的技巧,基本上是把关于derived category的理论推广到chain level,即 &img src=&///equation?tex=A_%5Cinfty& alt=&A_\infty& eeimg=&1&& -category上,这使我们能在一些特殊情形计算这些不变量。但是总体来说,非常subtle,通过定义很难做具体的计算。&/p&&p&非交换几何主要指Ginzburg和Etingof等人的工作。Ginzburg考虑了Calabi-Yau流形的non-commutative analogue,定义了所谓的Calabi-Yau代数。许多Calabi-Yau代数都有很具体的模型,即可以通过quiver with potential定义。Calabi-Yau代数的first Hochschild cohomology类比于流形上的vector field,称为non-commutative vector field,而second Hochschild cohomology则给出non-commutative deformation。&/p&&p&微局部分析主要是Kashiwara和Schapira的工作。在研究微局部分析时,他们引入了sheaf的microlocal support。在cotangent bundle 上,这给出了一个real Lagrangian subvariety。进一步地,Nadler和Zaslow证明了 &img src=&///equation?tex=T%5E%5Cast+M& alt=&T^\ast M& eeimg=&1&& 的Fukaya category quasi-isomorphic to dg category of &img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& -constructible sheaves on &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& ,成为这个方向的开始。理解一般辛流形的Fukaya category就转化成一些perverse sheaf的gluing问题。&/p&&p&最近辛几何的发展很大程度上依赖于人们对于这三个平行世界的等价性的信仰。比如在非交换几何上存在的结果,就应该有相应的关于Fukaya category的statement。因为Calabi-Yau流形的Fukaya category应该quasi-isomorphic to Calabi-Yau algebra。但是通过具体的几何很难证明这些结果,于是人们就考虑用constructible sheaf来代替Lagrangian submanifold,从而找到Fukaya category的替代品:microlocal category(&a href=&///?target=https%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/pdf/&/span&&span class=&invisible&&1.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)。这样,对于具体的计算和操作就方便多了,于是人们得以在微局部分析领域利用以前Kashiwara-Schapira的重要结果,从而证明所需要的结论。最后,再回到具体的辛几何上,把结论翻译成具体的几何定理。&/p&&p&概括地说,非交换几何只涉及一些代数,而代数是数学里相对比较简单的部分,具体的几何是最困难的,而微局部分析可以视为两者之间的过渡。上述图景让我们可以从最简单的代数出发,通过一条可行的途径证明复杂的几何定理。&/p&&p&这方面还有不少文献,这里不再赘述。但是大多数辛几何学家还跟不上这个潮流。我个人认为,这个大的图景将辛几何、表示论和微局部分析联系在一起,其激动人心的程度绝不亚于Langlands纲领,只是在这方面做研究的人还太少。如果能让更多人相信,沿着这条路走是有希望的,取得惊人的突破是迟早的事。其实,现在已经有一些很重要的猜想是沿着这条路线证明的,比如Shende证明了conormal torus是complete knot invariant: &a href=&///?target=https%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/pdf/&/span&&span class=&invisible&&0.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&

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